Este documento explica las razones trigonométricas y conceptos relacionados. Define las seis razones trigonométricas principales (seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente) y cómo se calculan en un triángulo rectángulo. También cubre razones trigonométricas derivadas, razones para ángulos notables, ejemplos de problemas resueltos, teoremas como el seno y coseno, y identidades trigonométricas.
21. Tabla de contenidos
02
05
01
03
Definición
Razones trigonométricas en un
triángulo rectángulo
Razones trigonométricas
derivadas
Razones trigonométricas
de los ángulos más
importantes
04
Ejemplos de ejercicios resueltos
con razones trigonométricas
23. Las razones trigonométricas de un ángulo son las razones que
se obtienen a partir de los tres lados de un triángulo rectángulo.
Dicho de otro modo, son los valores que resultan de comparar
por medio de cocientes (divisiones) sus tres lados. Aunque cabe
destacar, que estas razones solamente existen en los triángulos
rectángulos (triángulos que tienen un ángulo de 90º). El origen
etimológico de las dos palabras que le dan forma:
● Razones deriva del latín, de “ratio”, que es sinónimo de
“razón”.
● Trigonométrico, por su parte, tiene un origen griego. Significa
“relativo a la trigonometría”, y está compuesta de los
siguientes elementos de esa lengua: el sustantivo “trigonon”,
que puede traducirse como “triángulo”; el nombre “metron”,
que equivale a “medida”, y el sufijo “-ico”, que significa
“relativo a”.
24. Las seis razones trigonométricas más importantes son:
seno, coseno, tangente, cosecante, secante y
cotangente. A continuación, explicaremos en gran
detalle cómo se define cada una de estas razones y
hablaremos sobre la fórmula que las caracteriza. Para
poder entender las siguientes explicaciones tomaremos
en cuenta el siguiente triángulo rectángulo:
25. Seno
El seno de un ángulo (sen o sin) es igual al cociente del cateto opuesto (a) entre la hipotenusa
(c), por lo tanto, la fórmula del seno es la siguiente: sen (α) = a / c. Es muy importante conocer
esta definición de seno, ya que, esta es la base de toda la trigonometría, al igual que las otras
razones que comentaremos en este apartado.
A través del teorema del seno, podemos
calcular cualquier lado del triángulo, esto lo podemos
hacer relacionando los cocientes de un determinado
ángulo entre su lado correspondiente. Por ejemplo, si
queremos calcular el lado a y tenemos los valores del
lado b y de los ángulos A y B, podemos hacerlo usando la
fórmula: a / sen (A) = b / sen (B). Resolviendo esta sencilla
ecuación obtenemos el valor correspondiente a la
variable que queremos calcular..
26. Coseno
El coseno de un ángulo (cos) es igual al cociente del cateto contiguo (b) entre la hipotenusa
(c), por lo tanto, la fórmula del coseno queda así: cos (α) = b / c. En este caso, la fórmula está
compuesta por los dos lados del triángulo que están en contacto con el ángulo que queremos
estudiar, en este ejemplo, el ángulo A o α.
Tenemos una manera de calcular los lados del
triángulo, que es a partir del teorema del coseno. Este
nos permite relacionar los lados con los ángulos y nos
ofrece las siguientes tres expresiones:
a² = b² + c² – 2bc · cos (A)
b² = a² + c² – 2ac · cos (B)
c² = a² + b² – 2ab · cos (C)
27. Tangente
La tercera razón más importante, con la cual cerraremos el conjunto de razones originales, es
la tangente (tan o tg). Esta se calcula haciendo la división entre el cateto opuesto (a) y el
cateto contiguo (b), por lo tanto, la fórmula de la tangente nos queda así: tan (α) = a / b. A
continuación, puedes verlo de manera gráfica:
La tangente también tiene un teorema propio, el cual se
llama teorema de la tangente. Este nos permite
relacionar las longitudes de dos lados de un
triángulo con las tangentes de los ángulos. El
enunciado es el siguiente: «el cociente de la suma de
dos lados entre su resta es igual al cociente entre la
tangente de la media de los dos ángulos opuestos a
dichos lados y la tangente de la mitad de la diferencia
de estos».
29. A partir de las tres razones trigonométricas que acabamos de
comentar, podemos obtener otras razones trigonométricas
derivadas. Estas se obtienen al hacer la razón inversa respecto
al seno, coseno y tangente.
Cosecante: es la razón inversa del seno y se calcula
con las fórmulas: cosec (α) = c / a y cosec (α) = 1 /
sen (α).
Secante: es la razón inversa del coseno y se
calcula con las fórmulas: sec (α) = c / b y sec (α)
= 1 / cos (α).
Cotangente: es la razón inversa de la tangente y
se calcula con las fórmulas: cotg (α) = b / a y cotg
(α) = 1 / tan (α).
31. Existen una serie de ángulos, llamados ángulos notables, los cuales son los
más comunes en la trigonometría. Es muy recomendable saberse sus
razones trigonométricas de memoria. Por lo tanto, a continuación hemos
creado una tabla que contiene las razones trigonométricas de estos ángulos
y de sus derivados (mismos ángulos, pero con una diferencia de 90, 180 o 270
grados):
33. Calcula las seis razones trigonométricas del ángulo 225º:
Empezaremos calculando el ángulo (α), el cual es igual a:
180 + α = 225º, por lo tanto, α = 45º.
sen (225) = sen (180 + 45) = -sen (45) = -√2/2
cos (225) = cos (180 + 45) = -cos (45) = -√2/2
tan (225) = tan (180 + 45) = tan (45) = 1
Ejercicio 1
34. Calcula las seis razones trigonométricas del ángulo 120º:
Empezaremos calculando el ángulo (α), el cual es igual a:
180 – α = 120º, por lo tanto, α = 60º.
sen (120) = sen (180 – 60) = sen (60) = √3/2
cos (120) = cos (180 – 60) = -cos (60) = -1/2
tan (120) = tan (180 – 60) = -tan (60) = -√3
Ejercicio 2
35.
36.
37. Teorema o ley de senos
Este teorema se implementa para los casos uno (ALA) y el caso dos (LLA)
Sea el triángulo ABC, de lados a, b y c cuyos ángulos son ∡𝐴, ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶
respectivamente, se cumple:
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝑨
=
𝒃
𝑺𝒆𝒏 𝑩
=
𝒄
𝑺𝒆𝒏 𝑪
𝑺𝒆𝒏 𝑨
𝒂
=
𝑺𝒆𝒏 𝑩
𝒃
=
𝑺𝒆𝒏 𝑪
𝒄
39. Teorema o ley de cosenos
Este teorema se implementa para los casos tres (LLL) y el caso cuatro (LAL)
Sea el triángulo ABC, de lados a, b y c cuyos ángulos son ∡𝐴, ∡𝐵 𝑦 ∡𝐶
respectivamente, se cumple:
𝒂𝟐
= 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑨
𝒃𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒄𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝐁
𝒄𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
− 𝟐𝒃𝒄𝑪𝒐𝒔𝑪
40. * * *Ejemplo_ _
_
Resuelve el triangulo ABC según los datos de la imagen
47. DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS.
Para demostrar una proposición trigonométrica debe
transformarse, ya sea por sustituciones de cualquiera de las
fórmulas o por pasos algebraicos válidos, de manera que se
llegue a una igualdad que sin duda alguna sea cierta, es decir,
que lo escrito del lado izquierdo sea realmente igual a lo
escrito del lado derecho.
Para que una igualdad trigonométrica quede demostrada se
debe llegar a:
Una identidad, es decir, a algo igual a sí mismo.
A cualquiera de las fórmulas trigonométricas.
54. ECUACIONES TRIGONOMETRICAS
¿Qué son las ecuaciones trigonométricas?
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones
trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus
soluciones se pueden presentar en uno o en dos
cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las
transformaciones necesarias para trabajar con una sola
función trigonométrica, para ello utilizaremos las
identidades trigonométricas fundamentales.