Este documento presenta temas claves de la unidad 2 de pensamiento variacional y trigonométrico. Explica conceptos como funciones trigonométricas, razones trigonométricas, teoremas del seno y coseno, identidades trigonométricas y cómo resolver problemas aplicando estas ideas. Incluye ejemplos y tareas para reforzar la comprensión de estos importantes temas matemáticos.

1. Unidad 2: Pensamiento variacional y
trigonométrico.
Fanidy Castro Sanguino

2. Indice
● Funciones trigonometricas
● Razón trigonométrica
● Funciones trigonométricas
● Seno α
● Coseno α
● Teoremas del seno y el coseno
● Ley del seno y coseno
● Ejemplo ley del seno
● Ejemplo ley del coseno
● Tangente
● Cosecante, secante y cotangente razones reciprocas
● Cosecante de α
● Secante de α

3. ● Cotangente de α
● Tabla razones trigonométricas
● Ejemplo Razones trigonométricas
● Identidades trigonométricas
● Identidades trigonométricas de cociente
● Identidades trigonométricas pitagóricas
● Demostración de identidades trigonométricas
● Ejemplo de identidades trigonométricas
● Conclusión
● Bibliografía

4. Indice de figuras
● Figura 1
● Figura 2
● Figura 3
● Figura 4
● Figura 5
● Figura 6
● Figura 7
● Figura 8
● Figura 9
● Figura 10

5. ● Figura 11
● Figura 12
● Figura 13
● Figura 14
● Figura 15

6. Introducción
En la siguiente presentación se darán a conocer temas claves de la unidad 2, que se
convierten en indispensables a la hora de abordar las actividades propuestas en la guía y
rubrica de actividades, temas fundamentales que un futuro docente de matemáticas debe
conocer de forma idónea para que en conjunto con otros conocimientos sea un profesional
competente en el área de matemáticas.

7. Comencemos

8.  Funciones
trigonometricas
Definimos las funciones
trigonométricas como las relaciones en
las cuales a cada ángulo le corresponde
un único número real. Estas están
asociadas a una razón trigonométrica.
Figura 1

9.  Razón
trigonométrica
Las razones trigonométricas de un ángulo son las razones que
se obtienen a partir de los tres lados de un triángulo
rectángulo. Dicho de otro modo, son los valores que resultan
de comparar por medio de cocientes (divisiones) sus tres
lados. Aunque cabe destacar, que estas razones solamente
existen en los triángulos rectángulos (triángulos que tienen
un ángulo de 90º).
Figura 2
Partes de un triangulo rectángulo

10. Funciones trigonométricas
Existen 6 razones trigonométricas mas importante
el seno, el coseno, tangente, cosecante, secante y
cotangente.
Figura 3
Triangulo rectángulo

11.  Seno α
Sen o sin de un ángulo α se da como una razón entre el
cateto opuesto (c) y la hipotenusa (c)
La formula utilizada es:
Figura 4
Grafica de la función seno

12.  Coseno α
El coseno (cos) de un ángulo α se da como la razón entre
el cateto continuo o adyacente(b) y la hipotenusa (c) la
fórmula utilizada es:
Figura 5
Grafica de la función coseno

13. (Ley del seno y coseno)
Observamos un triangulo con vértices en los
puntos A,B,C. Los ángulos interiores del
triángulo se denotan con las mismas letras de
que sus vértices pero en minúscula a,b,c estos
corresponden a sus lados; los cuales están
opuestos a sus vertices A,B,C.
Teoremas del seno y el coseno
Sea D el pie de la perpendicular desde el
vértice C hasta el lado opuesto, c.
Figura 6
(I) Ángulo agudo, (II) Ángulo obtuso

14. Ley del coseno
Ley del seno
Establece que el cociente o
razón entre el seno de un
ángulo interior y la longitud del
lado opuesto es constante.
Establece que en todo triángulo el
cuadrado de la longitud de un lado
cualquiera es igual a la suma de los
cuadrados de las longitudes de los otros
lados menos el doble del producto de dichas
longitudes por el coseno del ángulo entre
tales lados. Se utiliza generalmente en
triángulos oblicuángulos.

15. Para resolver el triángulo
dado aplicamos ley del seno.
Resuelto el triángulo queda de
la siguiente forma: a=10m,
b=6m, c=5,5m, A=120°,
B=31,3°,C=28,7°.
Tarea 1. Desarrollar el siguiente triangulo
a=10m, b=6m, A=120°
Ejemplo ley del seno

16. Grafica de triángulo
Tarea 1. Desarrollar el siguiente triangulo
a=10m, b=6m, A=120°
Figura 7
Grafica de la tarea 1

17. Ejemplo ley del coseno
Figura 8
Teorema del coseno

18.  Tangente
La tangente (Tang o tg) es otra de las razones
trigonométricas con la cual si conocemos un cateto y el
ángulo adyacente podemos calcular otro cateto
Figura 9
Grafica de la función tangente

19. Cosecante, secante y cotangente razones reciprocas
Se obtienen a partir de la razón inversa respecto a seno, coseno y
cotangente.

20.  Cosecante de α
La cosecante ( csc o cosec) razón trigonométrica
reciproca del seno, se define como la razón entre la
hipotenusa y el cateto opuesto.
Su formula es la siguiente:
Función periódica de periodo 360°(2π)
Figura 10
Gráfica de la funcion cosecante

21.  Secante de α
La secante (sec) es la razón reciproca del coseno es decir
sec α · cos α=1.
La secante de un ángulo α de un triángulo rectángulo se
define como la razón entre la hipotenusa (c) y el cateto
contiguo o cateto adyacente (b)
Función periódica de periodo 360°(2π)
Figura 11
Grafica de la función secante

22.  Cotangente de α
La cotangente (cot, cotg ocotan) razón trigonométrica
reciproca de la tangente es decir tan α · cot α=1. Se
define como la razón entre el cateto adyacente y el cateto
opuesto
Función periódica de periodo 180°(π
radianes)
Figura 12
Grafica de la función cotangente

23. Tabla razones trigonométricas
Figura 13
Tabla de razones trigonométricas

24. Ejemplo Razones trigonométricas
Tarea 2. Calcula las razones trigonométricas seno, coseno y
tangente de los ángulos agudos (A y B) del triangulo
rectángulo dado.

25. 01
Las identidades trigonométricas son igualdades que involucran funciones trigonométricas y se
verifican para cualquier valor permitido de la variable o variables que se consideren, es decir,
para cualquier valor que pudieran tomar los ángulos sobre los cuales se aplican las funciones. Si
la gráfica de dos funciones coincide, entonces es una identidad. En cambio, si solamente se
cortan en uno o algunos puntos, entonces se trata de una ecuación trigonométrica cuyas
soluciones son las abscisas de los puntos de corte.
Las identidades trigonométricas dependiendo de su forma se les llama identidades
trigonométricas de cociente e identidades trigonométricas pitagóricas
Identidades trigonométricas

26. Toma en cuenta que las identidades
trigonométricas tangentes y cotangente están
definidas por la relación del seno y el coseno por
medio de un cociente; en cambio, la función
trigonométrica se define por la relación, por
medio de un cociente, de los catetos de un
triángulo rectángulo.
Identidades trigonométricas de cociente
Se dividen en 2 tangente y cotangente, Cuenten con
la propiedad de relacionar por medio de un cociente,
las funciones trigonométricas de seno y coseno
Figura 14
Ejemplo demostración de cociente

27. Identidades trigonométricas pitagóricas
Las identidades trigonométricas pitagóricas se obtienen al aplicar el Teorema de Pitágoras a
las definiciones de las funciones trigonométricas. Son tres identidades y se cumplen para
cualquier valor del ángulo x. A continuación te mencionamos cuáles son y cómo se obtienen.
Para ello nos auxiliaremos de la construcción de diferentes triángulos, los cuáles se derivan
de los triángulos a partir de los cuales obtuvimos las gráficas de las funciones
trigonométricas
• 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2
𝑥 = 1
Tenemos un triángulo ABC en donde la hipotenusa es igual a 1, el cateto opuesto es igual a
sen x, y el cateto adyacente es igual a cos x .

28. Identidades trigonométricas pitagóricas

29. Identidades trigonométricas pitagóricas
• 𝑠𝑒𝑐2
= 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1Supongamos que tenemos un
triángulo ABC en donde el cateto adyacente es igual
a 1 y el cateto opuesto es igual a tan x , por lo que la
hipotenusa debe cumplir con ser igual a la sec x

30. Demostración de identidades trigonométricas
Como se menciono anteriormente, una identidad es una relación que contiene funciones trigonométricas. Además de las
antes descritas —cociente y pitagóricas—, existen otras identidades que se expresan por medio de una igualdad y que son
válidas para todos los valores del ángulo en los que están definidas las funciones.
No existe un método específico para verificar una identidad, sólo algunas sugerencias. Para comprobar las identidades se
puede proceder de la siguiente manera:
1. Se transforma uno de los miembros de la igualdad, cualquiera de los dos, en el otro (generalmente se transforma el
miembro más complicado). Se escriben las funciones en términos de senos y cosenos.
2. Se simplifica la expresión de un lado de la igualdad; la otra no se altera. Para ello se sugiere que se realicen las
operaciones indicadas como factorizar, simplificar, suma de fracciones, etcétera.
3. Para poder realizar las demostraciones deberás tener un completo dominio de las definiciones de las funciones
trigonométricas y las ocho relaciones fundamentales. Saberlas de memoria y sin dudas, así como sabes las tablas de
multiplicar.

31. Demostración de identidades trigonométricas
Figura 15
Resumen de las ocho relaciones fundamentales

32. Demostración de identidades trigonométricas

33. Ejemplo de identidades trigonométricas
Tarea 3. Realizar la siguiente identidad trigonométrica
𝑏.
𝑐𝑜𝑠𝑥𝑡𝑔𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑡𝑔𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
1
sec 𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
cos 𝑥
+ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
𝑆𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
+
𝑠𝑒𝑛𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥. 𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑐𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
2𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
2 𝑠𝑒𝑛𝑥
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
2 cos 𝑥 =
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
2
1
𝑠𝑒𝑐𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
2 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
2
1
1
𝑠𝑒𝑐𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
2
𝑠𝑒𝑐𝑥
=
2
𝑠𝑒𝑐𝑥

34. Conclusión
Los diferentes temas que se trataron durante la presentación fueron funciones trigonométricas,
razones trigonométricas, teorema del seno y coseno e identidades trigonométricas; mediante la
adecuación de estos temas de forma correcta se logro resolver las diferentes tareas propuestas
en la guía de actividades además se desarrollaron nuevas habilidades mediante estos temas que
durante el resto de la formación nos serán de gran utilidad para lograr con éxito nuestro
propósito.

35. Bibliografía
Castañeda, H. S. (2014). Matemáticas fundamentales para estudiantes de ciencias. Bogotá, CO: Universidad
del Norte. Páginas 153 – 171. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/69943?page=159
Figura 1. https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQduzbLbbiHuNerjDcVO2xooTYQRa8R719cIdCjRM3WBeyx
qUqnDYRKIAlXronNyB2B--A&usqp=CAU
Figura teorema del coseno tomada de:
https://www.google.com/imgres?imgurl=https%3A%2F%2Fwikidat.com%2Fimg%2Fteorema-del-
cosenod4f65ba8e8985c0c8e37b359b73b2599.jpg&imgrefurl=https%3A%2F%2Fes.wikidat.com%2Finf
o%2Fteorema-del-coseno&tbnid=rMy7kqQSMtSAmM&vet=10CAMQxiAoAGoXChMI4K6gupft-
gIVAAAAAB0AAAAAEAY..i&docid=-
TVcOm2H5hkvkM&w=467&h=350&itg=1&q=ley%20del%20coseno&ved=0CAMQxiAoAGoXChMI
4K6gupft-gIVAAAAAB0AAAAAEAY

36. Bibliografía
Geogebra. https://www.geogebra.org/geometry
Henao, A. (2012). Funciones
Trigonométricas Geogebra. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/7691
https://micalculadoracientifica.com/razones-trigonometricas/
Requena, (s.f). Funciones trigonometricas, tomado de:
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funciones-trigonometricas/
Rondón, J. (2017). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica. Bogotá D.C.: Universidad
Nacional Abierta y a Distancia. Páginas 237 -
265. https://repository.unad.edu.co/handle/10596/11583
Uaa, (s.f). Unidad de aprendizaje v, tomado de: https://www.uaa.mx/centros/cem/dmf/wp-
content/uploads/2015/apuntes/2.%20Geometria%20y%20Trigonometria/Unidad%205.pdf

37. Gracias