razones y proporciones magnitudes regla de tres

1. I.E. “MARÍA NEGRÓN UGARTE”
TRUJILLO
MATEMÁTICA
2º GRADO
Prof. JORGE R. VÁSQUEZ TAPIA
RAZONES
RAZÓN: Es el resultado de comparar dos cantidades.
De las diferentes formas de comparar dos cantidades
vamos a estudiar dos.
a. Razón Aritmética o por diferencia
Es el resultado de comparar dos cantidades
homogéneas mediante la sustracción.
Ejemplo:
Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas
por diferencia, podemos afirmar:
12 rosas - 9 margaritas = 3
3 rosas más que margaritas, o también
3 margaritas menos que rosas.
b. Razón Geométrica o por cociente
Es el resultado de comparar dos cantidades
mediante la división.
Ejemplo:
Si tenemos 12 rosas y 9 margaritas, al compararlas
por cociente, se tiene:
Por cada 4 rosas hay 3 margaritas, o
Por cada 3 margaritas hay 4 rosas.
En ambos casos, la razón se lee:
r
n
m
naesmrnm  ""
Engeneral,cuandosedigasimplementerazón,seentenderá
quelarazónpedida eslageométrica.
PRACTICANDO
1. Hallar la razón aritmética y geométrica de:
a) 40 y 120 b) 25 y 81
c) 144 y 256 d) 49 y 121
2. La edad de Javier es a la edad de Janet como 8 es
a 6. Si el doble de la edad de Javier y el triple de la
edad de Janet suman 136, hallar sus edades.
3. Si la relación entre dos números es de 7 a 11,
hallar los números sabiendo que su diferencia es
8.
4. Cita dos números cuya razón aritmética sea 6 y
cuya razón geométrica sea 2/3.
5. Hallar la razón aritmética y geométrica de
a) 60 y 12 b) 12
11
y 6
5
c) 5,6 y 3,5 d) 8
3
y 02,0
6. Hallar la relación entre las edades de dos niños de
10 y 14 años.
7. La razón de dos números es 6
5
. Si el menor es
20, ¿cuál es el mayor?
8. El mayor de dos números es 42 y la relación entre
ambos es de 5 a 7. Hallar el número menor
9. La relación entre dos números es de 5 a 2. Hallar
los números sabiendo que su suma es 49.
10.La razón de dos números es 3
8
y su diferencia
55. Hallar los números.
TRABAJANDO EN AULA
1. En una reunión hay hombres y mujeres. Siendo
el número de hombres al número total de
personas como 3 es a 8 y la diferencia entre los
números de hombres y mujeres es 24. ¿Cuál
será la relación entre hombres y mujeres si se
retiran 33 mujeres?
2. La razón de las cantidades de dinero de Pedro
y Juan es 8/17. Si Juan le diera 63 Soles a
Pedro ambos tendrían la misma suma de
dinero. ¿Cuánto tiene Juan?
3. De cada 13 alumnos de un colegio, 3 son
mujeres, si del colegio hay 50 varones.
¿Cuántos alumnos son en total?
4. Las edades de Antonio y Bernardo están en la
razón de 5 a 3. Las edades de Bernardo y
César están en razón de 4 a 7. Si la suma de
las edades es 159 años. Hallar la edad de
César.
5. La razón aritmética de las cantidades de dinero
que Andrea y María tienen es S/. 240. Si la
razón geométrica es 8/13. ¿Cuánto dinero tiene
María?
6. En una granja el número de pollos es al de
gallinas como 3 es a 5 siendo su diferencia 24.
¿Cuál es la nueva relación de pollos a gallinas
si se mueren 12 gallinas?
7. El dinero de 2 personas están en la razón de
12  7 y una de ellas tiene S/. 850 más que la
otra. ¿Cuánto dinero tiene la menor?
DESAFIO: En una fábrica de chocolates de marca
"DINOSAURIO" se tiene tres máquinas "x", "y" y "z";
por cada 11 chocolates que produce la máquina "x", la
máquina "y" produce 7 y por cada 5 chocolates que
produce la máquina "y" la máquina "z" produce 3. Si en
un día "x" y "z" produjeron 15 960 chocolates en total;
aritasargm3
rosas4
aritasargm9
rosas12

rosas4
aritasargm3
rosas12
aritasargm9


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¿cuántos chocolates más o menos hizo "y" con
respecto a "z" ese mismo día?
PROPORCIONES
PROPORCIÓN: Es la igualdad de dos razones, que
tienen el mismo valor.
II. TIPOS DE PROPORCIÓN
Recuerda:
• Los términos de la equidiferencia se llaman
extremos al primer y cuarto elemento de la
proporción y medios al segundo y tercero.
• Al igual que en la proporción aritmética, en la
proporción geométrica se llaman extremos al
primero y cuarto de los términos y medios al
segundo y tercer término.
En ambos casos, se lee:
“a es a b como c es a d”
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LAS
PROPORCIONES:
 En la proporción aritmética, la suma de los
términos medios es igual a la suma de los términos
extremos.
cbdadcba 
 En la proporción geométrica, el producto de los
términos medios es igual al producto de los
términos extremos.
cbda
d
c
b
a

Existen dos tipos de proporciones:
Proporción aritmética o
equidiferencia
Proporción geométrica o
equicociente
aritmética o
ferencia
Proporción geométrica o
equicociente
Proporción discreta Proporci

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Tener en cuenta:
 En la proporción aritmética discreta, el último
término extremo, recibe el nombre cuarta
diferencial.
 En la proporción geométrica discreta, el último
término extremo, recibe el nombre cuarta
proporcional.
También:
 En la proporción aritmética continua:
- El término medio recibe el nombre de media
diferencial.
- El último término extremo, recibe el nombre
tercera diferencial.
 En la proporción geométrica continua:
- El término medio recibe el nombre de media
proporcional.
- El último término extremo, recibe el nombre
tercera proporcional.
PRACTICANDO
1. Hallar el término desconocido:
a) 50 – 42 = 25 - x b) 45,3 – x = 18 – 0,3
c) x
6
5
7
1
3
1
d)
4
168

x
e)
2
6
5
1

x
f)
16
9
4
1
x
x

2. Aplicando la propiedad fundamental, determina
el valor de “x” en cada caso:
a)
8
4
6

x
b)
25
102

x
c)
5,4
48,0

x
d)
x
21
3
7
 e)
12
6
4

x
f)
10
1812


x
x
g)
168
4 x
 h)
12
63
4

x
i)
x
10
9
1

j)
4
6,0
20

x
k)
x
8,0
10
4
 l)
28
35
12

x
3. Si “p” es a “q” como 2 es a 3 y “q” es a “r” como
1 es a 2, entonces en que relación están “p” y “q”.
4. Las edades de Antonio y Bernardo están en la
razón de 5 a 3. Las edades de Bernardo y César
están en razón de 4 a 7. Si la suma de las tres
edades es 159 años. Hallar la edad de César.
5. Hallar la media proporcional de 4 y 9.
6. Hallar la media proporcional de 12 y 27.
7. Hallar la cuarta proporcional de 15, 20 y 18.
8. ¿Cuál es la cuarta diferencial de 18, 12 y 23?
9. Calcular la media diferencial de 31 y 13.
10.Determinar la media proporcional de 9 y 25.
11.¿Cuál es la tercera diferencial de 30 y 23?
12.Calcular la cuarta proporcional de 36, 12 y 9.
13.¿Cuál es la tercera proporcional de 9 y 12?
14.La media proporcional de “a” y 27 es “b” y
además “a” es la tercera proporcional entre 3 y
27. Hallar: (a - b)
15.La cuarta diferencial de “a”, “b” y “c” es 29, la
tercera proporcional de “a” y “b” es 36 y la media
aritmética de “b” y “c” es 39. Hallar la tercera
diferencial de “a” y “c”.
16.Si la tercera proporcional de 9 y “a” es 25. Hallar
la cuarta proporcional de “a” 35 y 12.
17.Hallar la cuarta proporcional de “a”, “a x b” y “b”.
18.Hallar la cuarta proporcional de 8, 15 y 10.
19.Hallar la tercera proporcional de 4 y 6.
20.Hallar la cuarta proporcional de a2,
b
a
y b2.
discreta Proporción continua

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TRUJILLO
MATEMÁTICA
2º GRADO
Prof. JORGE R. VÁSQUEZ TAPIA
21.A una fiesta concurren 400 personas entre
hombre y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada
2 mujeres. Luego de media hora, por cada 2
hombres hay una mujer. ¿Cuántas parejas se
retiraron?