LIBRO RAZ LOGICO.pdf

Razonamiento Lógico Matemático Nombramiento y Contrato Docente
1
Mg. Teodoro Yupa M.
ÍNDICE
PRESENTACIÓN………………………………………………………………………………….. 2
REGLA CONJUNTA……………………………………………………………………………… 3
ORDEN DE INFORMACIÓN…………………………………………………………………. 6
SUCESIONES………………………………………………………………………………………. 16
RAZONAMIENTO INDUCTIVO NUMÉRICO Y GRÁFICO………………………… 24
ANÁLISIS COMBINATORIO…………………………………………………………………. 29
VERDADES Y MENTIRAS…………………………………………………………………….. 35
FRACCIONES………………………………………………………………………………………. 41
PORCENTAJES…………………………………………………………………………………….. 50
TEORÍA DE CONJUNTOS - DIAGRAMA DE CARROLL……………………………. 57
INFERENCIA CON PREMISAS………………………………………………………………. 64
PERÍMETROS Y ÁREAS………………………………………………………………………… 77
CERTEZAS…………………………………………………………………………………………… 87
CONTEO DE CUBOS, CARAS Y VISTAS…………………………………………………. 91
PARENTESCOS……………………………………………………………………………………. 97
PLANTEO DE ECUACIONES Y EDADES…………………………………………………. 102
PROPORCIONALIDAD Y REGLA DE TRES……………………………………………… 110
DISTRIBUCIONES NÚMERICAS Y GRÁFICAS………………………………………… 119
MÉTODOS OPERATIVOS (CANGREJO, ROMBO, RECTÁNGULO)………….. 124
ESTADÍSTICA……………………………………………………………………………………… 127
CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD…………………………………………… 137
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS…………………………………………………….. 140
SOLUCIONARIO PRUEBA ÚNICA NACIONAL 2018………………………………. 145
CLAVE DE RESPUESTAS DEL LIBRO……………………………………………………… 155

2
Mg. Teodoro Yupa M.
PRESENTACIÓN
Presentamos a la comunidad magisterial el libro titulado Razonamiento
Lógico Matemático para Docentes, que nace básicamente por una
motivación de la necesidad de contar con un material exclusivo para
enfrentar con éxito las evaluaciones de acceso a nombramiento o
contratos convocados por el Ministerio de Educación.
Es un libro que dista de los tradicionales libros de Razonamiento
Matemático, propia de entidades educativas o útiles para acceso a las
universidades del país. El presente material enfatiza la metodología en
la resolución de problemas; la casi nula utilización de fórmulas, lo que
permite su accesibilidad a todo lector; además un elemento importante
denominado Situaciones Previas, que son un conjunto de problemas que
permitirá tomar confianza con los problemas de mayor demanda
cognitiva.
El libro Presenta una teoría básica de los temas claves en los que evalúa
el Ministerio; problemas resueltos partiendo de lo sencillos hasta
problemas del nivel exigido en la PUN; situaciones previas y problemas
propuestos con sus respectivas respuestas.
Esperamos que el presente trabajo llene los vacíos de bibliografía y de
metodología que carece nuestro mercado, y sea una herramienta útil
para los procesos de evaluación mencionados.

3
Mg. Teodoro Yupa M.
La regla conjunta tiene por objetivo
determinar la relación que existe entre
dos cantidades, conociendo otras
relaciones intermedias.
¿CUÁNDO LO USO?
Lo usamos Cuando en el problema
aparecen varias relaciones de
equivalencia entre objetos, animales u
otras cosas y bajo estas relaciones se
trata de encontrar una incógnita.
¿CÓMO LO USAMOS?
Regla práctica:
Se forma con los datos una serie de
igualdades, procurando que el segundo
miembro de cada igualdad sea de la
misma especie que el primero de la
siguiente y de este modo el segundo
miembro de la última igualdad será de
la misma especie que el primero de la
primera. Se multiplican ordenadamente
estas igualdades y se halla el valor
desconocido.
PROBLEMAS RESUELTOS
Sabiendo que 6 helados cuestan lo
mismo que 5 pasteles y que 2 pasteles
valen s/. 12 ¿Cuántos costará 4
helados?
SOLUCIÓN:
Disponemos los datos según la regla
práctica:
Sabiendo que 4 soles equivalen a un
dólar, que 3 dólares equivalen a 4 libras
esterlinas, que 6 euros equivalen a 5
libras esterlinas. ¿A cuántos soles
equivalen 2 euros?
SOLUCIÓN:
Disponemos los datos según la regla
práctica:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
6 helados 5 pasteles
2 pasteles 12 soles
x soles 4 helados
6.2.x 5.12.4
x 20
4 soles 1 dolar
3 dolares 4 Libras
5 libras 6 euros
2 euros soles
x
4.3.5 1. 4 .6
x 5
.2 .x
REGLA CONJUNTA

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Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
Los niños Alberto y Pepe juegan a
intercambiar útiles escolares y
acuerdan las siguientes reglas:
• 1 libro se puede intercambiar por 1
cuaderno y 2 lapiceros.
• 8 lapiceros se pueden intercambiar
por 2 cuadernos.
• Según esta información, si Pepe
tiene 12 lapiceros ¿Cuántos libros
recibirá de Alberto si decide
intercambiarlos?
SOLUCIÓN:
Disponemos los datos según la lectura:
* De la 2da relación obtenemos:
* De la 1ra relación obtenemos:
* Por lo tanto: 12 lapiceros equivalen a
2 libros
En cierta región del país se
intercambian 1kg de papa por 3/4 kg de
yuca y 1 kg de camote. Además, se
intercambian 1 kg de camote por 3 kg
de yuca. ¿Cuántos kilogramos de papa
se pueden intercambiar por 5 kg de
camote?
SOLUCIÓN:
* De la 1ra relación obtenemos:
De aquí, 5 kg de camote equivalen a
4kg de papa.
1) Si dos libros equivalen a 4
cuadernos, ¿a cuántos cuadernos
equivale 1 libro?
___________________________
2) Si por tres chupetes me dan 5
caramelos, ¿Cuántos chupetes
me darán por 10 caramelos?
___________________________
3) Si por 20 sillas dan dos carpetas,
¿Cuántas carpetas recibiré por
100 sillas?
___________________________
4) Por cada 4 sandias Pepe debe
pagar S/. 28, ¿Cuántas sandias
recibirá por S/.14?
___________________________
5) Si por media yuca me dan 2 papas,
¿Cuántas yucas me darán por 8
papas?
___________________________
6) Si por 2 sandias me dan 4 peras y
por cada pera me dan 2 plátanos,
¿Cuántas sandias recibiré por 4
plátanos?
___________________________
1 libro 1 cuaderno y2 lapiceros
8 lapiceros 2 cuadernos
12 libros
x
lapiceros
1 libro 1 cuaderno y 2 lapiceros
4 lapiceros
EJEMPLO 3
8 lapiceros 2 cuadernos 1 cuaderno 4 lapiceros
EJEMPLO 4
1 libro + 2 lapiceros
4 lapiceros
1 libro 6 lapiceros
4 Kg de papa 3 Kg de yuca y 4 kg de camote
* Pero como 1 kg de camote = 3 kg de yuca,
tendremos:
4 Kg de papa 3 Kg de yuca y 4 kg de camote
1 kg de camote
4 kg de papa = 5 kg de camote

5
Mg. Teodoro Yupa M.
7) Un melón equivale a 1/4 Kg de
peras, ¿a cuántas peras equivalen
8 melones?
___________________________
1. Si un lápiz mide 21 cm que equivale
a la medida de 6 clips y una crayola
mide como 4 clips. ¿Cuánto mide la
crayola? (NOMBRAMIENTO 2017)
A) 12 cm
B) 13 cm
C) 15 cm
D) 14 cm
2. En un pueblo africano, por cada 16
espejos, dan 2 diamantes y por cada
6 diamantes dan 4 monedas de oro.
¿Cuántas monedas de oro darán por
36 espejos?
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
3. En un trueque por un cuadrado se
reciben 4 círculos y por 6 círculos se
reciben 3 triángulos. ¿Cuántos
cuadrados pueden recibirse por 24
triángulos?
A) 12
B) 24
C) 36
D) 28
4. Con 4 plumones se obtienen 6
lapiceros y con 2 lapiceros se
obtienen 4 borradores. ¿Cuántos
borradores se obtendrán con 12
plumones?
A) 36
B) 38
C) 40
D) 50
5. En cierto lugar de la serranía
peruana se acostumbra hacer
trueques. Si 3 alpacas cuestan lo
mismo que 5 caballos y 8 caballos
equivalen a 9 ovejas. ¿Cuántas
alpacas se pueden intercambiar por
15 ovejas?
A) 12
B) 8
C) 16
D) 18
6. En una feria agropecuaria por cada 8
melones dan 5 plátanos, por cada 10
plátanos dan 3 papayas, por 4
papayas dan 1 docena de
manzanas, si 5 manzanas cuestan
S/.16. ¿Cuánto pagaré por 12
melones?
A) 10,5
B) 21,6
C) 20,4
D) 34,5
7. ¿Cuántas pelotas se obtienen con 6
motos?, si con 49 patines se
obtienen 5 bicicletas, con 7 patines
obtenemos 16 pelotas y con dos
motos obtenemos 15 bicicletas.
PROBLEMAS PROPUESTOS

6
Mg. Teodoro Yupa M.
A) 1080
B) 1012
C) 1008
D) 1240
8. Si 7 naranjas equivale a 8 manzanas;
4 mandarinas equivale a 21 bananas
y 3 bananas equivale a 2
melocotones y también que 2
manzanas equivale a 5 mandarinas.
¿Cuántos melocotones darán por el
mismo precio de una docena de
naranjas?
A) 40
B) 120
C) 80
D) 100
9. El trabajo de cuántos hombres
equivaldrá al trabajo de 12 niños, si
el trabajo de 4 niños equivale al de 6
niñas, el de una mujer al de 2 niñas
y el de 3 mujeres al de un hombre.
A) 8
B) 5
C) 3
D) 2
10. En un extraño Mercado se
intercambian 7 baldes por 1/2 kg de
peras y 1/3 kg de manzanas.
Asimismo, 2kg de peras se cambian
por 1 kg de manzana. ¿Cuántos
baldes se podrán intercambiar por 8
peras?
A) 16
B) 24
C) 48
D) 50
Permite ordenar los datos que
inicialmente están desordenados, pero
que guardan toda la información. Para
tal orden debemos relacionarlos entre
si, encontrando correspondencia entre
ellos.
TIPOS DE ORDENAMIENTO:
Lineal(horizontal y vertical), circular y
Cuadro de decisiones.
A.ORDENAMIENTO HORIZONTAL Y
VERTICAL
Este tipo de ordenamiento se usa
cuando en el problema se detectan
palabras como: mayor, menor, mas,
menos, adelante, primero,..etc.
ESTRATEGIA
Se utiliza un segmento de recta
horizontal o vertical, sobre en cual se
Irán ordenando los datos del enunciado.
Puede utilizarse más de una de estas
rectas para la solución.
PROBLEMAS RESUELTOS
Manuel es 4 años menor que Alberto,
Raúl es un año mayor que Pedro, Raúl
es 2 años menor que Juan y Alberto es
7 años mayor que Juan. ¿Cuántos años
menor es Juan que Manuel?
SOLUCIÓN:
Notación: Manuel (M), Alberto (A), Raúl
(R), Pedro (P), Juan (J)
EJEMPLO 1
ORDEN DE INFORMACIÓN

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Mg. Teodoro Yupa M.
El ordenamiento final será:
Respuesta: Juan es tres años
menor que Manuel
El volcán Temboro está ubicado al este
del Sumatra. El volcán Singapur al
oeste del Krakatoa. El Sumatra a su
vez está ubicado al oeste de Singapur.
¿Cuál es el volcán ubicado al oeste?
SOLUCIÓN:
Notación: Temboro(T), Sumatra(Su),
Singapur(Si), Krakatoa(K)
El ordenamiento final será:
Ruth es mayor que Rocío, Maria es
menor que Rocío, pero mayor que que
Juana, y Juana es menor que Bety.
¿Cuál de ellas es la menor de todas?
SOLUCIÓN: Utilizamos el
ordenamiento horizontal:
EJEMPLO 2
❖ Sumatra a su vez está ubicado al
oeste de Singapur
Si
Su
❖ Singapur al oeste del
Krakatoa
K
Si
Si
Su K
T T T
❖ El volcán Temboro se ubica al
este del Sumatra.
EJEMPLO 3
❖ Ruth es mayor que Rocío
Ruth
Rocío
-
+
❖ María es menor que Rocío, pero
mayor que Juana
María
Juana Rocío
❖ Juana es menor que Bety
Juana Bety
A
M
R
P
Raúl es un
año mayor
que Pedro
Manuel es
4 años
menor que
Alberto
J
R
Raúl es 2
años
menor que
Juan
A
J
Alberto es
7 años
mayor que
Juan
❖ Temboro está ubicado
al este del Sumatra
T
Su
A
J
M
P
R

8
Mg. Teodoro Yupa M.
Luego, el ordenamiento final será:(note
que Bety es mayor que Juana)
Rpta. Juana es la menor.
En un edificio de 5 pisos viven las
familias, Flores, Zanabria, Miranda,
Pérez, Islas, cada una en pisos
diferentes.
-Islas vive encima de Zanabria.
-Flores vive lo más alejado de
Miranda.
-Miranda no puede subir las
escaleras.
-Pérez le hubiera gustado vivir en el
último piso.
Son ciertas:
I. Los Zanabria viven en el piso dos.
II. Los Pérez viven en el piso tres.
III. Los Miranda viven en el piso uno.
SOLUCIÓN:
En este caso partimos del dato concreto
y que se puede ubicar sin dificultades,
además interpretamos las premisas.
Con lo considerado el edificio quedaría
así:
Rpta. Sólo se cumple III.
B.ORDENAMIENTO CIRCULAR
Para este tipo de ordenamiento se usan
circuitos cerrados, con forma circular
básicamente. Es importante precisar
que todos los elementos estén mirando
al centro del círculo.
ESTRATEGIA
Aquí la primera persona que ubiques lo
puedes hacer donde sea, pero los
demás deben cumplir las condiciones
del problema, es decir la orientación
que deben seguir.
ALGO QUE DEBES SABER….
M
F
I
Z I
Z
I
Z
P
P
P
M M
F F
R
T
A
D
M
N
E
G
EJEMPLO 4
Flores vive lo
más alejado
de Miranda
Flores vive
en el último
piso
Miranda no
puede subir
las escaleras
Miranda vive
en el primer
piso
Pérez le
hubiera
gustado vivir
en el último
piso
Pérez no
vive en el
último piso

9
Mg. Teodoro Yupa M.
PROBLEMAS RESUELTOS
Cinco amigos: "A", "B", "C", "D“ y "E" se
sientan alrededor de una mesa circular
con cinco asientos distribuidos
simétricamente, además:
• "D" no se sienta junto a "B".
• "A" se sienta junto y a la derecha
de "B" y frente a "C".
• "E" no se sienta junto a "C".
¿Quién se sienta junto y a la
derecha de “D"?
SOLUCIÓN:
Rpta. Está sentado C
Cinco estudiantes A, B, C, D, y E se
ubican alrededor de una mesa circular:
A se sienta junto a D; E no se sienta
junto a B; de las afirmaciones.
I. A se sienta junto a B.
II. D se sienta junto a E.
III.C se sienta junto a E.
Son verdaderas:
A) Sólo I B) Sólo III C) I y II
SOLUCIÓN:
Rpta. Sólo cumple III.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
A
B
C
"A" se sienta junto y a la derecha de
"B" y frente a "C“(hay 2 posibilidades)
A
B
C
"E" no se sienta
junto a "C".
"D" no se sienta
junto a "B".
Con esto
descartamos la
primera figura y
queda:
Esto completa el
ordenamiento:
A
B
C
E
A
B
C
E D
A se sienta junto a D (Hay 2 posibilidades)
A
D
A
D
A
D
B
E
E no se sienta junto a B (hay 4
posibilidades
Con esto E no podría estar en
medio de las sillas blancas:
A
D
B
E
C A
D
E
B
C
C
A
D
E
B
C

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Mg. Teodoro Yupa M.
Alicia, Beatriz, Carmen, Diana, Edith y
Fiorella se sientan alrededor de una
mesa circular. Se sabe lo siguiente:
• Alicia no se sienta frente a Beatriz.
• Diana se sienta frente a Edith.
• Carmen esta junto a la izquierda
de Alicia.
• Beatriz no está junto a Edith.
SOLUCIÓN:
Como Beatriz no está junto a Edith, la
segunda figura queda descartado.
RPTA. A la izquierda de Fiorella esta
Beatriz
C.ORDENAMIENTO EN CUADRO DE
DESICIONES
En este tipo de problemas entran a tallar
una diversidad de datos. Para este tipo
de ordenamiento se usan tablas de
doble entrada.
ESTRATEGIA
En la columna de la izquierda se anotan
los nombres de las personas y en la fila
horizontal van las cualidades de estas
personas o característica. Se relacional
cuidadosamente marcando con un visto
o un aspa u otra notación adecuada
EJEMPLO 3
Diana se sienta frente a Edith
Diana
Edith
Carmen esta junto a la izquierda
de Alicia.(2 posibilidades)
Diana
Edith
Carmen
Alicia
Diana
Edith
Carmen
Alicia
Alicia no se sienta frente a Beatriz
(2 posibilidades)
Diana
Edith
Beatriz
Fiorella Carmen
Alicia
Diana
Edith
Beatriz
Fiorella
Carmen
Alicia

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Mg. Teodoro Yupa M.
para la coherencia entre los datos de la
tabla.
En una exposición se reúnen tres
amigas, Rosa, Ana y Carmen. Cada una
de ellas tiene consigo a una mascota
diferente: un pavo, una gallina y un
conejo. Luego:
• Rosa le dice a la que tiene la gallina
que la otra tiene el conejo.
• Ana le dice a la que tiene el conejo
que ella come espinacas.
¿Qué mascota tiene Carmen?
SOLUCIÓN:
RPTA. Carmen tiene el conejo
Tres estudiantes universitarios estudian
en universidades diferentes: UNI, San
Marcos y Villareal, además viven en
distritos diferentes: Breña, Lince y
Miraflores. Se sabe que el que vive en
Miraflores estudia en la Villareal. Dos de
ellos se conocen, Fausto y el que
estudia en la UNI siguen en la misma
carrera. Elmer quiere trasladarse a la
UNI. Fausto cruza por Lince para irse a
la Villareal. Gabriel vivía antes en
Breña, entonces es cierto que:
a) Elmer estudia en San Marcos y
vive en Lince.
b) El que vive en Breña estudia en la
Villareal.
c) Gabriel y el que vive en Lince no
están en la UNI
d) En San Marcos estudia el que vive
en Breña
SOLUCIÓN:
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
Gabriel vivía antes
en Breña
No vive en
Breña.
Fausto cruza por
Lince para irse a
la Villareal
Estudia en
Villareal
Ana le dice a la que tiene el conejo
que ella come espinacas
Ana no tiene el conejo
Rosa le dice a la que tiene la gallina
que la otra tiene el conejo.
Rosa no tiene la gallina ni el conejo,
luego tiene el pavo

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Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
1) Juan es más alto que Pedro, pero
más bajo que Aníbal. ¿Quién es el
más alto?
____________________________
2) Si Pedro está a la izquierda de Juan
y Juan está a la derecha de Beto,
¿Quién está más a la derecha?
¿Quién está más a la izquierda?
____________________________
____________________________
3) Tres personas A, B y C se sientan
simétricamente alrededor de una
mesa circular, no necesariamente
en ese orden. A se sienta junto y a
la derecha de B. ¿Quién se sienta
junto y a la derecha de A?
____________________________
4) Tres amigos Abel, Beto y Carlos
tienen por mascotas a un perro, un
gato y un loro, no necesariamente
en ese orden. Si Abel tiene al loro y
a Carlos no le agrada los ladridos,
¿Quién tiene al gato?
____________________________
ORDENAMIENTO LINEAL
1. Se sabe que:
• Teresa es mayor que Katy.
• Silvia es menor que Julia, quien
es menor que Teresa.
• Katy es menor que Silvia.
¿Quién es la mayor?
A) Katy
B) Teresa
C) Miguel
D) Silvia
2. Miguel y Enrique nacieron el mismo
día. Oliver es menor que Enrique.
Claudio es menor que Oliver, pero
Gerardo es mayor que Miguel. Por lo
tanto, el menor de todos es:
A) Enrique
B) Gerardo
C) Miguel
D) Claudio
3. Cuatro personas: "A", "B", "C" y "D"
viven en un edificio de cuatro pisos,
cada uno en un piso diferente. Se
sabe que:
-"C" vive más arriba que "A".
-"B" vive más arriba que "D".
-"C" vive más abajo que "D".
¿En qué piso vive "C"?
A) 2° piso
Elmer quiere
trasladarse a
la UNI
No Estudia
en la UNI
El que vive en
Miraflores estudia
en la Villareal
Fausto vive
en
Miraflores

13
Mg. Teodoro Yupa M.
B) 3er piso
C) 4° piso
D) 1er piso
4. En una carrera participan 6 personas:
A, B, C, D, E y F si se sabe que: A
llego antes que D, pero 2 puestos
después que F, B llegó
inmediatamente después que A, pero
antes que E. Se puede afirmar que:
I. C llegó en segundo lugar.
II. D llegó antes que E.
III. E llegó en sexto lugar.
a) Solo I
b) I y II
c) I y III
d) Todas
5. Seis amigas: Andrea, Betty, Carla,
Denisse, Erika y Fiorella ocupan los
departamentos de seis pisos de un
edificio, si cada una vive en un piso
diferente, además se sabe que:
• Carla está a tantos pisos de
Betty, como Betty está de Andrea.
• Betty y Erika no están en pisos
adyacentes
• Fiorella está más arriba que
Denisse
• Andrea está en el quinto piso y
Carla en el primero.
¿Quién ocupa el sexto Piso?
A) Fiorella
B) Betty
C) Andrea
D) Erika
6. Por mi casa viven un gordo, un flaco
y un enano que tienen diferentes
temperamentos. Uno para alegre,
otro colérico y el otro triste. Se sabe
que al gordo nunca se le ve reír; el
enano para molesto porque siempre
lo fastidian por su tamaño. Entonces,
es cierto que:
a) Engordo para alegre
b) El flaco para triste
c) El gordo para triste
d) El flaco para alegre
7. José no es mayor que Luis. Miguel
tiene la mitad de la edad de Luis y el
doble de la edad de Ernesto, Ernesto
tiene 3 años menos que José. Por
tanto:
A) Luis no es mayor que José
B) Ernesto no es el menor
C) Miguel no es mayor que José
D) José es menor que Miguel
8. Pablo es 4 cm. más alto que Julio,
Mónica es 3 cm más baja que Julio.
Ricardo es 7 cm. más bajo que Pablo,
Ruth es 4 cm. más baja que Julio.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones
son ciertas?
I. Ricardo y Mónica son de la
misma talla.
II. Julio es más alto.
III. Ruth es la más baja.
a) Todas
b) I y II
c) I y III
d) II y III
ORDENAMIENTO CIRCULAR
9. Cuatro amigos se sientan alrededor
de una mesa redonda con 4 sillas
distribuidas simétricamente, se sabe:
➢ Isabel no se sienta junto a Ricardo.
➢ Patricia se sienta junto y a la
derecha de Ricardo.
¿Dónde se sienta José?

14
Mg. Teodoro Yupa M.
A) frente a Patricia
B) frente a Isabel
C) a la izquierda de Ricardo
D) Más de una es correcta
10.Arturo, Beatriz, Carlos, Diana, Edson
y Fiorella se sientan alrededor de una
mesa circular con seis asientos
distribuidos simétricamente.
Además se sabe que:
➢ Diana no se sienta junto a Beatriz.
➢ Carlos no se sienta junto a Edson.
➢ Arturo se sienta junto y a la
izquierda de Beatriz y frente a
Carlos.
¿Quiénes están sentados al lado de
Fiorella?
A) Arturo y Beatriz
B) Beatriz y Carlos
C) Carlos y Diana
D) Diana y Edson
11.Seis amigos: "A", "B", "C", "D", "E" y
"F" se sientan alrededor de una mesa
circular con seis asientos distribuidos
simétricamente, además:
• "D" no se sienta junto a "B".
• "A" se sienta junto y a la derecha
de "B" y frente a "C".
• "E" no se sienta junto a "C".
¿Quién se sienta frente a "F"?
A) A
B) C
C) D
D)E
12.4 amigos se sientan alrededor de una
mesa redonda con 4 sillas
distribuidas simétricamente, se sabe:
• Pilar no se sienta junto a Pamela
• Paola se tienta junto y a la
derecha de Pamela
¿Dónde se sienta Paty?
A) Frente a Paola
B) Frente a Pilar
C) A la izquierda de Pamela
D) A la derecha de Pilar
13.En una reunión se encuentran seis
amigos, Amelia, Bertha, Carmen,
Danilo, Ernesto y Federico, quienes
se sientan en seis sillas igualmente
espaciadas alrededor de una mesa
circular. Sabemos que:
• Dos personas del mismo sexo
no se sientan juntas.
• Bertha se sienta a la derecha de
Federico y junto a él.
• Amelia se sienta frente a
Federico.
• Carmen y Danilo se sientan
juntos
¿Cuáles de las siguientes
afirmaciones son verdaderas?
I. Bertha se sienta junto a Ernesto.
II. Danilo se sienta junto a Amelia.
III. Ernesto se sienta frente a
Amelia.
A) Solo III
B) I y III
C) I y II
D) II y III
14.Cinco amigas y cinco amigos entran
a una cafetería y tienen que juntar 2
mesas circulares con capacidad para
6, perdiéndose así, un asiento en
cada mesa. Hombres y mujeres se
sientan alternadamente, siendo Ana y
Manuel los que se sientan más
distanciados. Entre Ana y Carmen se
encuentra Nicolás, mientras que en la
otra mesa está Pedro, que tiene a su

15
Mg. Teodoro Yupa M.
izquierda a Carmen y opuesto a él,
por el diámetro de su mesa, está
Beatriz. Si en una de las mesas,
Quique y Elena están opuestos por su
diámetro y las dos personas
restantes son Diana y Raúl, ¿quién
está a la izquierda de Manuel y quién
está opuesto a Raúl, por el diámetro
de su mesa?
A) Elena – Carmen
B) Diana – Beatriz
C) Ana – Carmen
D) Elena – Diana
ORDENAMIENTO EN CUADRO DE
DECISIONES
15.Luis, Juan, Javier y Pedro, tienen
diferente ocupación y sabemos que:
-Luis y el profesor están enojados
con Pedro.
-Juan es amigo del albañil.
-El periodista es amigo de Pedro.
-El sastre es muy amigo de Javier
y del albañil.
-Luis desde muy joven es
periodista.
¿Quién es el sastre?
A) Luis
B) Juan
C) Javier
D) Pedro
16.Cuatro amigos Andrés, Beto, Carlos
y Daniel tiene distintas profesiones:
arquitecto, mecánico, civil e
industrial y viven en cuatro distritos
diferentes: San Borja, Miraflores,
Pueblo Libre y Barranco. El
arquitecto vive en Miraflores, Daniel
es civil, el industrial no conoce
Barranco. Ni Daniel ni Carlos vive en
San Borja y Andrés vive en Barranco.
Determinar dónde vive Carlos y que
profesión tiene.
A) Miraflores – Arquitecto
B) Pueblo Libre - Civil
C) San Borja - Industrial
D) Barranco – Mecánico
17.Se encuentran 4 amigos: Miguel,
César, Luis y Ronald; éstos a su vez
son atleta, futbolista, obrero, médico,
aunque no necesariamente en ese
orden. El atleta que es primo de
Miguel es el más joven de todos y
siempre va al cine con César o Luis,
que es el mayor de todos, es vecino
del futbolista, quien a su vez es
millonario, Miguel que es pobre es
cinco años menor que el médico.
¿Cuáles la ocupación de Luis?
A) atleta
B) futbolista
C) obrero
D) médico
18.Un obrero, un empleado y un
estudiante comenta que cada uno
toma una determinada marca de
cerveza diferente:
- Yo tomo Cristal dice el obrero a
José.
- Luis dice que la cerveza que no
duele la cabeza es la Cuzqueña.
- El empleado dice: mi enamorada
y yo tomamos Pilsen porque es
mejor.
- La tercera persona se llama
Mario.
¿Cómo se llama el estudiante y
que toma?
a) José – Pilsen
b) d) Luis - Pilsen
c) Luis – Cuzqueña

16
Mg. Teodoro Yupa M.
d) Mario - Pilsen
19.Almorzaban juntos 3 políticos: el
señor Blanco, el señor Rojo y el
señor Negro, uno de ellos llevaba
corbata blanca, otra roja y el otro,
negra, pero no en el mismo orden.
En un corto diálogo, se escucha que:
➢ El señor de la corbata roja dice:
“es curioso, a pesar de que nuestros
apellidos son los mismos que los
colores de nuestras corbatas,
ninguno lleva su correspondiente”.
➢ El señor Blanco responde: “tiene
usted razón”
¿De que color es la corbata del señor
Negro?
A) negra
B) roja
C) blanca
D) faltan datos
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto ordenado
de elementos (números, letras, figuras)
tales que cada uno ocupa un lugar
establecido de modo que se puede
distinguir el primero, el segundo, el
tercero y así sucesivamente, acorde
con una Ley de formación o regla de
recurrencia.
Ejemplos:
• 2, 4, 6, 8, …
• , , , , …
• A, B, C, D, E, …
• lunes, martes, miércoles, …
• Mercurio, Venus, Tierra, Marte, …
• + , x , - , …
¿Cómo se clasifican?
I. Sucesión numérica
Entre las principales tenemos:
SUCESIÓN
NUMÉRICA
LITERAL
GRÁFICA
ARITMÉTICA
GEOMÉTRICA
COMBINADAS
INTERCALADAS
DE INGENIO
COMBINADAS
INTERCALADAS
DE INGENIO
SUCESIONES

17
Mg. Teodoro Yupa M.
CLASES DE SUCESIONES
NUMÉRICAS
De acuerdo a su ley de formación las
sucesiones se pueden clasificar en:
A) SUCESIONES ARITMÉTICAS
Son aquellas en donde sus términos
se forman mediante sumas o restas.
Término Enésimo
El termino enésimo es una expresión
que permite determinar cualquier
término de una secuencia aritmética.
El término enésimo se calcula así:
Donde:
tn = termino enésimo
t1 = primer término
r = razón aritmética
n = número de términos
Forma práctica de encontrar el
termino enésimo:
1º Encontrar la razón
2º Multiplicar la razón por 1, si el
resultado coincide con el primer
término de la progresión el
termino enésimo tendrá la forma
Tn = r.n; pero si no coincide habrá
que añadir o quitarle a este
producto un número(k) de tal
manera que obtengamos el
primer término. Siempre n toma
los valores de las posiciones o
lugares de los términos (n = 1°,2°,
3°,…), en cuyo caso tendrá la
forma rn ± k
Ejemplo: ¿Cuál es el número que
falta en la siguiente serie? ¿Cuál es
el termino enésimo?
7 ; 12 ; 17 ; 22 ; ?
Solución:
En la serie observamos que cada
número aumenta de 5 en 5; es decir
que la ley de formación es constante
y se designa por: +5 (razon), tal como
se indica a continuación.
7 ; 12 ; 17 ; 22 ;
+ 5 + 5 + 5 + 5
Entonces el número que falta es:
22 + 5 = 27. 10
NOMBRE
SUCESIONES
NOTABLES
LEY DE
FORMACIÓ
N
GENERAL
Números
naturales o
de conteo
; n
; ........
;
; 3
2
1 n
pares n
;
; ........
;
; 2
6
4
2 2n
impares ( )
1
2
..........
5
3
1 n-
;
;
; 2n – 1
Cuadrados
perfectos
2
9
4
1 n
;........;
;
; n2
Cubos
perfectos
3
27
8
1 n
;........;
;
; n3
Potencias
de 2 n
;........;
;
;
; 2
16
8
4
2
2n
Productos
binarios
( )
1
12
6
2 +
n
;n
; ........
;
; n(n + 1)
Números
triangulares ( )
2
1
2
4
3
6
2
3
2
3
2
2
1
1
+




n
n
........
...
...
x
x
x
( )
2
1
+
n
n
Tn = t1 + (n -1)r

18
Mg. Teodoro Yupa M.
Para determinar el termino enésimo:
1º.Razón, r= 5
2º.Tn = 5(1) = 5, pero el primer
término es 7, por lo que hay que
añadir 2 unidades.
Finalmente, el termino enésimo será:
Tn = 5n + 2.
Donde n es un número mayor o igual
a 1.
B) Sucesiones Geométricas
Son aquellas en donde sus términos
se forman mediante multiplicaciones
o divisiones.
Ejemplos:
Hallar el número que continua:
1 ; 2; 6; 24; …
Solución:
Término enésimo:
Donde
tn = último término o termino enésimo
t1 = primer término
r = razón geometrica
n = número de términos
OTRAS SUCESIONES
a) Sucesiones combinadas
Ejemplo:
Hallar el valor de “x” en la sucesión:
8; 10; 13; 17; 23; 35; x
+2 +3 +4 +6 +12 +a
+1 +1 +2 +6 +b
x1 x2 x3 xC
1) c se deduce de la relación. Por
producto: C = 4.
2) b = 6 x 4 → b = 24
3) a = 12 + 24 → a = 36
4) x = 35 + a
x = 35 + 36 → x = 71
b) ¿Y si hay sucesiones
intercaladas?
Cuando se presentan dos o más
sucesiones en una sola.
Generalmente tienen seis o más
términos.
Ejemplo:
Hallar los términos que continúan:
2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16; 16 ;
…
Solución:
2 ; 22 ; 4 ; 20 ; 8 ; 18 ; 10 ; 16 ; 16 ; 32 ; 14
-2 -2 -2 -2
x 2
x 2
x 2
x 2
c) ¿Cómo proceder con otras
diferentes a las anteriores?
Cuando la regla de formación no se
refiere a ninguno de los casos
anteriores; en este caso se requiere
mucha imaginación y perseverancia.
Tn = t1.r n-1
1; 2; 6; 24; 120
x 2 x 3 x 4 x 5

19
Mg. Teodoro Yupa M.
Ejemplos:
Hallar el número que continua:
2 , 2 , 2 , 4 , 24, ...
Solución:
2 , 2 , 2 , 4 , 24 , 576
x 1 x 1 x 2 x 6 x 24
x 1 x 2 x3 x4
II. SUCESIONES LITERALES
Los ejercicios sobre sucesiones
alfabéticas se resuelven como si se
trataran sobre sucesiones numéricas.
Para esto le asignamos a cada letra del
alfabeto un número que corresponda
con su posición sobre la recta alfabética
No considere la existencia de las letras
compuestas: ch y ll
En la siguiente sucesión: ¿Qué letra
continua?
C ; G ; K ; Ñ:…….
Solución:
Ubiquemos en la recta alfabética con la
posición que cada letra ocupa en ella,
así:
 a serie será: 3 ; 7 ; 11 ; 15 ; ?
van de 4 en cuatro entonces el siguiente
es: 19, que representa la letra: R.
Entonces la respuesta es “R”.
¿Qué letra sigue en la secuencia?
A; D; H; K; U; …
Solución:
Reemplazando cada letra por el lugar
que ocupa en el alfabeto tenemos
Rpta la letra que sigue es la X.
III. SUCESION GRÁFICA
Las sucesiones gráficas son aquellos
cuyos elementos son figuras y el
siguiente gráfico o figura se determina
a partir de los anteriores.
Ejemplo 1: ¿Qué figuras crees que
sigue en los siguientes?
❖ ….
❖
❖
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
F
6
G
7
H
8
I
9
J
10
K
11
L
12
M
13
N
14
Ñ
15
O
16
P
17
Q
18
R
19
S
20
T
21
U
22
V
23
W
24
X
25
Y
26
Z
27
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

20
Mg. Teodoro Yupa M.
❖
¿Qué figura sigue en la secuencia?
Solución:
Analizando la figura se observa que:
•La sombra avanza en sentido
antihorario.
• El punto avanza en sentido
antihorario
• El otro punto avanza en sentido
antihorario.
Solución
Analizamos la secuencia para cada
elemento interno:
Por consiguiente, la figura que
continua es:
IV. ANALOGIA GRÁFICA
Se comparan los elementos,
movimientos, etc de la pareja “modelo”
o patrón para aplicarlos a otra que se
nos plantea como problema.
Se tiene la siguiente analogía gráfica:
Según esto marque la alternativa
correcta
EJEMPLO 2
EJEMPLO 1
EJEMPLO 1

21
Mg. Teodoro Yupa M.
Solución:
Si se observa con mucho cuidado, en la
analogía inicial se encuentra que la
figura interior (triangulo) “sale” y
contiene a las figuras restantes (circulo
conteniendo al cuadrado) a la vez que
la figura central mantiene el color
oscuro (cuadrado oscuro).
Por consiguiente, la única alternativa
que cumple estas condiciones es la
alternativa D.
V. TERMINO EXCLUIDO
Dentro de las sucesiones numéricas,
literales o gráficas, se refiere a aquel
elemento que no guarda relación
alguna con las demás.
¿Qué número está equivocado en la
siguiente serie?
2, 3, 8, 13, 18, 23
Solución:
2 3 8 13 18 23
+5 +5
+5
+5
+1
Se observa que “2” no presenta
relación alguna con las demás.
Señale la figura que no tiene relación
con las demás:
(a) (e)
(d)
(c)
(b)
Solución:
Obsérvese que las ranuras de cada
figura están “orientadas” siempre hacia
el lado derecho, excepto la figura de la
alternativa (e) quien se orienta hacia la
izquierda.
Encuentre el término que continua:
1) A, C, E, G,______
2) 1; 4; 7; 10;______
3) ________
4) _____
5) Hallar el séptimo término en:
2; 5; 9; 14;________
6) ¿Qué termino está equivocado?
1; 6; 10; 16; 21; 26
7) ¿Qué figura no corresponde en la
secuencia?
1. Calcular el número que sigue
4 ; 5 ; 6 ; 8 ; 14 ; 38 ; ........
A) 64
B) 96
C) 100
D) 158
2. ¿Qué término continúa?
2 ; 5 ; 11 ; 23 ; 47 ; ........
A B C D
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
SITUACIONES PREVIAS

22
Mg. Teodoro Yupa M.
A ) 95
B ) 23
C ) 92
D ) 91
3. Calcular el número que falta:
A) 79
B) 32
C) 21
D) 129
4. Halle el término que sigue en la
sucesión
3F ; 6J ; 18N ; 72Q ; ........
A) 360S
B) B)350T
C) C)360U
D) D)340T
5. ¿Qué termino está equivocado en la
siguiente secuencia?
1 2 1
; ; ; 1 ; 3
9 3 3
A)
1
9
B)
2
3
C)
1
3
D) 1
6. ¿Qué letra sigue?
U, T, C, S, N, __
A) N
B) O
C) P
D) Q
7. Halle la letra que sigue: E; H; L; P;_
A) V
B) M
C) T
D) R
8. En la siguiente secuencia de figuras:
Halle el primer término
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) B) C) D)
9. ¿Qué figura continua en la secuencia
gráfica?
A B C D
10. Encuentre la figura que continua:
; ; ;
;
;
;

23
Mg. Teodoro Yupa M.
11. Observa la relación entre las dos
primeras figuras. Luego, determina
la figura que se relaciona con la
tercera.
12. Elige la figura que falta si:
13. Hallar el número que sigue en:
1; 1; 2; 3; 5; 8; _
A) 12 B)17 C)13 D)19
14. En la secuencia halle la figura 23:
a) b)
c) d)
15. Indique la alternativa que continua
en la siguiente serie grafica
16. Indique la alternativa que completa la
serie mostrada.
17. Indique la alternativa que completa la
serie mostrada:
a) b) c) d)
. . .
X
X
X X
X
X X X ?
a) b) c) d)

24
Mg. Teodoro Yupa M.
18. ¿Qué figura falta en las siguientes
series graficas propuestas?
19. ¿Qué figura sigue?
RAZONAMIENTO INDUCTIVO
Es un razonamiento que consiste en
obtener conclusiones generales a partir
de premisas que contienen datos
particulares. Por ejemplo, de la
observación repetida de objetos o
acontecimientos de la misma índole se
establece una conclusión para todos los
objetos o eventos de dicha naturaleza.
Es decir:
Para obtener una conclusión general
(fórmula) correcta es importante que los
casos particulares cumplan las
siguientes condiciones.
• Deben ser casos que partan de lo
simple a lo complejo.
• Sus estructuras deben ser
similares, pero a menor escala, a la
que presenta el arreglo o la
expresión original.
• Se deben analizar como mínimo 3
casos particulares.
IMPORTANTE:
En el presente tema es muy común
aplicar el tema de sucesiones, por lo
cual es importante recordar los tipos de
a) b) c) d)
a) b) c) d)
C
A
S
O
I
C
A
S
O
II
C
A
S
O
III
C
A
S
O
G
E
N
E
R
A
L
INDUCCIÓN
Casos Particulares

?
RAZONAMIENTO
INDUCTIVO NUMÉRICO
Y GRÁFICO

25
Mg. Teodoro Yupa M.
sucesiones estudiadas, en particular las
secuencias aritméticas y geométricas.
PROBLEMAS RESUELTOS
Determinar el termino enésimo y el
termino que ocupa la posición 40 de la
siguiente secuencia numérica:
5; 9; 13; 17;……
SOLUCIÓN:
Observamos que la secuencia es una
progresión aritmética de razón 4.
Belinda forma cuadrados reuniendo
cuadraditos en la forma que se muestra
en la figura. ¿Cuántos cuadraditos
tendrá el cuadrado trigésimo?
SOLUCIÓN:
Representamos a través de una
secuencia numérica la cantidad de
cuadraditos que hay en cada figura.
Si con los números del año 2019
formamos una secuencia como la
mostrada:
TACNA2019TACNA2019TACNA2019
…
¿Cuál es la letra o cifra que ocupa el
lugar 100?
SOLUCIÓN:
Nótese que cada frase “TACNA2019”
tiene 9 elementos.
▪ Al Dividir 100 entre 9, obtenemos un
cociente de 11 y residuo 1.
▪ El 11 nos dice que aparecieron 11
veces la frase en mención y el
residuo representa el término que
sigue.
▪ Rpta. La letra que sigue es la T.
Se forma una secuencia de figuras con
palitos de fosforo bajo las siguientes
reglas:
▪ En la primera figura, se usan cuatro
palitos para formar un cuadrado.
▪ En la segunda figura, se usan diez
palitos para formar tres cuadrados
contiguos.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4

26
Mg. Teodoro Yupa M.
▪ En la tercera figura, se usan
dieciséis palitos para formar cinco
cuadrados contiguos.
¿Cuántos palitos se usarán para armar
11 cuadrados contiguos?
SOLUCIÓN:
Formamos los cuadrados según la
información:
Rpta. Para formar 11 cuadrados se
necesitan 34 palitos
Un estudiante recorre un circuito
rectangular cuyos vértices llevan las
letras A,B,C y D. Si el largo de dicho
circuito mide 40m y el ancho 20 metros,
¿a qué vértice llegará luego de haber
recorrido 800 m en el mismo sentido al
haber partido desde el vértice A?
SOLUCIÓN:
Realizamos el gráfico correspondiente:
• Nótese que el circuito ABCDA
tiene una longitud de
20+40+20+40 = 120m
• Dividimos 800 entre 120 para
averiguar el número de vueltas y
la longitud sobrante 800 : 120 da
cociente 6 y residuo 80.
• Osea dio 6 vueltas partiendo
desde A.
• Como le falta avanzar 80m desde
A, llegara al vértice D.
• Rpta. Llegará al vértice D.
1) Observe las siguientes secuencias
y complete cada oración:
a. La cantidad de triángulos en la
figura 4 sería: _______________
b. La cantidad de triángulos en la
figura 5 sería: _______________
c. La figura _________tendría 49
triángulos.
a. La cantidad de círculos en la
figura 4 sería: ______________
b. La cantidad de círculos en la
figura 6 sería: ______________
c.La figura _____tendría 24
círculos.
A
B C
D
20 m
40 m
Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3
EJEMPLO 5
SITUACIONES PREVIAS

27
Mg. Teodoro Yupa M.
NES PREVIAS
a. La cantidad de círculos en la
figura 6 sería: ___________
b. La cantidad de círculos en la
figura 8 sería: ___________
c. La figura ________ tendría 28
círculos.
4) Observe la secuencia y encuentre
la figura que falta en el lugar dado.
a)
La figura en el lugar 22 será:
_________________________
b)
La figura en el lugar 16 será:
_________________________.
1. ¿Cuántas bolitas negras se pueden
contar en la figura número 10 en la
secuencia? (NOMBRAMIENTO
2017)
A) 60
B) 100
C) 130
D) 110
2. En una mesa hexagonal se sientan 6
personas y en 2 mesas
hexagonales se sientan 10
¿cuántas personas se sentarán en 5
mesas hexagonales?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 21
B) 25
C) 22
D) 24
3. Un albañil construye muros de
ladrillos de la siguiente manera:
(NOMBRAMIENTO 2017)
¿Cuántos ladrillos necesitará para
construir B10?
A) 80
B) 40
C) 55
D) 65
4. Se forma una secuencia de figuras
cuadradas con canicas de acuerdo al
siguiente criterio: Con 4 canicas se
puede formar un cuadrado, con
nueve canicas otro cuadrado más
grande, con 16 canicas se forma un
cuadrado mucho mayor que el
anterior. Si se sigue formando
cuadrados bajo este patrón,
¿Cuántas bolitas se usarán para
formar el décimo cuadrado?
A) 100
B) 121
C) 144
Fig. 3
Fig. 2
Fig. 1
B1 B2 B3 B4

28
Mg. Teodoro Yupa M.
5. ¿Cuántos palitos se requiere para
formar la figura 10?
A) 40
B) 42
C) 84
D) 50
6. Raúl arma figuras sobre el suelo
usando canicas según el orden
siguiente:
• La primera figura solo contiene
una canica
• La segunda figura que tiene
forma triangular, formado por tres
canicas.
• La tercera figura, también de
forma triangular, formado por seis
canicas.
• La cuarta figura también
triangular, formado por 10
canicas.
Si se siguen formando figuras
triangulares después de la cuarta
figura, ¿cuántas canicas usará Raúl
para formar el décimo triangulo?
A) 100
B) 55
C) 60
7. Dada la siguiente secuencia:
MINEDU2019MINEDU2019MINEDU20
19…
Considerando el orden de izquierda
a derecha, ¿cuál es la letra o cifra
que ocupa el lugar 2019?
A) 1
B) 9
C) M
8. Se tiene las siguientes figuras
formadas por segmentos rectilíneos
de 1cm longitud. ¿Cuál es el
perímetro de la figura 2020?
A) 16164 cm
B) 15100 cm
C) 11600 cm
9. ¿En cuántos puntos se cortarán los
triángulos de la figura Nº 20?
A) 38
B) 75
C) 10
D) 20
10.Se conoce la siguiente sucesión:
W(1) = 1 x 2
W(2) = 2 + 3
W(3) = 3 x 4
W(4) = 4 + 5
Calcular el valor de W(22)
a) 50
F(1) F(2) F(3) F(4)

29
Mg. Teodoro Yupa M.
b) 75
c) 10
d) 45
11.¿Cuántos triangulitos se podrá
contar en le figura 50?
a) 2000
b) 200
c) 2500
d) 100
12.¿Cuántas bolitas hay en la figura
10?
a) 150 b) 50 c) 90 d) 100
13. Halle el número de cuadrados que
hay en la figura 10.
a) 19 b) 21 c) 25 d) 23
14. Determine la cantidad de círculos
no sombreados en la posición 20:
Posición 1 posición 2 posición 3
A) 211 B)210 C)201 D)190
INTRODUCCIÓN
Una de las interrogantes que con mayor
frecuencia se plantea es ¿de cuántas
maneras distintas puede presentarse
determinada situación?
Las Técnicas de Conteo o también
denominadas como Análisis
Combinatorio permiten calcular de
forma más fácil el número TOTAL DE
OCURRENCIAS COMO resultado de
un experimento.
Las Técnicas de Conteo facilitan el
recuento de sucesos para:
• No hacer una lista de uno a uno de
los objetos o sujetos que componen
una colección grande.
• Describir eventos difíciles de
organizar.
• Enumerar las posibilidades de
organizar un evento.
PRINCIPIO DE LA
MULTIPLICACIÓN
Principio de multiplicación: Si un suceso
cualquiera puede ocurrir de m maneras
diferentes y, después que ha ocurrido
de una cualquiera de esas maneras, un
segundo suceso puede ocurrir de n
maneras diferentes, entonces los dos
sucesos, en ese orden, pueden ocurrir
de m.n maneras.
F(1) F(2) F(3)
EJEMPLO 1
ANALISIS
COMBINATORIO

30
Mg. Teodoro Yupa M.
Me levanto por la mañana y al abrir mi
armario observo que tengo:
Solución1
utilizando el diagrama del árbol
N° total de formas de vestirme = 12
Solución 2
Por el principio de la multiplicación:
N° total de formas de vestirme = 2 x 3
x 2 =12.
I. PRINCIPIO DE LA ADICIÓN
Si una tarea o acción puede realizarse
de m formas diferentes, y otra tarea o
acción puede realizarse de n formas
diferentes, pero de modo que no es
posible realizarlas simultáneamente,
entonces, tendremos m+n formas
diferentes de realizar una de ellas.
¿Cómo cruzo el rio?
Se desea cruzar un río, para ello se
dispone de 3 botes, 2 lanchas y 1
deslizador. ¿De cuántas formas se
puede cruzar el río utilizando los medios
de transporte señalados?
Solución
Aplicando el principio de adición se
tiene:
N° total de formas de cruzar =3+2+1=6
1° 2° 3°
Pantalones Camisas Zapatos
2
3
2
EJEMPLO 1
RECUERDA
• Si se desea que se realicen los
eventos A y B , entonces se
utiliza el principio de
multiplicación (x)
• Si se desea que se realicen los
eventos A ó B , entonces se
utiliza el principio de adición (+)

31
Mg. Teodoro Yupa M.
II. PERMUTACIÓN
La Permutación menciona a los
posibles ordenamientos de aquellos
elementos que forman parte de un
conjunto. Esto quiere decir que una
permutación es un cambio de la manera
en la que se disponen los elementos.
Ejemplo 1
Con las letras de la palabra AMO,
¿Cuántas palabras con o sin sentido
pueden formarse con dos letras?
Solución 1
Formamos todas las parejas posibles
entre las tres letras:
Solución 2
Usando el principio de multiplicación:
# Maneras = 3 x 2= 6
(Tomar en cuenta las
letras que se repiten)
Con las letras de la palabra ALA,
¿Cuántas palabras con o sin sentido
pueden formarse?
Solución
Con la primera letra(A) con las otra dos
obtenemos: ALA, AAL
Con la segunda letra(L) con las otra
dos obtenemos: LAA
Sólo es posible formar estas palabras.
Luego la respuesta será 3 palabras.
En una carrera de 400 metros participan
5 atletas. ¿De cuántas formas distintas
podrán ser premiados los tres primeros
lugares con medalla de oro, plata y
bronce?
Solución:
# Maneras = 5 x 4 x 3 = 60
ORO PLATA BRONCE
3
4
5
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EXPLICACIÓN
• El primer casillero puede ser
ocupado por cualquiera de las tres
letras, existiendo 3 posibilidades
• El segundo casillero puede ser
ocupado por cualquiera de las
otras dos letras restantes,
existiendo
EXPLICACIÓN
• El primer casillero (MEDALLA DE ORO)
puede ser ocupado por cualquiera de los
5 atletas, existiendo 5 posibilidades.
• El segundo casillero (MEDALLA DE
PLATA) puede ser ocupado por
cualquiera de los cuatro atletas
restantes, existiendo 4 posibilidades
• El tercer casillero (MEDALLA DE
BRONCE) puede ser ocupado por
cualquiera de los tres atletas restantes,
existiendo 3 posibilidades.

32
Mg. Teodoro Yupa M.
(Tomar en cuenta las letras que se
repiten)
¿De cuantas formas pueden sentarse
3 personas A, B y C alrededor de una
mesa circular?
Solución
En un principio calculamos el número
de permutaciones lineales de 3
elementos:
Al realizar la disposición de estas
personas en la mesa circular, tenemos:
Primera disposición: (sentido horario)
Segunda disposición: (sentido
antihorario)
Notamos que las 3 formas de la primera
disposición son la mismas, ya que cada
persona tiene a la izquierda, a la
derecha y al frente a la misma persona.
Lo mismo sucede en la 2da disposición.
Por lo que se debe contar un sólo
arreglo de cada disposición.
Esta forma equivale a aplicar de forma
sencilla el principio de multiplicación
(solo para disposiciones circulares)
pero con un elemento menos. Así:
III. COMBINACIONES
Se denominan combinaciones
al número de grupos diferentes de “n”
elementos que se pueden formar a
partir de un grupo inicial de “m”
elementos.
Una nota característica de las
combinaciones, y que les diferencia de
las variaciones, es que el orden no
importa.
Por ejemplo: si a partir de las 5 vocales
formamos grupos de 3 vocales, el grupo
“A – E – I” es igual que el grupo “A – I –
E” por lo que tan sólo computan 1 vez.
De un grupo de 3 estudiantes A, B y C
¿de cuantas formas podemos elegir
grupos de dos estudiantes?
Solución
Elegimos los grupos: (Inicialmente lo
tratamos como permutaciones)
• Pero: El grupo (AB) es lo mismo
que el grupo (BA) ya que lo
integran las mismas personas.
• Análogamente sucede con (AC) y
(CA) como con (BC) y (CB).
EJEMPLO 1

33
Mg. Teodoro Yupa M.
Por lo tanto, solo debemos contar uno
solo de cada repetición.
La respuesta: Podemos formar(elegir)
de 3 maneras grupos de 2 estudiantes.
Si se organiza un concurso entre 4
equipos de tal manera que cada equipo
compite con otro una sola vez, ¿cuántos
encuentros se deben programar?
Solución
Rpta. Se deben jugar 3+2+1 = 6
encuentros
1. Tengo 2 lapiceros de tinta negra y
una de tinta azul. Si necesito un
lapicero, ¿de cuántas formas podré
elegir un lapicero?
____________________________
2. ¿Cuántas estrechadas de mano se
darán 3 personas si todos ellos son
corteses entre sí?
____________________________
____________________________
3. ¿De cuántas formas se pueden
sentar 2 personas en una banca
con dos espacios disponibles?
____________________________
____________________________
4. Si tengo 2 corbatas y 1 camisa, ¿de
cuantas formas puedo elegir vestir
camisa y corbata?
____________________________
____________________________
5. ¿Cuántas ensaladas de verduras
puedo obtener teniendo una
zanahoria, una coliflor y una
beterraga?
____________________________
____________________________
6. ¿Cuántas formas de viajar existen
entre dos ciudades para los cuales
hay 2 rutas en avión y 2 rutas
terrestres?____________________
____________________________
7. ¿De cuántas formas se pueden
elegir un Alcalde de un aula
estudiantil con 3 candidatos
disponibles?__________________
____________________________
1. Ana desea viajar de Tacna a
Arequipa y tiene a su disposición 2
líneas aéreas y 3 líneas terrestres.
¿De cuántas maneras distintas
puede realizar el viaje?
2 Líneas
3 Rutas
EJEMPLO 2
SITUACIONES PREVIAS

34
Mg. Teodoro Yupa M.
A) 6
B) 8
C) 7
D) 5
2. Un comité docente, formado por 5
aritméticos, 3 algebraicos y 4
geométricos, estudian nuevas
metodologías educativas. Si el
comité ha recibido la invitación de
impartir una conferencia al respecto.
¿De cuántas maneras puede el
comité enviar un representante a
dicho evento?
A) 60
B) 16
C) 12
D) 15
3. Un grupo escolar formado por 13
niñas y 11 niños desea elegir su
presidente. ¿De cuántas maneras
puede ser elegido?
A) 12
B) 23
C) 30
D) 24
4. Elvis posee 3 camisas, 3 pantalones
y 2 pares de zapatos, todas prendas
diferentes. ¿De cuántas maneras
distintas puede lucir una vestimenta
constituida por camisa, pantalón y
zapatos?
A) 10
B) 18
C) 17
D) 15
5. Con tres varones y cuatro señoritas,
¿cuántos equipos de natación
diferentes pueden formarse si estos
deben ser mixtos y de dos
integrantes?
A) 12
B) 18
C) 14
D) 15
6. Una ama de casa tiene 3 frutas:
manzana, fresa y piña. ¿Cuántos
sabores diferentes de jugo podrá
preparar con estas frutas?
A) 3
B) 6
C) 7
D) 5
7. ¿De cuantas formas se pueden
sentar 4 personas alrededor de una
mesa circular?
A) 4
B) 12
C) 10
D) 6
8. Al lanzar un dado y una moneda,
¿cuántos resultados distintos se
pueden obtener?
A) 4
B) 6
C) 8
D) 12
9. Las personas que asistieron a una
reunión se estrecharon la mano. La
pregunta es la siguiente ¿cuantas

35
Mg. Teodoro Yupa M.
personas asistieron sabiendo que
hubo 15 apretones de manos?
A) 7
B) 8
C) 6
D) 5
10.Una organización estudiantil tiene
que elegir un delegado y un
subdelegado. Hay 7 candidatos.
¿Cuántas combinaciones se pueden
hacer con los candidatos para
realizar la selección?
a) 21
b) 49
c) 42
d) 50
11.¿Cuántos saludos se pueden
intercambiar entre sí 12 personas, si
cada una sólo saluda una vez a cada
una de las otras?
A) 11
B) 12
C) 24
D) 66
12.De una ciudad A a otra B hay 6
caminos diferentes ¿De cuántas
maneras se puede hacer el viaje de
ida y vuelta, si en el regreso no
puede tomar el camino de ida?
a) 12
b) 42
c) 25
d) 30
El tema de mentiras y verdades es la
parte importante de la lógica
matemática que permite descifrar
acertijos sobre veraces y mentirosos, es
decir, identificar a los personajes
hipotéticos que dicen siempre la verdad
o siempre mienten, a partir de sus
afirmaciones o de terceros.
Para resolver este tipo de juegos
lógicos utilizaremos un método general
que es el «principio de suposición»,
pero existen otros dos alternativos que
servirán solo para determinados
problemas: el «principio de
contradicción» y el «principio de
equivalencia», veamos:
EL PRINCIPIO DE SUPOSICIÓN:
consiste en asumir, a manera de
hipótesis, una posible solución como
correcta. Se conserva aquella que
cumpla con las condiciones del
problema y se descarta las demás.
PRINCIPIO DE CONTRADICCIÓN:
Consiste en identificar entre las
proposiciones dadas, dos que sean
totalmente opuestas (contradictorias),
entonces ellas tendrán diferentes
valores de verdad (V – F ó F – V).
PRINCIPIO DE EQUIVALENCIA:
Consiste en reconocer entre las
proposiciones dadas, dos que sean
equivalentes, ósea dos que afirmen lo
mismo, por lo tanto ellas tendrán el
mismo valor de verdad (V – V ó F –F).
A B
VERDADES Y MENTIRAS

36
Mg. Teodoro Yupa M.
PROBLEMAS RESUELTOS
Cuatro amigos son interrogados sobre
un delito, obteniéndose la siguiente
versión:
Marco : “Fue Luis”
Leonardo :”Luis miente”
Ignacio :”yo no fui, soy
inocente”
Luis :” El delito lo cometió
Leonardo”
Si solo uno de ellos dice la verdad,
¿Quién cometió el delito?
A) Marco B) Leonardo C) Ignacio
D) Luis
SOLUCIÓN:
Primer método:
• La contradicción fuerte se presenta
entre Leonardo y Luis, luego la
relación V-F o F-V se presentará
únicamente entre.
• Tanto Marco como Ignacio dicen
falsedades(F). Analizando el caso
particular de lo que dice Ignacio,
notamos que él es el culpable del
delito.
Respuesta: Ignacio es el culpable.
Segundo método:
Usamos una tabla, asignamos valores
de verdad (Leonardo = V, Luis = F)
Completamos el cuadro con los valores
de verdad asumidos:
Respuesta: Ignacio es el culpable.
Pedro, Carlos, Alberto y Luís tienen 20,
5, 4 y 2 soles, no necesariamente en
ese orden. Además cada uno dijo:
• Pedro: “yo tengo más que Carlos”
• Carlos: “yo tengo el doble que
Luis”
• Alberto: “yo tengo 2 soles”
• Luís: “yo tengo 4 soles”
Si solamente es falsa una de estas
afirmaciones, ¿Quién miente y cuanto
tiene Pedro?
SOLUCIÓN:
Carlos y Luis se contradicen ya que las
dos personas hacen referencia a una
misma cantidad de dinero(S/.4); luego
uno de ellos miente y el otro dice la
verdad.
Además según el problema, uno sólo
miente y éste es o Carlos o Luis; luego
Pedro y Alberto dicen la verdad,
V o F
Marco : “Fue Luis” F
Leonardo:”Luis miente” V
Ignacio:”yo no fui, soy inocente” F
Luis:” El delito lo cometió
Leonardo”
F
V o F Culpable
Marco : “Fue Luis” F NO
Leonardo:”Luis miente” V NO
Ignacio:”yo no fui, soy
inocente”
F SI
Luis:” El delito lo cometió
Leonardo”
F NO
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

37
Mg. Teodoro Yupa M.
Completamos el cuadro analizando los
valores de verdad de cada personaje.
Luego quién miente es Carlos y Pedro
tiene S/.20.
IMPORTANTE: Nuestra suposición
para Carlos y Luis(F-V) es válida pues
“cuadran” los datos; si no fuera así
intercambiaríamos el valor de verdad a
(V-F).
Se tiene la siguiente conversación:
- Lito dice: Pepe miente
- Pepe dice: José miente
- José dice: Lito y Pepe mienten
Según estas afirmaciones, ¿se puede
decir quiénes mienten?
SOLUCIÓN:
No se observa contradicciones entre las
proposiciones, entonces evaluaremos
haciendo uso el principio de suposición.
Iniciamos asumiendo valores de
verdad.
Primera Posibilidad:
• Como Lito dice la verdad, es cierto
que Pepe miente.
• Dado que Pepe miente, entonces
José no debe mentir. Pero esto es
falso ya que José miente.
Segunda Posibilidad:
• Como Lito miente, entonces Pepe
no debe mentir. Y esto es cierto en
la segunda línea.
• Dado que Pepe dice la verdad,
entonces José debe mentir, lo cual
es correcto en la tercera línea.
Por lo tanto, al “cuadrar los datos”,
LITO y JOSÉ mienten.
Ernesto dice la verdad los días lunes,
miércoles y viernes, pero miente los
demás días de la semana. Un día
Ernesto dijo:
“Mañana yo diré la verdad”
¿Qué día era cuando dijo esto?
SOLUCIÓN:
Frase: “Mañana yo diré la verdad”
El problema queda reducido al
siguiente cuadro:
• No puede ser el día lunes ya que al
decir la verdad los lunes, el día
martes no dice la verdad, sino
miente.
• Tampoco puede ser el martes. Los
martes miente y si miente la frase
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4

38
Mg. Teodoro Yupa M.
sería falsa. Pero los miércoles dice
la verdad.
• Siguiendo el mismo mecanismo
llegamos al día sábado; donde se
cumple la frase.
Tres alumnos dan un examen de tres
preguntas en el que se respondía
verdadero (V) o falso (F), se sabe que
uno de ellos acertó todas las preguntas,
y nadie todas las respuestas erradas.
Para mayor información un cuadro.
¿Cuál o cuáles de las afirmaciones son
ciertas?
I.Pedro tuvo más aciertos que Juan.
II.Carlos tuvo un error.
III.Juan tuvo menos errores que
Carlos.
SOLUCIÓN:
Analizando el cuadro, identificamos a
Pedro como el que acertó todas las
preguntas y el resto por lo menos acertó
en uno.
• Juan tuvo un acierto y dos
erradas.
• Carlos tuvo dos acierto y una
errada.
Analizando:
I.Verdadero
II.Verdadero
III.Falso
1) Carlos dice: “yo tengo 14 años”,
María dice “Carlos no tiene 14 años”
Berta dice “Carlos y María dicen la
verdad”. ¿Quiénes se contradicen
fuertemente?
____________________________
2) Juan al conversar con Pablo le dice:
“Hoy no mentiré”, pero Pablo dice
“tú siempre mientes”; a su vez
Interviene Raúl y dice “Ambos
mienten”. ¿Quiénes se contradicen
fuertemente?
___________________________
3) Si José dice: “Yo estudio muchas
horas durante el día”. Pero José
miente al decir esto. Luego José:
____________________________
4) Beto siempre miente los días
martes y el resto de días dice la
verdad. Un día dijo “mañana
mentiré”. ¿Qué día fue en el que
dijo tal
frase?_______________________
5) Si la siguiente frase es falsa,
“No aprobaré el examen”, Escriba
un enunciado equivalente:
____________________________
6) Rosa, Marleni y Cintia van al cine y
tienen la siguiente conversación:
- Rosa: “Yo soy mayor de edad”.
- Marleni: “Rosa miente”.
- Cintia: “Marleni es menor de
edad”. ¿Quiénes se contradicen de
manera fuerte?
____________________________
EJEMPLO 5
SITUACIONES PREVIAS

39
Mg. Teodoro Yupa M.
7) Cuatro personas (Alberto, Boris,
Carlos y Daniel) reciben cierto
dinero para iniciar un negocio (tres,
cinco, siete y nueve mil soles, no
precisamente distribuido en ese
orden). Del grupo, sólo uno de ellos
miente. Se necesita saber
exactamente cuánto recibió cada
uno, si éstos manifiestan:
- Alberto: «Carlos» recibió nueve
mil soles.
- Boris: Yo recibí siete mil soles.
- Carlos: «Alberto» recibió 5 mil
soles.
- Daniel: «Carlos» recibió siete mil
soles.
¿Quiénes se contradicen de
manera fuerte?
___________________________
1. Una madre preguntó a sus hijos
“¿quién se ha comido los chocolates
que compré?” (NOMBRAMIENTO
2017)
• Isabel: “Enrique se comió los
chocolates”
• Enrique: “Federico se comió
los chocolates”
• Federico: “Enrique miente al
decir que yo me
comí los chocolates”
• Doris: “Yo no podría
haber comido los
chocolates”.
De los cuatro hijos uno solo dice la
verdad, entonces
¿quién se comió los chocolates?
A) Isabel
B) Enrique
C) Federico
D) Doris
2. Jesús donó un juguete diferente a 4
niñas de un albergue, una bicicleta,
una muñeca, una patineta y una
pelota. Cada una dijo lo siguiente:
Ana : “Yo recibí una pelota”.
Lucía : “Yo recibí una muñeca”.
Laura : “Ana recibió una bicicleta”.
Ivana : “Yo recibí una bicicleta”.
Si sólo una de ellas miente. ¿Qué
juguete recibió Laura?
A) Pelota
B) Patineta
C) Bicicleta
D) Muñeca
3. En la casa del profesor Alberto hay
tres cofres con tres carteles (uno de
plata, otro de bronce y otro de
madera) y saben que en uno de ellos
está el ansiado tesoro. Si en la tapa
de cada cofre hay un mensaje:
¿En cuáles de los cofres no está el
tesoro, si uno de los tres mensajes
es correcto?
A) plata y bronce
B) solo bronce
C) bronce y madera

40
Mg. Teodoro Yupa M.
D) plata y madera
4. Cuatro alumnos son acusados de
haberse comido la manzana del
profesor al ser entrevistados por el
director afirman:
- Marco: Juan se la comió.
- Juan: Sonia se la comió
- Liliana: Yo no fui.
- Sonia: Juan miente
Se sabe que tres de ellos mienten y
el otro dice la verdad. Determine
quién se comió la manzana y quien
dice la verdad.
A) Marco; Sonia
B) Liliana; Sonia
C) Juan; Liliana
D) Sonia; Juan
5. En un concurso de matemática se
presentaron cuatro alumnas, las
cuales respondieron con verdadero
(V) o falso (F) a las preguntas de un
examen de cuatro problemas,
obteniéndose las siguientes
respuestas:
Si se sabe que una contestó todas
las preguntas correctamente, otra
falló sólo en una, otra falló en dos y
una se equivocó en todas, ¿quién
ganó el concurso
y quién quedó en tercer lugar,
respectivamente?
A) Ana y Carla
B) María y Carla
C) Ana y María
D) María y Janina
6. Magaly, amiga de Alejandro, siempre
miente los días martes, jueves y
sábados; los demás días dice la
verdad. Se dá el siguiente diálogo:
• Magaly :¿Alejandro vamos al
cine?
• Alejandro :No
• Magali :¿Por qué no si hoy
es sábado?
• Alejandro : No, tal vez mañana
• Magali :Mañana no puedo,
porque será miércoles y tengo
que estudiar.
¿En que día de la semana se
produjo dicho diálogo?
A) lunes
B) martes
C) jueves
D) viernes
7. Doris, Ross y Pina sostienen la
siguiente conversación.
• Ross: No he encontrado aún mi
cantante preferido.
• Doris : Yo tampoco he
encontrado a mi cantante
preferido.
• Pina : Doris miente.
• Ross : Pina dice la verdad.
Si Ross es la única que en realidad
ha encontrado a su cantante
preferido ¿quién o quiénes mienten?
A) solo Ross
B) solo Pina
C) Ross y Pina

41
Mg. Teodoro Yupa M.
D) Doris y Ross
8. Al consultarle al profesor Petter
sobre por su día de cumpleaños el
responde con los siguientes
enunciados:
• Mi cumple es el martes.
• Mi cumple no es el miércoles.
• Mi cumple es el jueves
• Mi cumple no es el martes.
• Mi cumple es el viernes.
Si solo uno de las afirmaciones
anteriores es cierta, ¿Qué día es el
cumpleaños de Petter?
a) El lunes
b) El martes
c) El miércoles
d) El viernes
9. Tres amigas sostienen la siguiente
conversación:
A: Yo aprobé Química
B: Yo también
C: A miente
Si se sabe que solo una aprobó
Química y que solo una miente,
¿quién miente y quién aprobó
respectivamente?
A) B-A
B) A-C
C) C-B
D) A-B
FRACCIÓN
Es aquel número racional que no es
entero. (División indicada de 2 enteros
no nulos a y b en la que a no es múltiplo
de b).
Interpretación gráfica de una fracción
RELACION PARTE – TODO
Es una comparación de una cantidad
respecto a un todo.
a)

=
7
4
F
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
7
1
4 partes
7 partes
FRACCIONES

42
Mg. Teodoro Yupa M.
Fracción de Fracción:
"El total se divide en tres partes iguales"
*
A una de las partes
iguales se divide en
2 partes iguales
Cada una de las partes ( ) representa:
*
*
1
2
de 1
3
es 1
6
FRACCIONES EQUIVALENTES
OBSERVACION: Cuando a la unidad
se le quita o aumenta una fracción, se
puede analizar de la siguiente manera.

43
Mg. Teodoro Yupa M.
COMPRARACIÓN DE FRACCIONES:
• Si las fracciones son homogéneas
basta comparar los
denominadores.
• Si las fracciones que tienen igual
numerador, es mayor el que tiene
menor denominador.
• Para cualquier fracción, se
cumple:
Ejemplo:
¿Qué fracción es mayor?
Solución:
Como 10 < 12, Luego 4/5 es mayor
que 2/3.
OPERACIONES BÁSICAS CON
FRACCIONES
Suma y diferencia de fracciones
a) Fracciones Homogéneas:
Se suman y / o restan los numeradores
y se coloca el mismo denominador.
Así :
b) Fracciones Heterogéneas:
Se saca el m.c.m de los denominadores
éste se divide por cada denominador y
se multiplica por cada numerador,
finalmente se suman o restan los
numeradores y se coloca el mismo
denominador.
Así :
45
31
45
35
36
30
9
7
5
4
3
2
=
−
+
=
−
+
Multiplicación
REGLA :
Para multiplicar fracciones, los
numeradores y denominadores entre
sí; luego se simplifica el resultado.
División
REGLA:
Para dividir dos fracciones, se
multiplica la primera por la inversa de
la segunda
¿Cómo resolvemos un problema de
fracciones?
6 7 19 19
, , elmayores :
8 8 8 8

5 5 5 5
, , elmayores :
6 9 16 6

a.d b.c
7
6
7
1
7
5
=
+
4
1
4
2
4
3
=
−

44
Mg. Teodoro Yupa M.
En primer lugar, antes de comenzar a
practicar este tipo de problemas
debemos tener en cuenta una serie de
consejos que nos serán útiles.
Para resolver un problema debemos:
• Realizaremos un dibujo de barras o
una tabla, identificando la unidad.
• Identificamos en cada
representación gráfica cada fracción
de la unidad.
• Dibujamos, sombreando, la fracción
de la unidad con relación a los datos.
• El siguiente paso es resolver las
operaciones oportunas.
• Por último y muy importante,
debemos interpretar la solución.
PROBLEMAS RESUELTOS
Los 7/9 del sueldo de José son s/.
2800 ¿Cuál es el sueldo de José?
SOLUCION:
• Representamos los 7/9, que es el
sueldo de José.
• Completamos casilleros:
El sueldo de José es: 400 x 9 = S/.
3600
De los vecinos de la casa de Rosa, 2/7
son rubios y la cuarta parte de estos
tienen los ojos azules. Sabiendo que
hay 6 vecinos con los ojos azules.
¿Cuántos vecinos hay en la casa de
Rosa?
SOLUCIÓN
• Representamos los 2/7 que son
rubios:
• Dividimos la fracción de los rubios
en 4 partes y señalamos 1/4 de los
ojos azules:
Para determinar el total de vecinos
completamos los valores:
Luego el número total de vecinos de
Rosa es 7 x 12 = 84.
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2

45
Mg. Teodoro Yupa M.
Un recipiente está lleno de agua hasta
los 4/5 de su capacidad. Se saca la
mitad del agua que contiene. Si la
capacidad del recipiente es de 80 litros,
¿cuántos litros quedan en el recipiente?
SOLUCIÓN:
• Representamos los 4/5 de agua:
• Extraemos la mitad y queda..
• Distribuimos los 80 litros:
Luego en el recipiente quedan 16x3 =
48 litros.
Una persona sale de compras. Gasta
los 3/7 de su dinero en el
supermercado; después ½ de lo que le
queda en una tienda de regalos y,
finalmente, 1/2 de lo restante en una
librería. Si le quedan 12 soles. ¿Cuánto
dinero tenía la salir de la casa?
SOLUCIÓN:
• Gasta 3/7 en el mercado:
• Gasta 1/2 de lo que le queda en
negocios:
• Gasta 1/2 del restante en librería:
• Queda S/12.
Luego salió de su casa con12x7 = 84
soles.
Una fuerte lluvia daña parte de la
cosecha de este verano. En la finca de
Juan 7 de cada 12 tomates están
dañados y en la de Pedro 4 de cada 9.
¿En qué huerta se han dañado más
tomates?
SOLUCIÓN:
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5
EJEMPLO 3

46
Mg. Teodoro Yupa M.
La huerta de Juan se afectó más.
Si las horas transcurridas del día de hoy
es igual a los 3/5 de lo que falta por
transcurrir, ¿Qué hora será en este
momento?
SOLUCIÓN:
Lo transcurrido es igual a los 3/5 de lo
que falta transcurrir:
Completamos el rectángulo:
La hora en este momento es 9 am
(horas transcurridas).
De un barril de vino que se encontraba
lleno, se saca la mitad; luego se saca la
mitad de lo que quedaba y luego un
cuarto del resto. Si aún quedan 6 litros;
¿Cuántos litros había inicialmente?
SOLUCIÓN:
Realizando las particiones sucesivas
para las fracciones comprometidas
resulta:
De donde se observa que inicialmente
habían 16 + 8 +(2+2+2+2) = 32 litros.
3 3 3
3
3
3
3
3
2
EJEMPLO 6
Los 3/5 de lo que falta por transcurrir:
EJEMPLO 7
El día de 24 horas será
así:
24 h
Trascurridas No transcurridas

47
Mg. Teodoro Yupa M.
1) Usando la barra mostrada,
Representa: La mitad de 1/3.
2) Representa: “Los 2/3 de un aula
son hombres y la mitad de estos
son honestos”.
3) Representa: Matías tiene 4
álbumes, tres sobre fútbol y uno
sobre autos. ¿Qué fracción de
álbumes de fútbol tiene?
4) Si me como las tres cuartas partes
de una manzana, ¿qué parte
queda?
________________________
5) Si a la cantidad de dinero que
tengo le añado su mitad, ¿Cuánto
tendré ahora? (en fracción)
___________________________
6) Si gasto la mitad de mi dinero en
comprar lapiceros; luego la mitad
de lo restante, ¿Qué fracción de
dinero me queda?
___________________________
7) Dos hermanos reciben propinas
de su padre, el mayor recibe los
2/3 y el menor recibe 1/2 del
dinero que dispone el padre.
¿Quién recibe más dinero?
___________________________
8) Un deposito tiene 20 litros de
agua, lo que representa los 1/3 de
la capacidad del recipiente.
¿Cuánta agua falta añadir para
llenar completamente el deposito?
___________________________
9) Se quiere distribuir 8 litros de un
líquido en envases pequeños de
1/8 de litro de capacidad. ¿cuantos
envases serán necesarios?
___________________________
10)Un alumno gasta 1/3 del dinero
que tiene, luego gasta la mitad
más, ¿Qué fracción de dinero le
queda?
___________________________
1. Se tienen dos jarras iguales con
agua. Una tiene ½ de litro y la otra
1/3 de litro. ¿Qué cantidad de agua
se tendrá en total?
2. Marisol sirvió tres cuartas partes de
agua en un vaso. ¿Cuál de los
siguientes dibujos representa la
cantidad de agua que Marisol sirvió?
SITUACIONES PREVIAS

48
Mg. Teodoro Yupa M.
3. De los S/.20 que tengo, pierdo en un
juego los 2/5 de lo que tengo ¿cuánto
tengo ahora?
A) S/.12
B) S/.11
C) S/.10
D) S/.8
4. Del siguiente hexágono regular
¿Qué parte representa la región
sombreada?
5. ¿Qué fracción de 18 es 12?
A)2/3
B)1/3
C)3/4
D)3/2
6. Juan tenía s/.25 y gastó s/.15. ¿Qué
fracción de su dinero ha gastado?
A) 3/4
B) 2/5
C) 3/5
D) 3/8
7. Los 2/3 de los miembros de un club
son mujeres, 1/4 de los hombres
están casados. Si hay 9 hombres
solteros, ¿cuántas mujeres hay en
total?
A) 24
B) 36
C) 9
D) 15
8. Una persona inicialmente toma 16
metros de una varilla larga. Luego
toma los 2/3 del resto de esta varilla
y observa que las partes que toma
tienen la misma longitud. Hallar
entonces la longitud total de la varilla.
A) 32
B) 40
C) 45
D) 39
9. Un padre entrega a sus hijos una
bolsa con cierta cantidad de canicas.
El mayor coge la tercera parte; luego,
el segundo coge la tercera parte de
lo que quedaba y, finalmente, el
menor coge la tercera parte de lo que
quedaba hasta ese momento y se da
cuenta de que aún quedan en la
bolsa 16 canicas. ¿Cuántas canicas
había en la bolsa?
A) 27
B) 54
C) 51
D) 81
10.Un diseñador de cerámicas
presenta la propuesta mostrada en
la figura.

49
Mg. Teodoro Yupa M.
La fracción que representa el área
sombreada respecto al área total en
la figura es:
A) 12/48
B) 12/36
C) 6/32
D) 6/16
11.Elena compró 4 1/2 kilogramos de
arroz y los colocó en bolsas de 1/4
kg. ¿Cuántas bolsas obtuvo con esa
cantidad de arroz?
A) 4 bolsas.
B) 18 bolsas
C) 4 1/4 bolsas.
D) 16 1/2 bolsas
12.Doña Camila tiene un negocio de
venta de picarones. Ella los prepara
con la siguiente receta:
Cierto día vio que tenía 3 1/4 kg de
zapallo. ¿Cuántos kg de harina de
trigo necesita para la preparación de
picarones con esa cantidad de
zapallo?
A) 6 ½ kg
B) 3 ½ kg
C) 3/4 kg
D) 1/2 kg
13.En la figura (triángulo equilátero)
¿Qué fracción de lo sombreado es lo
no sombreado?
14.Un triángulo equilátero se dividió en
triángulos iguales como muestra la
figura I. Luego, uno de estos
triángulos volvió a dividirse en
triángulos iguales como muestra la
figura II. ¿Qué parte del triángulo
grande representa la parte
sombreada?
A) 1/16
B) 3/16
C) 3/7
D) 3/4

50
Mg. Teodoro Yupa M.
15.Silvana comenta con Johanna
después del examen de
nombramiento, resolví
4
3
de lo que
no resolví. ¿Qué fracción del
examen no resolvió Silvana?
a)
5
2
b)
4
1
c)
3
1
d)
7
4
16.Dos tercios de los profesores de un
colegio son mujeres, 12 de los
profesores varones son solteros,
mientras que los 3/5 de los mismos
son casados. ¿Cuál es el número de
docentes?
a) 80
b) 90
c) 60
d) 70
• La expresión “Por ciento” viene de
la frase latina “Percentum”, y de
ella deriva la palabra porcentaje.
• Se denomina porcentaje o tanto
por ciento, al número de unidades
que se toma de cada 100.
• Si decimos “el 70 por ciento de las
respuestas de una prueba son
concretas”. Queremos significar
que de 100 preguntas, 70 son
correctas. Se podrá usar 70/100
en vez de la frase “70 por ciento”.
• La frase “por ciento” se usa
cuando una razón está expresada
con un denominador 100.
• En vez de la expresión “por ciento”
se usa el símbolo %. Este símbolo
es una abreviatura de 1/100.
Nota: Todo número puede ser
expresado como un porcentaje,
multiplicado dicho número x 100%
Ejemplos
100
1
x
70
100
70
ciento
por
70 =
=
%
70
100
1
x
70
100
70
=
= %
25
100
1
x
25
100
25
=
=
• 1 = 1x 100 % = 100%
• 2 = 2x 100 % = 200%
• 4 = 4x 100 % = 400%
PORCENTAJES

51
Mg. Teodoro Yupa M.
Nota: Se puede sumar o restar
porcentajes de una misma cantidad.
Una cantidad más su 30% = 130% de
la cantidad
Mi edad aumentada en su 23% = 123%
de mi edad
PROBLEMAS RESUELTOS
En mi clase, de 30 que
somos en total, 12 son mujeres. ¿Qué
porcentaje representan las chicas?
SOLUCION 1: (Por regla de tres)
SOLUCION 2:(Por método de barras)
Las chicas representan el 40%.
En mi clase hay 12 mujeres y
representan el 40% del total. ¿Cuántos
somos en total?
SOLUCION 1:(Por regla de tres)
En total hay 30 estudiantes en la clase.
SOLUCION 2:(Por método de barras)
En total seremos: 12 + 12 + 6 = 30
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
APLICACIONES COMERCIALES
Precio de Venta = Precio de costo +
Ganancia
Precio de Venta = Precio de costo -
Pérdida
PV = PC +
G
PV = PC -
P
Precio de Venta = Precio de Lista -
Descuento
PV = PL - D

52
Mg. Teodoro Yupa M.
¿El 25% de qué número representa el
valor de 60?
SOLUCION 1: (Por regla de tres)
SOLUCION 2: (Por método de barras)
Según el problema, el 25% representa
a 60:
Luego el total o el número es 4 x 60 =
240
Si tuviera 20% más de la edad que
tengo tendría 48 años. ¿Qué edad
tengo en la actualidad?
SOLUCIÓN 1: (Por regla de tres)
Si tuviera 20% más de la edad, mi
edad será el 120%.
SOLUCIÓN 2: (Por método de barras)
Mi edad actual representa el 100%. Si
tuviera 20% más, tendría el 120%.
• Representamos el 120%:
• La edad actual representa el
100%:
La edad actual es 8 x 5= 40 años.
Si vendiera mi libro de razonamiento
matemático en un 30% menos costaría
14 soles ¿Cuál es el precio real del
libro?
SOLUCION 2: (Por método de barras)
El costo real representa el 100%. Si
vendiera a 30% menos, lo estoy
vendiendo al 70%.
• Representamos el 70%:
• El costo real representa el 100%:
EJEMPLO 3
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5

53
Mg. Teodoro Yupa M.
El precio real del libro es 2x10 = S/.20.
Una persona vendió un artículo en S/
480 ganando el 20% del costo, y cuál
fue su precio de costo?
SOLUCIÓN 2: (Por método de barras)
El costo real representa el 100%. Si
gana el 20% el precio de venta será del
120%.
• Representamos el 20% de
ganancia sobre el costo:
• Distribuimos los S/.480:
El costo fue de 80x5 = S/.400
En una fábrica trabajan 250 personas
donde el 80% son hombres ¿Cuántas
mujeres deben contratarse para que el
60% del personal sean ahora mujeres?
SOLUCIÓN:
• Representamos el 80% de
hombres:
• Representamos el nuevo
porcentaje de mujeres:60%
Deben contratarse 150 mujeres.
Dos vacas fueron vendidas en S/ 6 000
cada una. Si en la primera se ganó el
25% y en la segunda se perdió el 25%,
determinar si hubo ganancia o pérdida y
cuánto.
SOLUCIÓN
• Representamos la venta, ganando
el 25%:
EJEMPLO 6
EJEMPLO 7
EJEMPLO 8

54
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
• Representamos la venta,
perdiendo el 25%
Hubo una pérdida de 2000 -1200= S/.
800.
1) El 20% de 40 es:_____________
2) ¿Qué porcentaje es 40 de 80?
___________________________
3) Si tengo S/.40 y me gasto la mitad.
¿Qué porcentaje representa lo que
me queda?
___________________________
4) De los 800 alumnos de un
colegio, han ido de viaje 600.
¿Qué porcentaje de alumnos
ha ido de viaje?
________________________
5) Al comprar un celular que
cuesta S/. 800 me descuentan
el 20%, ¿Cuánto tengo que
pagar?
________________________
6) Una persona pierde el 30% de su
dinero, ¿Qué porcentaje de dinero
le queda?
___________________________
7) Una persona incrementa su
capital en 10%. ¿Qué porcentaje
de dinero tiene ahora?
___________________________
8) En una clase de 30 alumnos y
alumnas, hoy han faltado 6. ¿Cuál
ha sido el porcentaje de
ausencias?
___________________________
9) El 75% de una cantidad
representada en fracción es:
___________________________
10)El 25% del 50% de 160 es...
___________________________
1. Jorge tiene un USB donde el
60% están guardados información
personal del cual 30% son fotos.
¿Qué porcentaje del total representa
lo almacenado por fotos?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 18%
B) 20%
C) 25%
D) 30%
2. Tres cuadros se vendieron a S/. 486
cada uno. En uno de ellos se ganó
un 20% y en cada uno de los otros
dos se perdió un 10%. ¿Cuál fue el
resultado final de este negocio?
A) Se ganó 27 soles
B) Se perdió 10 soles
C) Se perdió 27 soles

55
Mg. Teodoro Yupa M.
D) No se ganó ni se perdió
3. Un agricultor en el Sur del Perú llegó
a cosechar 12 000 Kg de papa, luego
de que una tormenta de granizo le
estropeara el 40% de su cosecha.
¿Cuántos kilogramos esperaba
recoger si no hubiera ocurrido la
tormenta?
A) 20 000
B) 18 000
C) 15 000
D) 10 000
4. En la UNMSM el 30% de los alumnos
son mujeres, si el 20% de mujeres y
el 30% de los hombres salen de
paseo ¿Qué porcentaje de los
alumnos de la UNMSM fue al paseo?
a) 25%
b) 27%
c) 29%
d) 31%
5. En el Colegio hay 5 hinchas de Boca.
Si en total hay 20 chicos y de ellos,
18 son hinchas de algún club, ¿Qué
porcentaje de chicos de ese curso
son hinchas de Boca?
A) 20%
B) 18%
C) 30%
D) 25 %
6. ¿Qué porcentaje de la región
sombreada es la región no
sombreada?
a) 50%
b) 100%
c) 40%
d) 30%
7. En una reunión el 40% del total de
personas son mayores de edad. Si
se retiran la mitad de éstos. ¿Qué
tanto por ciento representan los
menores de edad del nuevo total?
a) 70%
b) 75%
c) 80%
d) 85%
8. Una señora va al mercado, donde al
comprar un cierto número de
naranjas le regalan un 5% de las que
compró, obteniendo así 420
naranjas. ¿Cuántas naranjas
compró?
a) 200
b) 300
c) 400
d) 360
9. Si al vender uno de mis libros en 28
Soles gano 8 soles ¿Cuál es el tanto
por ciento de las ganancias?
A) 20%
B) 30%
C) 40%

56
Mg. Teodoro Yupa M.
D) 50%
10.Una casa comercial vende un
televisor en 120 dólares perdiendo
en la venta 5 dólares. ¿Qué tanto
por ciento perdió?
A) 2%
B) 3%
C) 4%
D) 5%
11.En la academia el 40% son mujeres,
el 30% de mujeres y el 70% de
hombres van de paseo, luego el
porcentaje de alumnos que no va al
paseo-es
a) 46%
b) 54%
c) 42%
d) 58 %
12.En el puesto de “DOÑA ELVIRA” se
vende el pollo entero y por presas
según esta lista:
Pierna………………..S/. 8,00 el kg.
Pechuga……………..S/. 9,50 el kg
Alas……….…..……..S/. 5,50 el kg.
Menudencia…………S/. 4,00 el kg.
Con motivos de fiestas Patrias, doña
Elvira, por compras que superen los
S/. 10,00 hace un descuento del
10% sobre el monto total. Un cliente
compró 1 kg de alas y 3/4 kg de
pierna. ¿Cuánto pagará por esta
compra?
a)S/. 5,50
b)S/. 6,50
c) S/. 10,35
d)S/. 11,50
13.En un pueblo hubo una epidemia
afectando al 20% de la población de
las cuales murieron el 60%
quedando de los afectados 40
personas. ¿Cuántas personas había
en el pueblo?
A) 500
B) 1000
C) 502
D) 559
14.En el mercadillo 28 de Julio, un
vendedor aumentó el precio de uno
de sus artículos en el 30% de su
precio de costo. Pero al momento de
la venta tuvo que hacer un
descuento del 20% para convencer
al comprador. ¿Qué pasó en esta
venta?
A) El vendedor ganó el 10%
B) El vendedor perdió el 10%
C) El vendedor ganó el 4%
D) El vendedor perdió el 4%

57
Mg. Teodoro Yupa M.
NOCIÓN DE CONJUNTO
Un conjunto es la reunión, colección o
agrupación de objetos que tienen
características similares, a estos
objetos se les denomina ELEMENTOS
de un conjunto. Para simbolizar
conjuntos se emplean las letras
mayúsculas A, B, C,… y sus elementos
separados por coma o punto y coma, y
encerrados entre llaves, por ejemplo:
A={T,A,C,N, A}
B={2;6;8;9;10}
C={Los departamentos del Perú}
DETERMINACION DE CONJUNTOS
• Por extensión: Un conjunto esta por
extensión cuando se observa todo y
cada uno de sus elementos de un
conjunto, enumerándolos o
indicándolos en forma sobre
entendida:
Ej.: A={1,2,3,4}
B={1,4,9,16,25,36}
• Por comprensión: Un conjunto está
determinado por comprensión
cuando sus elementos se
caracterizan mediante una
propiedad común.
Ej.: de los ejemplos anteriores
 
 
/ 4
/ 5
A x x N x
B x x N x
=   
=   
RELACION DE PERTENENCIA:
Un elemento pertenece a un conjunto si
forma parte de ella. Además se dice que
pertenece ( ∈ ) a dicho conjunto, en
caso contrario “no pertenece” ( ∉ ) a
dicho conjunto. La relación de
pertenencia se da entre un elemento y
un conjunto sabiendo que un elemento
puede tener forma de conjunto.
Ejemplo: Dado el conjunto A
 
 
A 2;3; 5;6
=
Así diremos que:
 
2 A 4 A
3 A 5 A
5;6 A 6 A
 
 
 
RELACION ENTRE CONJUNTOS
A) INCLUSION: Se dice que A esta
incluido en el conjunto B ( ⊂ ) ,
si todos los elementos de A
pertenecen a B.
Esta denotado por ( ⊂ ).
Se lee: A esta incluido en B
A esta contenido en B
A es subconjunto de B
B) Conjuntos iguales: Dos
conjuntos son iguales (=) si tienen
los mismos elementos sin importar
el orden. Se denota
A B A B B A
=    
C) Conjuntos comparables: Dos
conjuntos son comparables solo
cuando uno de ellos está incluido
en el otro, es decir:
A B B A
   .
D) Conjuntos disjuntos: Dos
conjuntos son disjuntos son
TEORIA DE CONJUNTOS

58
Mg. Teodoro Yupa M.
disjuntos cuando no tienen ningún
elemento en común.
CLASES DE CONJUNTOS:
A) Conjunto Unitario: También
llamado singleton, es aquel que
tiene un solo elemento.
B) Conjunto Nulo o vacío: Conjunto
que no tiene elementos. Este
conjunto tiene la particularidad de
ser subconjunto de todo conjunto
C) Conjunto finito: Es aquel cuya
cantidad de elementos es limitada;
es decir se puede contar desde el
primer hasta el último.
D) Conjunto Infinito: Cuyo número
de elementos es ilimitado.
E) Conjunto Universal (U): Es aquel
conjunto que contiene todos los
demás conjuntos, simbolizado por
la letra U. No existe un conjunto
universal absoluto.
REPRESENTACIÓN GRAFICA DE
CONJUNTOS
Los conjuntos se pueden graficar por
medio de: Diagrama de Venn-Euler,
Diagrama de lewis-Carroll, Diagrama
Sagital
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
A)Unión ( A B
 ): La unión de dos
conjuntos A y B es el conjunto
formado por la agrupación de
todos los elementos de A con
todos los elementos de B.
B)Intersección ( A B
 ): La
intersección de dos conjuntos A y
B es el conjunto formado por los
elementos que pertenecen a los
dos conjuntos a la vez.
(Elementos comunes a ambos).
C) Diferencia (A-B): La diferencia
de dos conjuntos A y B (en ese
orden) es el conjunto formado por
los elementos que pertenecen a A
pero no a B.
D) Diferencia Simétrica: ( A B
 ):
La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto
formado por los elementos que
pertenecen a A o B pero no a
ambos.
U
A B
U
A B
U
A B

59
Mg. Teodoro Yupa M.
E)Complemento de un conjunto
(A’), ( C
A ): Conjunto cuyos
elementos pertenecen al universo
pero no al conjunto A.
(La parte sombreada)
PROBLEMAS RESUELTOS
La parte sombreada del diagrama
representa a :
SOLUCION:
Obsérvese que la parte sombreada
corresponde a la diferencia del
conjunto M con la unión de los
conjuntos K y L en ese orden.
Luego la respuesta es la alternativa D.
¿Qué representa la parte sombreada?
SOLUCION:
Se observa que la parte sombreada
corresponde a la diferencia de la unión
menos la intersección de los conjuntos
A y B.
Luego la respuesta es la opción C.
De un grupo de 65 alumnos:
• 30 prefieren lenguaje
• 40 prefieren matemática
• 5 prefieren otros cursos
¿Cuántos prefieren Matemática y
Lenguaje?
SOLUCIÓN
Según la lectura del problemas
básicamente intervienen 2 conjuntos;
los que estudian lenguaje(L) y los que
prefieren matemática (M).
Ubicamos las cantidades en el
diagrama iniciando con los casilleros
comunes(intersección de tres o dos
U
A B
U
A
K
L M
A) M – (K  L)
B) M  (K – L)
C) M  (L – K)
D) M – (K  L)
A
B
A) A  B
B) A  B
C) (A  B) – (A  B)
D) (A  B) – (A  B)
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
EJEMPLO 3

60
Mg. Teodoro Yupa M.
conjuntos) para luego completar con los
conjuntos particulares.
Tenemos el diagrama:
Prefieren Matemática y Lenguaje: 5
Se encuestaron a 180 amas de casa
sobre sus preferencias por los canales
de televisión A, B, C obteniendo los
siguientes resultados
110 ven el canal A
120 ven el canal B
130 ven el canal C
66 ven los canales A y C
78 ven los canales A y B
90 ven los canales B y C
52 ven los tres canales
Responde a las siguientes preguntas:
• ¿Cuántas amas de casa no ven
ninguno de estos canales?
• ¿Cuántas amas de casa ven
solamente el canal A?
solamente el canas B?
solamente el canas C?
solamente uno de estos canales?
• ¿Cuántas amas de casa ven el
canal A pero no el canal B?
SOLUCIÓN
Disponemos los datos en el diagrama:
• ¿Cuántas amas de casa no ven
ninguno de estos canales? 2.
solamente el canal A? 18.
solamente el canas B? 4.
solamente el canas C? 26.
solamente uno de estos canales?
48.
canal A pero no el canal B? 32.
canal B pero no el canal C? 30.
solamente dos canales? 78.
• ¿Cuántas amas de casa ven por lo
menos dos canales? 130.
canal A o el canal B pero no el
canal C? 48.
Se entrevistó a un grupo de x personas
acerca de la preferencia por las marcas
de lapiceros A, B o C, obteniéndose los
siguientes resultados.
2 no prefieren ni A ni B ni C.
2 prefieren A, B y C
7 solo prefieren C
5 solo prefieren B
16 prefieren B o C pero no A
EJEMPLO 4
EJEMPLO 5

61
Mg. Teodoro Yupa M.
10 prefieren A y C
10 prefieren A pero no B
3 prefieren A y B pero no C
¿Cuánto vale x?
SOLUCIÓN
Cuando trabajamos con conjuntos
disjuntos, utilizamos diagramas de
Carroll, que son cuadros de doble
entrada usados para organizar datos en
la solución de problemas en los que se
establecen relaciones dobles.
En un grupo de 120 damas, 48 son
rubias, 44 son morenas y el resto son
pelirrojas, 62 tienen ojos azules, las
otras ojos cafés. Existen 15 rubias de
ojos azules, 16 pelirrojas de ojos azules.
¿Cuántas morenas de ojos cafés hay en
el grupo?
SOLUCIÓN
Como conjuntos tenemos a las rubias,
morenas y pelirrojas; como
características tenemos a ojos azules y
ojos cafés.
Ubicamos los datos sobre el tablero y
obtenemos
Luego las morenas de ojos café son
13.
Se pregunta a los niños y niñas de sexto
grado sobre la bebida que prefieren,
entre agua, gaseosa y jugo. De los 68
estudiantes encuestados, 26 prefieren
agua y de ellos, 9 son niños. Si 14 niños
prefieren Jugo y a 6 de las 37 niñas le
gusta la gaseosa. ¿cuántas niñas
prefieren agua y cuántas jugo?
SOLUCIÓN
Disponemos los datos:
Hay 17 niñas que prefieren agua y 14
que prefieren jugo.
AZUL CAFÉ
RUBIAS
MORENAS
PELIRROJAS
TOTAL
TOTAL
EJEMPLO 1
EJEMPLO 2
DIAGRAMAS DE CARROLL

62
Mg. Teodoro Yupa M.
SITUACIONES PREVIAS
NES PREVIAS
1) Dos conjuntos son disjuntos
cuando:
_____________________________
2) Un conjunto A está incluido en otro
B cuando:
____________________________
3) La parte sombreada corresponde a
la operación de:_______________
4) ¿Qué operación representa el
siguiente diagrama?
5) ¿Qué operación representa el
siguiente diagrama?
6) Del siguiente esquema:
Escriba la zona que corresponde a
los enunciados siguientes:
a) Solamente P:_____________
b) P y Q:___________________
c) Solamente Q y R:__________
d) P, Q y R:_________________
e) Q pero no R:______________
f) P y Q pero no R:___________
7) Complete los casilleros el diagrama
de Lewis y responda:
a) ¿Cuántos niños no juegan?
______________________
b) ¿Cuántas niñas no juegan?
______________________
c) ¿Cuántos juegan?
______________________
d) ¿Cuántas niñas hay en el grupo?
______________________
e) ¿Cuántos no juegan?
______________________
DIAGRAMAS DE VENN:
1. De 50 estudiantes encuestados:
20 practican sólo fútbol
12 practican fútbol y natación
10 no practican ninguno de estos
deportes
¿Cuántos practican natación y
cuántos sólo natación?
A) 20 y 12
B) 32 y 28
C) 20 y 8
D) 32 y 20
2. De un grupo de estudiantes que
llevan por lo menos uno de los tres
cursos que se indican se sabe que:
70 estudian inglés
P Q
P
Q
P M
P Q
R
A C
E
F
B
D
JUEGAN NO JUEGAN TOTAL
TOTAL
NIÑOS
NIÑAS
30
80
20
10

63
Mg. Teodoro Yupa M.
40 estudian química
40 estudian matemática
15 estudian matemática y química
20 estudian matemática e inglés
25 estudian inglés y química
5 estudian los tres cursos.
¿Cuántos son los alumnos en total?
A) 142
B) 120
C) 95
D) 85
3. En una reunión de profesores de
ciencias; 47 eran de matemática; 40
eran sólo de Física; 4 no enseñaban
ninguno de estos cursos. ¿Cuántos
profesores integraban la reunión?
A) 47
B) 40
C) 91
D) 50
4. De 75 alumnos de un aula, los 3/5
usan reloj. 1/3 de los alumnos sólo
usa anteojos; los 2/5 usa anteojos y
reloj. ¿Cuántos no usan anteojos ni
reloj?
A) 7
B) 5
C) 1
D) 4
5. Entre 97 personas que consumen
hamburguesas se observaron las
siguientes preferencias en cuanto al
consumo de mayonesa y Ketchup;
57 consumen mayonesa; 45
consumen Ketchup; 10 no consumen
ninguna de estas salsas. ¿Cuántos
consumen mayonesa pero no
Ketchup?
A) 42
B) 46
C) 38
D) 50
DIAGRAMA DE CARROLL
6. En un concurso hay 84 alumnos de
los cuales 12 son mujeres que
estudian en colegio particular y 16
varones que estudian en estatal, si
hay tantas mujeres como varones.
Entonces ¿cuántos están estudiando
en colegios estatales?
(NOMBRAMIENTO 2017)
A) 42
B) 46
C) 38
D) 50
7. De un grupo de 80 niños y niñas, los
que cantan son tantos como los que
no lo hacen. Si las niñas que cantan
son 20 y los niños que no cantan son
34, ¿cuántos niños y cuántas niñas
conforman el grupo?
A) 38y 42
B) 56 y24
C) 54 y 26
D) 40 y 40
8. Para los votantes de una cierta
comunidad de 300 personas se
tiene que:
- 110 son mayores de 20 años
- 120 son mujeres y 50 mujeres son
mayores de 20 años
Determine el número de votantes
hombres menores que 20 años.
Niños Niñas TOTAL
TOTAL
Cantan
No Cantan

64
Mg. Teodoro Yupa M.
A) 130
B) 120
C) 160
D) 90
9. Una empresa convoca a 90 jóvenes
de 15, 16 y 17 años. De ellos. 5O son
varones. 30 tienen 15 años y 25
tienen 16 años. Si 18 son varones de
16 años y 16 son mujeres de 17
años, ¿cuántos son varones de 15
años?
A) 19
B) 13
C) 18
D) 17
10. De 320 personas, adultos,
jóvenes y niños, sobre una encuesta
de los productos A, B Y C. se tiene
que 110 prefieren B y 95, C; de todos
los niños, 64 prefieren A y 28, B. De
los 130 Jóvenes, 58 prefieren B; y de
todos los adultos, 17 prefieren A y 46,
C. ¿Cuántos niños prefieren C.?
A) 15
B) 11
C)16
D) 17
11. En un aula de 75 alumnos de una
Institución Educativa, el 32% son
mujeres. Al 64% del salón la
biblioteca les presta su libro de
aritmética y 8 mujeres tuvieron que
comprar el libro. ¿Cuántos hombres
prestaron el libro de aritmética, si
todos los alumnos tienen libros?
a) 25
b) 28
c) 32
d) 38
El razonamiento inductivo
El razonamiento inductivo se
caracteriza por llegar a una conclusión
general (mediante una conjetura), a
partir de observaciones repetidas de
casos específicos o particulares.
Por ejemplo:
Premisas:
• He observado el cuervo número 1
y era de color negro.
• El cuervo número 2 también era
negro.
• El cuervo número 3 también era
negro.
Conclusión: Luego, todos los cuervos
son negros.
Razonamiento deductivo
El razonamiento deductivo se
caracteriza por la aplicación de
principios o leyes generales a casos
particulares.
Por ejemplo:
Todos los jueces son honestos, Carlos
es juez. Por lo tanto, se infiere que
Carlos es honesto.
LÓGICA DE PREDICADOS
La lógica de predicados descompone la
proposición en sus dos componentes
básicas (sujeto y predicado) y cuantifica
al sujeto, introduciendo símbolos para el
sujeto, para el predicado y para los
cuantificadores "todos" y "alguno",
además de un símbolo de relación entre
sujeto y predicado.
INFERENCIA CON PREMISAS
(SILOGISMOS)

65
Mg. Teodoro Yupa M.
Ejemplo:
Todos los tacneños son peruanos.
Esta proposición llamada proposición
categórica presenta los siguientes
términos principales:
Además del cuantificador literal “todos”
que indica que el conjunto “tacneños”
está incluido totalmente en el conjunto
predicado peruano.
LAS PROPOSICIONES O
PREDICADOS CATEGÓRICOS
Es una proposición que afirma o niega
que todos o algunos de los miembros
de una categoría (el término sujeto)
están incluidos en otra (el término
predicado).
TIPOS DE PROPOSICIONES
CATEGORICAS
(CUANTIFICADORES)
1. Universal afirmativo: “Todos los
mamíferos son vertebrados”
En esta proposición la clase o
conjunto de los mamíferos está
incluida totalmente en la clase o
conjunto de los vertebrados.
2. Universal negativo: “Ningún
insecto es vertebrado”. Esta
proposición expresa la exclusión
total entre la clase insecto y la clase
“vertebrado”.
3. Particular afirmativo: “Algunos
profesores son matemáticos”.
En este caso la clase de los
profesores está incluida parcial-
mente en la clase de los
matemáticos.
4. Particular negativo: “Algunas
líneas no son rectas”.
En esta proposición el conjunto de
las “líneas” está excluido
parcialmente del conjunto de las
“rectas”.
Formas típicas.- En la lógica
tradicional las proposiciones
categóricas se expresan en las
llamadas cuatro formas típicas
siguientes:
• Todo S es P
• Ningún S es P
• Algún S es P
• Algún S no es P
Características:
• Tienen cuantificador: Todo,
ningún, algún.
• Sujeto, que se representa como
(S).
• Verbo copulativo, que puede ser
expresado en distintos tiempos.
• Predicado, que se representa
como (P)
Término sujeto: tacneños
Término predicado:
peruanos

66
Mg. Teodoro Yupa M.
Cuantificador Universal Afirmativo
El conjunto de “hombres” está
incluido en el conjunto de “guapos”
(inclusión)
Cuantificador Universal Negativo
Está representada por una relación de
exclusión a través de dos conjuntos
disjuntos.
Cuantificador Particular Afirmativo
Está representado por una relación de
intersección.
Cuantificador Particular Negativo
La grafica muestra que por lo menos
un elemento de S esta fuera del
conjunto P.
NEGACION DE LAS
PROPOSICIONES CATEGORICAS.
Se debe tomar en cuenta lo siguiente:
En forma práctica se tiene:
Negativo
neral como:
hemio
P
relación de exclusión a través de dos
P
S
Bohemio
Profesor
NEGACIÓN DE LAS PROPOSICIONES CATEGOR
Se debe tomar en cuenta lo siguiente:
 (todos) = algunos...no
 (ningún) = algunos
 (algunos) = ningún
 (algunos...no) = todos
Se representa en forma general como:
Ningún S es P
Ejemplo :
Ningún profesor es bohemio
S P
Esta representada por una relación de exclusión a través de dos
conjuntos disjuntos.
P
S
Bohemio
Profesor
Se representa en forma general como:
Ningún S es P
Ejemplo :
Ningún profesor es bohemio
S P
Esta representada por una relación de exclusión a través de dos
conjuntos disjuntos.
P
S
Bohemio
Profesor
Cuantificador Particular Afirmativa
Se representa en forma general como :
Algunos S son P
Está representado por una relación de Intersección.
Cuantificador Particular negativo
En forma general se representa como :
Algún S no es P
La gráfica muestra que por lo menos un elemento de
fuera del conjunto P.

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