Estas presentaciones siren de reforzamiento a los estudiantes del segundo grado de educación secundaria.

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA «JUAN PABLO II»
HUALLIN - ASUNCIÓN
TEMA: PROPORCIONALIDAD
NUMÉRICA
DOCENTE: JOSÉ LUIS MEZA ARCOS
GRADO: 2° DE SECUNDARIA SECCIÓN: ÚNICA
2012

2. INTRODUCCIÓN
Antes de dar inicio a este fascinante mundo matemático
con el tema PROPORCIONALIDAD NUMÉRICA vamos a
realizar un repaso de algunos puntos esenciales para su
aprendizaje y dominio.
MUY
INTERESANTE
 Multiplicación y División de enteros.
 Multiplicación y División por la
unidad seguida de ceros.
 Equivalencia de fracciones.
 Fracción como expresión decimal.
 Fracción como parte de un todo.

3. Ejemplos:
Resolver:
 (-98) . (+6) =  (-96) : (+6) =
 (-9) . (-87) =  (-9) . (-87) =
 (+76) . (+54) =  (+76) . (+54) =
 (+78) . (-89) =  (+78) . (-89) =
 (-9).(+7).(-8) =  (-9).(+7).(-8) =
 (-8).(-7).(-6) =  (-8).(-7).(-6) =

4. Sobre multiplicación y división
con 10, 100, 1000, 10000
 56 x 100 =  56 : 100 =
 5,6 x 100 =  5,6 : 100 =
 0,56 x 100 =  0,56 : 100 =
 56,7 x 100 =  56,7 : 100 =
 0,098 x 1000 =  0,098 : 1000 =
 97,008 x 1000 =  97,008 : 1000 =

6. Una pequeña introducción
Desde los albores de la humanidad, el hombre buscó siempre algo absoluto,
alguna ley o principio de simetría, un ideal que expresase plenamente lo visual
de la figura humana. En el antiguo Egipto encontramos las primeras
referencias a la proporcionalidad, entre cada parte del cuerpo y su todo; y se
usaba como valor de referencia la longitud de sus dedos.
En la Grecia Antigua, se utilizaba, al igual que los egipcios, la proporción, para
valorar los distintos cánones de belleza. Este pueblo definió los cánones
ideales de belleza en función de las proporciones corporales; utilizaron como
como unidad de referencia la altura de la cabeza. En el siglo V a.C. Policleto
estableció para el cuerpo humano proporcionado, una longitud de siete
cabezas, mientras que su compatriota, Praxíteles, en sus tratados aumenta
esta relación a ocho cabezas (como observamos, hemos pasado de usar la
longitud del dedo a la longitud de la cabeza).
Estos cánones permanecieron casi invariables durante la antigüedad
grecorromana. Sin embargo, desde fines de la antigüedad fueron
progresivamente abandonados, a medida que el interés en la representación
de la figura humana fue decayendo.
Durante la Edad Media no existió un canon riguroso para las proporciones del
cuerpo humano. Las figuras humanas y animales se trazaban a partir de
formas geométricas simples, como el triángulo o el cuadrado.

7. En el renacimiento se adoptaron
nuevamente los cánones de la
antigüedad grecorromana. La
proporción del cuerpo humano fue
considerada como la expresión
sensible de la armonía, y la teoría
de las proporciones humanas
despertó gran interés entre los
artistas de la época. En este
periodo, Leonardo Da Vinci, nos
describe las reglas de
proporcionalidad del cuerpo humano
en movimiento. El dibujo que
representa esta figura ha sido
usado frecuentemente para
simbolizar la alianza entre el
deporte y la ciencia y retoma las
ideas del arquitecto romano
Vitrubio (año 15 a.C).

8. Entre los siglos XV y XVI, Alberto Durero (1471-1528) filosofó sobre la
proporcionalidad corporal. Si avanzamos en el tiempo, Gerard Thibauld
analiza las dimensiones ideales de un esgrimista, con una riqueza de detalles
difícil de ser encontrada, incluso, en estudios más modernos.
Por tanto, podemos afirmar que de una forma genérica, la altura de la cabeza
fue el índice más utilizado para la determinación de la proporcionalidad. Por
ejemplo, la estatura, según la antropología física, consistía en siete u ocho
alturas de cabeza, y partir de esta medida y usando un canon, eran deducidas
el resto de las medidas.
En el estudio de la proporcionalidad actual, el parámetro que se usa para la
determinación del canon ideal es la altura. Entonces, podemos decir que
hemos evolucionado de la longitud del dedo de los egipcios y d las cabezas de
los griegos, hasta llegar a la altura del cuerpo ideal.
El estudio de esta unidad nos ayudará a comprender mejor esta nota
histórica con lujo de detalles y aplicarlo en otros contextos.

9. OBJETIVO: Aplicar las propiedades de los números
racionales al concepto de proporcionalidad numérica y al
planteamiento y solución de problemas diversos.

10. RAZÓN O RELACIÓN
Frecuentemente has oído o has utilizado expresiones como las
siguientes:
 En esta ciudad hay 1 hombre por cada 5 mujeres.
 En este salón de clase hay 2 carpetas por cada 8 niños.
 En una granja hay 3 gallos por cada 8 gallinas.
Decimos que:
 La razón del número de hombres al número de mujeres es de 1 a
5 ó bien que, el número de hombres es 1/5 del número de
mujeres.
 La razón del número de carpetas al número de alumnos es de 2
a 8 ó bien que, el número de carpetas es 2/8 del número de
alumnos.
 La razón del número de gallos al número de gallinas es de 3 a 8
ó bien que, el número de gallos es 3/8 del número de gallinas.

11. Definimos entonces:
Se llama razón entre dos números Definitivamente
a y b (b = 0), al cociente de la fácil.
división de “a” por “b”.
El primer número se llama ANTECEDENTE y el segundo se llama
CONSECUENTE de la razón
En símbolos:
a antecedente
a es a b se expresa: a : b ó
b consecuente

12. PROPORCIÓN
 Decir que en esta ciudad, hay 1 hombre
por cada 5 mujeres equivale a decir que 1 2
=
hay 2 hombres por cada 10 mujeres. La 5 10
razón de 1 a 5 es igual a la razón 2 a 10.
 Análogamente, decir que en mi salón de
clase hay 2 carpetas por cada 8 alumnos, 2 6
equivale a decir que hay 6 carpetas por =
8 24
cada 24 alumnos. La razón 2 a 8 es igual
a la razón 6 a 24.
 Decir que en una granja hay 3 gallos por
3 6
cada 8 gallinas, equivale a decir que hay =
8 16
6 gallos por cada 16 gallinas. La razón 3 a
8 es igual a la razón 6 a 16.

13. Definimos entonces:
La igualdad de dos razones se
llama proporción.
También yo
Pensé que era algo
más complicado
En símbolos:
𝑎 𝑐
= Se lee: “a es a b como c es a d”
𝑏 𝑑
Razón Geométrica Razón Geométrica

14. PREPÁRENSE PARA
LA ACCIÓN

15. Escribe 3 razones equivalentes a cada una de las
siguientes:
2
a) Recuérdense que deben
5 multiplicar o dividir el
numerador y denominador
7 por el mismo número.
b)
3
c) 0,3
d) -6

16. Aplica la propiedad fundamental para verificar si los cuatro números en cada
caso forman una proporción. Escribe verdadero (V) o falso (F) según
corresponda:
a) 6 7 ( ) b)
4 6 ( ) c)
3 7 ( )
= = =
3 4 10 15 4 9
6 2 14 2 12 8
d) = e) 28 = 4 f) 15 = 10 (
27 9 ( ) ( ) )
Tú puedes, eres el mejor

17. Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:
𝑥 𝑦
3 5 , sabiendo que: x + y = 48
=
Aplicar las
propiedades

18. Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:
𝑥 𝑦
5 9 , sabiendo que: y - x = 16
=
Razona

19. Hallar la tercera proporcional entre:
1
a) 3 y 6 b) 0,2 y 0,8 c) 10 y
2
Razona

20. Hallar los valores de “x” e “y” en la expresión:
12 28
𝑦 , sabiendo que: y - x = 12
=
𝑥

21. Dos números están en la relación de 4 a 13. Si su
diferencia es 27. Determinar el menor de dichos
números.
Aplicar las
propiedades

22. Si la suma de dos números es 60 y su diferencia es 20.
Hallar la razón geométrica entre dichos números.

23. La suma de los cuadrados de dos números es 52; y la
razón de dichos números es 2/3. ¿Cuáles son los
números?
Adelante campeón

24. Hallar la razón equivalente a 4/7; de tal manera que la
suma de los 4 términos de la proporción formada sea
igual a 66.
No te
rindas

25. En un salón de clase, antes del recreo el número de
hombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si
después del recreo, hay 8 hombres y 4 mujeres menos,
con lo cual la razón de hombres a mujeres es 7/4. Hallar
cuántas mujeres habían antes del recreo.

26. El producto de los 4 términos de una proporción
continua es 625, y el segundo consecuente es 25. ¿Cuál
es la proporción?

27. Hallar la tercera proporcional entre:
1
a) 3 y 6 b) 0,2 y 0,8 c) 10 y
2
Razona

28. Determinar la cuarta proporcional de:
a) 9 ; 13 y 18 b) 17 ; 4 y 85
Súper
Fácil

29. 3 6 9
Si: = = ; donde: x + y + z = 42
𝑥 𝑦 𝑧
Hallar el valor de “z”
Aplica lo
aprendido

30. 1,2 𝑎 4
Si:
3,6
= 𝑏 = 𝑐 ; además: a + b + c = 20
Hallar el valor de “a + b”

31. La suma de 3 números que guardan entre sí la relación
de los números 3 ; 5 y 7 es igual a 120. ¿Cuáles son esos
números?

32. En el rectángulo ABCD, se une el punto medio “M” de BC
con “D”. La razón entre “x” e “y” en que queda dividido
el rectángulo es: D C
x
a) 1/3
b) 1/4 y
M
c) 2/3
d) 3/4 A B
e) 1/2
Con esto será
más sencillo

33. Los lados de un rectángulo miden AB = 3b; AD = a. Se
divide el lado AB en 3 partes iguales y CD en 2 partes
iguales. Entonces la razón entre las áreas de la parte
“achurada” (sombreada) y la “no achurada” es:
D C
a) a/b
b) 2a/3b
c) 3/2
d) 1
e) ab/2 A B
Este es un gran desafío

34. La parte achurada (sombreada) representa del total:
a) 1/9
b) 2/9
c) 1/18
d) 1/2 + 1/9
e) 7/9 - 1/2
Debes repasar
diariamente

35. En la figura mostrada. Hallar la relación entre el área
de la región sombreada y la no sombreada. (“O” es el
centro de la circunferencia mayor).
a) 𝜋/2
b) 5𝜋/2
c) 3𝜋/2 Nunca digas
d) 3 imposible, di más
bien, no lo he hecho
e) Faltan todavía
datos

36. CORTESÍA DE LOS ESTUDIANTES DE LA I.E. “JUAN PABLO II”
HUALLIN – CHACAS - ASUNCIÓN
GRACIAS!!!!!!!