Fracciones generatrices

1. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
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TIPOS DE NÚMEROS FRACCIONARIOS
Conocido ya el concepto de fracción en cursos anteriores, repasemos los
3 tipos de números fraccionarios que podemos distinguir:
(a) Decimal exacto: Tiene un número finito de cifras decimales:
Ejemplos: 0.5, 0.777, 0.23, etc.
(b) Periódico puro: Es aquel en el que el periodo (es decir, la parte decimal que se repite)
empieza justo después de la coma.
Ejemplos: 0.555..., 0.2525252..., 7,23423423..., 2.3333..., etc.
Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las
mismas: 2.33333.... = 2.3
)
= 2. 3
(c) Periódico mixto: Es aquel en el que periodo (es decir, la parte decimal que se repite) no
empieza justo después de la coma.
Ejemplos: 0.23555..., 0.122525252..., 7,0123423423..., 2.13333..., 2.3444444..., etc.
Para indicar la cifra o cifras que se repiten se simbolizan con un sombrerito o línea sobre las
mismas: 2.34444.... = 2.3 4
)
¿QUÉ ES UNA FRACCIÓN GENERATRIZ?
Como su propio nombre indica, buscar la fracción generatriz de un número racional es
buscar aquella fracción irreducible a partir de la cual se obtiene dicho número.
2.344444... = 2.34
)
=
90
211
¿PARA QUÉ SIRVEN?
Esta es una cuestión que se plantea generalmente en el aula y que, de momento, dejamos
en el aire hasta finalizar el tema.
En principio podríamos decir que, en aquellas expresiones con infinitos decimales, sería una
buena forma de escribir el valor exacto de esa expresión con infinitas cifras periódicas,
además de una forma de simplificación a la hora de operar con infinitas cifras decimales.
Esta fracción genera
el número inicial

2. Los números Reales. Fracciones generatrices
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¿CÓMO SE CALCULAN?
Vamos a trabajar su cálculo desde una doble perspectiva:
(a) Con lápiz y papel (demostraciones matemáticas o memorístico).
(b) Directamente con la calculadora, evitando la parte farragosa del tema, dependiendo de
los objetivos perseguidos inicialmente.
Fracción generatriz de un RACIONAL fraccionario decimal exacto
Calcula la fracción generatriz del número 0.62
MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA CON DEMOSTRACIÓN
MÉTODO II. REGLA PRÁCTICA MEMORÍSTICA
Al ser un decimal exacto, se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:
Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal.
Denominador: La unidad (1), seguida de tantos ceros como cifras decimales tenga el
número.
0.62 =
=
100
62
=
=
50
31
MÉTODO III. DIRECTAMENTE CON CALCULADORA
INTRODUCCIÓN:
(a) Hay que tener en cuenta que uno de los objetivos fundamentales de las matemáticas es
el razonamiento, antes que la memorización, sin ánimo de despreciar esta última.
(b) También, en muchas ocasiones, el cálculo de la fracción generatriz es un paso
intermedio a la hora de plantear, resolver y analizar críticamente los resultados de una
actividad y con su cálculo, en si mismo, no se cumple ninguno de los objetivos perseguidos.
Por eso, suele ser interesante la utilización de las calculadoras, aprovechando la capacidad
de la gama ClassWiz de CASIO, que son capaces de averiguar la fracción que genera un
número decimal, exacto o periódico.
INTRODUCCIÓN:
Basta con introducir el número directamente en la calculadora y presionar la tecla "igual".
x = 0.62
Al ser un decimal exacto, multiplicamos por
100 ambos miembros
(Potencia de 10 con tantas cifras como tenga la
parte decimal)
100x = 100· 0.62
100x = 62
x =
100
62
=
50
31

3. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
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0.62=
Fracción generatriz de un RACIONAL fraccionario periódico puro.
Calcula la fracción generatriz del número 0.121212...
MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA CON DEMOSTRACIÓN
Fraccionario periódico puro:
MÉTODO II. REGLA PRÁCTICA MEMORÍSTICA
Al ser periódico puro, se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:
Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal y se le resta el número formado por
todas las cifras que van antes del periodo.
Denominador: Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo.
0. 12 =
=
99
012 −
=
=
99
12
=
33
4
MÉTODO III.a. INDIRECTAMENTE CON CALCULADORA
Bastará con escribir directamente el número, introduciendo las cifras hasta que se salgan de
la propia pantalla de la calculadora. En el caso que nos ocupa 0. 12
0.1212121
21212121212=
Recuerda que debes tener configurado preferentemente la opción 1:E Mat/S Mat, donde
tanto la entrada de datos como la salida será en formato matemático Se nos mostrará en
pantalla en la forma.
(I) x = 0. 12
Al ser periódico puro, multiplicamos por 100 ambos
miembros
(Potencia de 10 con tantas cifras como tenga el
periodo)
(II) 100x = 12. 12
Restamos la segunda igualdad (II) de la primera (I)
para hacer "desaparecer" la parte periódica
100x – 1x = 12. 12 – 0. 12
99x = 12
x =
99
12
=
33
4

4. Los números Reales. Fracciones generatrices
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qw1
1
1
MÉTODO III.b. DIRECTAMENTE CON CALCULADORA
Aunque hay una opción muy interesante con una nueva aplicación que presentan este tipo
de máquinas ClassWiz. Fíjate en ese rectángulo rojo que tiene una línea por encima:
0.12 =
0.Qs12=
NOTA: En el rectángulo donde escribimos el periodo podremos colocar tantas cifras como
queramos.
Fracción generatriz en un RACIONAL fraccionario periódico mixto
Calcula la fracción generatriz del número 4.6171717171717...
Fraccionario periódico mixto:
1764. →
MÉTODO I. METODOLOGÍA ALGEBRAICA
(I) x = 1764.
Como se trata de un periódico mixto, multiplicamos
por 10 ambos miembros
(potencia de 10 con tantas cifras como tenga el
anteperiodo)
(II) 10x = 46.17
Multiplicamos por 100 ambos miembros
(Potencia de 10 con tantas cifras como tenga el
periodo)
(III) 100·10x = 4617. 17
Restamos la tercera igualdad (III) de la segunda (II)
para hacer “desaparecer" la parte periódica
1000x – 10x = 4617. 17 – 46. 17
990x = 4617 – 46
464617− 4571

5. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
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MÉTODO II. REGLA PRÁCTICA MEMORÍSTICA
Al ser periódico mixto, se pondrá directamente una fracción en la que tendremos como:
Numerador: Todas las cifras, sin la coma decimal ni periodo y se le resta el número
formado por todas las cifras que van antes del periodo.
Denominador: Número constituido por tantos nueves (9) como cifras tenga el periodo y
tantos ceros (0) como cifras tenga el anteperiodo.
1764. =
990
464617−
=
=
990
4571
MÉTODO III.a. INDIRECTAMENTE CON CALCULADORA
(a) Siguiendo en la línea de lo ya mencionado, en los números fraccionarios periódicos
puros, se introducen las cifras hasta que se salgan de la propia pantalla de la calculadora. En el
caso que nos ocupa 1764.
4.6171717171
7171717=
MÉTODO III.b. CON CALCULADORA
4.6Qs17=
Realiza un breve comentario del tipo de número que aparece en cada uno de los siguientes
apartados y calcula, cuando sea posible, su fracción generatriz irreducible. En caso de que no
se pueda, justifica la respuesta.
01. 0.31 02. 0.555... 03. 0.009
04. 0.005005005... 05. 19.37171717... 06. 7.777
RESOLUCIÓN
01. 0.31
=
100
31
C0.31=
Se trata de un número racional, decimal exacto
02. 0.555...
50
)
.
=
9
05 −
=
9
5

6. Los números Reales. Fracciones generatrices
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C0.Qs5=
Se trata de un número racional, periódico puro
03. 0.009
=
1000
9
C0.009=
Se trata de un número racional, decimal exacto
04. 0.005005005...
0050.
=
999
05 −
=
=
999
5
C0.Qs005=
Se trata de un número racional, periódico puro
05. 19.37171717...
71319.
=
990
19319371−
=
990
19178
=
495
9589
C19.3Qs71=
Se trata de un número racional, periódico mixto
06. 7.777
1000
7777
C7.777=
Se trata de un número racional, decimal exacto

7. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
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Realiza un breve comentario del tipo de número que aparece en cada uno de los siguientes
apartados y calcula, cuando sea posible, su fracción generatriz irreducible. En caso de que no
se pueda, justifica la respuesta.
07. 0.0091
R, Q, fraccionario, decimal exacto
0.0091 =
=
10000
91
08. 0.006006006...
R, Q, fraccionario, periódico puro
0060. =
=
999
06 −
=
=
999
6
=
333
2
09. 1.33131313...
R, Q, fraccionario, periódico mixto
3131. =
=
990
131331−
=
=
990
1318
=
495
659
11. 8.888
R, Q, fraccionario, decimal exacto
8.888 =
=
1000
8888
=
125
1111

8. Los números Reales. Fracciones generatrices
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13. 1.22...
R, Q, fraccionario, periódico puro
2.1
)
=
=
9
112 −
=
9
11
14. 1.22
R, Q, fraccionario, decimal exacto
1.22 =
=
100
122
=
50
61
20. 7.4566666...
R, Q, fraccionario, periódico mixto
645.7
)
=
=
900
7457456 −
=
900
6711
=
300
2237
31. 3.5959595...
R, Q, fraccionario, periódico puro
59.3 =
=
99
3359 −
=
99
356
33. 1.205050505...
R, Q, fraccionario, periódico mixto
0521.
=
990
121205 −
=
990
1193
42 7.0161616161...

9. Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I
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R, Q, fraccionario, periódico mixto
160.7 =
=
990
707016 −
=
990
6946
=
495
3473
50 1.777
R, Q, fraccionario, decimal exacto
1.777 =
= 1777/1000
58 0.0222...
R, Q, fraccionario, periódico mixto
200. =
=
90
02 −
=
45
1
64 0.325
R, Q, fraccionario, decimal exacto
0.325 =
=
1000
325
=
40
13
66 0.28571428571...
R, Q, fraccionario, periódico puro
0.28571428571...
= 2857140. =
=
999999
0285714 −
=
333333
95238
=
111111
31746
=
=
37037
10582
=
3367
962
=
259
74
=
7
2