Trabajo y Energía (Teórica-10b - Teoremas Fundamentales)

1. Trabajo y Energía
Teoremas Fundamentales
Curso de Estabilidad IIb
Ing. Gabriel Pujol
Para las carreas de Ingeniería Mecánica e Ingeniería Naval y Mecánica de la
Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. Al ver la presentación del tema “Trabajo y
Energía” llegamos a la siguiente conclusión:
En el caso general de un elemento sujeto a solicitación Axil, Flexión, Corte y Torsión, se
obtiene que la energía de deformación total es:
U = Un + Ub + Us + Ut
o sea:
𝑈 =
0
𝐿
1
2
∙
𝑁2
∙ 𝑑𝑥
𝐴 ∙ 𝐸
+
0
𝐿
1
2
∙
𝑀2
∙ 𝑑𝑥
𝐸 ∙ 𝐽
+
0
𝐿
1
2
∙
𝜒 ∙ 𝑄2
∙ 𝑑𝑥
𝐺 ∙ 𝐴
+
0
𝐿
1
2
∙
𝑇2
∙ 𝑑𝑥
𝐺 ∙ 𝐽0
… y vimos que la expresión anterior puede usarse también para vigas ligeramente curvas.
La limitación para su uso se presenta cuando el radio de curvatura es menor que cinco
veces la dimensión mayor de la sección transversal.
Veamos ahora los Teoremas Fundamentales:

3. Teorema de Clapeyron
Consideremos un sólido elástico al cual se le puede
aplicar el principio de superposición de efectos,
existiendo una relación lineal entre cargas y
deformaciones. Aplicamos un sistema de cargas P1, P2,
…Pi,…Pn, y sean δ1, δ2,…δi,…δn los corrimientos reales,
mientras que δ1,δ2,…δi,…δn, son los corrimientos
correspondientes con las direcciones de las cargas
(aquellos que producen trabajos).
Si las cargas se aplican gradualmente, los valores absolutos de Te y Ti serán iguales y
dependerán únicamente del estado final de cargas y deformaciones, y no del orden en que
se aplique las cargas.
Asumamos que las cargas se aplican con un incremento porcentual similar en todas ellas
mediante un parámetro α que crece variando desde 0 hasta 1.
En un instante t estarán aplicadas las cargas: αP1, αP2, … αPi , … αPn
a las que corresponderán desplazamientos: αδ1, αδ2, … αδi , … αδn

4. Al crecer las cargas un: d(αP1), d(αP2), … d(αPi ), … d(αPn)
se producirán incrementos de desplazamiento:
d(αδ1), d(αδ2), … d(αδi), … d(αδn)
…con un incremento en el Trabajo Externo (Te ) igual
al incremento de Energía Potencial de Deformación:
𝒅𝑻𝒆 = 𝒅𝑼 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝜶𝑷𝒊 ∙ 𝒅 𝜶𝜹𝒊 + 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 𝟐𝒅𝒐 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 ≅ 𝜶 ∙ 𝒅𝜶
𝒊=𝟏
𝒏
𝑷𝒊 ∙ 𝜹𝒊
…y el Trabajo o Energía total durante todo el proceso de carga será:
𝑻𝒆 = 𝑼 ≅ 𝜶 ∙ 𝒅𝜶
𝒊=𝟏
𝒏
𝑷𝒊 ∙ 𝜹𝒊 =
𝒊=𝟏
𝒏
𝑷𝒊 ∙ 𝜹𝒊 ∙
𝜶=𝟎
𝜶=𝟏
𝜶 ∙ 𝒅𝜶 =
𝟏
𝟐
∙
𝒊=𝟏
𝒏
𝑷𝒊 ∙ 𝜹𝒊
“El trabajo desarrollado durante la carga de un sólido elástico, por un
sistema de cargas en equilibrio, es independiente del orden de
aplicación de las cargas, y su valor es igual a la mitad de la suma del
producto del valor final de las fuerzas por el valor final de los
desplazamientos correspondientes de su punto de aplicación”

5. Teorema de Betti (Ley
de Reciprocidad)
Supongamos que sobre un cuerpo actúa un sistema de fuerzas P que produce
deformaciones δ y una energía de deformación U igual a un trabajo Te, y dicho sistema de
cargas P esta formado por la suma de dos estados de carga que llamaremos PΙ y PII.
…y si δΙ es el conjunto de desplazamientos correspondientes a la carga PΙ y δΙI es el
correspondiente a las cargas PΙI se cumplirá:
…cualquiera sea el orden en que se aplican las fuerzas, P; δ producen Te = U. Veamos de
aplicarlas cargas P de dos formas distintas:
P = PΙ + PII
δ = δΙ + δII

6. 𝐔𝐈,𝐈𝐈
𝐔𝐈,𝐈
Primero aplicamos PI y
luego aplicamos PII
PI
I
Al aplicar el sistema de fuerzas PI se producirán en
el cuerpo desplazamientos I …
PII
…por lo que, el valor de la energía o trabajo externo
de las cargas PI a lo largo de los desplazamientos I
(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PI),
será:
→ 𝐔 = 𝐔𝐈,𝐈
P

Al aplicar ahora el sistema de fuerzas PII se
producirán en el cuerpo desplazamientos II …
II
…por lo que, el valor de la energía o trabajo externo
de las cargas PII a lo largo de los desplazamientos II
(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PII),
será:
+𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
…pero las cargas PI (que ya han sido aplicadas), también realizan trabajo. El valor de la energía o
trabajo externo de las cargas PI a lo largo de los desplazamientos II (dado que las cargas
permanecen constantes a lo largo de toda la deformación), será:
𝐔𝐈,𝐈 =
𝟏
𝟐
𝐏𝐈 ∙ 𝛅𝐈
𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈 =
𝟏
𝟐
𝐏𝐈𝐈 ∙ 𝛅𝐈𝐈
𝐔𝐈,𝐈𝐈 = 𝐏𝐈 ∙ 𝛅𝐈𝐈
+𝐔𝐈,𝐈𝐈
𝐏𝐈
𝐏𝐈𝐈
𝛅𝐈 𝛅𝐈𝐈

7. 𝐔𝐈𝐈,𝐈
𝐔𝐈,𝐈𝐈
𝐔𝐈,𝐈
Aplicamos ahora primero
PII y luego aplicamos PI
PI
I
Al aplicar el sistema de fuerzas PII se producirán en
el cuerpo desplazamientos II …
PII
…por lo que, el valor de la energía o trabajo externo
de las cargas PII a lo largo de los desplazamientos II
(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PI),
será:
→ 𝐔 = 𝐔𝐈,𝐈
P

Al aplicar ahora el sistema de fuerzas PI se
producirán en el cuerpo desplazamientos I …
II
…por lo que, el valor de la energía o trabajo externo
de las cargas PI a lo largo de los desplazamientos I
(dado que las cargas se aplican en forma progresiva desde 0 a PII),
será:
+𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
…pero las cargas PII (que ya han sido aplicadas), también realizan trabajo. El valor de la energía o
trabajo externo de las cargas PII a lo largo de los desplazamientos I (dado que las cargas
permanecen constantes a lo largo de toda la deformación), será:
𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈 =
𝟏
𝟐
𝐏𝐈𝐈 ∙ 𝛅𝐈𝐈
𝐔𝐈,𝐈 =
𝟏
𝟐
𝐏𝐈 ∙ 𝛅𝐈
𝐔𝐈𝐈,𝐈 = 𝐏𝐈𝐈 ∙ 𝛅𝐈
+𝐔𝐈,𝐈𝐈
𝐏𝐈
𝐏𝐈𝐈
𝛅𝐈 𝛅𝐈𝐈
𝐔𝐈,𝐈
𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
𝐏𝐈
𝐏𝐈𝐈
𝛅𝐈
𝛅𝐈𝐈
→ 𝐔 = 𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
P

+𝐔𝐈,𝐈+𝐔𝐈𝐈,𝐈

8. Como los dos estados
finales son iguales… → 𝐔 = 𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
𝐔𝐈𝐈,𝐈
𝐔𝐈,𝐈𝐈
𝐔𝐈,𝐈
PI
I
PII
P

II
𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
𝐏𝐈
𝐏𝐈𝐈
𝛅𝐈 𝛅𝐈𝐈
𝐔𝐈,𝐈
𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈
𝐏𝐈
𝐏𝐈𝐈
𝛅𝐈
𝛅𝐈𝐈
P

+𝐔𝐈,𝐈+𝐔𝐈𝐈,𝐈
→ 𝐔 = 𝐔𝐈,𝐈+𝐔𝐈𝐈,𝐈𝐈+𝐔𝐈,𝐈𝐈
…también lo serán los Trabajos finales (por el
Teorema de Clapeyron) y de igualar ambas
expresiones obtendremos:
𝐔𝐈,𝐈𝐈=𝐔𝐈𝐈,𝐈 → 𝐓𝐞𝐈,𝐈𝐈=𝐓𝐞𝐈𝐈,𝐈
“El trabajo de un estado de cargas en
equilibrio PΙ a lo largo de los desplazamientos
producidos por otro estado de cargas en
equilibrio PΙΙ es igual al trabajo de las cargas
PΙΙ a lo largo de los desplazamientos
producidos por PΙ”

9. Veamos el siguiente
ejemplo…
…donde una viga simplemente apoyada está
cargado con dos sistemas de PI y PII que generan
los desplazamientos que se muestran en la figura:
U = UΙ Ι +UΙΙ ΙΙ + UΙ ΙΙ
U = UΙΙ ΙΙ + UΙ Ι +UΙI Ι
De la igualdad en los dos casos:

10. …donde una viga simplemente apoyada está
cargado con dos sistemas de PI y PII que generan
los desplazamientos que se muestran en la figura:
U = UΙ Ι +UΙΙ ΙΙ + UΙ ΙΙ
U = UΙΙ ΙΙ + UΙ Ι +UΙI Ι
De la igualdad en los dos casos:
Podemos ver que las expresiones de ambos casos pueden convertirse
fácilmente en la de Clapeyrón
→
𝑃1 ∙ 𝛿𝑑 + 𝑃2 ∙ 𝛿𝑓
2
=
𝑃3 ∙ 𝛿𝑏
2
→ 𝑈 =
𝑃3 ∙ 𝛿𝑒
2
+
𝑃1 ∙ 𝛿𝑎 + 𝑃2 ∙ 𝛿𝑐
2
+
𝑃3 ∙ 𝛿𝑏
2
+
𝑃1 ∙ 𝛿𝑑 + 𝑃2 ∙ 𝛿𝑓
2
∙
1
2
+
𝑃3 ∙ 𝛿𝑏
2
…y reagrupando será:

11. Teorema de Maxwell
Este Teorema será tratado aquí como un caso
particular del Teorema de Betti fue enunciado
con anterioridad a este ultimo. Betti solo
generalizo las conclusiones a que había llegado
Maxwell.
En la figura siguiente de una viga tenemos dos
estados de carga y deformaciones, con la
salvedad que ambos estados de cargas son
unitarios.
(Ι) P1 = 1, δ11, δ21
(ΙΙ) P2 = 1, δ12, δ22
…y aplicando el Teorema de Betti: P1⋅ δ12 = P2⋅ δ21 → δ12 = δ21
“El valor del corrimiento de un punto 1 según una cierta dirección P1 debido a una
fuerza unitaria aplicada en 2 según una dirección P2, es igual al valor del
corrimiento en 2 según la dirección P2, provocado por una fuerza unitaria aplicada
en 1 según una dirección P1”
1
(Es válido reemplazar en el
enunciado “fuerza” por “par” y
“corrimiento” por “giro”)

12. Bibliografía
Recomendada
(en orden alfabético)
 Estabilidad II - E. Fliess
 Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo
 Mecánica de las estructuras – Miguel Cervera Ruiz/ Elena Blanco Díaz
 Mecánica de materiales - F. Beer y otros
 Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez
 Resistencia de materiales - V. Feodosiev
 Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer
 Resistencia de materiales - S. Timoshenko

13. Muchas Gracias