Fuerzas y momentos de torsión magnéticos Fuerza magnética en un conductor que transporta corriente Alambre curvo en un campo B uniforme Momento de torsión magnético en una espira que lleva corriente Campo magnético en el plano de la espira Campo magnético perpendicular al eje de una espira rectangular Ley de Biot-Savart Campo magnético de una espira circular Fuerza magnética entre conductores paralelos Ley de Ampére Propiedades magnéticas de materiales Permeabilidad magnética Histéresis magnética de los materiales ferromagnéticos Inductancia Campo magnético en un solenoide Autoinductancia Autoinductancia línea de transmisión de conductores paralelos Energía magnética

1. TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA
MAGNETOSTÁTICA
Jorge Patricio Muñoz Vizhñay
Ing. Eléctrico, MSc. , MBA
FACULTAD DE ENERGÍA, LAS
INDUSTRIAS Y LOS RECURSOS
NATURALES NO RENOVABLES
CARRERA DE
INGENIERÍA
ELECTROMECÁNICA

2. Generalidades
Las cargas estacionarias producen campos eléctricos estáticos, mientras que las
corrientes estacionarias (que no cambian con el tiempo) producen campos
magnéticos estáticos. Con δ/δt = 0, los campos magnéticos en un medio con
permeabilidad magnética μ están regidos por el segundo par de las ecuaciones de:
Δ · B = 0
Δ x H = J
donde J es la densidad de corriente. La densidad de flujo magnético B y la
intensidad de campo magnético H están relacionadas por
B = μ H
3. Magnetostática

3. Generalidades
Con la excepción de los materiales ferromagnéticos, para los cuales la relación entre
B y H no es lineal, la mayoría de los materiales se caracterizan por permeabilidades
magnéticas constantes.
Además, μ = μ0 para la mayoría de los dieléctricos y metales (excluidos los materiales
ferromagnéticos).
3. Magnetostática

4. Fuerzas y momentos de torsión magnéticos
Se define la densidad de flujo magnético B en un punto del espacio en función de la
fuerza magnética Fm que sería ejercida en una partícula cargada, que se mueve con
una velocidad u como si estuviera pasando a través de ese punto.
Fm, que actúa en una partícula de carga q, se expresa como
Fm = q u x B (N)
La intensidad de B se mide en newtons/(Cm/s), unidad que también se conoce como
tesla (T) en unidades SI.
Para una partícula positivamente cargada, la dirección de Fm coincide con la
dirección del producto cruz u x B, que es perpendicular al plano que contiene u y
B, y que está regida por la regla de la mano derecha.
La magnitud Fm se determina mediante
Fm = q u B sen θ
3. Magnetostática

5. Fuerzas y momentos de torsión magnéticos
Si una partícula cargada está en presencia tanto de un campo eléctrico E como de un
campo magnético B, entonces la fuerza electromagnética total que actúa en ella es
F = Fe + Fm = q E + q u x B = q (E + u x B)
Las fuerzas eléctricas y magnéticas presentan varias diferencias importantes:
1. La fuerza eléctrica siempre tiene la dirección del campo eléctrico, en tanto que la
fuerza magnética siempre es perpendicular al campo magnético.
2. La fuerza eléctrica actúa en una partícula cargada, ya sea que se esté moviendo o
no, mientras que la fuerza magnética actúa en ella sólo cuando está en
movimiento.
3. La fuerza eléctrica gasta energía al desplazar una partícula cargada, en tanto que
la fuerza magnética no trabaja cuando desplaza una partícula.
El campo magnético puede cambiar la dirección de movimiento de una partícula
cargada, pero no su rapidez, porque no se realiza trabajo, un campo magnético
no altera la energía cinética de una partícula cargada.
3. Magnetostática

6. Fuerzas y momentos de torsión magnéticos
La dirección de la fuerza magnética Fm ejercida en una partícula cargada que se
mueve en un campo magnético es a) perpendicular tanto a B como a u y b)
depende de la polaridad de la carga (positiva o negativa).
3. Magnetostática
(b)

7. Fuerza magnética en un conductor que transporta corriente
Cuando se coloca un alambre que transporta corriente en un campo magnético,
experimentará una fuerza igual a la suma de las fuerzas magnéticas que actúan en
las partículas cargadas que se mueven dentro de él.
La configuración mostrada en la figura la que un alambre vertical orientado a lo
largo de la dirección z está colocado en un campo magnético B (producido por un
imán) orientado a lo largo de la dirección (hacia dentro de la página).
Cuando se introduce corriente en el alambre, éste se desvía a la izquierda
(dirección ) si la dirección de la corriente es ascendente (dirección ).
3. Magnetostática
REGLA DE LA MANO DERECHA
Pulgar = fuerza [Fm]
Índice = dirección corriente [I]
Medio = Densidad de flujo magnético [B]

8. Fuerza magnética en un conductor que transporta corriente
Cuando se coloca un alambre que transporta corriente en un campo magnético,
experimentará una fuerza igual a la suma de las fuerzas magnéticas que actúan en
las partículas cargadas que se mueven dentro de él.
La configuración mostrada en la figura la que un alambre vertical orientado a lo
largo de la dirección z está colocado en un campo magnético B (producido por un
imán) orientado a lo largo de la dirección (hacia dentro de la página).
Cuando se introduce corriente en el alambre, éste se desvía a la izquierda
(dirección ) si la dirección de la corriente es ascendente (dirección ).
3. Magnetostática
REGLA DE LA MANO DERECHA
Pulgar = fuerza [Fm]
Índice = dirección corriente [I]
Medio = Densidad de flujo magnético [B]

9. Fuerza magnética en un conductor que transporta corriente
Si el conductor tiene una densidad de carga de electrones libres ρve = -Ne e (donde
Ne es el número de electrones en movimiento por unidad de volumen.
en un volumen elemental del conductor es
dQ = ρve A dl = (- Ne e) A dl
la fuerza magnética correspondiente que actúa en dQ en la presencia de un campo
magnético B es
dFm = dQ ue x B = Ne e A dl ue x B
Donde ue es la velocidad de los electrones, por tanto, dl ue = -dl ue y la ecuación se
convierte en
dFm = Ne e A ue dl x B
3. Magnetostática

10. Fuerza magnética en un conductor que transporta corriente
La corriente I que fluye a través de un área de sección transversal A, es
I = ρve (-ue) A = (- Ne e) (-ue) A = Ne e A ue
Por consiguiente
dFm = I dI x B
Para un circuito cerrado de contorno C que transporta una corriente I, la fuerza
magnética total es
Fm = I dI x B𝐶
3. Magnetostática

11. Circuito cerrado en un campo B uniforme
Considerando un conductor cerrado que transporta una corriente I colocado en un
campo magnético externo uniforme B, como se muestra en la figura. Como B es
constante, puede obtenerse
Fm = I 𝑑𝐥𝐶
x B = 0
establece que la fuerza magnética total en cualquier espira de corriente cerrada en
un campo magnético uniforme es cero.
3. Magnetostática

12. Alambre curvo en un campo B uniforme
Analizando la carga magnética ejercida sobre un segmento de conductor cuando se
coloca en un campo uniforme B, entonces la ecuación se transforma en
3. Magnetostática
donde l es el vector dirigido de a a b,
como se ilustra en la figura
En una espira cerrada, los puntos a y
b llegan a ser el mismo punto, en
cuyo caso l = 0 y Fm = 0.
Ejemplo 5-1, pág. 209

13. Momento de torsión magnético en una espira que lleva corriente
El producto cruz del vector fuerza F y el vector de distancia d llamado brazo de
momento resulta el momento de torsión:
T = d x F (N · m)
La fuerza F que actúa en un disco circular que gira en torno al eje z genera un
momento de torsión T = d x F que hace girar el disco. Po consiguiente:
T = r F sen θ,
3. Magnetostática

14. Momento de torsión magnético en una espira que lleva corriente
Las direcciones de T están regidas por la siguiente regla de la mano derecha:
cuando el dedo pulgar de la mano derecha apunta a lo largo de la dirección del
momento de torsión, los cuatro dedos indican la dirección en la que el momento de
torsión está tratando de hacer girar el cuerpo.
3. Magnetostática

15. Campo magnético en el plano de la espira
Se analiza el caso en que el campo magnético B se encuentra en el plano de la
espira y luego el caso más general en que B forma un ángulo θ con la normal de la
superficie de la espira.
3. Magnetostática

16. Campo magnético en el plano de la espira
La espira rectangular conductora que se ilustra
en la figura está hecha de alambre rígido que
lleva una corriente I. La espira está situada en el
plano x-y en torno al eje mostrado. Por la
influencia de un campo magnético uniforme
externamente generado B = B0, los brazos 1 y 3
de la espira se someten a las fuerzas F1 y F3,
respectivamente, con
F1 = I (- b) x ( B0) = IbB0
F3 = I (+ b) x ( B0) = - IbB0
No se ejerce fuerza magnética en las brazos 2 y 4
porque B es paralelo a la dirección de la
corriente que fluye por esos brazos.
3. Magnetostática

17. Campo magnético en el plano de la espira
F1 y F3 producen un momento de torsión
alrededor del origen O, lo que hace que la
espira gire en el sentido de las manecillas del
reloj.
El resultado es un momento de torsión
magnético total de
donde A = ab es el área de la espira.
La regla de la mano derecha indica que el
sentido de rotación es el sentido de las
manecillas del reloj.
3. Magnetostática

18. Campo magnético en el plano de la espira
El resultado de la ecuación anterior es válido
sólo cuando el campo magnético B es paralelo
al plano de la espira.
En cuanto la espira comienza a girar, el
momento de torsión T comienza a disminuir y
al final de un cuarto de rotación completa, el
momento de torsión se vuelve cero, como se
verá a continuación.
3. Magnetostática
-z

19. Campo magnético perpendicular al eje de una
espira rectangular
Según la figura, en que B = B0, el campo sigue
siendo perpendicular al eje de rotación de la
espira, pero su dirección puede estar a
cualquier ángulo θ con respecto a la normal a
la superficie de la espira , ahora se pueden
tener fuerzas diferentes de cero en los cuatro
brazos de la espira rectangular.
Las fuerzas F2 y F4 son iguales en magnitud y
opuestas en dirección y están a lo largo del eje
de rotación
3. Magnetostática

20. Campo magnético perpendicular al eje de una
espira rectangular
Las direcciones de las corrientes en los brazos
1 y 3 siempre son perpendiculares a B sin
importar la magnitud de θ.
F1 y F3 tienen las mismas expresiones de las
ecuaciones anteriores y su brazo de momento
es (a/2) sen θ, como se observa en la presente
figura.
La magnitud del momento de torsión neto
ejercido por el campo magnético en torno la
eje de rotación es el mismo que nos da la
ecuación anterior, pero modificado por sen θ:
T = I AB0 sen θ
3. Magnetostática

21. Campo magnético perpendicular al eje de una
espira rectangular
Si la espira se compone de N vueltas y cada
una contribuye con un momento de torsión
T = N I AB0 sen θ
La cantidad NIA se llama momento magnético
m de la espira y es considerado como un
vector m con dirección , donde es la normal
a la superficie de la espira.
El momento magnético m esta regido por la
regla de la mano derecha: cuando los cuatro
dedos de la mano derecha avanzan en la
dirección de la corriente I, la dirección del
pulgar especifica la dirección de . Es decir,
m = N I A (A·m2); ó T = m x B (N·m)
3. Magnetostática

22. Ley de Biot-Savart
• Se utilizará la intensidad de campo magnético H. Se hace esto en parte para
recordar que B y H están linealmente relacionados para la mayoría de los
materiales mediante B = μ H.
• Hans Oersted estableció que las corrientes eléctricas producen campos
magnéticos en forma de espiras cerradas alrededor de los conductores.
3. Magnetostática

23. Ley de Biot-Savart
La ley de Biot-Savart establece que el campo magnético diferencial dH generado
por una corriente constante I que fluye a través de una longitud diferencial dl se
determina de la siguiente forma
donde R = ȒR es el vector de distancia entre dl y el punto de observación P
mostrado en la figura.
3. Magnetostática

24. Ley de Biot-Savart
dH varía conforme R-2, similar a la dependencia en la distancia del campo eléctrico
inducido por una carga eléctrica.
Sin embargo, a diferencia del vector de campo eléctrico E, cuya dirección es a lo
largo del vector de distancia R que une a la carga con el punto de observación, el
campo magnético H es ortogonal al plano que contiene la dirección del elemento
de corriente dl y el vector de distancia R.
3. Magnetostática

25. Ley de Biot-Savart
Para determinar el campo magnético total H producido por un conductor de
tamaño finito, se tienen que sumar las contribuciones de todos los elementos de
corriente que conforman el conductor. De ahí que la ley de Biot-Savart se vuelve
3. Magnetostática

26. Campo magnético producido por distribuciones de corriente superficiales y
volumétricas
La ley de Biot-Savart también puede expresarse en función de fuentes de corriente
distribuidas, como la densidad de corriente volumétrica J, medida en (A/m2) o la
densidad de corriente superficial Js, medida en (A/m).
Se tiene la equivalencia: I dl = Js ds = J dv
3. Magnetostática

27. Campo magnético producido por distribuciones de corriente superficiales y
volumétricas
Para expresar la ley de Biot-Savart como sigue:
3. Magnetostática
Para una corriente volumétrica Para una corriente superficial

28. Campo magnético de un conductor lineal
Ejemplo 5-2, pág. 214
3. Magnetostática
x
y
dH

29. Campo magnético de una espira circular
Ejemplo 5-4, pág. 216
3. Magnetostática
θ
dH
dHr
dHz
θ
R
a
z
P
dH’r
dH’ dH’z
R’

30. Campo magnético de un dipolo magnético
Una espira por la que circula corriente con dimensiones (de su radio) mucho más
pequeñas que la distancia entre la espira y un punto de observación P’ se llama
dipolo magnético.
Esto es porque el patrón de su campo magnético es similar al de un imán
permanente y al del campo eléctrico del dipolo eléctrico. La similitud es evidente
según los patrones mostrados en la figura.
3. Magnetostática

31. Fuerza magnética entre conductores paralelos
Si se colocan dos conductores que transportan corriente muy cerca entre sí, cada
uno ejercerá una fuerza magnética sobre el otro.
Dos alambres paralelos rectos muy largos (o infinitamente largos de manera
efectiva) en el espacio libre, separados una distancia d y que transportan corrientes
I1 e I2 en la misma dirección, como se muestra en la figura. La corriente I1 está
situada en y = -d/2 e I2 en y = d/2, y ambas apuntan en la dirección z.
3. Magnetostática

32. Fuerza magnética entre conductores paralelos
B1 denota el campo magnético producido por la corriente I1, definido en la
ubicación del alambre que transporta la corriente I2 y, a la inversa, B2 es el campo
producido por I2 en la ubicación del alambre que transporta la corriente I1.
De acuerdo con la ecuación, con I = I1, r = d y en la ubicación de I2, el campo
B1 es (Ø se transforma en -x considerando el vector tangencial en el punto donde
esta ubicado I2).
3. Magnetostática
La fuerza F2 ejercida en un tramo l del alambre I2
en virtud de su presencia en el campo B1 se
obtiene aplicando la ecuación F = I l x B:

33. Fuerza magnética entre conductores paralelos
La fuerza correspondiente por unidad de longitud es
La fuerza por unidad de longitud ejercida en el alambre que transporta la corriente
I1 conduce a
3. Magnetostática
F1‘= - F2’, lo que indica que los dos
conductores se atraen con fuerzas iguales. Si
las corrientes circulan en direcciones
opuestas, los conductores se repelerían con
fuerzas iguales.

34. Ley de Ampére
La forma integral de la ecuación Δ x H = J se llama ley circuital de Ampère (o
simplemente ley de Ampère) en condiciones magnetostáticas (corrientes
estacionarias). Se obtiene integrando ambos lados sobre una superficie abierta S.
y luego se recurre al teorema de Stokes, para obtener el resultado
donde C es el contorno cerrado que limita la superficie S y I = J·ds es la corriente
total que fluye a través de S.
3. Magnetostática

35. Ley de Ampére
3. Magnetostática
La ley de Ampère establece que la
integral de línea de H alrededor de un
contorno cerrado C es igual a la corriente
que atraviesa la superficie limitada por
ese contorno.
La convención de signos para la dirección
de C se considera de manera que I y H
satisfagan la regla de la mano derecha, la
dirección de I coincide con la dirección
del pulgar de la mano derecha y la
dirección del contorno C deberá elegirse
en la dirección de los otros cuatro dedos.
Esto es cierto para los contornos a) y b),
pero la integral de línea de H es cero para
el contorno en c) porque la corriente I
(denotada por el símbolo ⃝) no está
encerrada por el contorno C.

36. Campo magnético de un conductor largo
Ejemplo 5-5, pág. 221
3. Magnetostática

37. Campo magnético en el interior de una bobina toroidal
Ejemplo 5-6, pág. 223
3. Magnetostática

38. Campo magnético de una hoja de corriente infinita
Ejemplo 5-7, pág. 223
3. Magnetostática

39. Propiedades magnéticas de materiales
• El patrón del campo magnético generado por una espira de corriente es similar
al que exhibe un imán permanente, la espira se considera un dipolo magnético
con un polo norte y un polo sur
• La magnetización en un material está asociada con corrientes atómicas
generadas por dos mecanismos principales:
1. Los movimientos orbitales de los electrones alrededor del núcleo y
movimientos similares de los protones uno alrededor del otro en el núcleo, y
2. La rotación (o espín) de los electrones.
3. Magnetostática
Momento magnético
orbital
Momento magnético
de espín

40. Propiedades magnéticas de materiales
La magnitud el momento magnético orbital mo asociado de un electrón es
Un electrón genera un momento magnético de espín ms a causa de su movimiento
de rotación alrededor de su propio eje. La magnitud de ms que pronostica la teoría
cuántica es (h = constante de Plank; me = masa electrón; e = carga electrón).
El comportamiento magnético de un material está regido por la interacción de los
momentos dipolares magnéticos de sus átomos con la presencia de un campo
magnético externo.
Este comportamiento, que depende de la estructura cristalina del material, se
utiliza como base para clasificar materiales como diamagnéticos, paramagnéticos
o ferromagnéticos.
3. Magnetostática
https://www.youtube.com/watch?v=Dp_3GZqJJyc

41. Permeabilidad magnética
El vector de magnetización M de un material se define como la suma vectorial de
los momentos dipolares magnéticos de los átomos contenidos en un volumen
unitario del material. La densidad de flujo magnético correspondiente a M es
Bm=μ0M. En la presencia de un campo magnético externamente aplicado H, la
densidad de flujo magnético total en el material es
B = μ0H + μ0M = μ0 (H + M)
donde el primer término representa la contribución del campo externo, y el
segundo representa la contribución de la magnetización del material.
Un material se magnetiza en respuesta al campo externo H. De ahí que M se
exprese como
Donde es una cantidad adimensional llamada susceptibilidad magnética del
material
3. Magnetostática

42. Permeabilidad magnética
Se obtiene
o
B = μ H
donde μ, es la permeabilidad magnética del material (μ0 es la permeabilidad
magnética en el vacío) y está dada en función de por
μ = μ0 (1+ ) (H/m)
Con frecuencia es conveniente definir las propiedades magnéticas de un material
en función de la permeabilidad relativa μr:
3. Magnetostática

43. Permeabilidad magnética
En general, un material se clasifica como diamagnético, paramagnético o
ferromagnético con base en el valor de su , como se muestra en la tabla
siguiente.
Los materiales diamagnéticos tienen susceptibilidades negativas y los
paramagnéticos tienen susceptibilidades positivas.
Resulta μr ≈ 1 o μ ≈ μ0 para sustancias diamagnéticas y paramagnéticas, que
incluyen los materiales dieléctricos y la mayoría de los metales. En contraste |μr| »
1 para materiales ferromagnéticos; μr de hierro purificado, por ejemplo, es del
orden de 2 x 105.
3. Magnetostática

44. Propiedades de materiales magnéticos
3. Magnetostática

45. Histéresis magnética de los materiales ferromagnéticos
Los materiales ferromagnéticos, que incluyen hierro, níquel y cobalto, presentan
fuertes propiedades magnéticas por el hecho de que sus momentos magnéticos
tienden a alinearse con facilidad a lo largo de la dirección de un campo magnético
externo. Además, tales materiales permanecen parcialmente magnetizados incluso
después de la remoción del campo externo.
3. Magnetostática

46. Histéresis magnética de los materiales ferromagnéticos
Cuando se coloca una muestra no magnetizada de un material ferromagnético en
un campo magnético externo, los dominios se alinearán parcialmente con el campo
externo, como se ilustra en la figura.
El comportamiento de magnetización de un material ferromagnético se describe en
función de su curva de magnetización B-H, donde H es la magnitud de la intensidad
del campo magnético externamente aplicado, H, y B es la magnitud de la densidad
de flujo magnético total B presente dentro del material.
3. Magnetostática

47. Histéresis magnética de los materiales ferromagnéticos
El flujo B se compone de una contribución μ0H del campo externo y una
contribución μ0M del campo de magnetización inducido en el material.
Supongamos que se comienza con una muestra no magnetizada de hierro y que se
dispone de una configuración experimental capaz de medir B y H.
El estado no magnetizado se denota por el punto O en la figura. Como se inicia
incrementando H de forma continua, B también se incrementa y la respuesta sigue
la curva del punto O al punto A1, donde casi todos los dominios se han alineado con
H. El punto A1 representa una condición de saturación.
3. Magnetostática

48. Histéresis magnética de los materiales ferromagnéticos
Si se disminuyen H desde su valor en el punto A1 hasta cero, la curva de
magnetización sigue la trayectoria de A1 a A2.
En el punto A2, el campo externo H es cero, pero la densidad de flujo B en el
material no es cero. Este valor de B se llama densidad de flujo residual Br.
El material de hierro esta magnetizado y puede servir como imán permanente
gracias al hecho de que una gran fracción de sus dominios de magnetización ha
permanecido alineada.
3. Magnetostática

49. Histéresis magnética de los materiales ferromagnéticos
Este proceso se llama histéresis magnética. El término histéresis significa
“quedarse rezagado”. El lazo de histéresis muestra que el proceso de magnetización
en materiales ferromagnéticos depende no sólo del campo magnético externo H,
sino también del historial magnético del material.
3. Magnetostática

50. Inductancia
Un inductor es el análogo magnético de un capacitor eléctrico.
Un inductor puede guardar energía magnética en el volumen que comprende este
inductor.
3. Magnetostática
https://www.youtube.com/watch?v=y4ZmvcwABS8

51. Inductancia
Un ejemplo de un inductor es una bobina compuesta de múltiples vueltas de
alambre enrollado en forma helicoidal alrededor de un núcleo cilíndrico, como se
ilustra en la figura. Tal estructura se llama solenoide.
El núcleo puede estar lleno de aire o contener un material magnético con
permeabilidad magnética μ.
3. Magnetostática

52. Campo magnético en un solenoide
La expresión para la densidad de flujo magnético B en la región interior de un
solenoide apretadamente enrollado con «n vueltas por unidad de longitud». Aun
cuando las vueltas son levemente de forma helicoidal, se les considerará como
espiras circulares, como se representa en la figura. El solenoide tiene longitud l y
radio a, y transporta una corriente I.
3. Magnetostática

53. Campo magnético en un solenoide
Se considera la densidad de flujo magnético B en el punto P, localizado sobre el eje
del solenoide.
En uno de los ejemplos anteriores, se obtuvo la siguiente expresión para el campo
magnético H a una distancia «z» a lo largo del eje de una espira circular de radio
«a»:
3. Magnetostática
donde I’ es la corriente transportada por
la espira.

54. Campo magnético en un solenoide
Si una longitud incremental dz del solenoide se
trata como una espira equivalente de n dz vueltas
que transporta una corriente I’ = I n dz, entonces
el campo inducido en el punto P es
El campo total B en el punto P se obtiene
integrando las contribuciones de la longitud
completa del solenoide. Esto se facilita
expresando la variable z en función del ángulo θ.
3. Magnetostática

55. Campo magnético en un solenoide
Es decir
z = a tan θ
dz = a sec2 θ dθ
a2 + z2 = a2 + a2 tan2 θ = a2 sec2 θ
Al sustituir las últimas dos expresiones en la
ecuación anterior y al integrar de θ1 a θ2, se
tiene
3. Magnetostática

56. Campo magnético en un solenoide
Si la longitud l del solenoide es mucho mayor que
su radio a, entonces θ1 ≈ - 90o y θ2 ≈ 90o, en cuyo
caso la ecuación se reduce a
donde N = n·l es el número total de vueltas a lo
largo de l. Aun cuando esta ecuación se obtuvo
para el campo B a la mitad del solenoide, es
aproximadamente válida en todos los puntos en el
interior del solenoide, excepto cerca de sus
extremos.
3. Magnetostática

57. Autoinductancia
Ahora se retoma el tema de la inductancia,
incluida la autoinductancia, que representa el
enlace de flujo magnético de una bobina o circuito
consigo mismo, y la inductancia mutua, que
implica el enlace de flujo magnético en un circuito
que se debe al campo magnético generado por
una corriente en otro circuito. Por lo general,
cuando se utiliza el término inductancia, se hace
referencia a la autoinductancia.
3. Magnetostática

58. Autoinductancia
El flujo magnético Φ en una superficie S se
determina:
En un solenoide con un campo magnético
aproximadamente uniforme dado por la ecuación,
el flujo que enlaza una sola espira es
3. Magnetostática

59. Autoinductancia
donde S es el área de sección transversal de la espira.
El enlace de flujo magnético se define como el flujo
magnético total que enlaza un circuito dado o una
estructura conductora. Si esta última consiste en un
solo conductor con múltiples espiras, como en el
caso de un solenoide, es igual al flujo que enlaza
todas las espiras de la estructura. Para un solenoide
con N vueltas,
(Wb)
3. Magnetostática

60. Autoinductancia
La autoinductancia de cualquier estructura conductora se define como la razón
entre el enlace de flujo magnético Ʌ y la corriente I que fluye a través de la
estructura:
La unidad SI para inductancia es el henry (H), que equivale a webers por ampere
(Wb/A).
Para un solenoide, aplicando la ecuación
Resulta:
3. Magnetostática

61. La estructura se compone de dos conductores
separados, similar a las líneas de transmisión
coaxiales y de hilos paralelos, el enlace de flujo
asociado con una longitud l de una u otra línea se
refiere al flujo Φ a través de la superficie cerrada
entre los dos conductores, como muestran las
áreas sombreadas en la figura.
Existe algo de flujo magnético que pasa a través
de los conductores mismos, pero puede ignorarse
si se supone que las corrientes fluyen sólo sobre
las superficies de los conductores; en tal caso, los
campos magnéticos en su interior son cero. Esta
suposición esta plenamente justificada porque hay
interés de determinar la inductancia de una
estructura dada, principalmente en el caso de CA
(es decir, corrientes, voltajes y campos que varían
con el tiempo).
3. Magnetostática
Autoinductancia línea de transmisión de conductores paralelos

62. Autoinductancia línea de transmisión de conductores paralelos
La B para un conductor infinitamente largo es
El flujo magnético que atraviesa S (integrando dS cuyo ancho es dx y largo unitario)
es:
∅ = B ∙ dS =
𝜇0 𝐼
2𝜋𝑥
𝑑𝑥 1
𝑑
𝑎
∅ =
𝜇0 𝐼
2𝜋
𝑙𝑛
𝑑
𝑎
𝐿′ =
∅
𝐼
=
𝜇0
2𝜋
𝑙𝑛
𝑑
𝑎
Esta inductancia es externa al conductor
1 en H/m.
3. Magnetostática
dS
dx
1 2

63. Autoinductancia línea de transmisión coaxial
Ejemplo 5-8, pág. 239
3. Magnetostática

64. Inductancia mutua
El acoplamiento magnético entre dos estructuras conductoras diferentes se
describe en función de la inductancia mutua entre ellas. Supongamos que se tienen
dos espiras cerradas con superficies S1 y S2 y una corriente I1 que fluye a través de la
primera espira, como se representa en la figura. El campo magnético B1 generado
por I1 da por resultado un flujo Φ12 a través de la espira 2, determinado por
3. Magnetostática

65. Inductancia mutua
y si la espira 2 se compone de N2 vueltas, todas acopladas exactamente de la misma
forma, entonces el enlace de flujo magnético total a través de la espira 2 que se
debe a B1 es
3. Magnetostática
La inductancia mutua asociada con este
acoplamiento magnético se calcula
mediante
(H)

66. Inductancia mutua
La inductancia mutua es importante en transformadores en donde los devanados
de dos o más circuitos comparten un núcleo magnético común, como se ilustra con
la configuración toroidal de la figura.
3. Magnetostática

67. Energía magnética
Se considera un inductor con inductancia L conectado a una fuente de corriente.
Supongamos que se tuviera que incrementar la corriente i que fluye a través del
inductor desde cero hasta un valor final I. Por teoría de circuitos, se sabe que el
voltaje v a través de un inductor está dado por v = L di/dt.
La potencia p es igual al producto de v por i, y la integral de la potencia con
respecto al tiempo es trabajo o energía.
La energía total en joules (J) consumida al acrecentar la corriente en el inductor es
= ½ L I 2 (J)
Considerando el inductor solenoide donde L esta dada por la ecuación 𝐿 =
𝜇𝑁2 𝑆
𝑙
y
despejando I de la expresión 𝐵 =
𝜇 𝑁 𝐼
𝑙
3. Magnetostática

68. Energía magnética
Si se utilizan las expresiones para L e I, se obtiene
donde v = l S es el volumen del interior del solenoide y H = B/μ. La densidad de
energía magnética ῳm se define como la energía magnética Wm por unidad de
volumen,
3. Magnetostática

69. Energía magnética
Aunque la expresión se estableció para un inductor solenoide, es igualmente válida
para cualquier medio con campo magnético H. Además, para cualquier volumen v
que contiene un material con permeabilidad μ (incluido el espacio libre con
permeabilidad μ0), la energía magnética total almacenada en el medio ante la
presencia de un campo magnético H es
3. Magnetostática

70. Energía magnética
Ejemplo 5-9, pág. 241
3. Magnetostática