Teoremas de superposición, Mallas, Thévenin y Norton. Cálculo con ejemplos propios.

1. Laboratorio de Electrotecnia. Grupo A4.
Informe de Prácticas 1: Mediciones
PRÁCTICA 5
Redes Resistivas Activas con 2 fuentes de potencia fijas.
OBJETIVO:
Comprobar mediante cálculos y mediciones que se cumplen los Teoremas de Superposición,
el De Mallas o Maxwell y el de Thevenin y Norton.Materiales: Resistores del mismo valor de las ya utilizadas en la práctica anterior.
Un multímetro.
Protoboard.
Fuente doble de CC.
PROCEDIMIENTO:
Conectamos el circuito como establece la figura
Realizamos las mediciones correspondientes, obteniendo:
Parte del
circuito
R1
R2
R3
Resistencia
(medida
previamente)
970 Ω
2000 Ω
2950 Ω
Tensión (Voltios)
0,54V
5,4V
9,54V
Corriente
(MiliAmperes)
0,5mA
2,7mA
3,2mA
Sentido de la
Corriente
Izq.-Derecha
Derecha-Izq.
Hacia Abajo
Es importante establecer el sentido de la corriente, pues es convencionalmente que
se designó que la corriente Continua "sale" siempre por el polo positivo de la Fuente
de Potencia y Vuelve a "entrar" por el polo negativo de la misma, es decir,
establece un
circuito cerrado de desplazamiento.
Al medir en R1 con el voltímetro conectamos la punta positiva (roja) por donde pasaba
la salida positiva de la fuente E1, antes de la resistencia, la punta negativa fue conectada
después de la resistencia.
Se hizo lo mismo para E2, conectando la punta roja del voltímetro del lado de E2 y la
punta negra a la salida de la resistencia
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En ambos casos, la corriente "circula", entrando por la terminal positiva del voltímetro y
"saliendo" por la negativa, lo que nos indica la dirección de la corriente.
Si la pantalla nos mostrara un simbolo negativo antes de la medición, nos estaría indicando
que la corriente circula entrando por la punta negativa y saliendo por la positiva.
Lo que resta entonces es verificar que las mediciones fueron correctas.
El primer método a emplear es el de Superposición.
I.T. 9
Teorema de superposición:
La corriente o voltaje de un elemento en una red bilateral es igual a la suma algebraica de las
corrientes o voltajes producidos independientemente por cada fuente.
En General, la cantidad de redes a analizar está determinado por la cantidad de fuentes de
potencia del circuito a considerar.
La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma algebraica de las
corrientes producidas independientemente por cada fuente. Esto es, para una red de 2 fuentes ,
si la corriente producida por una fuente es en una dirección, mientras que la producida por la
otra es en en la dirección opuesta a través del mismo resistor, la corriente resultante es la
diferencia de las dos y tiene la dirección de la de mayor valor. Si las corrientes individuales van
en la misma dirección, la corriente resultante es la suma de las dos en la dirección de cada
Teniendo entonces que I1 es la corriente que pasa por R1, I2 la que pasa por R2 e I3 la
que pasa por R3, tenemos entonces que
=
=
Para E1 hay que hallar primero la Resistencia total del circuito.
Tenemos a R1 que está en serie con el paralelo formado por R2 y R3 (en los puntos x e y).
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Entonces la fórmula de cálculo es:
=
= 970+1121,91= 2161,91
∗
+
La I total para el circuito alimentado por E1 es:
=10v/2161,91Ω=4,63mA
=
Entonces encontramos la caída de tensión para el paralelo, siendo esta el voltaje total de E1
menos el voltaje que pasa por la R1:
=
-(
*
)=10-(0,00463*970)=5,51v
La corriente entonces que pasa por R2 es igual a dividir el voltaje del paralelo entre
el valor Ohmico de R2:
=
=
,
=2,76mA
Ω
La corriente que pasa por R3 es igual a dividir el voltaje del paralelo entre el Valor Ohmico
de R3:
=
=
,
=1,87mA
Ω
Por ultimo verificamos ley de Corrientes de Kirchoff, sumando I2A e I3A y verificando que nos
da la misma corriente que circula en el paralelo:
It=I2A+I3A= 2,76+1,87=4,63mA; con lo cual queda verificada la Ecuación y comprobada la
ley de corrientes de Kirchoff.
Así que tenemos para el sistema alimentado por E1, los siguientes resultados:
I1=4,63mA
I2=2,75mA
I3=1,86mA
Hacemos el mismo procedimiento para E2
Tenemos a R2 que está en serie con el paralelo formado por R1 y R3 (en los puntos x e y).
Entonces la fórmula de cálculo es:
=
+
∗
=2000+729,97=2730Ω
La I total para el circuito alimentado por E2 es:
=15v/2730Ω=5,5mA
=
Entonces encontramos la caída de tensión para el paralelo, siendo esta el voltaje total de E2
menos el voltaje que pasa por la R2:
=
-(
*
)=15-(0,00549*2000)=4,02V
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La corriente entonces que pasa por R1 es igual a dividir el voltaje del paralelo entre
el valor Ohmico de R1:
=
!,
=4,14mA
" Ω
=
La corriente que pasa por R3 es igual a dividir el voltaje del paralelo entre el Valor Ohmico
de R3:
=
=
!,
=1,36mA
Ω
Por ultimo verificamos ley de Corrientes de Kirchoff, sumando I1B e I3B y verificando que nos
da la misma corriente que circula en el paralelo:
It=I1B+I3B= 4,14+1,36=5,5mA; con lo cual queda verificada la Ecuación y comprobada la
ley de corrientes de Kirchoff.
Así que tenemos para el sistema alimentado por E2, los siguientes resultados:
I1=4,14mA
I2=5,50mA
I3=1,26mA
Concluyendo, tenemos la siguiente tabla comparativa, indicando para cada fuente
la corriente generada en la resistencia y la dirección de la misma.
en la columna final se establece la dirección real de la corriente
CORRIENTE REAL Y
Corriente
PARA E1
PARA E2
DIRECCIÓN
I1
4,63mA
4,14mA
0,49mA
I2
2,75mA
5,5mA
2,75mA
I3
1,86mA
1,26mA
3,12mA
Por lo tanto queda comprobado el Teorema de superposición.
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I.T. 10
Teorema de Thevenin
"Cualquier red de corriente conti nua lineal bilateral de dos terminales puede ser reemplazada por un
circuito equivalente que conste de una fuente de voltaje y un resistor en serie ."
Para realizar el procedimiento, desconectamos la Resistencia que queremos comprobar, en
este caso la R3, desconectamos las fuentes, cortocircuitándolas.
Medimos la Resistencia que hay entre los puntos x e y.
La Resistencia medida nos dio 666Ω
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Luego conectamos las fuentes y medimos el voltaje y la corriente entre x e y,
sin la R3 conectada.
Medido, nos dio el voltaje entre x e y: Vth:11,7V
Medida la corriente en el mismo punto, nos dio 17,6mA
Para realizar la verificación correspondiente:
I3=
#$
#$
= %%%
,"
3,24)*
Por último verificamos V3 con la ecuación:
V3=I3R3= 0,00324*2950=9,56V
Los valores nos permiten verificar I3, con lo cual se cumple el teorema de Thevenin,
si quisiéramos comprobar R1 y R2, deberíamos realizar el procedimiento para cada una.-
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Por último calculamos el circuito con el análisis de Mallas
I.T. 11
ANÁLISIS DE MALLAS
Para analizar un circuito como el estudiado en clases con el método de mallas:
a) Le asignamos a cada fuente una dirección arbitraria de circulación de la corriente ,
b) Indicamos la polaridad dentro de cada lazo para el resistor según lo determine la dirección
asumida por la corriente de lazo en ese caso
c)Aplicamos la ley de voltaje de Kirchoff alrededor de cada lazo cerrado
d)Resolvemos las ecuaciones obtenidas
Para resolver IA tenemos la siguiente ecuación:
+=
+
+
Para resolver IB tenemos:
+ =
+
+
Aplicamos factor común a ambas y las igualamos a 0 obteniendo:
+
(
+
)-
=0
+
(
+
,
=0
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Sustituímos los valores por los conocidos del sistema, (en esta parte usaremos para
las resistencias sus valores nominales, a efectos de simplificar el cálculo al momento de
despejar las ecuaciones)
10V -3KΩIB - 4KΩIA = 0
*(-1,6666)
15V -5KΩIB - 3KΩIA = 0
OBTENEMOS
-16,7V + 5KΩIB + 6,7KΩIA = 0
15V
-
5KΩIB -
-1,7V +
3KΩIA = 0
3,7KΩIA = 0
IA = 1,7V/3700Ω = 0,5mA
UNA VEZ OBTENIDO EL VALOR DE IA LO SUSTITUÍMOS EN LA ECUACIÓN:
10V - 3KΩIB - (4KΩ*0,5mA)=0
10V - 2V - 3KΩIB = 0
IB= 8V/3000Ω=2,67mA
O SEA QUE IA=0,5mA
e IB=2,67 Ma
POR LO TANTO, SUSTITUÍMOS DENTRO DE LAS ECUACIONES DEL PRINCIPIO DEL ANÁLISIS:
E1 = 1KΩ(0,5mA) + 3KΩ(0,5mA) + 3KΩ(2,67mA)
E1 = 0,5V + 1,5 + 8,01V= 10,01V
E2 = 2KΩ(2,67mA) + 3KΩ(2,67mA) + 3KΩ(0,5mA)
E2 = 5,34V + 8,01V + 1,5V = 14,85V
CON LO CUAL VERIFICAMOS QUE LA ECUACIÓN FUE CORRECTAMENTE APLICADA PARA
EL CIRCUITO.
PARA CONTINUAR REALIZANDO EL ANÁLISIS, NECESITAMOS HALLAR LAS CAÍDAS DE TENSIÓN
PARA CADA RESISTENCIA.
APLICANDO LA LEY DE VOLTAJE DE KIRCHOFF TENEMOS QUE:
E1 = R1IA + R3IA + R3IB
R1IA = E1 - R3IA - R3IB
R1IA = 10V-1,5V - 8,01V
R1IA = VR1 = 0,49 V
CON ESTO TENEMOS EL VOLTAJE EN R1
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PARA ENCONTRAR EL VOLTAJE QUE PASA POR R2 UTILIZAMOS:
E2 = R2IB + R3IA + R3IB
R2IB = E2 - R3IA - R3IB
R2IB = 15V - 1,5V - 8,01V
R2IB = VR2 = 5,49V
CON ESTO OBTENEMOS EL VOLTAJE EN R2
PARA ENCONTRAR EL VOLTAJE QUE PASA POR R3 UTILIZAMOS:
E1 = R1IA + R3IA + R3IB
R3IA + R3IB = E1 - R1IA
R3IA + R3IB = 10V - 0,5V
R3IA + R3IBA =
VR3 = 9,5V
Por último verificamos que las corrientes estén correctamente calculadas,
utilizando ley de Ohm
I=
,! = 0,49mA
Ω
=
=
=
=
.
,! = 2,75mA
Ω
=
,
-
= 3,17mA
.
POR ÚLTIMO FORMULAMOS LA TABLA DE DATOS CALCULADOS CON ESTE MÉTODO
RESISTENCIAS
R1=1K
R2 = 2K
R3 = 3K
VOLTAJES
V1 = 0,49V
V2 = 5,49V
V3 = 9,5V
CORRIENTES
I1 = 0,49mA
I2 = 2,75 mA
I3 = 3,17 mA
VERIFICAMOS QUE TODOS LOS DATOS COINCIDEN CON LOS OBTENIDOS A
TRAVÉS DE LAS MEDICIONES.
Conclusiones:
Mediante la práctica
pudimos conocer los diferentes métodos de cálculo existentes para un
circuito de 2 fuentes.
Cada uno de ellos presenta variaciones entre su dificultad para aplicarlo, la extensión o no d
el cálculo o la exactitud del resultado obtenido.
Pudimos comprobar que con todos se obtiene un resultado muy aproximado, pero ninguno
nos dio un 100% de coincidencia con respecto a la práctica.-
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