transformada de Laplace definición, características, propiedades, tablas, aplicación, software maple

1. UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA
GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA DE INGENIERIA DE MANTENIMIENTO
NUCLEO EL TIGRE
METODOS NUMERICOS
TRANSFORMADA
DE LAPLACE
Profesora: Carlena Astudillo Integrantes:
Antonio Guevara C.I: 23.512.604
Edwir Ramos C.I: 12.362.883
Gabriel Paul C.I: 20.172.950
Andres Cruz C.I: 23.519.087
Roxalis Carrillo C.I: 26.307.052

2. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
• INSTRODUCCIÓN
• DEFINICIÓN
• CARACTERÍSTICAS
• PROPIEDADES
• TABLAS
• APLICACIÓN
• SOFTWARE

3. Es un procedimiento desarrollado por el matemático y
astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749
- 1827) que permite cambiar funciones de la variable del
tiempo t a una función de la variable compleja s.
TRANSFORMADA
DE LAPLACE
INSTRODUCCIÓN:

4. La transformada de Laplace es un tipo de transformada
integral frecuentemente usada para la resolución de ecuaciones
diferenciales ordinarias. La transformada de Laplace de una función
f(t) definida (en ecuaciones diferenciales, en análisis matemático o en
análisis funcional) para todos los números positivos t ≥ 0, es la
función F(s), definida por:
TRANSFORMADA
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5. Es un método operacional que puede usarse para resolver
ecuaciones diferenciales lineales.
Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales
se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.
Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración,
por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el
funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de
ecuaciones diferenciales correspondiente.
Características:
TRANSFORMADA
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6. Propiedades:
Sean F1(s) y F2(s) las transformadas de Laplace de f1(t) y
f2(t) respectivamente. Entonces:
L { f1(t) + f2(t) } = F1(s) + F2(s)
•SUMA Y RESTA
•MULTIPLICACIÓN POR UNA CONSTANTE
Sea k una constante y F(s) la transformada de
Laplace de f(t). Entonces:
L { kf(t)} = kF(s)
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7. Propiedades:
•DIFERENCIACIÓN
Sea F(s) la transformada de Laplace de f(t), y f(0) es
el límite de f(t) cuando t tiende a cero. La Transformada de
Laplace de la derivada con respecto al tiempo de f(t) es:
L { df(t)/dt} = sF(s) - lím f(t) = sF(s) - f(0)
En general, para las derivadas de orden superior de f(t):
L { dnf(t)/dtn} = sn F(s) - sn-1 f(0) - sn-2 f(1)(0) - ..... - f (n-1)(0).
TRANSFORMADA
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8. •TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Propiedades:
Si la Transformada de Laplace de f(t) es F(s),
entonces:
Lím f(t) = Lím s F(s)
TRANSFORMADA
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9. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
TABLA:

10. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
TABLA:

11. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
TABLA:

12. APLICACIÓN
Se tiene un proceso como el mostrado en la figura. El flujo de entrada
cambio repentinamente de 5 m3/min a 15 m3/min
¿Cual es la altura final del tanque una vez que alcanzó la estabilización?
TRANSFORMADA
DE LAPLACE

13. Teorema de valor final
TRANSFORMADA
DE LAPLACE

14. Esto quiere decir, que ante un cambio escalón
en el flujo de entrada de magnitud 10, la altura tendrá
un cambio de 20m, con respeto a su valor inicial.
TRANSFORMADA
DE LAPLACE

15. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
Expansión en fracciones parciales
INVERSA:

16. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
hss = altura inicial de los tanques
INVERSA:

17. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
Maple es un programa orientado a la resolución
de problemas matemáticos, capaz de realizar cálculos
simbólicos, algebraicos y de álgebra computacional.
Fue desarrollado originalmente en 1981 por el
Grupo de Cálculo Simbólico en la Universidad de
Waterloo en Waterloo, Ontario, Canadá. Desde 1988
ha sido mejorado y vendido comercialmente por
Waterloo Maple Inc. (también conocida como
Maplesoft), compañía canadiense con sede en la
misma localidad. La última versión es Maple 2016.

18. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
Maple es una potente herramienta avanzada
tecnológicamente, la cual incorpora algoritmos
simbólicos propios reconocidos mundialmente. Así
mismo Maple incorpora desde su versión 6 los
prestigiosos resolvedores numéricos proporcionados
por su socio Numerical Algorithms Group (NAG).
Cualquiera que sea el área científica o técnica en la
que se este trabajando, ya sea en el amito de la
enseñanza, en el de investigación o desarrollo, Maple
es un entorno ideal que cubre todos los aspectos
necesarios.

19. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
Maple es una herramienta flexible que se
ajusta a todas las necesidades de calculo: desde la
resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales
hasta el modelado de complejos problemas de
ingeniería.
Este software incorpora mas de 3000 funciones para
calculo simbólico y numérico entre las cuales se
incluyen funciones para:
•Algebra: aritmética simbólica, con números reales y
complejos o polinomios, factorización, combinación,
simplificación de expresiones algebraicas y polinomios,
secuencias y series.

20. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
•Calculo: derivadas, integrales y limites, rutinas de
visualización para diferenciación e integración.
•Ecuaciones diferenciales: resolución numérica y exacta
de ecuaciones y sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias (ODE) y problemas de valor inicial, resolución
numérica de problemas de valores de contorno, resolución
exacta de ecuaciones y sistemas de ecuaciones en derivadas
parciales (PDE), análisis estructural y reducción de orden de
ODEs y PDEs.
•Algebra lineal: mas de 100 funciones para construir,
resolver y programar en algebra lineal, construcción de
matrices de Hankel, Hilbert, identidad, Toeplitz,
Vandermonde, Bezout y la matriz Silvester de dos polinomios.

21. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
•Calculo vectorial: derivadas direccionales, matriz
Hessiana, Laplacianas, rotacionales y divergencias de un
campo vectorial, matrices Jacobianas y Wronskian, productos
escalares, vectoriales y externos de vectores y operadores
diferenciales.
•Otras funciones: funciones para algebra abstracta,
curvas algebraicas, funciones y estructuras combinatorias,
variables complejas, ajuste de curvas, algebra diferencial,
matemática financiera, series de potencias, programación
lineal, lógica, estadística, etc.
•Programación: Maple da acceso al mismo lenguaje de
programación, herramientas y rutinas básicas con las que ha
sido desarrollado. Tiene lenguaje de programación avanzado
que incluye programación funcional, sobrecarga de
operadores, herramientas de depuración, etc.

22. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
•Visualizaciones: incluye un amplio conjunto de
herramientas de visualización con gráficos típicos
predefinidos, gráficos y animaciones 2D y 3D, una amplia
variedad de gráficos vectoriales, gráficos ODEs y PDEs,
rotaciones en tiempo real, objetos geométricos predefinidos.
•Interfaz de usuario: maple utiliza hoja de calculo, amplias
capacidades de edición y procesado de textos, gestor de
hiperenlaces, exportaciones HTML, Latex y RTF.
•Conectividad: esta adherido a los estándares
internacionales para comunicación de datos soportando un
amplio numero de formatos.

23. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
ASOCIACION DEL SOFTWARE PARA EL SISTEMA DE
ECUACIONES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE:
Se utiliza para estudiar las impurezas eléctricamente
activas y defectos en los semiconductores. Tienen una
sensibilidad mayor que casi cualquier otra técnica.
El software y el hardware se han desarrollado en el
instituto de física de la Academia de Ciencias de Polonia en
Varsovia y en la microelectrónica y nano estructuras Grupo de
la Escuela de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la
Universidad de Manchester.

24. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE:
ASOCIACION DEL SOFTWARE PARA EL SISTEMA DE
ECUACIONES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE:
El programa principal establece los parámetros de
excitación de la muestra, las condiciones d adquisición transitorio, y
finalmente, la convierte en el espectro. El programa permite:
•Medir la cinética del proceso no estacionario
•Realizar un análisis preliminar de la constante de tiempo (-s), hacen
que el histograma de ruido iniciar los cálculos numéricos que
conducen a la Laplace transformar la inversión.
•Enviar daos y archivos de resultados de cálculos para la base de
datos que ayudan a comparar, manipular, analizar y visualizar los
resultados.
•Personalizar los parámetros del sistema.

25. TRANSFORMADA
DE LAPLACE
SOFTWARE MAPLE: