Este documento trata sobre el núcleo y la imagen de una transformación lineal. Explica las definiciones de núcleo, inyectividad, rango e imagen de una transformación lineal. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular el núcleo de diferentes transformaciones lineales entre espacios vectoriales.

1. N´cleo e Imagen de una Transformaci´n Lineal
u
o
Departamento de Matem´ticas, CCIR/ITESM
a
28 de junio de 2011
´
Indice
17.1. N´cleo de una transformaci´n lineal . . . . .
u
o
17.2. El n´cleo de una matriz y la tecnolog´ . . .
u
ıa
17.3. Inyectividad de transformaciones lineales . . .
17.4. El Rango de una transformaci´n . . . . . . .
o
17.5. Suprayectividad de transformaciones lineales
17.6. N´cleo e Imagen son subespacios . . . . . . .
u
17.7. Nulidad y Rango de una Transformaci´n . . .
o
17.8. SEL a trav´s del kernel y el rango . . . . . .
e
17.9. Ejemplo clave . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.
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1
6
6
7
10
11
12
14
14
N´ cleo de una transformaci´n lineal
u
o
Definici´n 17.1
o
Sea T : V → W una transformaci´n lineal. El n´cleo T es el subconjunto formado por todos los
o
u
vectores en V que se mapean a cero en W .
Ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W }
Ejemplo 17.1
Indique cu´les opciones contienen un vector en el n´cleo de la transformaci´n de R3 en R3 definida como
a
u
o
  

x
−2 x + 3 z
T  y  =  −23 x − 15 y − 18 z 
z
−5 x − 3 y − 3 z
dentro de las opciones:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
v1
v2
v3
v4
v5
v6
= (0, 0, 0)
= (12, −28, 8)
= (1, −2, 1)
= (3, −7, 2)
= (2, −4, −4)
= (9, −18, −15)
Soluci´n
o
Antes de pasar a la verificaci´n, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que
o
T (x) = A · x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x.

2. Empecemos con la dimensi´n de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R3 entonces el n´mero
o
u
de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R3 , entonces el n´mero de
u
renglones de A es 3. Si requerimos que

 
 
−2 x + 3 z
x
 −23 x − 15 y − 18 z  = 
 y 
z
−5 x − 3 y − 3 z
No es dif´ ver
ıcil
 
 
0
3
−2
x
−2 x + 3 z
 −23 x − 15 y − 18 z  =  −23 −15 −18   y 
z
−5 x − 3 y − 3 z
−5 −3 −3

es decir que


−2
0
3
A =  −23 −15 −18 
−5 −3 −3
El vector v1 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

    
−2
0
3
0
0
T (v1 ) = Av1 =  −23 −15 −18  ·  0  =  0  = 0
−5 −3 −3
0
0
El vector v2 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
  
−2
0
3
12
0
T (v2 ) = Av2 =  −23 −15 −18  ·  −28  =  0  = 0
−5 −3 −3
8
0
El vector v3 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
 

−2
0
3
1
1
T (v3 ) = Av3 =  −23 −15 −18  ·  −2  =  −11  = 0
−5 −3 −3
1
−2
El vector v4 est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
  
−2
0
3
3
0
T (v4 ) = Av4 =  −23 −15 −18  ·  −7  =  0  = 0
−5 −3 −3
2
0
El vector v5 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
 

−2
0
3
2
−16
T (v5 ) = Av5 =  −23 −15 −18  ·  −4  =  86  = 0
−5 −3 −3
−4
14
El vector v6 no est´ en el n´cleo de T debido a que
a
u

 
 

−2
0
3
9
−63
T (v6 ) = Av6 =  −23 −15 −18  ·  −18  =  −333  = 0
−5 −3 −3
−15
−54
2

3. Ejemplo 17.2
Determine el n´cleo de la transformaci´n de R3 en R3 definida como
u
o
  

x
−2 x + 3 z
T  y  =  −23 x − 15 y − 18 z 
z
−5 x − 3 y − 3 z
Soluci´n
o
Un vector v = (a, b, c) pertenece al n´cleo de T si T (v) = 0, es decir si:
u


−2 a + 3 c
T ((a, b, c) ) =  −23 a − 15 b − 18 c  = 0( en R3 )
−5 a − 3 b − 3 c
Por lo tanto, para pertenecer al n´cleo debe cumplirse
u
−2 a + 3 c
= 0
−23 a − 15 b − 18 c = 0
−5 a − 3 b − 3 c
= 0
Reduciendo tenemos:
a − 3/2 c = 0
b + 7/2 c = 0
Es decir

 



a
3/2 c
3/2
 b  =  −7/2 c  = c  −7/2 
c
c
1
Observe que el n´cleo de T en este caso es un espacio generado:
u


3/2 

Ker(T ) = Gen  −7/2 


1
Adem´s, la dimensi´n de Ker(T ) es 1, lo cual coincide con el n´mero de columnas sin pivote en la reducida de
a
o
u
A (La matriz que define a la transformaci´n T ). Geom´tricamente en R3 este generado corresponde a la l´
o
e
ınea
que pasa por el origen y con vector de direcci´n (3/2, −7/2, 1) que es:
o
y
z
x
=
=
3/2
−7/2
1
Ejemplo 17.3
Determine el n´cleo de la transformaci´n de R3 en R2 definida como
u
o
 
x
x+y+z
T y =
2x + 2y + 2z
z
Soluci´n
o
Un vector v = (a, b, c) pertenece al n´cleo de T si T (v) = 0, es decir si:
u
 
a
a+b+c
1 1 1
T (v) =
=
·  b  = 0 ( en R2 )
2a + 2b + 2c
2 2 2
c
3

4. Por lo tanto, para pertenecer al n´cleo debe cumplirse
u
a+b+c
= 0
2a + 2b + 2c = 0
Reduciendo tenemos:
a+b+c = 0
Es decir

 





a
−b − c
−1
−1
 b =
=b  1 +c  0 
b
c
c
0
1
Es decir, que el n´cleo de T en este caso es un espacio generado:
u

 

−1 
 −1
Ker(T ) = Gen  1  ,  0 


0
1
Adem´s, la dimensi´n de Ker(T ) es 2, lo cual corresponde al n´mero de columnas sin pivote de la reducida
a
o
u
de la matriz que define a T . Geom´tricamente, en R3 este generado corresponde a un plano que pasa por el
e
origen y con vector normal n = u1 × u2 = (1, 1, 1) que es:
1x + 1y + 1z = x + y + z = 0
Ejemplo 17.4
Determine el n´cleo de T : R3 →R2 .
u


x
T = y =
z
x−z
y+z
Soluci´n
o
Sabemos que Ker(T ) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z > de R3 tal que T (v) = 0 (en R2 ):
 
x
1 0 −1
x−z
 y = 0
·
=
T (v) =
0
0 1
1
y+z
z
Para resolver el sistema
1 0 −1 0
0 1
1 0
→
1 0 −1 0
0 1
1 0
Cuya soluci´n general es
o




x
1
 y  = z  −1 
z
1
De ah´ que,
ı





z
1 



Ker(T ) =  −z  , z ∈ R = Gen  −1 




z
1
Vemos que la dimensi´n de Ker(T ) es 1, lo cual corresponde al n´mero de columnas sin pivote en la matriz
o
u
3 esto corresonde a la recta
que define a T . Geom´tricamente, en R
e
x
y
z
=
=
1
−1
1
4

5. Ejemplo 17.5
Determine el n´cleo de T : R3 →R3 .
u

 

x
x−z
T = y = y+z 
z
x−y
Soluci´n
o
Sabemos que Ker(T ) es el conjunto de todos los vectores v =< x, y, z > de R3 tal que T (v) = 0 (en R3 ):

 
    
x−z
1
0 −1
x
0
1
1 · y = 0 
T (v) =  y + z  =  0
x−y
1 −1
0
z
0
Para resolver el sistema




1
0 −1 0
1 0 0 0
 0
1
1 0 → 0 1 0 0 
1 −1
0 0
0 0 1 0
El sistema tiene soluci´n unica y es 0. Por tanto,
o ´
Ker(T ) = {0}
Ejemplo 17.6
Indique la opci´n que describe adecuadamente al conjunto
o
B = < 0, 0, 3, 2 > , < 0, 1, 0, 0 >
respecto al n´cleo de la transformaci´n de R4 en R4 definida
u
o
 
 

0
3w − 2z
x
 y   3w − 2z   0
 
 
T
 z  =  12 w − 8 z  =  0
0
15 w − 10 z
w
A
Est´ en el n´cleo; pero no es LI ni no lo genera.
a
u
C
Genera al n´cleo pero no es LI.
u
D
Est´ en el n´cleo; es LI pero no lo genera.
a
u
E

x
0 −2 3
0 −2 3   y

0 −8 12   z
w
0 −10 15
Es base para el n´cleo.
u
B
como
No es comparable con el n´cleo.
u
Soluci´n
o
Determinemos el n´cleo de T :
u

0
 0

 0
0


0 −2 3 0
0 0
 rref  0 0
0 −2 3 0 
−− 
−→ 
0 −8 12 0 
0 0
0 −10 15 0
0 0
5

1 −3/2 0
0
0 0 

0
0 0 
0
0 0





6. Por lo tanto, los vectores del n´cleo tienen la forma
u

 

1
x
 0 
 y 

 

 z =x  0 +y
0
w

0
 1 
 +w
 0 
0


0
 0 


 3/2 
1

Es decir,
  
0
 1

  
0   1
Ker(T ) = Gen   , 
0
 0


0
0
Comparemos ahora Gen{B} con
a) ¿Gen{B} ⊆ Ker(T )?

1
 0

 0
0

0 

  0 


  3/2 


1

Ker(T ):
0
0 0
1
0 0
0 3/2 3
0
1 2
Concluimos que s´
ı:Gen{B} ⊆ Ker(T ).
b)¿Ker(T ) ⊆ Gen{B}?

0 0 1
 0 1 0

 3 0 0
2 0 0


1
0
 rref  0
1 
−− 
−→ 
0 
0
0
0


1
0
0
 rref  0
1
0 
−− 
−→ 
0 3/2 
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
2
0

0
1 

0 
0

0 1/2
1
0 

0
0 
0
0
Concluimos que no:Ker(T ) ⊆ Gen{B}. De estos c´lculos (los que llevan B primero) tambi´n se deduce que: c)
a
e
B es linealmente independiente.
Por lo tanto, la opci´n correcta es D:
o
est´ contenido en el n´cleo (a)
a
u
no genera al n´cleo (b); y
u
B es li (c)
17.2.
El n´ cleo de una matriz y la tecnolog´
u
ıa
Pr´cticamente la totalidad de los sistemas computacionales que manejan matrices vienen acompa˜ados de
a
n
funciones para manejar el kernel de una matriz. En el caso de Maple la instrucci´n nullspace(A) entrega una
o
base para el n´cleo de la transformaci´n lineal T (X) = A X. Desafortunadamente, para la TI Voyage 200 no
u
o
aparece un comando similar.
17.3.
Inyectividad de transformaciones lineales
Una pregunta importante sobre funciones es si una funci´n dada es inyectiva, o tambi´n dicho 1 a 1.
o
e
Recuerde que una funci´n es inyectiva si no hay dos elementos diferentes del dominio que tienen la misma
o
evaluaci´n. Es decir, es f es inyectiva si y s´lo si f (x1 ) = f (x2 ) implica que x1 = x2 . Este concepto en las
o
o
funciones lineales en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple: f (x1 − x2 ) = 0 implica x1 − x2 = 0.
Es decir:
Teorema
6

7. Sea T : V → W una transformaci´n lineal. T es inyectiva si y s´lo si Ker(T ) = {0}.
o
o
Note que en los ejemplos anteriores, s´lo la ultima funci´n fue inyectiva.
o
´
o
Notas
En resumen:
Para ver si un vector est´ en el n´cleo de una transformaci´n lineal se debe aplicar la transformaci´n. El
a
u
o
o
vector x est´ en el n´cleo de T si y s´lo si T (x) = 0.
a
u
o
Determinar el n´cleo de una transformaci´n lineal equivale a encontrar la soluci´n general de un SEL
u
o
o
homog´neo.
e
Para determinar el n´cleo de una transformaci´n, debe encontrar la matriz que define a la transformaci´n
u
o
o
lineal y resolver [A|0]. Hay dos alternativas: el sistema tiene s´luci´n unica o el sistema tienen infinitas
o
o ´
soluciones. En el caso de infinitas soluciones, la f´rmula general muestra al n´cleo como un espacio
o
u
generado donde el n´mero columnas sin pivote es la dimensi´n del n´cleo como subespacio. En caso de
u
o
u
tener soluci´n unica, el n´cleo de T es el conjunto formado por el vector cero.
o ´
u
Para determinar si una transformaci´n lineal es inyectiva, todas las columnas de la reducida de la matriz
o
que define a la transformaci´n lineal deben de tener pivote.
o
17.4.
El Rango de una transformaci´n
o
Definici´n 17.2
o
Sea T : V → W una transformaci´n lineal. El rango o imagen de T es el conjunto de todas las im´genes de T
o
a
en W.
R(T ) = {w ∈ W |w = T (v) para alg´n v ∈ V }
u
Es decir, el rango es el subconjunto de W formado por aquellos vectores que provienen de alg´n vector de V .
u
Ejemplo 17.7
Indique cu´les opciones contienen un vector en la imagen de la transformaci´n de R3 en R3 definida como
a
o
  

x
2x + 5y + z
T  y  =  8 x + 12 y + 6 z 
z
−4 x − 2 y − 4 z
dentro de las opciones:
1.
2.
3.
4.
5.
v1
v2
v3
v4
v5
= (0, 0, 0)
= (2, 8, −4)
= (−23, −52, 6)
= (5, 12, −2)
= (−3, 1, −1)
Soluci´n
o
El vector v1 = (0, 0, 0) de R3 est´ en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T ((a, b, c) ) = v1 .
a
Es decir, si es consistente el sistema
2a + 5b + c
= 0
8 a + 12 b + 6 c = 0
−4 a − 2 b − 4 c = 0
Pero este sistema por ser homog´no es consistente. Por tanto el vector v1 s´ est´ en la imagen de T .
e
ı
a
3 est´ en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T ((a, b, c) ) =
El vector v2 = (2, 8, −4) de R
a
7

8. v2 . Es decir, si es consistente el sistema:
2a + 5b + c
= 2
8 a + 12 b + 6 c = 8
−4 a − 2 b − 4 c = −4
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0
9/8 1
 0 1 −1/4 0 
0 0
0 0
por ser consistente el sistema, el vector v2 s´ est´ en la imagen de T .
ı
a
El vector v3 = (−23, −52, 6) de R3 est´ en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que
a
T ((a, b, c) ) = v3 . Es decir, si es consistente el sistema:
2a + 5b + c
= −23
8 a + 12 b + 6 c = −52
−4 a − 2 b − 4 c =
6
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0
9/8
1
 0 1 −1/4 −5 
0 0
0
0
por ser consistente el sistema, el vector v3 s´ est´ en la imagen de T .
ı
a
3 est´ en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que T ((a, b, c) ) =
El vector v4 = (5, 12, −2) de R
a
v4 es decir si es consistente el sistema:
2a + 5b + c
= 5
8 a + 12 b + 6 c = 12
−4 a − 2 b − 4 c = −2
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0
9/8 0
 0 1 −1/4 1 
0 0
0 0
por ser consistente el sistema, el vector v4 s´ est´ en la imagen de T .
ı
a
El vector v5 = (−3, 1, −1) de R3 de est´ en la imagen de T si existe un vector (a, b, c) en R3 tal que
a
T ((a, b, c) ) = v5 es decir si es consistente el sistema:
2a + 5b + c
= −3
8 a + 12 b + 6 c = 1
−4 a − 2 b − 4 c = −1
Al reducir la matriz aumentada se obtiene:


1 0
9/8 0
 0 1 −1/4 0 
0 0
0 1
por ser inconsistente el sistema, el vector v5 no est´ en la imagen de T
a
8

9. Ejemplo 17.8
Determine la imagen de la transformaci´n lineal de R3 en R3 definida como
o
  

x
2x + 5y + z
T  y  =  8 x + 12 y + 6 z 
z
−4 x − 2 y − 4 z
Soluci´n
o
El vector v1 = (a, b, c) de R3 de est´ en la imagen de T si existe un vector (x, y, z) en R3 tal que T ((x, y, z) ) =
a
v1 es decir si es consistente el sistema
2x + 5y + z
= a
8 x + 12 y + 6 z = b
−4 x − 2 y − 4 z = c
Al formar la matriz aumentada y escalonar se obtiene:


2
5 1
a
 0 −8 2
−4 a + b 
0
0 0 −2 a + b + c
Por tanto, (a, b, c) est´ en la imagen de T ssi el sistema anterior es consistente ssi −2 a + b + c = 0. Esto
a
ocurrir´ si y s´lo si a = 1/2 b + 1/2 c. Es decir, (a, b, c) est´ en la imagen de T si y s´lo si
a
o
a
o
  





a
1/2 b + 1/2 c
1/2
1/2
 b =
=b  1 +c  0 
b
c
c
0
1
Por tanto,


 
1/2 
 1/2
R(T ) = Gen  1  ,  0 


1
0
Geom´tricamente, R(T ) es el plano 2 a − b − c = 0 (o 2 x − y − z = 0) en R3
e
Ejemplo 17.9
Determine la imagen de la transformaci´n lineal de R3 en R4 definida como
o


 
x + y + 2z
x


x−y

T y =
 −2 x + y − z 
z
x−y
Soluci´n
o
El vector v = (a, b, c, d) de R4 est´ en la imagen de T si existe un vector (x, y, z) en R3 tal que T ((x, y, z) ) =
a
v . Es decir, si es consistente el sistema


x + y + 2z = a
1
1
2 a
 1 −1
x−y = b
0 b 

o 
´ 
−2 x + y − z = c
−2
1 −1 c 
x−y = c
1 −1
0 d
9

10. En este ejemplo ilustraremos el uso de una t´cnica m´s eficiente que la usada en el problema anterior. La idea
e
a
es que manejaremos s´lo los coeficientes de a, b, c y d. De esta manera una expresi´n en estas variables la
o
o
podemos representar por medio de un vector rengl´n con cuatro componentes. As´
o
ı
2a + 3b − c + 8d
a
3a − 3b − 3d
c
Con esta idea, el sistema cuya matriz nos

1
1
2 1
 1 −1
0 0

 −2
1 −1 0
1 −1
0 0
se
se
se
se
representa
representa
representa
representa
(2, 3, −1, 8)
(1, 0, 0, 0)
(3, −3, 0, −3)
(0, 0, 1, 0)
por
por
por
por
interesa revisar nos


0 0 0
1

 0
1 0 0 
→
 0
0 1 0 
0
0 0 1
queda:
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0

0 −1 −1
0 −1 −2 

0
2
3 
1
0 −1
Por tanto, la matriz aumentada representa un sistema consistente si y s´lo si
o
a = −2 c − 3 d
b = d
Resumiendo, (a, b, c, d) est´ en la imagen de T si y s´lo si
a
o
 


a
−2
 b 


 =c  0 +d
 c 
 1 
d
0


−3
 1 


 0 
1
para c y d escalares. Por tanto

 
−3
 −2


0   1
,
R(T ) = Gen 
 1   0


0
1








Nota
Observe que tanto Ker(T ) como R(T ) de una transformaci´n lineal T son conjuntos no vac´
o
ıos
T (0V ) = 0W
implica que
0V ∈ Ker(T ) y
0W ∈ R(T ).
17.5.
Suprayectividad de transformaciones lineales
Una pregunta importante sobre funciones es si una funci´n dada es suprayectiva, o tambi´n dicho sobre.
o
e
Recuerde que una funci´n es suprayectiva si para todo elemento en el codominio hay un elemento en el dominio
o
que bajo la funci´n se transforma en ´l. Es decir, es f es suprayectiva si y s´lo si f (x) = a es consistente para
o
e
o
todo a en el codominio de f . en espacios vectoriales tiene un comportamiento simple:
Teorema
10

11. Sea T : V → W una transformaci´n lineal y
o
B = {v1 , v2 , . . . , vm }
un conjunto generador para V . T es suprayectiva si y s´lo si Gen(T (v1 ), T (v2 ), . . . , T (vm )) = W .
o
No que lo anterior implica que:
Si T es suprayectiva, entonces dim(V ) ≥ dim(W ).
En particular, si por ejemplo T : R3 → R4 es lineal, entonces T no puede ser sobre!
Notas
En resumen:
Para ver si un vector est´ en la imagen de una transformaci´n lineal se debe ver si un sistema es
a
o
consistente.
Para determinar el rango de una transformaci´n, debe encontrar la matriz que define a la transformaci´n
o
o
lineal y reducir [A|I]. Si todo rengl´n tiene pivote la funci´n es suprayectiva. Es decir, todo vector del
o
o
codominio es imagen de un vector en el dominio. Si hay renglones sin pivote en la parte izquierda se
debe forzar la consistencia igualando a cero los elementos en la parte derecha de la reducida. El rango
entonces queda como un espacio generado, el cual es precisamente el espacio generado por las columnas.
Su dimensi´n ser´ el n´mero de pivotes en la reducida de la matriz A.
o
a
u
Para determinar si una transformaci´n lineal es suprayectiva, todos los renglones en la reducida de A
o
deben de tener pivotes.
17.6.
N´ cleo e Imagen son subespacios
u
La propiedad fundamental del n´cleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales:
u
Teorema
Sea T : V → W una transformaci´n lineal. Entonces
o
Ker(T ) es un subespacio de V .
R(T ) es un subespacio de W .
Demostraci´n
o
El n´ cleo de T es subespacio
u
Sean v1 y v2 elementos del n´cleo de T y c un escalar cualquiera. As´ T (v1 ) = 0 = T (v2 ), y por tanto:
u
ı
T (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 T (v1 ) + c2 T (v2 ) = c1 0 + c2 0 = 0
probando que c1 v1 + c2 v2 est´ tambi´n en el n´cleo de T . Lo cual a su vez prueba que el n´cleo de T es un
a
e
u
u
subespacio de V .
La imagen de T es subespacio
Sean w1 y w2 elementos de la imagen de T y c un escalar cualquiera. As´ T (v1 ) = w1 y T (v2 ) = w2 para
ı
algunos v1 y v2 en V , y por tanto:
T (c1 v1 + c2 v2 ) = c1 T (v1 ) + c2 T (v2 ) = c1 w1 + c2 w2
probando que c1 w1 + c2 w2 es imagen de c1 v1 + c2 v2 y por consiguiente c1 w1 + c2 w2 est´ tambi´n en la
a
e
imagen de T . Lo cual a su vez prueba que la imagen de T es un subespacio de W
11

12. 17.7.
Nulidad y Rango de una Transformaci´n
o
Debido al resultado anterior el n´cleo y la imagen de una transformaci´n lineal son espacios vectoriales.
u
o
Como espacios vectoriales, ellos tienen una dimensi´n asociada. Estas dimensiones tienen nombre espec´
o
ıficos:
Definici´n 17.3
o
Sea T : V → W una transformaci´n lineal.
o
La nulidad de T es la dimensi´n de Ker(T ).
o
El rango de T es la dimensi´n de R(T ).
o
El siguiente resultado permite calcular f´cilmente la nulidad y el rango de una transformaci´n matricial.
a
o
Teorema
Sea T : V → W una transformaci´n lineal. Suponga que T corresponde a la transformaci´n
o
o
matricial asociada a A. Entonces:
Ker(T ) = V(A) = Espacio nulo de A
R(T ) = C(A) = Espacio generado por las columnas de A
Nulidad(T ) = Nulidad(A) = N´mero de columnas sin pivote en A reducida.
u
Rango(T ) = Rango(A) = N´mero de columnas con pivote en A reducida.
u
Note que el resultado anterior indica que para cualquier transformaci´n lineal T : V → W ,
o
dim(V ) = dim(Ker(T )) + dim(R(T ))
dim(R(T )) ≤ dim(W )
(1)
As´ por ejemplo:
ı
T : R4 → R3 lineal no puede ser inyectiva pues
4 = dim(Ker(T )) + dim(R(T )) ≤ dim(Ker(T )) + 3
por tanto, dim(Ker(T )) ≥ 1 probando que Ker(T )) = {0}.
T : R4 → R8 lineal no puede ser sobre pues
4 = dim(Ker(T )) + dim(R(T ))
por tanto, dim(R(T )) ≤ 4 probando que R(T ) = R8
Ejemplo 17.10
Calcule las bases para el n´cleo y la imagen y determine la nulidad y el rango de
u
T : R4 → R3 , T ((x, y, z, w) ) = (x + 3z, y − 2z, w)
Soluci´n
o
De acuerdo con el teorema previo, basta expresar a T como transformaci´n matricial y obtener las bases para
o
las columnas y el espacio nulo de su matriz est´ndar A. A se expresa con
a


1 0
3 0
A =  0 1 −2 0 
0 0
0 1
12

13. Como ya est´ en forma escalonada reducida por operaciones de rengl´n, los vectores {(1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) }
a
o
forman una base para Col(A) = R(T ) = R3 . Por otra parte, {(−3, 2, 1, 0) } es una base para V (A) = Ker(T ).
De modo que el rango de T es 3 y la nulidad es 1.
Ker(T ) = {0} ⇔ Ax = 0 s´lo tiene la soluci´n trivial
o
o
y
R(T ) = Rm ⇔ las columnas de A generan a Rm
Ejemplo 17.11
Resuelva la siguiente ecuaci´n diferencial:
o
(−2 x − 1) y (x) + 2 y(x) = 4 x2 + 4 x
pensando el lado izquierdo de la ecuaci´n como una transformaci´n lineal de P2 en P3 .
o
o
Soluci´n
o
Definamos T de P2 en P3 por
T (p(x) = a x2 + b x + c) = (−2 x − 1)p (x) + 2 p(x)
= −2 a x2 − 2 a x − b + 2 c
Viendo los polinomios como vectores tenemos tenemos que la transformaci´n anterior queda:
o

 

 
 
2 −1
0
−b + 2 c
c
c

 −2 a   0
0 −2   
=
 b =
b
·
T
 −2 a   0
0 −2 
a
a
0
0
0
0
El problema de resolver la ED se transforma encontrar un p(x) que cumpla: T (p(x)) = 4 x2 + 4 x. Es decir, en
encontrar (c, b, a) tal que

 

 
0
2 −1
0
c
 0
0 −2     4 
·

b
= 
 4 
 0
0 −2 
a
0
0
0
0
Formando la aumentada y reduciendo tenemos:

2 −1
0 0
 0
0 −2 4

 0
0 −2 4
0
0
0 0



1 −1/2 0
0


0 1 −2 
→ 0


 0
0 
0 0
0
0 0
0
Como el sistema es consistente, la primera conclusi´n es que s´ existe
o
ı
infinitas soluciones las cuales podemos calcular:


c = 1/2b 
c − 1/2b = 0
→ b = b
→
a = −2

a = −2
soluci´n en P2 . Tambi´n vemos que hay
o
e
 

c
1/2b
b = b 
a
−2
Y separando vectores

 



c
0
1/2
 b  =  0  + b 1 
a
−2
0
La soluci´n general de la ED en P2 queda:
o
y(x) = −2 x2 + b (1/2 + x), b escalar libre
13

14. 17.8.
SEL a trav´s del kernel y el rango
e
Veamos ahora el an´lisis de un SEL a la luz de los conceptos de n´cleo e imagen de una transformaci´n lineal.
a
u
o
Supongamos que estamos resolviendo el SEL A x = b. Si definimos la transformaci´n lineal TA (x) = A x,
o
entonces
El sistema ser´ consistente si y s´lo si el vector b pertenece a la imagen de T .
a
o
Si el SEL es consistente, entonces: el sistema tendr´ soluci´n unica si y s´lo si el n´cleo de T se reduce
a
o ´
o
u
al vector cero.
Si x1 y x2 son dos soluciones, entonces x1 − x2 pertenece al n´cleo de T . Por tanto: Si el sistema tiene
u
soluciones infinitas, entonces la soluci´n general tiene la forma
o
x = xp + c1 z1 + · · · + ck zk
donde xp es una soluci´n particular y z1 , . . . ,zk consituyen un conjunto generador para el n´cleo.
o
u
17.9.
Ejemplo clave
Ejemplo 17.12
Suponga que usted es maestro de ´lgebra lineal y le ha pedido a sus alumnos que resuelvan el SEL:
a


 x1



1
2
1
1
1
1 
3

x
 −2 −4
2
10
1 −1   2   −7 
  x3  


 3
 =  13 
6 −3 −15
1 −1  
 x  


 −1 −2
1
5
0
0   4   −4 
 x5 
1
2
1
1 −1
3
1
x6
Analice las siguientes soluciones dadas por sus alumnos:
Jos´ dice que la soluci´n general es:
e
o








3
−5
2
3
 −1 
 1 
 1 
 −1 










 2 
 −6 
 1 
 + c3 ·  −4 

 + c1 · 
 + c2 · 
x=
 1 
 −1 

 2 






 0 
 1 
 0 
 1 
 0 
1
1
0
0
La soluci´n particular de Jos´ es jp =< 3, −1, 1, 0, 0, 0 > y el generador de las soluciones al sistema homog´neo
o
e
e
es:

 

 
−5
3 
2



 1   1   −1 





 
 


  2   −4 

,
 −6  , 
jh = 
 2   −1   1 

 
 






0   1   1 




1
1
0
Revisemos sus respuestas:
14

15. ¿Es jp soluci´n al sistema original?
o
Por conveniencia hacemos: A · jp − b:



A · jp − b = 


2
0
0
0
2


 
 
−
 
 
3
−7
13
−4
1


 
 
=
 
 
−1
7
−13
4
1






como no da el vector cero, concluimos que la soluci´n particular dada por Jos´ no lo es.
o
e
¿La f´rmula para el sistema homog´neo genera todas las soluciones al sistema homog´neo asociado?
o
e
e
Por conveniencia, con los vectores en jh formamos una matriz que representamos tambi´n por jh y
e
realizamos el producto A · jh ; como obtenemos una matriz de ceros, concluimos que en la soluci´n de
o
Jos´ la f´rmula efectivamente da soluciones al sistema homog´neo. La pregunta que cabe ahora es si acaso
e
o
e
las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos que tiene 3 columnas sin pivote, por tanto, la dimensi´n
o
del espacio nulo de A es 3. Como al aplicar rref a la matriz jh tiene tres pivotes, concluimos que el
conjunto jh es linealmente independiente, est´ dentro del n´cleo y tiene tres elementos; por tanto, debe
a
u
ser base para el n´cleo. Por tanto, en la f´rmula de Jos´ la parte asociada a la soluci´n a la homog´nea
u
o
e
o
e
es adecuada.
Mar´ dice que la soluci´n general es:
ıa
o







−5
2
7

 1 
 1 
 0 












 −7 
 + c1 ·  −6  + c2 ·  2  + c3 · 

x=

 −1 

 2 





 2 

 1 
 0 
 1 
1
0
0
12
−1
−10
4
−2
−2








La soluci´n particular de Mar´ es mp =< 7, 0, −7, 2, 1, 0 > y el generador de las soluciones al sistema
o
ıa
homog´neo es:
e

 
 

2
−5
12 


 1   1   −1 





 
 



  2   −10 
−6  
,

mh = 
,
4 
 2   −1  


 






0   1   −2 




0
1
−2
Revisemos sus respuestas:
¿Es mp soluci´n al sistema original?
o
Por conveniencia hacemos: A · mp − b: como s´ da el vector cero, concluimos que la soluci´n particular
ı
o
dada por Mar´ s´ lo es.
ıa ı
¿La f´rmula para el sistema homog´neo genera todas las soluciones al sistema homog´neo asociado?
o
e
e
Por conveniencia, con los vectores en mh formamos una matriz que representamos tambi´n por mh y
e
realizamos el producto A · mh ; como obtenemos una matriz de ceros, concluimos que en la soluci´n de
o
Mar´ la f´rmula efectivamente da soluciones al sistema homog´neo. La pregunta que cabe ahora es si
ıa
o
e
acaso las da todas. Cuando aplicamos rref a A vemos que tiene 3 columnas sin pivote, por tanto, la
dimensi´n del espacio nulo de A es 3. Como al aplicar rref a la matriz mh tiene dos pivotes, concluimos
o
que el conjunto mh es linealmente dependiente y est´ dentro del n´cleo; por tanto, no puede ser base
a
u
para el n´cleo. Por tanto, en la f´rmula de Mar´ la parte asociada a la soluci´n a la homog´nea es
u
o
ıa
o
e
incompleta.
15

16. Resumiendo; la f´rmula de Mar´ no genera todas las soluciones al sistema.
o
ıa
Luis dice que la soluci´n general es:
o







−3
2
−5
 0 
 1 
 1 








 8 
 −6 
 2 







x=
 −3  + c1 ·  2  + c2 ·  −1  + c3 · 







 1 
 0 
 1 

0
0
1
1
1
1
1
1
1








La soluci´n particular de Luis es lp =< −3, 0, 8, −3, 1, 0 > y el generador de las soluciones al sistema homog´neo
o
e
es:

 
  
2
−5
1 


 1   1   1 





 
  


  2   1 
−6  
, 
lh = 
,
 2   −1   1 
 
  






0   1   1 




0
1
1
Revisemos sus respuestas:
¿Es lp soluci´n al sistema original?
o
Por conveniencia hacemos: A · lp − b: como s´ da el vector cero, concluimos que la soluci´n particular
ı
o
dada por Luis s´ lo es.
ı
¿La f´rmula para el sistema homog´neo genera todas las soluciones al sistema homog´neo asociado?
o
e
e
Por conveniencia, con los vectores en lh formamos una matriz que representamos tambi´n por lh y
e
realizamos el producto A · lh ;


0 0
7
 0 0
6 


 0 0 −9 
A · lh = 

 0 0
3 
0 0
7
como obtenemos una matriz con dos primeras columnas de ceros y una tercera que no es de ceros,
concluimos que en la soluci´n de Luis la f´rmula da algunas soluciones al sistema homog´neo (las que
o
o
e
tienen c3 = 0) pero tambi´n da otros vectores que no son soluci´n (los que tienen c3 = 0). Por tanto, la
e
o
soluci´n de Luis es parcialmente correcta y parcialmente incorrecta.
o
Carolina dice que la soluci´n general es:
o



−3
2
 0 
 1




 −1 
 + c1 ·  −6
x=
 2
 0 



 0
 1 
0
0








 + c2 · 






−5
1
2
−1
1
1
16








 + c3 · 






3
−1
−4
1
1
1








 + c4 · 






4
1
−4
2
−2
−2









17. La soluci´n particular de Carolina es cp =< 3, 0, −1, 0, 1, 0 >
o
homog´neo es:
e

 
 
2
−5
3


 1   1   −1



 
 

 
 
 −6  ,  2  ,  4
ch = 
 2   −1   1

 
 



0   1   1


0
1
1
y el generador de las soluciones al sistema
 
 
 
 
,
 
 
 
4
1
−4
2
−2
−2
















Revisemos sus respuestas:
¿Es cp soluci´n al sistema original?
o
Por conveniencia hacemos: A · cp − b: como s´ da el vector cero, concluimos que la soluci´n particular
ı
o
dada por Carolina s´ lo es.
ı
¿La f´rmula para el sistema homog´neo genera todas las soluciones al sistema homog´neo asociado?
o
e
e
Por conveniencia, con los vectores en ch formamos una matriz que representamos tambi´n por ch y
e
realizamos el producto A · ch ; obtenemos una matriz con cuatro columnas de ceros. Esto nos indica que
la f´rmula correspondiente a sistema homog´neo entrega soluciones al sistema homog´neo. Por otro lado,
o
e
e
al aplicar rref a ch obtenemos tres pivotes y una columna sin pivote. As´ el espacio generado en la f´rmula
ı
o
de Carolina correspondiente a las soluciones a la homog´nea tiene dimensi´n 3, lo que iguala la dimensi´n
e
o
o
3 previamente calculada. Esto nos lleva a concluir que se generan todas las soluciones a la homog´nea.
e
Que se tenga una columna sin pivote indica que el vector que entr´ en tal columna es redundante en la
o
soluci´n dada por Carolina.
o
Resumiendo; la f´rmula de Carolina es correcta al generar todas las soluciones al sistema de ecuaciones,
o
aunque el ultimo vector puede omitirse sin p´rdida.
´
e
17