T3.2.sistemas 1er orden 1314 v02

1
Respuesta temporal de
sistemas de primer orden3.2
 Respuesta de un sistema de primer orden ante
señales de entrada de prueba típicas
 Polos y ceros en la respuesta de un sistema
 Tipos de respuestas
 Características de respuestas transitorias
 Calcular un modelo a partir de datos.
PALABRAS CLAVE Y TEMAS
 Sistemas de primer orden
 Respuesta temporal de sistemas de primer
orden
 Tiempo de respuesta del sistema
 Ganancia del sistema
 Estabilidad
 Identificación
OBJETIVOS

2
Sistemas de primer orden
X(s) Y(s)
1+s
K
τ
Los sistemas que tienen la misma función de transferencia
presentarán la misma salida en respuesta a la misma entrada.
Características de la forma estándar:
• El segundo término del denominador es 1
• K = ganancia del sistema (el numerador)
• τ = constante de tiempo (el coeficiente de s)
• El polo del sistema (la raíz del denominador) es –1/τ

3
Ejemplo sistema de primer orden.
Depósito
Función de transferencia:
k
h
K
k
hA
qKh
dt
hd
q
k
h
h
dt
hd
k
hA
qh
h
k
dt
hd
A
00
00
0
22
22
0
2
==
∆=∆+
∆
∆=∆+
∆
=∆−∆+
∆
τ
τ
q
h
F
[ ] )()( sUtqL =∆ [ ])()( thLsY ∆=
1+s
K
τ

4
Sistemas de primer orden: entrada salto
U(s)=A/s Y(s)
1+s
K
τt=0 t
u(t)
A
( ) ( ) )1()1(
)1(
111
)(
τ
β
τ
τα
τ
βα
τ
τ
τ +
+
+
+
=
+
+=
+
=
+
=
ss
s
ss
s
sss
A
s
K
s
A
s
K
sY
KA;0s ==⇒= ατατKA
);
1
()(
τ+
−=
s
KA
s
KA
sY
KAKA −=−=⇒−= βτβττ ;1s
Los residuos
Es decir

5
Siempre que τ >0 (sistema estable):
)(
1
lim)(lim
00
∞==
+
=
→→
yKA
s
KA
ssY
ss τ
)1()]([)( //1 ττ tt
eKAKAeKAsYLty −−−
−=−==
Resp.
Transit.
(Se hace cero
cuando t-> ∞)
Resp.
Estac.
);
1
()(
τ+
−=
s
KA
s
KA
sY
U(s)=A/s Y(s)
1+s
K
τt=0 t
u(t)
A

6
1+s
K
τ
U(s) Y(s))()(
)(
tKuty
dt
tdy
=+τ
)1()( τ
t
eKAty
−
−=
K = KA/A es la ganancia
u(t)
t
y(t)
KA
A
t=0: y(0)=0
t=∞: y(∞)=KA
Si u(t) es un salto (escalón)
de magnitud A
τ > 0 es la constante de tiempo
Respuesta estable, sin retardo ni cambio de concavidad y
sobreamortiguada.

7
Interpretación en el plano s (τ>0).
Plano s
x
polo en la parte real
izquierda del plano s
τs+1=0
polo = -1/τ
Si τ > 0: Respuesta estable, sin cambio
de concavidad y sobreamortiguada
t
y(t)
KA
u(t)
A
)1()( τ
t
eKAty
−
−=
t

8
t
)1()( τ
t
eKAty
−
−=
τs+1=0 Si el polo = -1/τ
es positivo
Si τ < 0 Respuesta inestable
y(t)Plano s
x
polo en la parte real
derecha del plano s
Interpretación en el plano s (τ<0).

9
Sistemas de primer orden.
Entrada impulso
t=0
u(t)
A
0)(:
)0(:0
0
=∞∞=
==
>
yt
KA
yt
si
τ
τ
0
1
/
/1
/
1
)( +
+
=
+
=
+
=
τ
τ
τ
τ
τ s
KA
A
s
K
A
s
K
sY
Resp.
Estac.Resp.Transit
τ
τ
/
)( t
e
KA
ty −
=
KA/τ
0 4τ t
La estabilidad viene determinada por la posición del polo, no por el tipo
de entrada
U(s)=A Y(s)
1+s
K
τ

10
t
y(t)
t98
0.98KA
Plano s
x
τ1 < τ2
x
-1/τ1 -1/τ2
)1()( τ
t
eKAty
−
−=
τ
τ
4
)1(98.0)(
98
98
98
=
−==
−
t
eKAKAty
t
Tiempo de asentamiento (Ts): tiempo
que se tarda en alcanzar y mantenerse
en una banda de ±2% del valor final A mayor constante de tiempo, más lento
el sistema (cuanto más cerca esté el polo
del origen más lento será el sistema)
Ts
τ4≅sT
KA
Tiempo de asentamiento o establecimiento.
U(s)=A/s Y(s)
1+s
K
τ

11
)1()( τ
t
eKAty
−
−=
)1(98.0)(
98
98
τ
t
eKAKAty
−
−==
Tiempo de asentamiento (Ts): tiempo que se tarda en alcanzar y
mantenerse en una banda de ±2% del valor final
τ4≅sT
t
y(t)
t98
0.98KA
τ
Ts
KA
U(s)=A/s Y(s)
1+s
K
τ
τ498 =t

12
Plano s
xx
-1/τ1 -1/τ2
A mayor constante de tiempo, más lento el sistema (cuanto más
cerca esté el polo del origen más lento será el sistema)
t
y(t)
t98
0.98KA
τ1 < τ2
Ts
KA
τs+1=0 polo = -1/τ

13

14
KAeKAy
eKAty
t
632.0)1()(
)1()(
1
=−=
−=
−
−
τ
τ
τ
τ
τ
KA
dt
tyd
e
KA
dt
tyd
t
t
=
=
=
−
0
)(
)(
)(
Derivada en el origen:
1+s
K
τ
U(s)=A/s Y(s)
Cuando t=τ el sistema ha alcanzado
el 63,2% de su valor final
La pendiente de la tangente en
t=0 es KA/τ
KA
0 τ
63,2%
t
0.63KA
y(t) t
KA
τ
KA
Constante de tiempo (τ).

15
Tiempo que tarda el sistema en ir del 10% al 90% del valor final
KA
0 τ
10%
t
y(t)
KA
τ2.2≅rT
90%
rT
Tiempo de subida Tr

16
( )τ
ττ
τ 11
)( 22
+
+−=
+
=
s
KA
s
KA
s
AK
s
A
s
K
sY
Y(s)
1+s
K
τ
t=0 t
τ
τ
ττ
ττ
/
/
)(
)(
t
t
eKAtKA
eKAKAKAtty
−
−
+−=
+−=
0 t
2
)(
s
A
sU =
Attu =)(
τ
ττ /
)()( t
eKAtKAty −
+−=
Respuesta
transitoria
∞=∞∞=
==
)(:
0)0(:0
yt
yt
Sistemas de primer orden: entrada
rampa.

17
∫
∫
=
+=
t
c
t
di
C
tv
di
C
tRitv
0
0
)(
1
)(
)(
1
)()(
ττ
ττ
)(
1
)(
)(
1
)()(
sI
Cs
sV
sI
Cs
sRIsV
c =
+=
)()( ssCVsI c=
)(
1
1
)(
)()1()()
1
()(
sV
RCs
sV
sVRCsssCV
Cs
RsV
c
cc
+
=
+=+=
Función de transferencia:
)(sV )(sVc
1+s
K
τ
RC
K
=
=
τ
1
Sistemas de primer orden: ejemplo.
Circuito RC

18
)(sV )(sVc
1
1
+sτ
t=0 t
5
v(t) cambia de repente en
t=0 de 0 a 5 Voltios
v(t)
RC=τ
La respuesta de vC(t)
ante entrada escalón
para varios valores de τ
Constante de tiempo del sistema
τ=1
τ=2
τ=3
Circuito RC

19
)(sV )(sVc
1
1
+sτ
t=0 t
5
v cambia de repente en t=0 de
0 a 5 Voltios y vuelve a bajar
inmediatamente a 0 Voltios
v(t)
RC=τ
ante entrada impulso
para varios valores de τ
τ=1
τ=2
τ=3
Circuito RC

20
)(sV )(sVc
1
1
+sτ
v cambia en t=0 gradualmente
con una pendiente igual a 1.
v(t)=t
RC=τ
ante entrada rampa para
varios valores de τ
t=0 t
τ=1
τ=2
τ=3
Circuito RC

21
Identificación
El modelo se obtiene a partir de datos experimentales de entrada-
salida del proceso
t
t
YU
U
Y
Proceso
Modelo

22
Identificación t
y(t)
t
y(t)
∆y
t = τ
0.63 ∆y
Si la respuesta desde el
equilibrio a un salto ∆u en u(t)
es como la figura ⇒ sistema
de primer orden
Estimación de parámetros:
K = ∆y/ ∆u
τ dos métodos
∆u
u(t)

23
U(s) Y(s)
1+s
K
τ
)()(
)(
tKuty
dt
tdy
=+τ
u(t)=At
t
0
u(t)=A
t
0
u(t)
t
0Rampa Escalón Impulso
A
dt
d
dt
d
)1(
)( 2
+
=
ss
KA
sY
τ )1(
)(
+
=
ss
KA
sY
τ )1(
)(
+
=
s
KA
sY
τ
)()( /τ
ττ t
etKAty −
+−= )1()( /τt
eKAty −
−=
τ
τ
/
)( t
e
KA
ty −
=
∫ ∫
Repaso: relación entre salidas ante
entradas tipo.

24
Repaso: algunos comandos de Matlab
interesantes
Algunos comandos de Matlab de
interés:
tf
pole
zero
zpk
impulse
step
ones
zeros
lsim
series
parallel
feedback

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