4. Introducción a los sistemas
dinámicos
Múltiples definiciones Problema de
valor inicial.
X = {x : x es un estado del sistema dinámico}
Espacio de estados o de fases abstracto,
cuyas coordenadas describen el estado en
cualquier instante y existe una regla dinámica
que especifica el valor futuro inmediato de
todas las variables de estado a partir del
valor actual de las mismas.
5. Introducción a los sistemas
dinámicos
Definición matemática: un sistema
dinámico suave en Rn es una función
continua y diferenciable Φ:RxRn→Rn (flujo) en
el que denotando Φ(t,X)= Φt(X) satisface:
1. Φ0:Rn→Rn es la función identidad:
Φ0(X0)=X0.
2. Ley de composición: Φt ○Φs= Φt+s, para
todo t,s ϵ R.
El mapa Φt: Rn→Rn es de tipo C1 para cada t
y tiene inversa Φ-t también de tipo C1.
6. Introducción a los sistemas
dinámicos
Teoría de bifurcaciones
Cuando ϕt (o el campo vectorial derivado) depende de un
parámetro μ, la estructura del espacio de fases dependerá
también de este parámetro cambios cualitativos de
comportamiento.
Kuznetsov: bifurcación cuando el sistema cambia de
comportamiento, es decir el diagrama de fases del sistema será
topológicamente equivalente hasta un cierto valor crítico del
parámetro μ, para el que se produce la bifurcación.
Permite comprender el comportamiento dinámico de los
sistemas y caracterizarlo en función del valor de estos
parámetros.
7. Introducción a los sistemas
dinámicos
Clasificación de sistemas planos lineales
En función de los autovalores λ / AV0= λV0
Si A tiene dos autovalores reales λ1 y λ2 no nulos.
X’=AX
X
dc
ba
X
'
2
11
0
0
ATT
λ1<0<λ2. Silla 0<λ1<λ2. Fuente λ1<λ2<0. Sumidero
8. Introducción a los sistemas
dinámicos
Clasificación de sistemas planos lineales
En función de los autovalores, det A y tr A
X’=AX
AtrAtrA det4)((
2
1 2
9. Introducción a los sistemas
dinámicos
Sistema dinámico. X’=F(t,X)
Punto de equilibrio: vector X0
para el que F(X0)=0
Sistema autónomo: si ninguna de las fi
depende de t. X’=F(X)
Diagrama de fase: representación del
conjunto de soluciones.
Ceroclinas (“nullclines”): puntos tales que
fi(t,x1,…,xn)=0
),...,,(
...
),...,,(
),(
1
11
nn
n
xxtf
xxtf
XtF
10. Introducción a los vórtices
magnéticos
Ordenaciones de espín que dan lugar a una
imanación espontánea
Formación de vórtices magnéticos
11. Introducción a los vórtices
magnéticos
Estados del vórtice en dots circulares de permalloy
a b c d
(a), (b) quiralidad a la derecha. (c), (d) quiralidad a la izquierda.
(a), (d) polaridad positiva. (b), (c) polaridad negativa.
Quiralidad: relacionada con el giro (“lateralidad” izquierda o
derecha).
• Núcleo: apuntar
arriba o abajo.
• Giro: sentido
horario o anti-
horario
12. Introducción a los vórtices
magnéticos
Dinámica del núcleo del vórtice ->al aplicar un campo
magnético externo
Movimiento del núcleo del vórtice
0)('"
^
XWXGXM X
• X: coordenada del núcleo del vórtice
• W(X): energía del vórtice desplazado desde
su posición de equilibrio en el centro del dot.
• M: tensor que representa la masa del vórtice
(generalmente se desprecia)
)(80 FMS
Frecuencia de resonancia de la oscilación del núcleo del vórtice
14. Desarrollo del proyecto
Sistema de ecuaciones dinámico del movimiento del
núcleo del vórtice
u
u
d
u
h
u sin02
0
udhu )(cos0
Parámetro Significado
ϕ
Desfase de la posición del núcleo del vórtice
respecto al campo externo aplicado.
u
Módulo del vector posición del núcleo del
vórtice
ω
Frecuencia de oscilación del campo magnético
externo aplicado h(t)=h0eiωt
ω0
Frecuencia de resonancia del núcleo del
vórtice
d Coeficiente de amortiguamiento
h0
Amplitud del campo magnético externo
aplicado h(t)=h0eiωt
β Constante
)(
)()( tti
etutZ
Ecuaciones
Vector posición núcleo
vórtice suponiendo
movimiento instantáneo
circular
• u(t) radio órbita
• Φ(t) desfase respecto
campo externo
15. Desarrollo del proyecto
Operando con el sistema
Puntos estacionarios
0
2
202
1
sincos
1
1
u
u
dh
d
uuddh
d
u 0
2
02
sincos
1
1
)sin1()(2)(
1
1
)(' 0
2
0
2
0
2
02
2
uuhuuh
d
tZ
Módulo cuadrado vector velocidad
Forma equivalente sistema
0,0/),( 00 uu h0
2
= dw2
u2
+ (-w +w0 +bu2
)uéë ùû
2
h0
2
= (d2
w2
+w2
+w0
2
-2ww0 )u2
+b2
u6
+2b(w0 -w)u4
f (x)= x3
-2nx2
+(n2
+m2
)x -l2
= 0 n =
w -w0
b
,m =
dw
b
,l =
h0
b
Polinomio cúbico
D = -4m2
(n2
+m2
)2
+4n3
l2
+36m2
nl2
-27l4
Discriminante
Una, dos o tres soluciones según ω0 d3- 0 Una solución para cada valor de h0
17. Desarrollo del proyecto
Código desarrollado para la resolución del sistema
Módulos Módulo Función
mySystem Contiene una función con la representación del
sistema de ecuaciones
ode_solver Calcula y representa la solución del sistema
definido en mySystem
fft_calculation Calcula y representa el módulo al cuadrado del
vector del sistema y el espectro en frecuencia, a
través de la transformada rápida de Fourier (FFT)
roots_calculation_vary_w Calcula y representa la evolución de las soluciones
reales del sistema al variar ω
roots_calculation_vary_ho Calcula y representa la evolución de las soluciones
reales del sistema al variar h0
ho_intervals Representa las inecuaciones para un valor dado de
β
ho_intervals_log Representa las inecuaciones en forma logarítmica
para un valor dado de β
18. Desarrollo del proyecto
Representación radio frente a ω 2
0
22222
0
2
huwduu
ω=1.4ω0 ω=1.2ω0 ω=1.04ω0
β=4ω0>0
22. Desarrollo del proyecto
Representación de soluciones al variar h0 y ω
Primero reproducción de resultados previos con β>0
Valores para β = 4ω0
ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.01ω0
ω=1.04ω0
ω=1.2ω0
ω=1.4ω0
23. Desarrollo del proyecto
Representación de soluciones al variar h0 y ω
Estudio de casos con β<0
Valores para β = -4ω0
ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.002ω0
ω=0.05ω0
ω=0.102145ω0
ω=0.5ω0
ω=0.9ω0
ω=0.14ω0
Órbita
periódica y
zona de escape
24. Desarrollo del proyecto
Representación de soluciones al variar h0 y ω
Estudio de casos con β<0
Valores para β = -4ω0
ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.005ω0
ω=0.05ω0
ω=0.5ω0
ω=0.9ω0
25. Desarrollo del proyecto
Representación de soluciones al variar h0 y ω
Estudio de casos con β<0
Valores para β = -4ω0
ω0=2π*250
d=0.03
β=4ω0
h0=0.02ω0
ω=0.05ω0
ω=0.5ω0
ω=0.53ω0
ω=0.9ω0
26. Conclusiones
Resultados:
Diferente comportamiento para β positivo y
negativo: creación de zona de escape y
región con dos equilibrios estables muy
pequeña en comparación con β positiva.
El uso de β negativo podría explicar la
tendencia del vórtice a escapar del dot
según algunos resultados [3].
27. Bibliografía
[1] Konstantin Y. Guslienko, Rafael Hernández Heredero y Oksana
Chubykalo-Fesenko “Nonlinear gyrotropic vortex dynamics in
ferromagnetic dots”, Physical Review B 82, 014402 (2010).
[2] D.Rafael Hernández Heredero, “Apuntes de la asignatura Sistemas de
Ecuaciones Diferenciales No Lineales: Simetrías y Aplicaciones”,
correspondiente al máster en Sistemas y Servicios Accesibles para la
Sociedad de la Información.
[3] “A. Lyberatos, S. Komineas, and N. Papanicolaou, Processing vortices
and
antivortices in ferromagnetic Elements”, Journal of applied physics 109, 2
Article
Number: 023911 ( 2011 ).
[4] Smale,Hirsch and Devaney , “Differential Equations,Dynamical
Systems, And an Introduction to Chaos”. McGraw-Hill (2004).