1. Líneas, ángulos,
simetría, figuras
y planos
En esta unidad usted aprenderá a:
• Trazar líneas.
Unidad II • Conocer algunos instrumentos para trazar
líneas y figuras geométricas.
• Medir y trazar ángulos.
• Conocer algunas de las figuras geométricas.
• Determinar el eje de simetría de las figuras
geométricas.
• Usar escalas.
• Obtener medidas de un plano, mapa o dibujo
a escala.
Le servirá para:
• Comunicarse por medio de dibujos y trazos.
• Indicar formas y tamaños.
• Medir con mayor facilidad.
• Presentar croquis o planos a escala.
• Leer e interpretar planos, mapas o dibujos a
escala.
Para estudiar esta unidad, usted necesita:
• Conocer los números.
• Usar la regla , el transportador y las escuadras.
Tema 1 Líneas y ángulos
Tema 2 Figuras geométricas
Tema 3 Simetría
Tema 4 Planos a escala

2. Geometría y medición
Tema I Unidad II
Líneas y ángulos
A don Francisco, quien es contratista, le pidieron hacer un croquis de la fachada
de la casa del No. 25 de la calle de León, para que le modifique algunas partes
y, posteriormente, la pinte.
Don Francisco hace un croquis como este, pero le quedan un poco chuecas las
líneas de las ventanas y puertas.
¿Qué debe hacer don Francisco para que su croquis quede mejor?
36

3. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Para hacer un plano, mapa o dibujo además de saber lo que va a expresar, es
necesario conocer las líneas que se utilizan para representar figuras y objetos.
Cada línea recibe un nombre según su forma, las más usuales son:
Líneas rectas
Líneas curvas
37

4. Geometría y medición
A las líneas por su posición se les llama:
línea diagonal
línea horizontal
línea vertical
Para trazar estas líneas
con precisión, se utilizan
instrumentos como los
mostrados en la foto.
Junto a este libro
encontrará un juego
de geometría.
Cuando las líneas, como las que aparecen en la ilustración, tienen relación una con
otra adquieren nombres específicos.
Líneas paralelas son como Líneas transversales son como
estas: estas:
Y, líneas perpendiculares, como estas:
38

5. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Para ayudar a don Francisco, es necesario que se identifiquen las principales
líneas que se van a dibujar de la fachada de la casa.
¿Podría usted ayudar a don Francisco a hacer una lista de los tipos de líneas qué
va a usar para dibujar la fachada de la casa?
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Ejercicios
Hay líneas rectas en la ventana . Ejemplo
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Hay líneas en .
Señale en dónde localiza en su casa las siguientes líneas.
Línea recta
Línea curva
Líneas horizontales
Líneas verticales
39

6. Geometría y medición
Hay algunas líneas como las paralelas, transversales y perpendiculares que requieren
de más explicación; por ejemplo:
Para reconocer las líneas paralelas debemos ver que
aunque éstas se prolonguen, nunca se van a cruzar.
Nunca se cruzan.
Las encontramos en:
Las orillas opuestas de una hoja del libro.
Los bordes opuestos de una regla.
Las líneas de los mosaicos del piso.
Los rieles de una vía del tren.
40

7. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Las líneas transversales son las que se cruzan en un punto al que se le llama
vértice. A la abertura que existe entre ellas se le llama ángulo.
Ejemplo
vértice ángulo
) ángulo
))
)
ángulo
)
ángulo
El ángulo se representa con una flecha curva ( ) ) que señala la separación
entre las líneas.
)
)
)
Para medir la abertura de un ángulo se utiliza el tranportador, y la medida se
expresa en grados (o).
90o
180o 0o
vértice del ángulo
Ángulo de 45º y se lee ángulo de 45 grados.
La flecha nos indica la abertura del ángulo y va en sentido de derecha a izquierda,
es decir, va al contrario de las manecillas del reloj; de esta manera se tienen que
medir los ángulos. El 0 (cero) del transportador debe ubicarse donde empieza la
flecha y el centro del transportador en el vértice del ángulo.
41

8. Geometría y medición
Las líneas perpendiculares son aquellas que se cruzan o se cortan siempre
formando un ángulo de 90º (ángulo recto).
9
0 ) 9
)
0
9
0
)
9
0 9
0 )
)
Este tipo de líneas las encontramos frecuentemente, por ejemplo:
La forman el piso y la pared.
En las esquinas de algunas mesas.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Ejercicios
¿Podría usted ayudar a don Francisco a encontrar otros ejemplos de líneas
perpendiculares? Por favor, escríbalos.
42

9. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Con el transportador se pueden medir los ángulos de 0º a 180º.
900 45 0
1800 00
centro del
transportador
90 0
900
1800 00
1350
900
1800 00
900
1800
1800 00
Recuerde que el centro del transportador
debe colocarse en el vértice del ángulo.
43

10. Geometría y medición
Si se quisiera medir un ángulo mayor de 180º, debe continuar como si tuviera otro
transportador en la parte inferior; para obtener el ángulo sólo sume a los 180º
del primero.
90 0
00
180 0
+ 450
2250
90 0
00
1800
+ 900
2700
44

11. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Así, por ejemplo:
Estas líneas forman un 90 600
ángulo de 60º (60 grados).
900
1800 00
Estas líneas forman un 1200 90
ángulo de 120º (120 grados).
900
1800 00
Estas líneas forman un ángulo 9090 0
de 90º (90 grados), a este ángulo
900
se le conoce como ángulo recto.
1800 00
El ángulo que mide 90º es un ángulo recto.
El ángulo que mide menos de 90º es un ángulo agudo.
El ángulo que mide más de 90º es un ángulo obtuso.
El ángulo que mide 180º es un ángulo llano.
45

12. 46
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
d)
b)
Geometría y medición
Ejercicios
)
las medidas de los siguientes ángulos.
Con la ayuda de un transportador, indique
a)
e)
c)
)
)
) )

13. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Don Francisco, conociendo las líneas y algunas de sus características, dibuja con
escuadras, transportador, regla y compás un plano como el siguiente:
El plano representa muy bien la fachada que don Francisco va a pintar y arreglar.
Además, como da una buena impresión ante quien lo va a contratar, le dan el trabajo
a don Fancisco.
47

14. Geometría y medición
Tema 2 Unidad II
Figuras geométricas
A la carpintería de don Andrés llegó una clienta que le pidió una repisa rectangular con
dos soportes de forma triangular.
¿Cómo puede saber don Andrés si lo que entendió es lo que ella quiere?
Lo que necesita don Andrés es hacer un croquis para mostrarlo a la clienta y que ésta
lo apruebe o modifique; por lo que don Andrés dibujó un rectángulo y dos triángulos.
Como se ha observado, las cosas se pueden describir por medio de las figuras,
por lo que entonces conviene aprenderlas.
48

15. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Los triángulos
Los triángulos son figuras planas limitadas por tres lados que forman 3 ángulos.
Los triángulos pueden ser:
Triángulos equiláteros
Cuando tienen sus tres lados y sus tres ángulos iguales.
Triángulos isósceles
Cuando tienen 2 lados y dos ángulos iguales, y un lado y un ángulo diferente.
Triángulos escalenos
Cuando sus tres lados y sus tres ángulos son diferentes entre sí.
49

16. Geometría y medición
Uno de los triángulos más utilizados para
construir otras figuras geométricas es el
triángulo rectángulo, que tiene un ángulo
recto (90º), como el de las repisas.
90º
)
La figura de triángulo la podemos localizar en:
Rampas
Ventanas
Escaleras
Fachadas
Ejercicios
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
En su cuaderno de ejercicios, haga usted una lista de lugares donde identifique
triángulos.
50

17. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Los cuadriláteros
Entre las figuras geométricas están los cuadriláteros, que son figuras planas de
cuatro lados y cuatro ángulos. Algunos cuadriláteros son:
El rectángulo
Tiene dos pares de lados Cada par tiene medidas
paralelos. distintas.
4
4
2 2 2 2
4 4
Los lados cortos son
) 9
)
9
0 0
perpendiculares a los lados
largos (forman ángulo de 90º). 9
0 9
0
)
)
El cuadrado 4
Tiene sus cuatro lados de la misma
longitud (miden lo mismo) y todos ) 90
)
9
0
sus ángulos son rectos.
4 4
9 9
0 0
)
)
4
Ejercicios
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
1. Localice lugares donde ubique rectángulos.
____________________ _________________ _______________
____________________ _________________ _______________
2. Un cuadrado es un rectángulo.
¿Por qué? ______________________________________________
51

18. Geometría y medición
El rombo El trapecio
Es un cuadrilátero que tiene Es un cuadrilátero que sólo
sus lados iguales y paralelos, tiene un par de lados paralelos
pero no tiene ángulos rectos. y no tiene ángulos rectos.
Los polígonos
Polígonos regulares son figuras que tienen sus lados y ángulos iguales.
Existen infinidad de polígonos regulares y se les nombra de acuerdo con el número
de lados rectos; algunos de éstos son:
El pentágono tiene 5 lados. El exágono tiene 6 lados.
El eptágono tiene 7 lados. El octágono tiene 8 lados.
Hasta aquí hemos visto figuras que se trazan con líneas rectas.
52

19. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Con las líneas curvas también se forman figuras planas cerradas y las principales
son: el círculo y el óvalo.
El círculo
Es una figura plana que está limitada con una línea curva que
está a la misma distancia del centro.
La parte sombreada es el círculo.
La línea que delimita al círculo se llama r
circunferencia. D
La distancia del centro a cualquier punto
de la circunferencia se llama radio (r).
La línea que va de lado a lado del círculo, pasando por el centro, se
llama diámetro (D), y es igual a 2 veces el radio.
El óvalo
Como una lata de sardinas.
Es una figura curva donde los bordes
no están todos a la misma distancia
del centro.
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
Ejercicios
1. ¿Podría usted hacer un plano de una mesa cuadrada y uno de una redonda?
2. Mencione algunos objetos que estén formados por círculos.
53

20. Geometría y medición
Tema 3 Unidad II
Simetría
Doña Alejandra vende artesanías en el mercado, mismas que hace en su casa.
Cada pieza la decora con diferentes figuras que obtiene de plantillas que ella
misma diseña.
Para fabricar sus plantillas hace lo siguiente.
Dobla por la mitad una cartulina.
54

21. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Al extender la cartulina recortada,
ella sabe que la otra mitad va a ser
A partir del doblez, dibuja la mitad de igual en tamaño y forma, pero queda
la figura que va a hacer y la recorta. del lado contrario (es inversa).
Hace plantillas de distintas figuras como estas:
55

22. Geometría y medición
Una vez que tiene la plantilla, la coloca sobre una figura de madera y luego la
pinta.
Para doña Alejandra es importante saber trazar figuras simétricas para realizar
sus diseños.
Si nos damos cuenta, para trazar una figura simétrica es necesario encontrar la
línea que separe en dos mitades iguales a la figura, es decir, encontrar el eje de
simetría.
El eje de simetría es la línea recta imaginaria que divide a
una figura en dos partes iguales en forma y tamaño, pero
en posición contraria.
El doblez que hace, doña Alejandra, en la cartulina es el eje de simetría.
figuras iguales en forma y tamaño
sentido sentido
eje de
simetría
sentido o posición contraria
56

23. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
El eje de simetría puede estar en cualquier posición, siempre y cuando divida a la
figura en dos partes iguales, pero en sentido contrario.
Ejemplos
Las líneas punteadas que aparecen en estas figuras son ejes de simetría.
Ejercicios
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
¿Podría usted ayudar a doña Alejandra a encontrar el eje de simetría en las
siguientes figuras?
En su cuaderno de ejercicios, haga una lista con los nombres de cosas simétricas
que puede localizar a su alrededor.
57

24. Geometría y medición
Tema 4 Unidad II
Planos a escala
La señora Ana María pide a Vicente, quien es rotulista, que pinte un anuncio en la
pared de su negocio.
El anuncio debe
quedar como el
croquis siguiente:
ABARROTES
LA PALMA
Vicente, después de observar el anuncio, pregunta a la señora Ana María de qué
tamaño va a ser el letrero, pues no tiene medidas.
La señora Ana le dice que lo haga exactamente como está en el dibujo, ya que
éste se encuentra a escala de 1 cm a 0.5 m.
Esto significa que cada centímetro en el dibujo representa 0.5 de metro; con lo
que Vicente dice: "Ahora sí conozco todas las medidas"; y empieza a medir con
una regla el dibujo a escala. Para no confundirse, pone en el croquis las medidas
en cm que tiene el dibujo, como se muestra a continuación.
58

25. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
1 cm
3 cm
5 cm
ABARROTES
1.5 cm
LA PALMA 1 cm
12 cm
Con las medidas
que obtuvo con una regla en centímetros, dice:
Ancho del anuncio: tiene 12 cm, y si cada cm equivale a 0.5 de metro,
entonces medirá: 12 x 0.5 metros = 6 metros.
Alto del anuncio: mide 5 cm, y como cada cm equivale a 0.5 m, entonces
medirá: 5 x 0.5 m = 2.5 m.
Tamaño de la letra: cada letra en el dibujo mide 1 cm de alto y
1 cm de ancho; cada letra medirá:
1 x 0.5 m = 0.5 m o medio metro de alto y
1 x 0.5 m = 0.5 m o medio metro de ancho.
Tamaño del sol Tiene un diámetro de 3 cm, entonces medirá:
con la palma: 3 x 0.5 m = 1.5 metros de diámetro.
0.5 m
1.5 m
2.5 m
ABARROTES
0.75 m
LA PALMA 0.5 m
De esta manera,
Vicente obtiene
las medidas del
anuncio que va
6m a pintar.
59

26. Geometría y medición
En muchas ocasiones es necesario representar figuras, longitudes o distancias
grandes en espacios pequeños; o las características de un país, estado o ciudad en
un plano.
Para conocer las dimensiones o tamaño de lo que se está representando en un
plano o mapa, se usa la escala, la que, como vimos, es la razón entre las dimensiones
del dibujo y las longitudes reales.
Abajo se muestra un mapa de la Península de Yucatán.
Si usted tuviera que decir qué distancia hay de Mérida a Cancún, en línea recta, y
de Champotón a Bacalar, y sólo contara con un plano como este, ¿qué haría?
60

27. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Primero. Localizar la escala del plano, que se puede observar en la parte superior
izquierda del mapa.
Segundo. Analizar qué dice la escala. En este caso, la escala dice que 1 cm en el
plano equivale a 40 km: 1 cm 40 km.
Tercero. Trazar una línea recta de Mérida a Cancún y otra de Champotón a Bacalar,
y medir su longitud en centímetros.
Estas son las dos rectas:
Cuarto. Medir del centro del punto al centro del otro punto, en las dos líneas
trazadas.
61

28. Geometría y medición
Observe que de Mérida a Cancún hay 7.6 cm; por lo que,
7.6 x 40 km = 304 km
Y de Champotón a Bacalar hay 6.2 cm; por lo que,
6.2 x 40 km = 248 km
Ejercicios
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
1. ¿Qué distancia hay de Valladolid a Felipe Carrillo Puerto?
2. ¿Qué distancia hay de Mérida a Kabah?
Recuerde medir desde el centro del punto al centro del otro punto.
62

29. Unidad II: Líneas, ángulos, simetría, figuras y planos
Observe que en los planos anteriores la escala se identifica por unas líneas que
○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○
muestran que 1 cm equivale a 40 km. Esto quiere decir que cada cm del plano
representa 40 km.
40 km
Mida usted la distancia entre las marcas
1 cm y compruebe que es 1 cm.
3. El señor Albino es pintor; le piden que pinte una casa como la que se muestra
en el plano. El señor Albino se pregunta lo siguiente:
a) ¿cuánto tiene de altura la casa?
b) ¿cuánto mide la puerta?
c) ¿cuánto miden las ventanas?
Escala: 1 cm 1m
Con el plano que le proporcionaron al señor Albino ayúdele a contestar sus dudas.
4. Dibuje un croquis de un cuarto de su casa. Le sugerimos que utilice una escala
de 1 cm 2 m.
5. Busque un plano en un libro, localice la escala y calcule la distancia que hay
entre dos lugares o puntos del plano. (Si el plano no tiene escala no existirá la
posibilidad de medirlo.)
63

30. Regresar al índice principal
Autoevaluación
Instrucciones:
Observe cuidadosamente los siguientes dibujos y conteste las preguntas utilizando los
datos de los mismos.
Observe el siguiente dibujo y conteste la pregunta 1.
Figura 1
1. Busque los círculos, cuadrados, triángulos y rectángulos que se utilizaron para hacer
el dibujo y únalos con líneas a las figuras correspondientes.
Observe las siguientes líneas y conteste la pregunta 2.
64

31. 2. Localice en el siguiente dibujo las líneas que observó y señale algunos ejemplos.
Figura 2
3. Mida los ángulos señalados que se presentan en la Figura No. 3 y ponga su magnitud
en la línea.
Figura 3
a) b) c) d)
4. Observe las siguientes figuras. Identifique las que tienen uno o más ejes de simetría
y dibújelos.
Figura 4
65

32. Lea cuidadosamente la siguiente información y conteste las preguntas utilizando los
datos de la misma.
5. La señora Mónica necesita rentar un local para poner una zapatería. Una amiga le
comentó que tenía uno en el centro del pueblo y le hizo un plano del local.
puerta
baño
Escala: 1 cm 1m
La escala del plano es de 1 cm por 1 m, es decir, que cada cm del plano
equivale en realidad a 1 metro (m).
a) ¿Cuáles son las medidas reales del baño?
Largo
Ancho
b) ¿Cuántos metros mide el local?
Largo
Ancho
c) ¿Cuántos metros mide la puerta?
66