Este documento presenta 8 problemas sobre proyectores cuánticos. Se pide demostrar varias propiedades de los proyectores como que P^2_i = P_i, que P^†_i = P_i, y que P_iP_j = 0 para i ≠ j. También se pide encontrar el proyector complementario de P_i y demostrar que el determinante de |P_i| es 1 solo si el rango de P_j es 0 para 1 < j ≤ m. Se da la pista de usar la ortogonalidad de los estados cuánticos.

1. Universidad Aut´onoma de Chiapas
Facultad en Ciencias F´ısicas y Matem´aticas
Maestr´ıa en Ciencias F´ısicas
Mec´anica Cu´antica I
Tarea n´umero: 4
Nombre: Leonardi Hern´andez S´anchez Calificaci´on:
Dada la definici´on del ”Proyector sobre espacio i (fi)”
Pi =
gi
α=1
|Ψ
(α)
i Ψ
(α)
i |
Demostrar que:
(1) P 2
i = Pi.
(2) P †
i = Pi.
(3) PiPj = 0 si i j.
(4) m
i=1 Pi = 1.
(5) rankPi = gi = T rPi.
(6) Si λ es eigen valor de Pi ; λ = 1,0 son posibles.
Pista: Usar
Ψ
(α)
i |Ψ
(β)
j = δαβδij
α = 1,...,gi
β = 1,...,gj
i,j = 1,...,m.
(7) Encuentra el proyector complementario de Pi en t´erminos de {|Ψ
(α)
j }.
(8) Muestra que det|Pi| = 1 solamente si rank(Pj) = 0 para 1 < j ≤ m.
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