Sesión nº 04 y 05 cuadros y graficos

DEPARTAMENTO DE INVESTIGACIÓN
ESTADÍSTICA GENERAL

Sesión 4
Organización de los datos:
Tablas y Gráficos Estadísticos

CAPACIDADES

1. Construye e Interpreta los diferentes tipos distribuciones de frecuencias.
2. Presenta adecuadamente los cuadros estadísticos.
3. Construye e interpreta los gráficos de acuerdo a las normas técnicas del INEI

ACTITUDES
1. Valora la importancia que tiene la distribución de frecuencias y los gráficos como método de
organización y como método para describir el comportamiento de las variables de interés.
2. Valora la importancia que tiene la estructura y la presentación adecuada de los cuadros y
gráficos estadísticos para descubrir patrones de comportamiento en la Investigación
científica.
3. Actitud creativa y disposición a trabajar en equipo.

CONTENIDO

Organización de datos: Distribución de Frecuencias. Interpretación. Presentación de
Cuadros. Representación grafica de acuerdo a las normas técnicas del INEI

1


CUADROS ESTADISTICOS

I. CUADRO ESTADISTICO
Un cuadro estadístico es un arreglo ordenado de filas y columnas, de datos estadísticos o
características relacionadas, con el objeto de presentar adecuadamente información
estadística. (Ejemplo: las tablas del BCR, INEI). Deben ser diseñados de tal forma que el
lector pueda dirigirse fácilmente al cuadro.

II. FINALIDAD: Es ofrecer información resumida de fácil lectura, comparación e interpretación

III. VENTAJAS:
 Los cuadros permiten presentar en forma resumida y ordenada muchos datos.
 Es un instrumento que clasifica, resume y comunica información estadística.
 Facilita el análisis de los datos.

IV. PARTES DE CUADRO ESTADISTICO

2


1. Número: Es el código de identificación. El número se anota junto a la palabra tabla o
cuadro, ejm.: Tabla Nº 1, Cuadro Nº 1
2. Título: Se refiere a la descripción del contenido del cuadro. Debe indicar la característica
principal en estudio, lugar y tiempo que se realizó el trabajo.
3. Encabezamiento: Es la descripción de las filas y columnas de un cuadro estadístico. El
encabezamiento se ubica en la parte superior del cuerpo del cuadro.
4. Columna Matriz: En esta columna se designa la naturaleza del contenido de cada fila. Se
anotan las categorías o las diferentes clases de la escala de clasificación utilizada.
5. Cuerpo del Cuadro: Se ubica la distribución de los datos estadísticos de acuerdo a las
indicaciones del encabezamiento y la columna matriz.
6. Notas explicativas: Se refiere a cualquier nota aclaratoria sobre el contenido del cuadro
estadístico.
7. Fuente: Sirve para indicar de donde se obtuvo la información estadística.

Ejemplo: Cuadro Nº 1
Intervenciones por delitos, registrados por la Policía Nacional, en el País
y en el Departamento de La Libertad, según tipo de falta: 2009
INTERVENCIONES EN DELITOS
TIPO DE FALTA TOTAL DPTO LA RESTO
PAIS LIBERTAD PAIS
Contra la vida el cuerpo y la salud 23681 2137 21544
Contra la tranquilidad pública 1/ 1296 1 1295
Contra el patrimonio 109112 7793 101319
Contra la familia 6669 21 6648
Contra la libertad 8531 424 8107
Contra la seguridad pública 7736 17 7719
Contra el orden económico 4247 -- 4247
Delito tributario 15081 -- 15081
Contra la fe pública 1483 6 1451
Contra la administración pública 314 6 308
Otros 924 36 888
TOTAL 179074 10467 168607

Fuente: Policía Nacional del Perú- División de Estadística

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V. ERRORES MAS COMUNES
 Disposición incorrecta de los datos
 Títulos y encabezamientos incompletos e inadecuados
 Datos no comparables: establecer comparaciones es una de las partes más
importantes del análisis
 Cuadro sobrecargado

CLASIFICACION DE LOS CUADROS ESTADISTICOS

4


CUADROS DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

DEFINICION: Es una forma de organizar u resumir los datos con la finalidad de describir el
comportamiento de las variables de interés. Esta organización tabular, consiste en presentar la
lista de valores de la variable, clases o categorías junto con el número de veces que se repite
cada valor de la variable (frecuencia)

Donde: fi : Frecuencia absoluta simple
hi : Frecuencia relativa simple
Fi : Frecuencia absoluta acumulada
Hi : Frecuencia relativa acumulada

EJEMPLO

Simples Acumuladas
# hijos fi hi Fi Hi

0 hijos f1 = 6 6/13 = F1 = f1 = 6 H1 =F1/N =
46.1% 46.1%
1 hijos f2 = 4 4/13 = F2 = f1+f2 =10 H2 =F2/N =
30.8% 76.9%
2 hijos f3 = 3 3/13 = F3 = f1+f2+f3 =13 H3 =F3/N =
23.1% 100%
Total 13 100%

f2 : 4 personas tienen 1 hijo
h1: El 46.1% de la población tiene 0 hijos (no tiene hijos)
F2: 10 personas tiene 1 o menos hijos
H2: el 76.9% de la población tiene 1 hijo o menos

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GRAFICOS ESTADISTICOS

• Un gráfico es la representación de un fenómeno estadístico por medio de figuras
geométricas, cuyas dimensiones son proporcionales a la magnitud de los datos
representados.
• Su objeto principal es la representación de los datos de forma gráfica, que permita de un
solo golpe de vista darse cuenta del conjunto de elementos representados y de evidenciar
sus variaciones y características.
• El gráfico es un auxiliar del cuadro estadístico, no lo sustituye sino que lo complementa.
• En estadística los gráficos están en relación a las variables de estudio: cuantitativa o
cualitativa

I. PARTES DE UN GRAFICO ESTADISTICO

LEYENDA:

1. TITULO DEL GRAFICIO:
2. ESCALAS:
3. CUERPO:
4. FUENTE:
5. LEYENDA:

6


II. CLASIFICACION DE LOS GRAFICOS ESTADISTICOS

A. GRAFICO PARA VARIABLES CUALITATIVA O CUANTITATIVA DISCRETA

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B. GRAFICO PARA VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS

III. PRINCIPALES GRAFICOS ESTADISTICOS

A) HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
Para construir un histograma de frecuencias, se trazan barras por arriba de cada intervalo
de clase y a una altura que es igual a la frecuencia de la clase.

8


Ilustración 1: Histograma de Frecuencia
12

10
f
8

6

4

2

0
y
10 20 30 40

f 9
B) POLIGONO DE FRECUENCIAS
8
Para construir un polígono de 7

frecuencias absolutas simples se 6
5
traza una línea poligonal sobre los
4
puntos marcados, teniendo en 3
2
cuenta la marca de clase y sus
1
frecuencias correspondientes. 0
5 15 35 25 45 y

F 90
80
El polígono de 70
60
Frecuencias acumuladas se 50
llama OJIVA 40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 y

9


C) GRAFICO DE BARRAS
Estos gráficos constituyen una herramienta adecuada para comparar los tamaños relativos
de cantidad que se distribuyen en el espacio.
Ejemplo: Número de personas que visitaron, durante un mes, lugares turísticos de
una ciudad.

f 45

40
LUGAR Nº DE
35
TURISTICO PERSONAS
30
A 40
B 20 25

C 30 20

D 15 15

TOTAL 105 10

5

0
A B C D

D) GRAFICO CIRCULAR
Sirve para representar la división de un todo en las partes que lo constituyen. El círculo
total es dividido en partes por medio del trazado de radios, según los grados del ángulo
correspondiente.
Ejemplo: La siguiente tabla muestra la situación académica de un grupo de estudiantes al
final de un ciclo académico

RESERVA DE
INHABILITADO;
Nº DE MAT; 4
10
CONDICION ESTUD %
APROBADO 35 70 DESAPROBADO;
DESAPROBADO 8 16 16

INHABILITADO 5 10
RESERVA DE MAT 2 4
TOTAL 50 100

APROBADO; 70

10


EJEMPLOS

IV. ERRORES MAS COMUNES EN LA CONFECCION DE GRAFICOS
 Falta de Titulo o títulos extremadamente extensos.
 No usa correctamente las partes de un grafico
 Escasez de datos
 No uso de la identificación.
 Títulos que no responden a las preguntas básicas.
 Gráficos muy cargados y/o sumamente complejos de interpretar.
 Desproporción notable entre las longitudes de los ejes.
 Omisión de los rótulos de los ejes y/o las unidades de medida.

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EJERCICIOS

1. Se presenta os tiempos (en minutos) que demoran 45 estudiantes en un
consultorio Psicológico de la universidad
Tiempo de Frecuencia Frecuencia Frec. Frec.
ocupación Absoluta Relativa Absoluta Relativa
(min) simple acumulada acumulada
20 – 30 7
30 – 40 16
40 – 50 12
50 – 60 3
60 – 70 5
70 – 80 2
TOTAL 45
a) Completa la información del cuadro estadístico
b) Hacer la grafica respectiva

2. Los siguientes datos corresponden al número de hijos de cada una de las 30
familias de una urbanización de Trujillo.
2 4 6 0 3 1 3 5 2 4 1 5 3 0 2
4 3 2 1 0 3 4 5 2 0 2 3 5 4 2
Presentar la información en un cuadro estadístico y grafico estadístico

3. La siguiente información corresponde a las calificaciones individuales de 50
alumnos en un examen de ingles de la Universidad Cesar Vallejo
84 47 74 57 42 35 50 85 81 60
65 53 54 68 85 65 52 35 33 71
74 65 77 45 73 55 91 61 41 40
59 65 60 76 64 69 48 55 78 94
67 47 88 89 77 73 66 98 66 70

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a) Presentar la información en un cuadro estadística, utilizando intervalos
cerrados
b) Grafica un histograma de frecuencia absolutas simples
c) Graficar un polígono de frecuencia relativas simples
d) Grafica una ojiva porcentual menor que

4. Las siguientes observaciones expresan el número de veces que 22 consumidores
compraron una determinada marca de un producto en los 2 últimos meses
Primer mes 0 2 5 0 3 1 8 0 3 1 1
Segundo mes 9 2 4 0 2 9 3 0 1 9 8
a) Construir la distribución de frecuencias relativas y la de frecuencias relativas
acumuladas
b) Representar ambas distribuciones en un grafico comparativo
c) ¿Qué proporción de personas no compraron nunca dicha marca?
d) ¿Qué porcentaje de consumidores adquirieron dicha marca menos de 5
veces?

5. Los siguientes datos corresponden al número de bibliotecarias o bibliotecarios en
las bibliotecas públicas de las diferentes provincias españolas

4 7 5 2 4 5 6 4 7 3 7 4 3 4 4 3 4 3 2 4 4 1 10 2 5 3
2 2 5 3 3 8 12 3 2 2 5 4 1 5 8 6 6 1 3 15 16 6 7 12

a) Hallar la distribución de frecuencias relativas y representarla mediante un
diagrama de barras
b) Obtener y representar la distribución de frecuencias relativas acumuladas
c) ¿Qué proporción de provincias tiene más de 7 bibliotecarios?

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6. Los dos cuadros siguientes presentan datos sobre el gasto mensual en
calefacción para un apartamento de dos habitaciones
Calefacción por gas
25.42 26.22 25.22 23.60 27.77 28.52 21.60 29.49 26.22
25.22 20.19 23.97 26.32 23.38 26.77 31.56 25.42 22.72
27.58 29.96 26.22 23.97 28.17 18.01 22.98

Calefacción por electricidad
33.52 51.01 41.99 33.82 25.93 30.32 32.06 39.86 24.62
31.80 48.58 44.65 31.30 35.04 19.24 40.78 43.39 34.78
25.43 33.82 26.47 34.78 32.02 27.98 32.92
a) Hacer una tabla de distribución de frecuencia
b) Comparar ambas distribuciones gráficamente
c) ¿Qué conclusiones pueden extraerse?

7. Las siguientes medidas corresponden a las alturas de 50 niños y niñas
1.56 1.59 1.63 1.62 1.65 1.58 1.56 1.59 1.53 1.54
1.61 1.59 1.51 1.62 1.62 1.52 1.54 1.50 1.49 1.56
1.53 1.49 1.57 1.54 1.53 1.63 1.68 1.62 1.47 1.65
1.59 1.58 1.57 1.47 1.64 1.56 1.52 1.59 1.57 1.59
1.55 1.59 1.53 1.56 1.53 1.62 1.62 1.62 1.60 1.54
a) Construir una distribución de frecuencias absolutas y relativas
b) Obtener las correspondientes distribuciones de frecuencias acumuladas
c) Representar las distribuciones anteriores mediante histogramas
d) Dibujar los correspondientes polígonos de frecuencias
e) Hallar, a partir del polígono de frecuencias acumuladas, la proporción
de observaciones entre 1.59 y 1.62 ambas inclusive
f) ¿Qué conclusiones pueden extraerse?

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8. En la oficina de un diario, el tiempo que se tardan en imprimir la primera plana fue
registrado, durante 50 días. A continuación se transcriben los datos, aproximados
a décimas de minuto.

20.8 22.8 21.9 22.0 20.7 20.9 25.0 22.2 22.8 20.1
23.3 20.9 22.9 23.5 19.5 23.7 23.6 19.0 25.1 25.0
21.3 21.5 19.9 24.2 24.1 19.8 23.9 22.8 23.9 19.7
21.1 20.9 21.6 22.7 25.3 20.3 23.1 20.7 19.5 23.8
21.8 24.3 22.5 21.2 23.8 23.8 20.7 24.2 24.2 24.1

a) Presenta los datos en una distribución de frecuencias con amplitud de
clase entera, utilizando la fórmula de Sturges.
b) Calcula e interpreta las frecuencias porcentuales simples y acumuladas.
c) Determina ¿qué porcentaje de las veces, la primera plana del periódico
puede imprimirse en menos de 24 minutos?
d) Construye un diagrama de tallos y hojas. Interpreta

9. Para realizar un estudio de la cantidad de azúcar vendida por semana en una
tienda, se tomó una muestra de 35 semanas del año 2000, obteniéndose los
siguientes resultados (en cientos de Kg.)
68 48 66 21 28 30 46 38 69 50 90 38
21 35 92 53 53 21 27 52 55 50 48 35
36 52 45 24 28 31 39 46 61 81 46

a) Organiza los datos usando el diagrama de tallos y hojas. Interpreta.
b) Construye una distribución de frecuencias que tenga 7 clases de amplitud entera.
c) Observando la distribución de frecuencias obtenida, ¿qué puede decir sobre la
asimetría?
d) Interpreta las frecuencias simples y porcentuales.

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10. Una muestra de tiempos, en minutos, de llamadas telefónicas que recibe una
secretaria son:

3 6 2 3 3 1 4 5 2 4 3 1 2 4 4 5 3 1 2 4 1 4 8
1 2 3 4 5 2 7 2 3 5 3 4 4 3 4 3 6 2 1 3 6 4 5
3 2 4 3 2 4 5 3 7 1 3 4 3 4 1 3 7 3 2 1 3

Organiza los datos en una distribución de frecuencias considerando las
frecuencias absolutas simples (fi) y los porcentajes simples.

11. Considerando la amplitud de clase entera, construya las clases y sus
correspondientes límites reales para la variable pago por consumo telefónico
mensual en los siguientes casos:
a) Xmin = S/. 52.5 Xmáx = S/. 385.8, k = 6 redondeado a décimos.
b) Xmin = S/. 153.55 Xmáx = S/. 595.75 , k=8 redondeado a centésimos.

12. Cuando se les pidió clasificar la destreza que se requiere para obtener una alta
calificación en un nuevo juego de computadora como principiante, aprendiz,
competidor, maestro o experto, 45 evaluadores respondieron de la manera
siguiente: experto, maestro, maestro, competidor, experto, maestro, maestro,
maestro, experto, aprendiz, maestro, maestro, maestro, maestro, experto,
maestro, competidor, maestro, maestro, principiante, experto, competidor,
maestro, maestro, experto, experto, maestro, maestro, maestro, competidor,
competidor, experto, maestro, experto, experto, experto, competidor, maestro,
maestro, y experto. Ahora:
Construye una tabla que indique las frecuencias correspondientes a estas
clasificaciones de la destreza que se requiere para obtener una calificación alta.

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13. Se han tomado muestras de ventas, en soles, realizadas en una empresa durante
los meses de julio y agosto. Los datos son los siguientes:
Mes de julio
20.00 425.00 40.00 380.00 18.00 43.00 47.50 30.00 434.08 16.00 62.50
30.00 11.60 37.00 98.50 4.80 235.00 97.50 490.00 147.00 235.50 124.00
158.00 194.65 30.00 16.15 200.00 60.00 22.50 30.00 45.00 490.00 413.00
122.00 15.93 90.62 55.00 86.00 188.80 32.50 307.40 92.00 140.00 5.70
63.00 90.00
Mes de agosto
120.00 34.45 14.00 40.00 95.00 390.30 49.10 29.19 17.20 93.00 160.00
21.00 32.00 19.50 141.00 76.00 4.20 18.50 88.50 88.00 70.00 48.00
40.00 12.10 129.20 50.00 35.00 78.00 82.00 356.70 86.00 6.20 14.10
5.80 50.00 141.00 32.00 50.00 117.50 50.00 300.00 3.00 12.00 13.00
55.00 33.00 500.00

a) Construye distribuciones de frecuencias de las ventas (una para cada mes)
considerando las clases: 0 á menos de 100.00, 100 á menos de 200.00, etc.
b) Construye una distribución de frecuencias para las ventas del mes de julio utilizando la
fórmula de Sturges. Compara con las distribuciones obtenidas en (a), ¿cuál es mejor?
Explica.

ACTIVIDAD EN CLASE
Recolecta la siguiente información de los alumnos del aula.
Edad Genero Talla Peso Estado Numero de
civil hermanos

1. Indicar la clasificación de cada tipo de variable (Cualitativa o Cuantitativa)
2. Hacer las tablas de frecuencia de Edad, genero, talla, Peso, Estado Civil, #
Hermanos
3. Hacer las graficas respectivas de cada variable.

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IV. ACTIVIDADES DE AUTO EVALUACIÓN (TABLAS)

Antes de continuar con los siguientes temas, es conveniente que te autoevalúes,
desarrollando las preguntas en forma individual. Luego coteja tus respuestas con la teoría
estudiada y califícate en la escala de 0 – 20:

4.1. Los pesos de los estudiantes de una sección de Estadística de la UCV, redondeados a
enteros, varían entre 52 y 83 kilogramos. Indica los límites nominales y los límites reales
de siete clases en que se podrían agrupar estos pesos. (3 ptos)

4.2. Los números de análisis de sangre por día que se realizan en un hospital se agrupan en
una distribución que tiene las clases 25-39, 40-54, 55-69, 70-84 y 85-99. Encuentra: a)
las fronteras de clase, b) las marcas de clase, c) la amplitud de clase. (3 ptos)

4.3. Las marcas de clase de una distribución del número de asaltos registrados diariamente
en una delegación de policía son 4, 13, 22, 31 y 40. Encuentra: a) los límites de clase
nominales, b) los límites reales. (2 ptos)

4.4. Para agrupar las ventas que varían entre $10.00 y $60.00, un dependiente utiliza las
clasificaciones siguientes: $10.00-19.99, $20.00-35.99, $35.00-49.00 y $50.00-59.99.
Explica las dificultades que se tendrían al utilizar estas clases. (2 ptos)

4.5. Una compañía de computadoras recibió un pedido urgente del mayor número de
computadoras domésticas que pudiera entregar en un período de tiempo de seis meses.
Los expedientes de la compañía ofrecen las siguientes entregas diarias: (5 ptos)

22 65 65 57 55 50 65 77 73 30 62 54 48 65
79 60 63 45 51 68 79 83 33 41 49 28 55 61
65 75 55 75 39 87 45 50 66 65 59 25 35 53

a) Agrupa estas cifras de entrega diaria en una distribución que tenga las clases 20-29,
30-39, 40-49,.., 80-89.

b) ¿Cuáles son los límites reales o fronteras de clase?

c) Calcula las frecuencias absolutas acumuladas y porcentuales acumuladas “menos
que” y “mayor que”. Interpreta las frecuencias de la segunda y quinta fila.

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4.6. En la redacción del diario “El Observador” el tiempo requerido para formar la primera
página completa fue registrado durante 50 días. Los datos, redondeados a la décima de
minutos más cercana, se dan a continuación: (5 ptos)

20.8 22.8 21.9 22.0 20.7 20.9 25.0 22.2 22.8 20.1
25.3 20.7 22.5 21.2 23.8 23.3 20.9 22.9 23.5 19.5
23.7 20.3 23.6 19.0 25.1 25.0 19.5 24.1 24.2 21.8
21.3 21.5 23.1 19.9 24.2 24.1 19.8 23.9 22.8 23.9
19.7 24.2 23.8 20.7 23.8 24.3 21.1 20.9 21.6 22.7

a) Utilizando la fórmula de Sturges, construye una distribución de frecuencias absolutas,
que incluya frecuencias simples y frecuencias porcentuales acumuladas “menor
que” y “mayor que”, utilizando una amplitud de clase de 0.8 minutos.

b) Halla los límites reales de clase de la distribución.

IV. ACTIVIDADES DE AUTO EVALUACIÓN (GRAFICOS)

Antes de continuar con los siguientes temas, es conveniente que te autoevalúes,
desarrollando las preguntas en forma individual. Luego coteja tus respuestas con la teoría
estudiada:

4.1 A continuación se da el consumo semanal de carne de vacuno en una muestra de 80
familias de la comunidad de Namora:

Consumo (Kg/Sem.)
0 - 1,9 2 - 3,9 4 - 5,9 6 - 7,9 8 - 9,9
Nº de familias 15 26 20 13 6

a) Construye un polígono de frecuencias y describe el comportamiento de la variable.
b) Construye las ojivas “menor que” y “mayor que” en un sólo gráfico

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4.2. La Asociación Nacional de Vendedores de Muebles de Estados Unidos recabó los datos
siguientes de una muestra de 130 vendedores, que representan las ganancias totales
por comisiones que obtienen los vendedores anualmente:
Ganancias Frecuencias
$5.000 o menos 2
$5.001 - $10.000 12
$10.001 - $15.000 11
$15.001 - $20.000 33
$20.001 - $30.000 32
$30.001 - $40.000 20
$40.001 - $50.000 13
más de $50.000 7
a) Construye una ojiva que le ayude a responder las preguntas siguientes:
b) ¿Qué % de vendedores gana más de 20,000 dólares?

c) Aproximadamente ¿cuánto ganará al año un vendedor de muebles cuyo desempeño
fuera de cerca del 25% del máximo esperado?

4.3. Para una muestra de 155 estudiantes de una Facultad, se obtuvo la siguiente distribución
de los estudiantes por género y según tipo de ingreso a la Universidad

GÉNERO
MASCULINO FEMENINO Total
TIPO DE A 26 16 42
INGRESO 61.9% 38.1% 100.0%
28.6% 25.0% 27.1%
16.8% 10.3% 27.1%
B 34 22 56
60.7% 39.3% 100.0%
37.4% 34.4% 36.1%
21.9% 14.2% 36.1%
C 31 26 57
54.4% 45.6% 100.0%
34.1% 40.6% 36.8%
20.0% 16.8% 36.8%
Total 91 64 155
58.7% 41.3% 100.0%
100.0% 100.0% 100.0%
58.7% 41.3% 100.0%

20


a) Interpreta cualquier porcentaje de cada uno de los casilleros del cuadro.
b) Construye un gráfico de barras simples para la variable género. Comenta.
c) Construye un gráfico de barras agrupadas que considere ambas variables. Comenta.
d) Construye un gráfico de barras apiladas. Comenta.

V. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

5.1. ÁVILA ACOSTA, R., (2001). Estadística Elemental. Estudios y Ediciones RA- Lima –
Perú.

5.2. BERENSON – LEVINE, (1996). Estadística Básica en Administración. 6ta edición. Edit.
PHH S. A. – México.

5.3. FREUND, John y MANNING SMITH, Richard, (1999). Estadística. 6ta edición – Edit.
Préntice Hall Hispanoamericana S.A.- México.

5.4. GUILFORD, J.P. y FRUCHTER, Benjamín, (1996). Estadística Aplicada a la Psicología y
la Educación. Edit. Mc Graw-Hill – México.

5.5. MILLER, Irwin y FREUND, John E., 1995. Probabilidad y Estadística para Ingenieros –
Edit. Préntice Hall Hispanoamericana S.A. – México.

5.6. MOYA, Rufino, (1991). Estadística Descriptiva. 1era edición –Editorial San Marcos- Lima-
Perú.

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