se trata de ejercicios de la muestra de dos poblaciones

1. Distribución de medias muestrales.
RESUELVA
Ejemplos:
Se tiene para la venta un lote de 1,000 pollos, con un peso promedio de 3.50
kg y una desviación estándar de 0.18 kgr, ¿cuál es la probabilidad de que en
una muestra aleatoria, 100 pollos de esta población, pesen entre 3.53 y 3.56
kg?.
Un fabricante de cierto champú para el cabello distribuye el tamaño
profesional de su producto en 100 salones de belleza de Caracas. Se ha
determinado que el consumo promedio de su producto es de 2,800 cojines
mensuales, con desviación estándar de 280 cojines. Si se toma una muestra
probabilística de 36 salones, ¿cuál es la probabilidad de que el consumo
promedio en un mes sea inferior a 2,700?.

2. Distribución de proporciones muestrales.
En el análisis de una característica cualitativa o atributo, se emplea
laproporciónde éxitos y no el número de éxitos como en la distribución
binomial.
푃 + 푄 = 1
Donde: 푃 = 푝푟표푝표푟푐푖ó푛 푑푒 é푥푖푡표푠
푄 = 푝푟표푝표푟푐푖ó푛 푑푒 푓푟푎푐푎푠표푠
La varianza de la proporción de la población está dada por:
휎푃
2 = 푃푄
La desviación estándar sería
휎푃 = 푃푄
Donde
휎푃 =
휎푝
푛
= 푃푄 =
푃푄
푛
La variante estadística de proporciones muestrales está dada por
푍 =
푝 − 푃
휎푃
=
푝 − 푃
푃푄
푛

3. Distribución de proporciones muestrales.
Ejemplo 1. Se tiene que el 4% de las piezas producidas por cierta máquina
son defectuosas, ¿cuál es la probabilidad de que en un grupo de 200 piezas,
el 3% o más sean defectuosas?
Solución: 휇푃 = 푃 = 0.04; 푝 = 푝 = 0.03; 푃 푝 > 0.03 =?
푍 =
푝 − 푃
휎푃
0.03 0.04 풙
-0.71 0
=
0.2612 0.5
0.03 − 0.04
0.04 ∗ 0.96
200
= −0.71
푍 = −0.71 → 퐴 = 0.2612
푃 푝 > 0.03 = 0.5 + 0.2612 = 0.7612 = 76.12%.
Z

4. Distribución de proporciones muestrales.
RESUELVA
Ejemplos:
Se desea estudiar una muestra de 49 personas para saber la pro-porción
de las mayores de 40 años; sabiendo que la proporción en la
población es 0.4. ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción en la
muestra sea menor de 0.5?
Cuarenta y seis por ciento de los sindicatos del país están en contra de
comerciar con la China Continental; ¿cuál es la probabilidad de que
una encuesta a 100 sindicatos muestre que más del 52% tengan la
misma posición?

5. Distribución de diferencias entre dos medias
muestrales.
Se tiene dos poblaciones normales e independientes, identificadas la
primera por X y la segunda por Y, de tamaños 푁1 y 푁2 cuyas medias se
simbolizan por 휇1y 휇2 y sus desviaciones típicas 휎1 y 휎2. Se obtiene un
número M de pares de muestras posibles.
Las medias muestrales de la primera población se identifica por:
푥 1, 푥 2,푥 3 ,…,푥 푀 y de la segunda población por 푦 1, 푦 2,푦 3 ,…,푦 푀.
Las desviaciones típicas muestralesrespectivas serán:
푠푥1, 푠푥2, 푠푥3, … , 푠푥푀 y 푠푦1, 푠푦2, 푠푦3, … , 푠푦푀.
휇푥 −푦 = 푙푎 푚푒푑푖푎 푎푟푖푡푚é푡푖푐푎 푙푎 푑푖푓푒푟푒푛푐푖푎 푑푒 푚푒푑푖푎푠
Donde 휇푥 −푦 =
푥푖
푀
−
푦푖
푀
por consiguiente 휇푥 −푦 = 휇푥 − 휇푦
La desviación típica de diferencias 휎푥 −푦 = 휎2
2 + 휎 푦
2 =
2
푛1
휎푥
+
2
푛2
휎푦

6. Distribución de diferencias entre dos medias
muestrales.
Suponiendo que la distribución de diferencias entre las medias muestralesten-ga
un comportamiento similar a la distribución normal, la variante estadística
estará dada por la fórmula:
푍 =
푥 − 푦 − 휇푥 − 휇푦
휎푥
2 + 휎 푦
2
=
푥 − 푦 − 휇푥 − 휇푦
2
푛1
휎푥
+
2
푛2
휎푦
Se puede aplicar esta distribución cuando no se conocen las varianzas
poblacionales 휎2 las cuales pueden ser sustituidas por varianzas
muestrales 푠2 siempre y cuando sean mayores que 30. Hay autores que
consideran su utilización si 푛1 + 푛2 > 30.
푍 =
푥 − 푦 − 휇푥 − 휇푦
푠푥
2 + 푠 푦
2
=
푥 − 푦 − 휇푥 − 휇푦
2
푛1
푠푥
+
2
푛2
푠푦

7. Distribución de diferencias entre dos medias muestrales.
Ejemplo 1. Se tiene dos poblaciones normales e independientes, donde la media de la
segunda población es 0.65 menor que la de la primera; si se seleccionan muestras de
tamaño 100 y 120 y si las respectivas desviaciones típicas poblacionales son 12 y 8, se
pide determinar la probabilidad de que, en un par de muestras, la diferencia entre
ambas medias muestrales sea superior a 1 en valor absoluto.
Solución: 휇푥 − 휇푦 = 0.65푛1 = 100푛2 = 120휎푥 = 12휎푦 = 8
푃 푥 − 푦 > 1 =?
0.1190 0.4013
0.3810 0.0987
-1 휇푥 − 휇푦 =0.65 풙 − 풚
-1.18 0
Z
1
0.25

8. Distribución de diferencias entre dos medias muestrales.
푍 =
푥 − 푦 − 휇푥 − 휇푦
2
푛1
휎푥
+
2
푛2
휎푦
=
1 − 0.65 − 0
122
100
+
82
120
=
0.35
1.40
= 0.25
푍 = 0.25 → 퐴 = 0.0987
푍 =
푥 − 푦 − 휇푥 − 휇푦
2
푛1
휎푥
+
2
푛2
휎푦
=
−1 − 0.65 − 0
122
100
+
82
120
=
−1.65
1.40
= −1.18
푍 = −1.18 → 퐴 = 0.3810
푃 푥 − 푦 > 1 = 1 − 0.0987 + 0.3810 = 1 − 0.4797 = 0.5203
푃 푥 − 푦 > 1 = 52.03%

9. Distribución de diferencias entre dos medias muestrales.
Ejemplos:
Se obtiene una muestra aleatoria de 100 elementos de una población normal,
que tiene media 50 y desviación estándar 8. Luego se selecciona otra muestra
aleatoria de 400 elementos de una población normal, que tiene media 40 y
desviación estándar 12. Encontrar la probabilidad de que:
• la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o más.
• ambas medias difieran, en valor absoluto, en 12 o más.
En un restaurante, el consumo medio por desayuno es de $4.980. con una
desviación estándar de $950. En un segundo restaurante las correspondientes
cifras son $4,238 y $820. Si se eligen al azar 80 boletas de pago del primer
restaurante y una muestra aleatoria de 60 del segundo, ¿cuál es la
probabilidad de que la diferencia entre los consumos medios de ambas
muestras sea mayor que $ 1,000 en valor absoluto?

10. Distribución de diferencias entre dos proporciones
muestrales.
En el caso de dos poblaciones independientes, de tamaño Ny N, distribuidas
12binomialmente, con parámetros, medias proporcionales Py P(también se
12pueden representar las medias por 휇푃y 휇푃) y desviaciones proporcionales
1 2휎푃y 휎푃siendo 휎푃= 푃1푄1 y 휎푃= 푃2푄. El error estándar de las
1 2 1 2 2 diferencias entre las dos medias proporcionales estará dada por 휎푃=
1−푃2
푃1푄1
푛1
+
푃2푄2
푛2
para valores poblacionales.
Cuando ny ncorresponden a muestras grandes, es decir, ambas superiores a
1230, se tendrá, que el error estándar de las diferencias entre dos proporciones
es: 푠푝=
1−푝2
푝1푞1
푛1
+
푝2푞2
푛2
La variante estadística Z, estará dada en la misma forma que fue presentada
para diferencias entre dos medias muéstrales:
푍 =
푝1 − 푝2 − 푃1 − 푃2
푃1푄1
푛1
+
푃2푄2
푛2

11. Distribución de diferencias entre dos proporciones
muestrales.
Ejemplo 1. Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo; la
primera produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto que
otra, produce el 20% de artículos defectuosos; si se obtienen muestras de 200
unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿cuál es la probabilidad de que
difiera A de B en 8% o más?
Solución: 푷 풑ퟏ − 풑ퟐ ≥ ퟎ. ퟎퟖ =? 푃1 = 14%푃2 = 20%
푛1 = 200%푛2 = 100
푍 =
푝1 − 푝2 − 푃1 − 푃2
푃1푄1
푛1
+
푃2푄2
푛2
=
0.08 − 0.14 − 0.20
0.14 ∗ 0.86
200
+
0.2 ∗ 0.8
100
=
0.14
0.047
= 2.98
푍 = 2.98 → 퐴 = 0.4986
푃 푝1 − 푝2 ≥ 0.08 = 0.5−0.4986=0.0014=0.14%

12. Distribución de diferencias entre dos proporciones
muestrales.
0.4986
0.0014
-0.60 0.08 풑ퟏ − 풑ퟐ
0 2.98
Z
Ejemplos:
Dos fábricas A y B, producen artículos similares. La producción de A contiene
7% de defectuosos, y la de B contiene, 5%. Si se extrae una muestra aleatoria
de 2.000 de cada una de las producciones de las fábricas, ¿cuál es la
probabilidad de que las dos muestras revelan una diferencia en el número de
los defectuosos del 1% o más?
Se sabe que cierta marca de crema para las manos satisface el 65% % del
mercado. ¿Cuál es la probabilidad de que dos muestras aleatorias de 200
usuarios cada una, muestre una diferencia mayor del 10% en las proporciones
del uso de la crema?