2. NÚMEROS COMPLEJOS
Pamela Quiroga Página 2
Introducción
l presente informe será desarrollado en base a diferentes investigaciones
realizadas sobre los números complejos, su historia, propiedades, operaciones y
aplicaciones.
El principal objetivo del mismo es profundizar el conocimiento de los números
complejos, de forma tal que se pueda comprender y utilizar como una herramienta valiosa en las
diversas aplicaciones de la Matemática que lo exigen.
Marco histórico
Los números complejos surgen de la necesidad de extraerle la raíz a un número
negativo, se necesitaba ampliar el conjunto de los números reales para resolver el caso de las raíces
cuadradas de números negativos que no tienen solución dentro del campo real; la más conocida es la
ecuación 𝑥2
+ 1 = 0 que no tenía solución en los números que ya conocíamos, porque no existía
ningún número elevado al cuadrado que diera de resultado un -1. Entonces se crea √−𝟏 = 𝒊
La primera referencia de éstos surge en el Siglo I antes de Cristo, por matemáticos
Griegos, como Herón de Alejandría, por el problema de hallar el volumen de una pirámide. Pero fue
el matemático Alemán Carlos Federico Gauss quien les dio nombre, los definió rigurosamente, los
representó en los ejes cartesianos y los utilizó en la demostración del Teorema Fundamental del
Álgebra1
.
Definición
Se define cada número complejo z como un par ordenado de números reales: z =
(a,b) A su vez el primer elemento a se define como parte real de z, se denota a = Re(z); el segundo
elemento b se define como parte imaginaria de z, se denota: b = Im(z).
Clasificación
Un número complejo es la combinación de un número real y un número imaginario,
esto quiere decir que los números naturales, racionales, irracionales… son subconjuntos de este
conjunto como lo podemos apreciar en el siguiente gráfico.
1 El teorema fundamental del álgebra: Todo polinomio a coeficientes complejos tiene una raíz compleja.
E
3. NÚMEROS COMPLEJOS
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Representaciones
Hay distintas formas de representar los números complejos:
Representación Binómica: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖donde 𝑎 es la parte real y 𝑏 es la parte
imaginaria.
Representación Polar: (𝑟, 𝜃) donde 𝑟 es el módulo del número complejo y 𝜃 es el
ángulo del mismo.
Representación trigonométrica: 𝑟[cos(θ)+𝑖 sin( 𝜃)]
Representación gráfica: Para representar un número complejo en el plano
coordenado, la parte real se grafica en el eje x y la parte imaginaria en el eje y .
http://slideplayer.es/5417821/17/images/2/Clasificaci%C3%B3n+de+los+n%C3%BAmeros.jpg
https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/_/rsrc/1468912948
679/unidad-1/forma-polar-y-expnencial-de-un-numero-cmplejo/4.png
4. NÚMEROS COMPLEJOS
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Potencias de un número complejo
Conjugado, opuesto y módulo de un número complejo
El conjugado de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es 𝒛̅ = 𝒂 − 𝒃𝒊 (sus partes imaginarias son opuestas).
El opuesto de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es 𝒛 = −𝒂 − 𝒃𝒊 (sus partes real e imaginaria son opuestas).
El módulo de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 es | 𝒛| = √𝒂 𝟐 + 𝒃𝒊 𝟐 (la longitud del vector relacionado con el
número complejo)
Operaciones
En los números complejos definimos las mismas operaciones que en los números
reales:
o Suma: 𝑧 + 𝑣 = ( 𝑎 + 𝑏𝑖)+ ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎 + 𝑐) + 𝑖( 𝑏 + 𝑑)
o Diferencia: 𝑧 − 𝑣 = ( 𝑎 + 𝑏𝑖)− ( 𝑐 + 𝑑𝑖) = ( 𝑎 − 𝑐) + 𝑖( 𝑏 − 𝑑)
o Producto: 𝑧. 𝑣 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑖𝑑 + 𝑖𝑏𝑐 + 𝑖2
𝑏𝑑 = ( 𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐)
o Cociente:
𝑧
𝑣
=
( 𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑖𝑑)
( 𝑐+𝑖𝑑)(𝑐−𝑖𝑑)
=
( 𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐−𝑎𝑑)
𝑐2 +𝑑2
Las mismas cumplen las propiedades asociativa, conmutativa, existencia de elemento neutro y
existencia de elemento opuesto.
Aplicaciones
i0 1
i1
𝑖
i2 −1
i3 −𝑖
http://maralboran.org/wikipedia/ima
ges/b/b0/Complejo.jpg
5. NÚMEROS COMPLEJOS
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Los números complejos están en la naturaleza y sirven para explicar la física de los
cosmos y la física de las partículas subatómicas; también los ingenieros los usan para explicar la
electricidad o los movimientos de los gases y los líquidos. Son frecuentes en los campos de
electricidad y la telemática, aunque también aparecen a menudo en la mecánica cuántica y en
general en los sistemas que describen un movimiento sinusoidal.
Conclusión
Los números complejos tienen gran importancia en la Matemática y otras áreas ya que
proporciona herramientas de trabajo para resolver ecuaciones que no tenían solución en el dominio
de los números reales.
Referencias Bibliográficas
Carla Sosa. (2014, 01 de Octubre) Profesora de Matemáticas. 2014. Un mundo
imaginario: Números complejos. Recuperado de :
http://blogdenumeroscomplejos.blogspot.com.ar/
Eduardo Sáenz de Cabezon Irigaray. (2017, 01 de febrero). Derivando: ¿Qué son
los números complejos? Recuperado de:
https://www.youtube.com/watch?v=LqyBrrgmIro&t=22s
Erica Senid Vargas Solano. (2017). Contextualización de la aritmética de
números complejos en situaciones simples de geometría y física. Universidad
Nacional de Colombia, Facultad de Ciencias. Maestría en la Enseñanza de
Ciencias Exactas y Naturales. Bogotá, Colombia
http://www.bdigital.unal.edu.co/56807/7/EricaSenidVargasSolano.2017.pdf
Leopoldo Alvarado Gómez. (2014, 10 de Noviembre). Matemática y Física.
Números Complejos. Recuperado de :
https://movimientomath.blogspot.com.ar/2014/11/numeros-complejos.html
Apuntes de Elementos de Algebra (2016) en el primer año de profesorado de
Matemática, profesor Paolo Landini.
