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TEMA: Historia de la Matemática – Conjunto Numérico SEMANA: 01
TURNO: Noche AULA: FECHA:
MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LA HISTORIA
En esta oportunidad se hablará sobre las matemáticas a
través de la historia y los descubrimientos matemáticos
que se han dado a lo largo de ella, y de cuanta
importancia tienen las matemáticas en la vida de las
personas y acciones diarias.
¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS? Las
matemáticas son una ciencia, estudian cantidades,
figuras y símbolos usando la lógica y el razonamiento
para llegar a resolver algún problema.
Las matemáticas surgieron de la necesidad del hombre
para realizar cálculos relacionados con el comercio.
Desde entonces las matemáticas han tenido un largo
desarrollo a través de la historia Los comienzos de las
matemáticas
Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido
a lo largo de la historia y se continúan produciendo en
la actualidad
Las primeras apariciones de las matemáticas avanzadas
son del tercer milenio antes de cristo en Babilonia y
Egipto.
El PAPIRO DE RHIND, es el principal texto
matemático egipcio, este escrito tiene los puntos más
importantes de las matemáticas egipcias. Unos de los
más importantes son los cálculos de adiciones y las
restas de fracciones, ecuaciones simples etc…
Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de
los babilonios y egipcios
No solamente los egipcios, griegos y babilonios
aportaron grandes descubrimientos matemáticos En
otros lugares del mundo en diferentes tiempos, distintos
descubrimientos matemáticos eran aportados a la
humanidad …
276- 194 a.C. El matemático griego Eratóstenes ideo un
método para poder medir la circunferencia de la tierra.
300-600 Los hindúes conocen el sistema de numeración
babilónica y lo adaptan a decimal, que es nuestro
sistema actual.
1525 Christoff Rudolff utiliza el símbolo de la raíz
cuadrada
1617 John Napier Inventa un juego de tablas de
multiplicar, llamado “Los huesos de Napier” Después
publico la primera tabla de logaritmos
1798 Paolo Ruffini demuestra que es imposible resolver
ecuaciones de 5to grado
LAS MATEMATICAS EN EL SIGLO XX Las
matemáticas en el siglo XX se convirtieron en una de
las herramientas más cotidianas que hay. Puesto que
para la mayoría de las actividades se requería de las
matemáticas En el siglo XX se hicieron grandes
descubrimientos sobre los límites de las matemáticas…
A mediados del siglo XIX, las matemáticas tomaron
más importancia. Las matemáticas se convertían en una
materia indispensable en la educación. Las matemáticas
son tan antiguas como la propia humanidad.
En el siglo XX las matemáticas se convertían en una
profesión más importante Cada vez se daban mas
doctorados en matemáticas.
En siglos anteriores, hubo pocos matemáticos creativos.
La mayoría provenían de familias con dinero como
Napier: Otros eran apoyados por ricos, como Gauss: Y
había pocos como Fourier, que se ganaba la vida dando
clases en universidades:
En el siglo XX las matemáticas crecieron muy
rápidamente En 1990, David Hilbert estableció una lista
de 23 problemas sin resolver. En la actualidad 10 están
resueltos, 7 parcialmente resueltos, 2 están sin resolver
y 4 muy mal resueltos
TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES En 1976,
Wolfgang Haken, y Kenneth Appel usaron una
computadora para demostrar el Teorema de los cuatro
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colores que explica lo siguiente: “Dado cualquier mapa
geográfico con regiones continuas, éste puede ser
coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que
no queden regiones adyacentes con el mismo color.”
Dando a conocer que CUATRO colores son suficientes
para colorear un mapa
DESCUBRIMIENTOS MATEMATICOS DEL SIGLO
XXI En 2003 la demostración de la Conjetura de
Poincaré (que es el resultado sobre la esfera
tridimensional) fue resuelta por Grigori Perelman
Actualmente los descubrimientos matemáticos están
avanzando muy rápidamente y cada vez más personas
estudian para hacer algún invento o algo que tenga que
ver para el desarrollo de la humanidad en las
matemáticas.
En conclusión: A lo largo de la historia, las matemáticas
han avanzado muy rápidamente, y han ayudado la
humanidad a crecer en distintos aspectos.
Conjunto Numérico
Aquí se listan los principales conjuntos de números.
Números Naturales: la
necesidad de contar
desembocó directamente
en la creación y el uso de
los números naturales.
Son los números más
simples de los que
hacemos uso, se denotan
por y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se
denominan también números enteros positivos.
Números Cardinales: Son aquellos números que
empiezan por el cero.
ℕ∗
= { 0,1,2,3,4, … . . }
Números Enteros: la insuficiencia de los números
naturales para contar deudas o temperaturas por debajo
de cero lleva directamente a los números enteros. Se
denotan por y están formados por los números
naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de
los números enteros incluye a los naturales, .
Números Racionales: la insuficiencia de los números
enteros para denominar partes de unidad lleva
directamente a los números racionales. Se denotan por
y son todos aquellos que se pueden expresar de la
forma
𝑝
𝑞
donde p y q son enteros y 𝑞 ≠ 0.
Estos pueden ser enteros de la forma
𝑛
1
donde n es un
entero, decimales finitos o decimales infinitos
periódicos. El conjunto de los números racionales
incluye a los enteros, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ.
Números Irracionales: Se denotan por 𝕀 y son el
conjunto de los números decimales infinitos no
periódicos, es decir todos aquellos que no pueden
expresarse de la forma
𝑝
𝑞
. Acá caben los números
obtenidos por raíces imperfectas, algunos logaritmos,
el número e, el número π, entre otros.
Números Reales: es la unión entre el conjunto de los
números racionales y los irracionales. ℝ = ℚ 𝑈 𝕀
Obs. Cualquier número natural, cardinal, entero,
racional o irracional, es también REAL
Números Imaginarios: son aquellos que se obtiene a
partir de raíces de índice par y radicando negativo. Se
representan por i.
𝒊 = √−𝟏: Definición de unidad imaginaria.
Ej. √−𝟒 = 𝟐𝒊
Números Complejos: son aquellos que poseen una
parte real y otra
imaginaria, y se
pueden escribir de
la siguiente forma:
Forma de par
ordenado
a: corresponde a la
parte real
𝑏𝑖: corresponde a la parte imaginaria
Estos números se representan por C
Las propiedades de las operaciones con números
reales en la suma y la multiplicación son las siguientes:
Ejemplo de operaciones con números reales en la suma
y la multiplicación:
Cerradura la suma o multiplicación de dos números
reales, siempre da un número real.
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Sean 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅
𝑎 + 𝑏 𝜖 𝑅
5 + 7 = 12 𝜖 𝑅
(𝑎)(𝑏)𝜖 𝑅
(7)(8) = 56 𝜖 𝑅
Conmutativa El orden en que se agrupen los
sumandos o factores, no altera el resultado de la
operación.
Sí se tiene que: 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅
𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
(𝑎)(𝑏) = (𝑏)(𝑎)
Asociativa La suma o la multiplicación, no se alteran,
por la forma en que se agrupen los sumandos o
factores, respectivamente.
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑅 Entonces:
𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐
5 + (7 + 9) = (5 + 7) + 9
𝑎 (𝑏𝑥𝑐) = (𝑎𝑥𝑏) 𝑐
3 (5 𝑥 8) = (3 𝑥 5)8
Neutro aditivo Se define con este nombre al número
cero, ya que cuando se suma con cualquier número
real, el resultado es el mismo número.
Sí 𝑎 𝜖 𝑅
entonces : existe un elemento 0 / 0 𝜖 𝑅 de tal forma
que:
𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎
8 + 0 = 0 + 8 = 8
Neutro multiplicativo Se define con este nombre, al
número uno, ya que todo número multiplicado por uno,
da el mismo número.
Sí 𝑎 𝜖 𝑅
entonces: existe un elemento 1/1 𝜖 𝑅
de tal forma que:
(1)(𝑎) = (𝑎)(1) = 𝑎
(1)(6) = (6)(1) = 6
Distributiva de la multiplicación con respecto a la
suma Cuando se multiplica una suma por el mismo
factor, el resultado que se obtiene es el mismo, que si
se multiplica cada sumando por el factor común y
después se suman.
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑅
Entonces:
𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐
3(5 + 6) = 3𝑥5 + 3𝑥6
Jerarquía de las operaciones Cuando en una expresión
aparecen varias operaciones, ha de respetarse la
siguiente prioridad:
1. Las operaciones entre paréntesis. (signos de
colección)
2. Las potencias y raíces.
3. Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a
derecha.
4. Las sumas y restas, de izquierda a derecha.
La ley de los signos: es una ley que corresponde y
atiende a los números positivos y negativos de los
números enteros.
Esta ley se ocupa del sentido de los números y ocupa
los signos “+” y “-”, siendo el signo + nombrado
“más” y correspondiendo a los números positivos y el
signo – de nombre “menos” corresponde al negativo y
es de los negativos.
En relación a la suma y la resta de números enteros el
resultado será positivo en el caso del signo + y
negativo en el caso del signo -.
Pero en el caso de la multiplicación y la división, sólo
se presenta el positivo si ambos números son positivos
y negativo si alguno es positivo y su contrario
negativo, lo mismo sucede en las ecuaciones
algebraicas.
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Potencia de un número
Si RayNn  , entonces n
a , es igual al
producto de n veces el número real a tomado c0mo
factor, es decir   
vecesn
n
a...aaaaa 
Ejemplos:
  1255555 3

        1111111 5

81
16
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
4






Propiedades
Producto de potencias de igual base el producto de
potencias de igual base, es otra potencia de la misma
base y de exponente igual a la suma de los exponentes
de los términos factores.
Simbólicamente: m n m n
a a a 
 
Ejemplo: 2021082108
33333  
Cociente de potencias de igual base El cociente de dos
potencias de igual base, es otra potencia de la misma
base y cuyo exponente es igual a la resta de los
exponentes del término dividendo menos el del divisor.
Simbólicamente:
m
m n
n
a
a
a

 con a ≠ 0 y m>n
Ejemplo: 9312
3
12
55
5
5
 
Potencia de una potencia La potencia de una potencia
es otra potencia de la misma base y de exponente igual
al producto de los exponentes que haya en la expresión
Simbólicamente:   nmmn
aa 

Ejemplo:       30253
2
53
222 






 
Potencia de un producto La potencia de un producto
es igual al producto de dichas potencias.
Simbólicamente:   nnn
baba 
Ejemplo:   333
2525 
Potencia de un cociente La potencia de un cociente es
igual al cociente de dichas potencias.
Simbólicamente:
n
nn
b
a
b
a






b ≠ 0
Ejemplo:
2
22
4
5
4
5






Exponente cero toda cantidad con exponente cero es
igual a 1
Simbólicamente: 10
a a ≠ 0
La expresión 0
0 no está definida
Exponentes enteros negativos si n es cualquier entero
negativo y a un número real diferente de cero se cumple
que:
n
n
a
a
1

o que
n
n
a
a


1
En caso que la base sea un número racional se tiene que
nn
a
b
b
a













Ejemplos:
8
1
2
1
2
3
3

33
5
3
3
5













Radicales
Un radical es una expresión de la forma
n
a , en la que
n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n
ha de ser impar
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Raíz cuadrada de un número Si , ,a R b R
  se
cumple que 2
, :a b si solo si b a  , donde a es la
raíz cuadrada de b
Ejemplo: 255525 2
 porque
Raíz cúbica de un número Si ,Rb,a  entonces se
cumple que 33
, :a b si solo si b a  , donde a es la
raíz cúbica de b
Ejemplo: 12555125 33
 porque
Raíz enésima de un número Si Nny,Rb,a 
entonces se cumple que , : nn
a b si solo si b a  ,
donde a es la raíz enésima de b
Ejemplo: 322232 55
 porque
Exponentes Racionales Una expresión radical puede
escribirse como una potencia de exponente racional, es
decir n
m
n m
aa 
Ejemplo: 3
2
3 2
55 
Propiedades
Raíz enésima de un número real elevado a la
potencia n para cualquier ,Zn 
 se cumple que:
  aaaa n
n
n/nn n

1
Raíz enésima de un producto la raíz enésima de un
producto es igual al producto de las raíces enésimas de
los factores. Para cualquier ,Zn 
 se cumple que
nnn
baba 
Raíz enésima de un cociente la raíz enésima de un
cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del
dividendo y del divisor. Para todo ,Z,b,a,n 
 se
cumple que:
n
n
n
b
a
b
a

Raíz enésima de una raíz la raíz enésima de una raíz
es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los
índices. Para todo ,Z,b,n,m 
 se cumple que:
nmn m
bb 

Propiedad fundamental de los radicales Se puede
multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente
del radicando por un mismo número y el valor de la raíz
no cambia, por tanto
Nkdonde,bbbb
n nn/mkn/kmkn km

Se debe tener en cuenta que, si n es par, entonces el
radicando debe ser positivo para que exista una raíz real.
Exponente
Afecta
al
signo
Par o
impar
Resultado
Base
negativa
Si Par Positivo
Base
negativa
No Impar Negativo
Base
negativa
Si Impar Negativo
Base
negativa
No Par Negativo
Base
positiva
Si Par Positivo
Base
positiva
No Impar Positivo
Base
positiva
Si Impar Positivo
Base
positiva
No Par Positivo
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Ejercicios
01. Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en
cada caso, el número entero:
Situación Número entero
Avancé 4 metros.
Avancé 12 metros.
El ascensor está en el 3° piso.
El ascensor está en el 0° piso.
Debo $11000
Debo $2000
El submarino está a 40 metros
de profundidad.
El submarino está a 24 metros
de profundidad.
La temperatura en la Antártica
es de 3 grados bajo cero.
La temperatura en la Antártica
es de 2 grados bajo cero.
El ascensor está en el primer
subterráneo.
Ahorré $10.000
Ahorré $24.000
Giré de mi libreta de ahorros
$8.000
Giré de mi libreta de ahorros
$5.000
Retrocedí 2 pasos.
02. Simplifica aplicando las propiedades de las
potencias:
a) 


423
232
583
6252
b) 


23
22
))3((
)3.(27
c) 


423
232
583
30212
d) 


7253
35215
423
232
e) 


23
22
))5((
)5.(25
f) 


423
232
253
1524
03. Reduce y calcula, aplicando las propiedades de las
potencias:
a) 










 

3
21
2·
2
1
·
2
1
b) 











12
9
10
·
3
5
c) 








2
6
8
5
1
5
5
1
d)   













 25
62
7
7
1
e) 




















 232
2
5
:
5
2
g) 


23
22
))5((
)2.(20
h) 

4
32
30
1527
i) 


23
22
))5((
)3.(15
04. Calcula, cuando sea posible, las siguientes raíces:
a) 1225 b) 3
125
c) 3
343
216
 d) 4
81
e) 2025 f) 3
343
g) 3
1000
125


h) 6
625
05. Calcula y simplifica:
a) 3
22
271
3
2
:
6
5
3
4
5
2



















b) 3
22
64
3
2
1
4
3
:
4
5
2
1




















06. Averigua el valor de k en cada caso:
4 5
a) 7 b) 125 5 c) 32k
k k
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07. Calcula y simplifica:
3
6
1 9 27
a) 3 32 72 128 b)
3 3
 
08. Opera y simplifica:
3
75 25
a) 48 3 75 81 108 b)
15

  
09. Calcula y simplifica el resultado:
3
9 3
a) 27 3 192 2 12 b)
27

  
10. Tenemos un tablero de madera de 50 cm de largo
por 35 cm de ancho, y lo queremos dividir haciendo
cuadraditos del mayor tamaño posible. ¿Qué lado
tendrán dichos cuadraditos?
11. Un comerciante va a comprar mercancía a unos
almacenes cada 42 días y otro va cada 70 días. Si
coincidieron el día 15 de septiembre, ¿al cabo de
cuántas semanas volverán a coincidir?
12. En un terreno rectangular de 280 m de largo por 18
m de ancho se quiere poner una valla alrededor, de
forma que los postes estén todos a igual distancia y con
la mayor separación posible entre ellos. ¿A qué
distancia deberemos colocar unos de otros?
13. Un ciclista da una vuelta completa a una pista cada
54 segundos, y otro lo hace cada 72 segundos. Si parten
juntos de la línea de salida:
a) ¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a coincidir?
b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese
momento?
14. Para la campaña de Navidad, queremos envasar dos
bebidas diferentes en botellas iguales. Pero, para
abaratar los costes, el número de botellas utilizadas debe
ser el mínimo posible. De la primera bebida tenemos
770 litros, y de la segunda, 234 litros. ¿Cuántas botellas
utilizaremos?
15. Escribe los siguientes números en notación
científica e indica su orden de magnitud.
a) 91 700 000 000 b) 6 300 000 000 000
c) 0,00000000134 d) 0,071
16. Expresa el resultado como potencia única:
432 2 -5
3 2 2
a) b)
4 7 7
        
         
         
Problemas
01. Un anciano deja al morir a cada uno de sus hijos S/.
6840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de
este se repartió entre los demás, entonces cada uno
recibió un total de 9120 soles. ¿Cuánto era la fortuna del
anciano?
02. Cuando un buque navega en el sentido de la
corriente de un rio tiene una velocidad de 80 km/h. y
cuando lo hace en contra de la corriente tiene una
velocidad de 20 km/h. si se sabe que en ambos casos el
motor funciona a plena potencia. ¿Cuál es la velocidad
de la corriente?
03. A un baile al cual asistieron 120 personas, se
observó lo siguiente: una mujer baila con 7 hombres,
una segunda mujer baila con 8 hombres, una tercera
mujer baila con 9 hombres y así sucesivamente, hasta
que la última baila con todos los hombres. ¿Cuántas
mujeres asistieron al baile?
04. Un bus parte de su paradero inicial, con cierta
cantidad de pasajeros y llega al paradero final con 61
pasajeros; sabiendo que cada pasaje cuesta S/. 3 y que
ha recaudado S/. 255, además que en cada paradero
subían 5 pero bajaban 2 pasajeros. ¿con cuántos
pasajeros partió el bus?
06. Entre 3 personas A, B y C tienen 9000 soles. C tiene
el doble de lo que tienen juntos A y B, los cuales a su
vez se diferencian en 1000 soles. Hallar lo que tiene A,
que es la que menos tiene.
07. El cociente y el resto en una división inexacta son 8
y 16 respectivamente, si la suma de los términos de la
división es 904. Hallar el dividendo.
08. Clarisa vende pescados en el mercado. Si los vende
a 18 soles cada uno, se compraría un vestido y le
sobrarían 6 pesos, pero si los vende a 20 soles cada uno,
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le sobrarían 90 pesos luego de comprar el vestido.
¿Cuánto cuesta el vestido?
09. Un grupo de amigos quiere comprarse un balón de
futbol. Si cada uno pone (m – n) euros faltaría (2x + 3y)
euros, pero si pone cada uno (m + n) euros sobraría (3x
– 2y) euros. ¿Cuántas personas forman dicho grupo de
amigos?
11. Cuatro jugadores A, B, C y D convienen en cada
partida, el perdedor doblara el dinero de los otros 3.
Ellos pierden cada uno una partida en el orden indicado
por sus nombres, después de lo cual cada uno de ellos
tiene 480 dólares. ¿Cuánto tenían cada uno al principio
del juego?
12. A un cierto número se le multiplica por 3, a este
resultado se le resta 7, a este nuevo resultado le sacamos
la raíz cubica, luego le sumamos 5 y lo elevamos al
cuadrado, a este nuevo resultado le sumamos 1 y
dividimos entre 2 y a este resultado finalmente le
sacamos la raíz cuadrada, obteniéndose como resultado
5. ¿hallar dicho número?
13. Cada día, de un reservorio de agua se consume la
mitad del contenido más 20 litros, si después de 3 días
consecutivos quedan 10 litros en el reservorio. ¿Cuántos
litros de agua se consumieron?
14. En una playa de estacionamiento hay 20 vehículos
entre autos y motos. ¿Cuántos autos hay si en total se
cuentan 73 neumáticos? Se sabe que cada tiene su llanta
de repuesto.
15. Un coleccionista tiene 10 insectos entre arañas y
escarabajos. ¿Cuántos coleópteros posee, si en total se
cuentan 72 patitas?
16. En un examen se da 20 puntos por respuesta correcta
y se quita 10 puntos por cada pregunta incorrecta. Un
alumno contesto 50 preguntas y obtuvo 640 puntos.
¿Cuántos contesto correctamente?
19. Si: 𝐶. 𝐴(𝑎𝑏̅̅̅) × 1𝑎𝑏̅̅̅̅̅ = 9831
Hallar a + b
20. Calcular x + y + z sabiendo que:
𝐶. 𝐴 (𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅) + 𝑐𝑏𝑎̅̅̅̅̅ = 𝑥3𝑦𝑧̅̅̅̅̅̅̅
Fuentes de información
http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Poi
ncar%C3%A9
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_c
olores http://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Ahmes
http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Las_matem
%C3%A1ticas_en_el_siglo_XX
http://www.sectormatematica.cl/historia.htm
http://www.ecured.cu/index.php/Matem%C3%A1tica_
en_la_antig%C3%BCedad
http://www.monografias.com/trabajos91/matematicas-
traves-tiempos/matematicas-traves-tiempos.shtml
http://definicion.de/matematicas/
http://www.ejemplode.com/5-matematicas/4116-
ejemplo_de_ley_de_los_signos.html
http://www.ejemplode.com/5-matematicas/328-
propiedades_de_las_operaciones_con_numeros_reales
_en_la_suma_y_multiplicacion.html
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historia de la matemática - conjunto de números

  • 1. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 1 | P á g i n a TEMA: Historia de la Matemática – Conjunto Numérico SEMANA: 01 TURNO: Noche AULA: FECHA: MATEMÁTICAS A TRAVÉS DE LA HISTORIA En esta oportunidad se hablará sobre las matemáticas a través de la historia y los descubrimientos matemáticos que se han dado a lo largo de ella, y de cuanta importancia tienen las matemáticas en la vida de las personas y acciones diarias. ¿QUÉ SON LAS MATEMÁTICAS? Las matemáticas son una ciencia, estudian cantidades, figuras y símbolos usando la lógica y el razonamiento para llegar a resolver algún problema. Las matemáticas surgieron de la necesidad del hombre para realizar cálculos relacionados con el comercio. Desde entonces las matemáticas han tenido un largo desarrollo a través de la historia Los comienzos de las matemáticas Diversos descubrimientos matemáticos se han sucedido a lo largo de la historia y se continúan produciendo en la actualidad Las primeras apariciones de las matemáticas avanzadas son del tercer milenio antes de cristo en Babilonia y Egipto. El PAPIRO DE RHIND, es el principal texto matemático egipcio, este escrito tiene los puntos más importantes de las matemáticas egipcias. Unos de los más importantes son los cálculos de adiciones y las restas de fracciones, ecuaciones simples etc… Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y egipcios No solamente los egipcios, griegos y babilonios aportaron grandes descubrimientos matemáticos En otros lugares del mundo en diferentes tiempos, distintos descubrimientos matemáticos eran aportados a la humanidad … 276- 194 a.C. El matemático griego Eratóstenes ideo un método para poder medir la circunferencia de la tierra. 300-600 Los hindúes conocen el sistema de numeración babilónica y lo adaptan a decimal, que es nuestro sistema actual. 1525 Christoff Rudolff utiliza el símbolo de la raíz cuadrada 1617 John Napier Inventa un juego de tablas de multiplicar, llamado “Los huesos de Napier” Después publico la primera tabla de logaritmos 1798 Paolo Ruffini demuestra que es imposible resolver ecuaciones de 5to grado LAS MATEMATICAS EN EL SIGLO XX Las matemáticas en el siglo XX se convirtieron en una de las herramientas más cotidianas que hay. Puesto que para la mayoría de las actividades se requería de las matemáticas En el siglo XX se hicieron grandes descubrimientos sobre los límites de las matemáticas… A mediados del siglo XIX, las matemáticas tomaron más importancia. Las matemáticas se convertían en una materia indispensable en la educación. Las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. En el siglo XX las matemáticas se convertían en una profesión más importante Cada vez se daban mas doctorados en matemáticas. En siglos anteriores, hubo pocos matemáticos creativos. La mayoría provenían de familias con dinero como Napier: Otros eran apoyados por ricos, como Gauss: Y había pocos como Fourier, que se ganaba la vida dando clases en universidades: En el siglo XX las matemáticas crecieron muy rápidamente En 1990, David Hilbert estableció una lista de 23 problemas sin resolver. En la actualidad 10 están resueltos, 7 parcialmente resueltos, 2 están sin resolver y 4 muy mal resueltos TEOREMA DE LOS CUATRO COLORES En 1976, Wolfgang Haken, y Kenneth Appel usaron una computadora para demostrar el Teorema de los cuatro
  • 2. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 2 | P á g i n a colores que explica lo siguiente: “Dado cualquier mapa geográfico con regiones continuas, éste puede ser coloreado con cuatro colores diferentes, de forma que no queden regiones adyacentes con el mismo color.” Dando a conocer que CUATRO colores son suficientes para colorear un mapa DESCUBRIMIENTOS MATEMATICOS DEL SIGLO XXI En 2003 la demostración de la Conjetura de Poincaré (que es el resultado sobre la esfera tridimensional) fue resuelta por Grigori Perelman Actualmente los descubrimientos matemáticos están avanzando muy rápidamente y cada vez más personas estudian para hacer algún invento o algo que tenga que ver para el desarrollo de la humanidad en las matemáticas. En conclusión: A lo largo de la historia, las matemáticas han avanzado muy rápidamente, y han ayudado la humanidad a crecer en distintos aspectos. Conjunto Numérico Aquí se listan los principales conjuntos de números. Números Naturales: la necesidad de contar desembocó directamente en la creación y el uso de los números naturales. Son los números más simples de los que hacemos uso, se denotan por y están formados por los números 1,2,3,4,5... Se denominan también números enteros positivos. Números Cardinales: Son aquellos números que empiezan por el cero. ℕ∗ = { 0,1,2,3,4, … . . } Números Enteros: la insuficiencia de los números naturales para contar deudas o temperaturas por debajo de cero lleva directamente a los números enteros. Se denotan por y están formados por los números naturales, sus inversos aditivos y el cero. El conjunto de los números enteros incluye a los naturales, . Números Racionales: la insuficiencia de los números enteros para denominar partes de unidad lleva directamente a los números racionales. Se denotan por y son todos aquellos que se pueden expresar de la forma 𝑝 𝑞 donde p y q son enteros y 𝑞 ≠ 0. Estos pueden ser enteros de la forma 𝑛 1 donde n es un entero, decimales finitos o decimales infinitos periódicos. El conjunto de los números racionales incluye a los enteros, ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ. Números Irracionales: Se denotan por 𝕀 y son el conjunto de los números decimales infinitos no periódicos, es decir todos aquellos que no pueden expresarse de la forma 𝑝 𝑞 . Acá caben los números obtenidos por raíces imperfectas, algunos logaritmos, el número e, el número π, entre otros. Números Reales: es la unión entre el conjunto de los números racionales y los irracionales. ℝ = ℚ 𝑈 𝕀 Obs. Cualquier número natural, cardinal, entero, racional o irracional, es también REAL Números Imaginarios: son aquellos que se obtiene a partir de raíces de índice par y radicando negativo. Se representan por i. 𝒊 = √−𝟏: Definición de unidad imaginaria. Ej. √−𝟒 = 𝟐𝒊 Números Complejos: son aquellos que poseen una parte real y otra imaginaria, y se pueden escribir de la siguiente forma: Forma de par ordenado a: corresponde a la parte real 𝑏𝑖: corresponde a la parte imaginaria Estos números se representan por C Las propiedades de las operaciones con números reales en la suma y la multiplicación son las siguientes: Ejemplo de operaciones con números reales en la suma y la multiplicación: Cerradura la suma o multiplicación de dos números reales, siempre da un número real.
  • 3. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 3 | P á g i n a Sean 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅 𝑎 + 𝑏 𝜖 𝑅 5 + 7 = 12 𝜖 𝑅 (𝑎)(𝑏)𝜖 𝑅 (7)(8) = 56 𝜖 𝑅 Conmutativa El orden en que se agrupen los sumandos o factores, no altera el resultado de la operación. Sí se tiene que: 𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 (𝑎)(𝑏) = (𝑏)(𝑎) Asociativa La suma o la multiplicación, no se alteran, por la forma en que se agrupen los sumandos o factores, respectivamente. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑅 Entonces: 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 5 + (7 + 9) = (5 + 7) + 9 𝑎 (𝑏𝑥𝑐) = (𝑎𝑥𝑏) 𝑐 3 (5 𝑥 8) = (3 𝑥 5)8 Neutro aditivo Se define con este nombre al número cero, ya que cuando se suma con cualquier número real, el resultado es el mismo número. Sí 𝑎 𝜖 𝑅 entonces : existe un elemento 0 / 0 𝜖 𝑅 de tal forma que: 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎 8 + 0 = 0 + 8 = 8 Neutro multiplicativo Se define con este nombre, al número uno, ya que todo número multiplicado por uno, da el mismo número. Sí 𝑎 𝜖 𝑅 entonces: existe un elemento 1/1 𝜖 𝑅 de tal forma que: (1)(𝑎) = (𝑎)(1) = 𝑎 (1)(6) = (6)(1) = 6 Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma Cuando se multiplica una suma por el mismo factor, el resultado que se obtiene es el mismo, que si se multiplica cada sumando por el factor común y después se suman. Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 𝑅 Entonces: 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 3(5 + 6) = 3𝑥5 + 3𝑥6 Jerarquía de las operaciones Cuando en una expresión aparecen varias operaciones, ha de respetarse la siguiente prioridad: 1. Las operaciones entre paréntesis. (signos de colección) 2. Las potencias y raíces. 3. Las multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha. 4. Las sumas y restas, de izquierda a derecha. La ley de los signos: es una ley que corresponde y atiende a los números positivos y negativos de los números enteros. Esta ley se ocupa del sentido de los números y ocupa los signos “+” y “-”, siendo el signo + nombrado “más” y correspondiendo a los números positivos y el signo – de nombre “menos” corresponde al negativo y es de los negativos. En relación a la suma y la resta de números enteros el resultado será positivo en el caso del signo + y negativo en el caso del signo -. Pero en el caso de la multiplicación y la división, sólo se presenta el positivo si ambos números son positivos y negativo si alguno es positivo y su contrario negativo, lo mismo sucede en las ecuaciones algebraicas.
  • 4. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 4 | P á g i n a Potencia de un número Si RayNn  , entonces n a , es igual al producto de n veces el número real a tomado c0mo factor, es decir    vecesn n a...aaaaa  Ejemplos:   1255555 3          1111111 5  81 16 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 4       Propiedades Producto de potencias de igual base el producto de potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y de exponente igual a la suma de los exponentes de los términos factores. Simbólicamente: m n m n a a a    Ejemplo: 2021082108 33333   Cociente de potencias de igual base El cociente de dos potencias de igual base, es otra potencia de la misma base y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes del término dividendo menos el del divisor. Simbólicamente: m m n n a a a   con a ≠ 0 y m>n Ejemplo: 9312 3 12 55 5 5   Potencia de una potencia La potencia de una potencia es otra potencia de la misma base y de exponente igual al producto de los exponentes que haya en la expresión Simbólicamente:   nmmn aa   Ejemplo:       30253 2 53 222          Potencia de un producto La potencia de un producto es igual al producto de dichas potencias. Simbólicamente:   nnn baba  Ejemplo:   333 2525  Potencia de un cociente La potencia de un cociente es igual al cociente de dichas potencias. Simbólicamente: n nn b a b a       b ≠ 0 Ejemplo: 2 22 4 5 4 5       Exponente cero toda cantidad con exponente cero es igual a 1 Simbólicamente: 10 a a ≠ 0 La expresión 0 0 no está definida Exponentes enteros negativos si n es cualquier entero negativo y a un número real diferente de cero se cumple que: n n a a 1  o que n n a a   1 En caso que la base sea un número racional se tiene que nn a b b a              Ejemplos: 8 1 2 1 2 3 3  33 5 3 3 5              Radicales Un radical es una expresión de la forma n a , en la que n y a ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar
  • 5. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 5 | P á g i n a Raíz cuadrada de un número Si , ,a R b R   se cumple que 2 , :a b si solo si b a  , donde a es la raíz cuadrada de b Ejemplo: 255525 2  porque Raíz cúbica de un número Si ,Rb,a  entonces se cumple que 33 , :a b si solo si b a  , donde a es la raíz cúbica de b Ejemplo: 12555125 33  porque Raíz enésima de un número Si Nny,Rb,a  entonces se cumple que , : nn a b si solo si b a  , donde a es la raíz enésima de b Ejemplo: 322232 55  porque Exponentes Racionales Una expresión radical puede escribirse como una potencia de exponente racional, es decir n m n m aa  Ejemplo: 3 2 3 2 55  Propiedades Raíz enésima de un número real elevado a la potencia n para cualquier ,Zn   se cumple que:   aaaa n n n/nn n  1 Raíz enésima de un producto la raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de los factores. Para cualquier ,Zn   se cumple que nnn baba  Raíz enésima de un cociente la raíz enésima de un cociente es igual al cociente de las raíces enésimas del dividendo y del divisor. Para todo ,Z,b,a,n   se cumple que: n n n b a b a  Raíz enésima de una raíz la raíz enésima de una raíz es igual a otra raíz, cuyo índice es el producto de los índices. Para todo ,Z,b,n,m   se cumple que: nmn m bb   Propiedad fundamental de los radicales Se puede multiplicar o dividir el índice de la raíz y el exponente del radicando por un mismo número y el valor de la raíz no cambia, por tanto Nkdonde,bbbb n nn/mkn/kmkn km  Se debe tener en cuenta que, si n es par, entonces el radicando debe ser positivo para que exista una raíz real. Exponente Afecta al signo Par o impar Resultado Base negativa Si Par Positivo Base negativa No Impar Negativo Base negativa Si Impar Negativo Base negativa No Par Negativo Base positiva Si Par Positivo Base positiva No Impar Positivo Base positiva Si Impar Positivo Base positiva No Par Positivo
  • 6. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 6 | P á g i n a Ejercicios 01. Interpreta las siguientes situaciones, escribiendo en cada caso, el número entero: Situación Número entero Avancé 4 metros. Avancé 12 metros. El ascensor está en el 3° piso. El ascensor está en el 0° piso. Debo $11000 Debo $2000 El submarino está a 40 metros de profundidad. El submarino está a 24 metros de profundidad. La temperatura en la Antártica es de 3 grados bajo cero. La temperatura en la Antártica es de 2 grados bajo cero. El ascensor está en el primer subterráneo. Ahorré $10.000 Ahorré $24.000 Giré de mi libreta de ahorros $8.000 Giré de mi libreta de ahorros $5.000 Retrocedí 2 pasos. 02. Simplifica aplicando las propiedades de las potencias: a)    423 232 583 6252 b)    23 22 ))3(( )3.(27 c)    423 232 583 30212 d)    7253 35215 423 232 e)    23 22 ))5(( )5.(25 f)    423 232 253 1524 03. Reduce y calcula, aplicando las propiedades de las potencias: a)               3 21 2· 2 1 · 2 1 b)             12 9 10 · 3 5 c)          2 6 8 5 1 5 5 1 d)                  25 62 7 7 1 e)                       232 2 5 : 5 2 g)    23 22 ))5(( )2.(20 h)   4 32 30 1527 i)    23 22 ))5(( )3.(15 04. Calcula, cuando sea posible, las siguientes raíces: a) 1225 b) 3 125 c) 3 343 216  d) 4 81 e) 2025 f) 3 343 g) 3 1000 125   h) 6 625 05. Calcula y simplifica: a) 3 22 271 3 2 : 6 5 3 4 5 2                    b) 3 22 64 3 2 1 4 3 : 4 5 2 1                     06. Averigua el valor de k en cada caso: 4 5 a) 7 b) 125 5 c) 32k k k
  • 7. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 7 | P á g i n a 07. Calcula y simplifica: 3 6 1 9 27 a) 3 32 72 128 b) 3 3   08. Opera y simplifica: 3 75 25 a) 48 3 75 81 108 b) 15     09. Calcula y simplifica el resultado: 3 9 3 a) 27 3 192 2 12 b) 27     10. Tenemos un tablero de madera de 50 cm de largo por 35 cm de ancho, y lo queremos dividir haciendo cuadraditos del mayor tamaño posible. ¿Qué lado tendrán dichos cuadraditos? 11. Un comerciante va a comprar mercancía a unos almacenes cada 42 días y otro va cada 70 días. Si coincidieron el día 15 de septiembre, ¿al cabo de cuántas semanas volverán a coincidir? 12. En un terreno rectangular de 280 m de largo por 18 m de ancho se quiere poner una valla alrededor, de forma que los postes estén todos a igual distancia y con la mayor separación posible entre ellos. ¿A qué distancia deberemos colocar unos de otros? 13. Un ciclista da una vuelta completa a una pista cada 54 segundos, y otro lo hace cada 72 segundos. Si parten juntos de la línea de salida: a) ¿Al cabo de cuánto tiempo volverán a coincidir? b) ¿Cuántas vueltas habrá dado cada ciclista en ese momento? 14. Para la campaña de Navidad, queremos envasar dos bebidas diferentes en botellas iguales. Pero, para abaratar los costes, el número de botellas utilizadas debe ser el mínimo posible. De la primera bebida tenemos 770 litros, y de la segunda, 234 litros. ¿Cuántas botellas utilizaremos? 15. Escribe los siguientes números en notación científica e indica su orden de magnitud. a) 91 700 000 000 b) 6 300 000 000 000 c) 0,00000000134 d) 0,071 16. Expresa el resultado como potencia única: 432 2 -5 3 2 2 a) b) 4 7 7                              Problemas 01. Un anciano deja al morir a cada uno de sus hijos S/. 6840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de este se repartió entre los demás, entonces cada uno recibió un total de 9120 soles. ¿Cuánto era la fortuna del anciano? 02. Cuando un buque navega en el sentido de la corriente de un rio tiene una velocidad de 80 km/h. y cuando lo hace en contra de la corriente tiene una velocidad de 20 km/h. si se sabe que en ambos casos el motor funciona a plena potencia. ¿Cuál es la velocidad de la corriente? 03. A un baile al cual asistieron 120 personas, se observó lo siguiente: una mujer baila con 7 hombres, una segunda mujer baila con 8 hombres, una tercera mujer baila con 9 hombres y así sucesivamente, hasta que la última baila con todos los hombres. ¿Cuántas mujeres asistieron al baile? 04. Un bus parte de su paradero inicial, con cierta cantidad de pasajeros y llega al paradero final con 61 pasajeros; sabiendo que cada pasaje cuesta S/. 3 y que ha recaudado S/. 255, además que en cada paradero subían 5 pero bajaban 2 pasajeros. ¿con cuántos pasajeros partió el bus? 06. Entre 3 personas A, B y C tienen 9000 soles. C tiene el doble de lo que tienen juntos A y B, los cuales a su vez se diferencian en 1000 soles. Hallar lo que tiene A, que es la que menos tiene. 07. El cociente y el resto en una división inexacta son 8 y 16 respectivamente, si la suma de los términos de la división es 904. Hallar el dividendo. 08. Clarisa vende pescados en el mercado. Si los vende a 18 soles cada uno, se compraría un vestido y le sobrarían 6 pesos, pero si los vende a 20 soles cada uno,
  • 8. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería de: Sistemas e informática Electrónica y Telecomunicaciones CEPRE UCH CICLO PRE MATEMÁTICA BÁSICA 2016 II Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 8 | P á g i n a le sobrarían 90 pesos luego de comprar el vestido. ¿Cuánto cuesta el vestido? 09. Un grupo de amigos quiere comprarse un balón de futbol. Si cada uno pone (m – n) euros faltaría (2x + 3y) euros, pero si pone cada uno (m + n) euros sobraría (3x – 2y) euros. ¿Cuántas personas forman dicho grupo de amigos? 11. Cuatro jugadores A, B, C y D convienen en cada partida, el perdedor doblara el dinero de los otros 3. Ellos pierden cada uno una partida en el orden indicado por sus nombres, después de lo cual cada uno de ellos tiene 480 dólares. ¿Cuánto tenían cada uno al principio del juego? 12. A un cierto número se le multiplica por 3, a este resultado se le resta 7, a este nuevo resultado le sacamos la raíz cubica, luego le sumamos 5 y lo elevamos al cuadrado, a este nuevo resultado le sumamos 1 y dividimos entre 2 y a este resultado finalmente le sacamos la raíz cuadrada, obteniéndose como resultado 5. ¿hallar dicho número? 13. Cada día, de un reservorio de agua se consume la mitad del contenido más 20 litros, si después de 3 días consecutivos quedan 10 litros en el reservorio. ¿Cuántos litros de agua se consumieron? 14. En una playa de estacionamiento hay 20 vehículos entre autos y motos. ¿Cuántos autos hay si en total se cuentan 73 neumáticos? Se sabe que cada tiene su llanta de repuesto. 15. Un coleccionista tiene 10 insectos entre arañas y escarabajos. ¿Cuántos coleópteros posee, si en total se cuentan 72 patitas? 16. En un examen se da 20 puntos por respuesta correcta y se quita 10 puntos por cada pregunta incorrecta. Un alumno contesto 50 preguntas y obtuvo 640 puntos. ¿Cuántos contesto correctamente? 19. Si: 𝐶. 𝐴(𝑎𝑏̅̅̅) × 1𝑎𝑏̅̅̅̅̅ = 9831 Hallar a + b 20. Calcular x + y + z sabiendo que: 𝐶. 𝐴 (𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅) + 𝑐𝑏𝑎̅̅̅̅̅ = 𝑥3𝑦𝑧̅̅̅̅̅̅̅ Fuentes de información http://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_de_Poi ncar%C3%A9 http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_cuatro_c olores http://es.wikipedia.org/wiki/Papiro_de_Ahmes http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Las_matem %C3%A1ticas_en_el_siglo_XX http://www.sectormatematica.cl/historia.htm http://www.ecured.cu/index.php/Matem%C3%A1tica_ en_la_antig%C3%BCedad http://www.monografias.com/trabajos91/matematicas- traves-tiempos/matematicas-traves-tiempos.shtml http://definicion.de/matematicas/ http://www.ejemplode.com/5-matematicas/4116- ejemplo_de_ley_de_los_signos.html http://www.ejemplode.com/5-matematicas/328- propiedades_de_las_operaciones_con_numeros_reales _en_la_suma_y_multiplicacion.html http://www.problemasresueltos.com/razonamiento- matematico/razonamiento-matematico-escolar/cuatro- operaciones.html