Música y matemática

1. La Geometría Aplicada a la Composición Musical
Transformaciones Geométricas y Homotecias
Una transformación geométrica en el plano hace corresponder a una figura otra figura de
igual forma y tamaño.
Es una aplicación que hace corresponder a cada punto del plano otro punto del plano. Como
consecuencia, las figuras se transforman en otras figuras.
Las transformaciones se pueden llamar Movimientos en el Plano y son de cuatro tipos:
-Traslaciones
-Rotaciones
-Reflexiones
-Homotecia
En una traslación se conserva la forma y el tamaño, pero la figura está desplazada de lugar
según una dirección dada.
Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las
figuras. Consiste en realizar un giro a la figura dada según el ángulo de giro indicado,
respecto a un punto determinado.
En una reflexión, un objeto geométrico se mueve a través de una recta a través de la cual se
refleja un objeto se llama la recta de reflexión o el eje de la reflexión.
Una homotecia en el plano hace corresponder a una figura otra de igual forma pero de
distinto tamaño, tanto mayor como menor. (La homotecia podemos definirla como un
cambio de escala).

2. Simetrías en la música: Reflexiones (4 ejemplos)
- Simetría en la altura de la melodía por medio de un eje vertical: es una reflexión horizontal
- Simetría vertical de la altura de un acorde: La simetría se realiza respecto de la nota LA
- Simetría del ritmo en el tiempo:
A tempo - accel - decel - a tempo
- Simetría de la intensidad del sonido en el tiempo:
Piano - Forte – Piano
Veamos ahora una rotación y otro tipo de reflexión (inversión).
- Primero tenemos un giro o rotación respecto a SI
Se mantienen los intervalos en orden inversa por ser un giro:
RE - MIb - RE • SOL - FA# - SOL
1/2↑ 1/2↓ GIRO 1/2↓ 1/2↑
- En segundo lugar se realiza una reflexión (simetría respecto a la nota SOL, en clave de FA)
Se mantienen los intervalos en el mismo orden pero con distinto sentido por ser una reflexión:
LA - SOL - FA - MI - SOL FA - SOL - LA - SIb* - SOL
1↓ 1↓ 1/2↓ 1 ½ ↑ 1↑ 1↑ 1/2↑ 1 ½ ↓
*Nota: Fuga nº 6 en Re menor de J. S. Bach (el SI es Bemol)
Continuemos con una reflexión desplazada y dos tipos de reflexión con homotecia:
- Primero tenemos un desplazamiento con simetría horizontal
DO MI SOL MI → DO MI SOL MI → DO MI SOL MI
Hay una traslación 3 veces
DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO MI SOL MI DO
Hay una reflexión respecto a la nota SOL
- Reflexión con homotecia en la duración (disminución del tempo)
DO RE MI FA SOL FA MI RE DO
Negras corcheas
- Reflexión con homotecia en la compresión del sonido
FA SOL LA SI DO# DOb SI SIb LA
1↑ 1↑ 1↑ 1↑ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓ 1/2↓

3. Homotecia en la duración.
- 1er compás: SOL FA# MI RE# MI
Semicorcheas Corchea
- 2º compás: SOL FA# MI RE# MI
Corcheas Negra
- 3er compás: SOL FA# MI RE# MI
Negras Negra
Reflexión desplazada (Simetría + Traslación)
La transformación geométrica ocurre 132 compases después de la primera aparición (se repite
todo salvo el compás en rojo).
En este caso Beethoven, en la Sonata nº 29, tuvo que ser consciente de que estaba utilizando
una transformación geométrica.
Palíndromos
Un Palíndromo es una frase, una expresión, una sucesión que se puede leer igual de izquierda a
derecha o de derecha a izquierda. Uno de los palídromos más conocidos es:
Dábale arroz a la zorra el abad
Geométricamente hablando un Palíndromo es una reflexión horizontal (simetría) de una
melodía.
El Minueto al Rovescio, uno de los movimientos de la Sonata en La mayor (Hob XVI-26) que
Haydn, compuso en 1773. La composición se divide en dos partes, donde la segunda es una
reflexión exacta de la primera. Dicho de otro modo, ambas juntas forman un palíndromo musical,
una partitura “capicúa”. En este caso Haydn era realmente consciente del uso de la simetría en la
composición musical.

4. Mozart y la Simetría traslacional
La siguiente composición, “El dueto del espejo” o también llamado “Dúo de la Mesa”, se trata de
un divertimento en Sol mayor para dos violines, atribuido a Mozart. La partitura está diseñada para
que ambos violinistas puedan ejecutarla a la vez, ¡pero cada uno leyéndola en sentido contrario!
Por ejemplo, colocando la partitura en una mesa, los dos violinistas se deben colocar enfrentados,
en lados opuestos de la mesa, con la partitura situada entre ambos. De esta forma, comenzando a la
vez, mientras uno interpreta el primer compás, el otro se encuentra ejecutando el último (que para él
es el primero, naturalmente), y cuando el primer violinista avanza hasta el segundo compás, el otro
violinista avanza hasta el penúltimo.
Sección Aurea
Lo sorprendente del Canon del Cangrejo de Johann Sebastian Bach es que el acompañamiento
repite exactamente lo hecho por la voz principal pero en sentido inverso, lo cual se puede ver
perfectamente en la partitura: el pentagrama de abajo repite lo escrito en el de arriba pero invertido
en el tiempo. Lo diré de otra manera: una melodía interpretada marcha atrás se sirve de
acompañamiento a sí misma.
No es de extrañar que se haya escrito respecto de Bach y Escher que "ambos fueron matemáticos
experimentales del más alto rango". No sé si alguno de los dos aceptaría tal descripción, pero lo que
es evidente es que ambos exploraron hasta sus últimas consecuencias las posibilidades de la
simetría.
Música para Cuerdas, Percusión y Celesta
Bartók usó la serie para crear su "escala Fibonacci".
Recordamos la sucesión se Fibonacci: 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144…
Compuesta en cuatro partes, el primer tiempo de esta obra es una fuga de 89 compases. En los
primeros 55 compases se va poco a poco creando una tensión que halla su punto culminante en el
56 para concluir 34 compases después.
Las cuerdas tocan con sordina desde el compás 1 al 34 y sin sordina los 21 compases siguientes,
completando así los 55 compases iniciales. Una vez alcanzado el clímax las cuerdas siguen tocando
sin sordina durante 13 compases y los 21 finales con sordina.

5. Juego de Dados de Mozart
Mozart, en 1777, a los 21 años, describió un juego de dados que consiste en la composición de una
pequeña obra musical; un vals de 32 compases que tituló “Juego de dados musical para escribir
valses con la ayuda de dos dados sin ser músico ni saber nada de composición”
Cada vals consta de dos partes un minueto y un trío y cada uno de ellos tendrá 16 compases. Mozart
compone 176 compases para los minuetos y 96 compases para los tríos. Estos compases están
sueltos. El juego descrito por Mozart se basa en componer cada vals escogiendo algunos de estos
compases.
Para hacer esta elección Mozart nos dejó dos tablas. La primera es para escribir los minuetos y la
segunda tabla es para componer los tríos. Las columnas están numeradas en romano, son 16, e
indican el número de orden del compás. Las filas en la primera tabla se numeran de 2 a 12, que
indican los 11 resultados posibles de lanzar dos dados. Las filas en la segunda tabla se numeran de 1
a 6 e indican los resultados posibles de lanzar un dado.
La elección sería de la siguiente manera: por ejemplo en la primera tirada lanzamos dos dados y el
resultado obtenido es 9 entonces el primer compás será elegido dentro de la primera columna justo
en la intersección con la fila 9, en este caso el 119, y así sucesivamente.
El método funciona porque los compases correspondientes a la misma columna son variaciones
sobre una misma base armónica, por eso el resultado será armónicamente coherente.