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Preparación IPN
Capítulo 2
Operaciones Básicas
con letras
Álgebra
¿Qué son los términos?
ab ______
wxyz ____
2bc _____
a+b _______
wx+yz _____
2+b+c _____
abcdef __ ab+cd+ef
___
Álgebra
Términos
Elementos de un término
3a2
coeficiente
exponentito
letra/base
Álgebra
Componentes de un término
Álgebra
Si tuviéramos el término “x”, ¿Cuál sería su
coeficiente, exponentito y literal?
Componentes de un término
Elementos de un término
x
coeficiente
exponentito
letra/base
Álgebra
Componentes de un término
¿Qué son los términos semejantes?
Misma letra
Mismo exponente
4a5 y 2a5
3a3b7 y 6a3b7
4a5 y 2a5
3a3b7 y 6a3b7
Álgebra
Componentes de un término
5a3b3 y 5a3b2
¿Son términos semejantes?
x5y5 y 2x5y5
2x2y5 y 3y5x2
Sí
Sí
Sí
No
No
No
Álgebra
Componentes de un término
Operación Exponentes
Suma Nada
Resta Nada
Multiplicación Sumas
División Restas
Potencia Multiplicas
Raíz Divides
¿Qué hacer con los exponentes?
Álgebra
Operaciones algebraicas: Suma
Sólo puedes sumar familias:
3a4 + 2a4 = 5a4
NUNCA modifiques exponentitos
6x2 + 3x5 = 9x7
No siempre se podrá sumar
3a4 + 5a2 = 3a4 + 5a2
Álgebra
Operaciones algebraicas: Suma
3a2b3+2a2b3=
Álgebra
Operaciones algebraicas: Suma
6x2y5+6x5y5=
Álgebra
Operaciones algebraicas: Suma
Para sumas más largas, se recomienda hacer
familias de los términos semejantes.
Álgebra
Operaciones algebraicas: Suma
2x2y2z+5x5y4+7x2y2z+x5y4=
Sólo puedes restar familias:
3a4 – 5a4 = –2a4
NUNCA modifiques exponentitos
6x2 – 3x2 = 3x0
No siempre se podrá restar
3a4 – 5a2 = 3a4 – 5a2
Álgebra
Operaciones algebraicas: Resta
Álgebra
Operaciones algebraicas: Resta
6a4b3-2a4b3=
Álgebra
Operaciones algebraicas: Resta
3x2y3-3x4y3=
Álgebra
Para restas más largas, se recomienda hacer
familias de los términos semejantes.
Operaciones algebraicas: Resta
5x4y3z-6x6y5-2x4y3z-x6y5=
3a4b5c6 – 2a4b5c6 =
2xy– 3xy– 4xyz– 5xy=
2a3b4 – 2a3b2 – 2a3b4 – 2a3b2 =
3xnym – xnyn – 2xnym – 3=
Álgebra
Operaciones algebraicas: Resta
A= a3-a4b-3a5 B= 3a3-4a4+a4b
C= -2a3+7a5+5a4b D= 2a4-a3-a5
A+B =
Álgebra
Suma y resta de funciones
A= a3-a4b-3a5 B= 3a3-4a4+a4b
C= -2a3+7a5+5a4b D= 2a4-a3-a5
2B-C =
Álgebra
Suma y resta de funciones
A= a3-a4b-3a5 B= 3a3-4a4+a4b
C= -2a3+7a5+5a4b D= 2a4-a3-a5
-C-2D =
Álgebra
Suma y resta de funciones
Se multiplican los coeficientes.
2a4 (6a3) = 12a7
Se suman los exponentitos
– 4a4b2c (2a3bc) = – 8a7b3c2
Se multiplica letra por letra
–2a2b3c6 (–2a3bd) = 4a5b4c6d
Álgebra
Multiplicación algebraica
Cuando multiplicas letras,
sumas exponentitos
Álgebra
Multiplicación algebraica
-3ab2(-2ab)=
Álgebra
Multiplicación algebraica
Cuando multiplicas letras,
sumas exponentitos
Álgebra
Multiplicación algebraica
x3y2 (x4y7) =
Álgebra
Multiplicación algebraica
Cuando multiplicas letras,
sumas exponentitos
Álgebra
Multiplicación algebraica
sen3(30°) sen4(30°)=
Álgebra
Multiplicación algebraica
Cuando multiplicas letras,
sumas exponentitos
Álgebra
Multiplicación algebraica
sen5x(sen2x)=
Álgebra
Multiplicación algebraica
Cuando multiplicas letras,
sumas exponentitos
Álgebra
Multiplicación algebraica
x(x3)= x1+3 = x4
xn (xn)= xn+n = x2n
x2n (xn)= x2n+n = x3n
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
Cuando multiplicas letras,
sumas familias de exponentitos
Álgebra
Multiplicación algebraica
xn(x)= xn+1
xn (xn )= xn+n
2 2
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
Si no hay familias de
exponentitos, cópialos y pónles
un “+” en medio:
Álgebra
Multiplicación algebraica
xn4
(xn3
)= xn4+n3
x2m(x)=
am(a)=
am(a2)=
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
2am(-2an) =
(𝐱𝐦𝟐+𝟏
)(𝐱𝐦𝟐+𝟐
) =
(𝐱𝟐𝐧𝟐
)(𝐱𝐧𝟐
) =
(𝐱𝟐𝐦𝟐+𝟏
)(𝐱𝐦𝟐
) =
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
2am(-2an) =
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
(𝐱𝐦𝟐+𝟏
)(𝐱𝐦𝟐+𝟐
) =
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
(𝐱𝟐𝐧𝟐
)(𝐱𝒏𝟐
) =
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
(𝐱𝟐𝐦𝟐+𝟏
)(𝐱𝐦𝟐
) =
Álgebra
Multiplicación con letras como exponentes
x2 (x3 + x4 ) =
Álgebra
Multiplicación monomio por binomio
ab4 (a3b2 + b5c2 ) =
Álgebra
Multiplicación monomio por binomio
(a+b)(a+b) =
Álgebra
Multiplicación binomio por binomio
(a2 + b3 ) (b4 + c5 ) =
Álgebra
Multiplicación binomio por binomio
(a + b) (a + b + c + d) =
Álgebra
Multiplicación polinomio por polinomio
(x + y + z) (x + y + z)
Álgebra
Multiplicación polinomio por polinomio
(w + x + y + z) (x + y + z)
Álgebra
Multiplicación polinomio por polinomio
(a + b) (a – c ) (c + d) =
Álgebra
Multiplicación polinomio por polinomio
(a + b) (a – c ) (c + d) =
Álgebra
Multiplicación polinomio por polinomio
(ab) (ac ) (cd) =
Álgebra
Multiplicación polinomio por polinomio
Se dividen los coeficientes
Se restan los exponentitos
a2b3c4d
a5 b c4e
=
Álgebra
División algebraica
𝐚𝟖
𝐛𝟑
𝒄𝐝
𝐚𝟐𝐛𝟕𝐜𝟒𝐝
𝐚𝟐
𝐛𝟑
𝐜𝟒
𝟖𝐚𝟗𝐛𝟒𝐜𝟒𝐝
Álgebra
División algebraica
𝟑𝐚𝟕
𝐛𝟒
𝒄
𝟏𝟓𝐚𝟓𝐛𝟔𝐜𝟔𝐝
Álgebra
División algebraica
𝐚−𝟐
𝐛−𝟒
Álgebra
Subir y bajar exponentes
𝟓𝐚−𝟑𝐜𝟒
𝐛𝟐𝐝−𝟓
Álgebra
Subir y bajar exponentes
2x4 x2
x-2
a3 a5
a-5
Álgebra
División con exponentes negativos
4 x3y2z–2
16w3x3y-8z
Álgebra
División con exponentes negativos
𝐱𝟐
𝐲𝟒
𝐳𝟑
𝐱𝟕𝐲𝟑𝐳−𝟓
𝐚𝟑
𝐛−𝟓
𝐚−𝟐𝐛𝟒
𝐚−𝟒
𝐛−𝟐
𝐚−𝟓𝐛−𝟏
Álgebra
División con exponentes negativos
𝐚𝟑
𝐛−𝟓
𝐚−𝟐𝐛𝟒
𝐚−𝟒
𝐛−𝟐
𝐚−𝟓𝐛−𝟏
Álgebra
División con exponentes negativos
𝐚𝟑
𝐛−𝟓
𝐚−𝟐𝐛𝟒
𝐚−𝟒
𝐛−𝟐
𝐚−𝟓𝐛−𝟏
Álgebra
División con exponentes negativos
𝐚𝟑
𝐛−𝟓
𝐚−𝟐𝐛𝟒
Álgebra
División con exponentes negativos
𝐚−𝟒
𝐛−𝟐
𝐚−𝟓𝐛−𝟏
Álgebra
División con exponentes negativos
2a5n bn cm
7 a2nb3ncn
=
6a4nb4ncn
2a–3b2mcn
=
2
Álgebra
División con letras como exponentes
2an b2m c3m
8 a3nbnc2m
=
Álgebra
División con letras como exponentes
𝐛𝐧−𝟐
𝐛𝟑𝐧+𝟓
Álgebra
División con letras como exponentes
𝒙𝐧−𝟐
𝒙𝟑−𝐧
Álgebra
División con letras como exponentes
𝟏𝟎𝐱𝟓𝐧−𝟑
𝐲𝟒𝐧−𝟓
𝟏𝟖𝐱𝟒𝐧+𝟏𝐲𝟓𝐧−𝟐
Álgebra
División con letras como exponentes
𝟏𝟎𝐱𝟓𝐧−𝟑
𝐲𝟒𝐧−𝟓
𝟏𝟖𝐱𝟒𝐧+𝟏𝐲𝟓𝐧−𝟐
x2 + x5 + x3
x3
=
1
x
x2 + 1
+
Álgebra
División polinomio entre monomio
a5 b2 c2n + a b2 c3 + a3 b3
a3 b4 cn
=
Álgebra
División polinomio entre monomio
x3 – x2 + 2x – 2
x – 1
=
Álgebra
División entre binomios (División sintética o método de Ruffini)
x3 – 3x2 + 4
x – 2
=
Álgebra
División entre binomios (División sintética o método de Ruffini)
x5 – 4x4 + 30x – 9
x – 3
Álgebra
División entre binomios (División sintética o método de Ruffini)
x3 – 27
x – 3
Álgebra
División entre binomios (División sintética o método de Ruffini)
2x3 – 3x2 + 3x -5
2x - 1
Álgebra
División entre binomios (División sintética o método de Ruffini)
x3 – 5x2 + 3x +14
x – 3
Álgebra
División entre binomios (División sintética o método de Ruffini)
8x2
y3
+8xy – 6x2
y2
z – 6xz
2xy2
+2
=
4x2
y+3x2
z 4x2
y – 3x2
z
4xy – 3xz 4xy + 3xz
a)
c)
b)
d)
Álgebra
División entre polinomios
x3
+x– 2
x –1
=
x2
+x+2 x2
+x – 2
x2
– x+2 x2
– x – 2
a)
c)
b)
d)
Álgebra
División entre polinomios
El cociente de la siguiente expresión es:
𝟐𝐱𝟑
+ 𝟑𝐱𝟐
+ 𝟒𝐱 + 𝟑
𝐱 + 𝟏
A) 2x2+3
B) 2x2+ x + 3
C) 2x+1
D) 2x2+ 2x + 3
Álgebra
División entre polinomios
El cociente de la siguiente expresión es:
𝟐𝐱𝟑
+ 𝟑𝐱𝟐
+ 𝟒𝐱 + 𝟑
𝐱 + 𝟏
Álgebra
División entre polinomios
𝟐𝐱𝟑
+ 𝟑𝐱𝟐
+ 𝟒𝐱 + 𝟑
𝐱 + 𝟏
A) 2x2+3
B) 2x2+ x + 3
C) 2x+1
D) 2x2+ 2x + 3
Álgebra
División entre polinomios
a2
+ 5
a + 1
A) a+1 B) a − 1 +
6
a+1
C) a+5 D) 1 +
6
a+1
Álgebra
División entre polinomios
a2+5
a+1
A) a+1
B) a − 1 +
6
a+1
C) a+5
D) 1 +
6
a+1
Álgebra
División entre polinomios
Álgebra
Notación científica
Álgebra
Notación científica
24 000 000 000 000 =
0.000 000 000 000 32 =
Álgebra
Notación científica
(6×103
) (2×105
) =
8×108
2×103
=
15×105
3×10−𝟑
=
(-3×103
) (5×10-5
) =
Potencia
Multiplicas exponentitos
(2x3yz5)
3
=
Álgebra
Potencia algebraica
(4x3)
2
=
(-5a2b3c4)3
=
Álgebra
Potencia algebraica
(-x4y7c2)3
=
(3an+2)3
=
(-2ab2ncm+2)4
=
Álgebra
Potencia con exponentes literales
(4xn)n
= (x2n)n
=
(x2n)
n
2
=
Álgebra
Potencia con exponentes literales
(x2n3
)
𝟑𝐧
𝟐
=
(3x2ny3nzn)n
=
(5am+2b2m)
n
=
Álgebra
Potencia con exponentes literales
(a+b+c)4 =
Álgebra
Potencia de un polinomio
(a+b+c)4 =
(a+b+c) (a+b+c) (a+b+c) (a+b+c)
Álgebra
Potencia de un polinomio
Álgebra
Potencia de un polinomio
(a+b)2 =
(a+b) (a+b)
Álgebra
Notación científica
(6×103
) (2×105
) =
8×108
𝟐𝒙𝟏𝟎𝟓
4x2y4z6 =
27x3y15z12 =
3
Álgebra
Raíz algebraica
En la raíz, divides los exponentitos
𝟗𝐚𝟖𝐛𝟒𝒄𝟖=
Álgebra
Raíz algebraica
𝟒𝟗𝒙𝟐𝟒𝒚𝟔𝒛𝟏𝟖=
𝐛𝟑 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝐛𝟓 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝐛𝟕 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝒂𝟔𝐛𝟑 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝒂𝟒𝐛𝟖𝒄𝟓 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝒂𝟏𝟎𝐛𝟕𝒄𝟗 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝟗𝐚𝟖𝐛𝟒𝐜=
Álgebra
Raíz algebraica
𝟐𝟕𝐚𝟕𝐛𝟏𝟓𝐜𝟐𝟎 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝟒𝟓𝒂𝟑𝐛𝟖𝒄𝟔 =
Álgebra
Raíz de un monomio
𝟏𝟐𝒂𝟐𝐛𝟏𝟑𝒄𝟏𝟔 =
𝟒𝟎𝒂𝟏𝟒𝐛𝟏𝟓𝒄𝟏𝟐 =
𝐑𝐀Í𝐙
𝐚𝐞𝐱𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧𝐭𝐞  𝐚
𝐞𝐱𝐩𝐨𝐧𝐞𝐧𝐭𝐞
𝐑𝐀Í𝐙
𝟑
𝐚𝟒 =
𝟒
𝟓 =
Álgebra
Convertir raíz a potencia
x = x
1
2
x = x
1
3
3
x = x
1
4
4
x2 = x
2
5
5
a2 = a
2
2
a = a
1
n
n
xm+2 = x
m+2
5
5
= a
am = a
m
n
n
Álgebra
Convertir raíz a potencia
𝟑 𝟓 =
𝟓 𝟐 =
𝟑 𝟕 =
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑 =
𝟒
𝐱𝟒
𝐲 =
Álgebra
Multiplicación de raíces con el mismo radical
𝟓 𝟓 =
𝟑 𝟑 =
𝐱 𝐱 =
𝟑
𝒂 𝟑
𝒂 =
Álgebra
Multiplicación de raíces con el mismo radical
𝐚 𝐚 =
𝐚𝟒 𝐚𝟑 =
𝐚 𝐛 =
𝟐 𝐛 =
Álgebra
Multiplicación de raíces con el mismo radical
𝐱𝟐 𝐱𝟐 =
−𝟑 −𝟑 =
𝟐 𝟔 =
Álgebra
Multiplicación de raíces con el mismo radical
𝟓 𝟑 (𝟒 𝟐) =
𝟐 𝟐 (𝟑 𝟓) =
Álgebra
Multiplicación de raíces con el mismo radical
𝐱 + 𝟏 𝐱 + 𝟏
𝐱 + 𝟏 𝐱 + 𝟐
Álgebra
Multiplicación de raíces con el mismo radical
Álgebra
Multiplicación de raíces con el mismo radical
𝐱𝟖 +𝐲𝟔 + 𝐳𝟒 =
No puedes sacar raíz de un trinomio, ni de un binomio.
𝐱𝟓 𝟒
𝐱𝟑 =
Álgebra
Multiplicación de raíces con diferente radical
𝟑
𝐱𝟐 𝟔
𝐱𝟕 =
Álgebra
Multiplicación de raíces con diferente radical
𝟓
𝐱𝟑 𝟐
𝐱𝟓 =
𝟑
𝐱𝟐 𝟓
𝐱𝟕 =
Álgebra
Multiplicación de raíces con diferente radical
72𝑎7𝑏6𝑐8𝑑11
Álgebra
Funciones compuestas
(5𝑎3
𝑏2
𝑐2
)3
Álgebra
Funciones compuestas
𝟓
𝐱𝟐 𝟑
𝐱𝟓 =
𝟔
𝟐
=
Álgebra
División de raíces con el mismo radical
𝐱𝟒
𝐱𝟑
=
Álgebra
División de raíces con el mismo radical
𝟒
𝐱𝟑
𝟒
𝐱𝟕
Álgebra
División de raíces con el mismo radical
𝟓
𝐱𝟒𝐧
𝟓
𝐱𝐧
=
Álgebra
División de raíces con el mismo radical
𝐱𝟓
𝟑
𝐱𝟒
=
Álgebra
División de raíces con diferente radical
𝟔
𝐚𝟓
𝟑
𝐚𝟐
=
Álgebra
División de raíces con diferente radical
𝟕
𝐚𝟑
𝟑
𝐚𝟓
=
f(x)=2x–1 y g(x)=4x+2
¿Cuál sería el resultado de (f ◦g)(x)?
Álgebra
Funciones compuestas
f(x)=2x–1 y g(x)=4x+2
¿Cuál sería el resultado de (g ◦f)(x)?
Álgebra
Funciones compuestas
f(x) = 2𝑥 + 1 y g(x) = x2 + 2x -1
Calcula: (g◦f) (x)
Álgebra
Funciones compuestas
f(x) = 2𝑥 + 1 y g(x) = x2 + 2x -1
Calcula: (f◦g) (x)
Álgebra
Funciones compuestas
𝟑𝐱
𝐚
+
𝟐𝐱
𝐚
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
c
a
+
d
b
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
a
y
−
b
y
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
x
y
−
3x
ay
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
5 +
2
x
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
4 −
x
2
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
x +
2
x
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
x +
x
3
=
x
a
−
3
a − 1
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
x
x + y
+
x
a
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
3 +
1
x + 2
=
Álgebra
Suma y resta de fracciones algebraicas
4 +
x
x − 3
=
𝟑𝐚
𝟒𝐛
𝟐𝐚
𝟓𝐜
=
Álgebra
Multiplicación de fracciones algebraicas
𝐱
𝐲
𝟓 =
Álgebra
Multiplicación de fracciones algebraicas
𝐚𝟐
𝐛𝟓
𝐛𝟐
𝟑𝐚
=
Álgebra
Multiplicación de fracciones algebraicas
𝐚
𝐛
÷
𝐛
𝐝
=
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝐚
𝐛
𝐛
𝐝
=
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝒙
𝒚
𝒙
𝟑
=
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟑𝒙
𝟒𝒚
𝒙
𝟓
=
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝐚 − 𝟏
𝒂
𝟑
𝒙 − 𝟏
=
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝒙
𝒙 − 𝒚
𝒙
𝒙 − 𝒚
=
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟐 +
𝟏
𝐱
𝐱 +
𝐱
𝟐
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟏 +
𝟏
𝟏 +
𝟏
𝐱
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟏 +
𝟏
𝟏 +
𝟏
𝐱
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝒙 + 𝒚
𝟏
𝒙
+
𝟏
𝒚
+
𝟏
𝒙𝒚
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟏
𝒙𝒚
𝟏
𝒙
+ 𝒙 +
𝟏
𝒚
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟏 +
𝟐
𝟐
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟓 +
𝟑 𝟓
𝟐
𝟐 +
𝟏
𝟑
𝟐
Álgebra
División de fracciones algebraicas
𝟐𝐚𝟑
𝐛𝟒
𝟑𝐜𝟓𝐝𝟐
𝟑
=
Álgebra
Potencia de fracciones algebraicas
𝟓𝐚𝟐
𝟐𝐛𝟒
−𝟐
=
Álgebra
Potencia de fracciones algebraicas
𝟐𝒙𝟐𝒚−𝟏𝒛−𝟒
𝟓𝒙−𝟑𝒚𝒛𝟑
−𝟐
=
Álgebra
Potencia de fracciones algebraicas
𝒂𝟑𝒃−𝟔𝒄𝟐
𝟓𝒂𝟒𝒃−𝟑𝒄−𝟒
−𝟏
=
Álgebra
Potencia de fracciones algebraicas
𝐱𝟖
𝐲𝟔
=
Álgebra
Raíz de fracciones algebraicas
3a2
b4 =
Álgebra
Raíz de fracciones algebraicas
2
4
2
=
Se ve naco
4
2 2
2
=
2
4
= 2
2
Álgebra
Radicalización
𝟐
𝟑
Álgebra
Radicalización
𝒙
𝒛
Álgebra
Radicalización
𝟐
𝟑 𝟐
Álgebra
Radicalización
𝟒 𝟑
𝟓 𝟐
Álgebra
Radicalización
𝟐
𝟑 𝒙 − 𝟏
𝟒𝐚𝟐𝐛
𝟐𝐛
Álgebra
Simplificación de radicales
𝐱𝟐𝐲𝟒
𝟑𝐱𝟒
Álgebra
Simplificación de radicales
10xy7
30x7y
=
80a4b
2b
=
Álgebra
Simplificación de radicales
10xy7
30x7y
=
Álgebra
Simplificación de radicales
(a+b)2 =
(a+b)(a+b) =
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
a2 2ab b2
+ +
El 1ro al
cuadrado
El 2do al
cuadrado
Pegas y duplicas
+ +
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
(a+b)2 =
(a+2)2
=
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
(2x4
+3y5
)2
=
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
(2x4
–3y5
)2
=
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
(x–y3
)2
=
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
(2x5
– y3
z)2
=
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
(x4 + 3 )
2
=
Álgebra
Productos notables – binomios al cuadrado
b0
b1
b2
b3
b4
(x+y)0 = 1
(x+y)1 = x+y
(x+y)2 = x2
+ 2xy + y2
(x+y)3 = x3
+ 3x2
y + 3xy2
+ y3
(x+y)4 = x4
+ 4x3
y + 6x2
y2
+ 4xy3
+ y4
Álgebra
Productos notables – triángulo de Pascal
(x+y)0 = 1
(x+y)1 = x+y
(x–y)2 = x2
– 2xy + y2
(x–y)3 = x3
– 3x2
y + 3xy2
– y3
(x–y)4 = x4
– 4x3
y + 6x2
y2
– 4xy3
+ y4
Álgebra
Productos notables – triángulo de Pascal
b0
b1
b2
b3
b4
(a+b)3
=
(a–b)3
=
Álgebra
Productos notables – triángulo de Pascal
(a3
+b2
)3
=
A) a9
+ 3a4
b2
+ 3a3
b4
+ b6
B) a9
+ b6
C) a3
+ 3a2
b+ 3ab2
+ b3
D) a9
+ 3a6
b2
+ 3a3
b4
+ b6
Álgebra
Productos notables – triángulo de Pascal
(a3
–b2
)3
=
A) a3
+ b3
B) a9
– 3a6
b2
– 3a3
b4
– b6
C) a9
– 3a6
b2
+ 3a3
b4
– b6
D) a9
+ 3a6
b2
+ 3a3
b4
+ b6
Álgebra
Productos notables – triángulo de Pascal
(a3
–b2
)3
=
A) a3
+ b3
B) a9
– b6
C) a9
– 3a6
b2
+ 3a3
b4
– b6
D) a9
+ 3a6
b2
+ 3a3
b4
+ b6
Álgebra
Productos notables – triángulo de Pascal
(2x3
+y6
)3
=
A) 8x3
+ y18
B) 8x9
+ y18
C) 8x9
+ 12x6
y6
+ 6x3
y12
+ y18
D) 8x6
+ 12x4
y3
+ 6x2
y6
+ y9
Álgebra
Productos notables – triángulo de Pascal
(a+b)(a–b)=
(a+2)(a–2)=
(x+3)(x–3)=
(3–x)(x–3)=
(a2+5)(a–5)=
Álgebra
Binomios conjugados
(a+b)(a–b) =
Álgebra
Binomios conjugados
(a+3) (a–3)
Álgebra
Binomios conjugados
(x+y) (x–y)
Álgebra
Binomios conjugados
(x - 𝟐) (x + 𝟐) =
Álgebra
Binomios conjugados
( a + b + c ) ( a + b – c ) =
Álgebra
Binomios conjugados
( a + b + c ) ( a + b + c ) =
Álgebra
Binomios conjugados
( a + b + c ) ( a – b – c ) =
Álgebra
Binomios conjugados
( x + y + 2 ) ( x + y – 2 ) =
Álgebra
Binomios conjugados
( x + y + 2 ) ( x + y – 2 ) =
Álgebra
Binomios conjugados
( x + y + 2 ) ( x + y – 2 ) =
Álgebra
Binomios conjugados
Productos Notables
(a+b)(a–b)  a2 – b2
múltiplos  términos sueltos
Factorización
a2 + 5a + 6  (a+3)(a+2)
términos sueltos  múltiplos
Álgebra
Factorización
Factorizar es crear múltiplos
Factorización
x2 + 7x + 10  (x+5)(x+2)
términos sueltos  múltiplos
Álgebra
Factorización
Factorizar es crear múltiplos
Factorización
x2 + 7x + 10  (x+5)(x+2)
términos sueltos  múltiplos
Álgebra
Factorización
Factorizar es crear múltiplos
Factorización
x2 + 7x + 10  (x+5)(x+2)
términos sueltos  múltiplos
Álgebra
Factorización
x3 + x2 + x = (x)(x2+x+1)
factor Todos los términos
factor común
común
Álgebra
Factor común
a6b3c + a4bc2 + a5b =
Álgebra
Factor común
( ) ( )
a6b3c + a4bc2 + a5b =
Álgebra
Factor común
( ) ( )
a6b3c + a4bc2 + a5b =
x3y4z + x4y5z + x2y5z
(a4b) (a2b2c + c2 + a)
(x2y4z) (x + x2y + y)
Álgebra
Factor común
a6b3c + a4bc2 + a5b =
x3y4z + x4y5z + x2y5z
Álgebra
Factor común
ax + bx + cx + dx
Álgebra
Factor común
x3y4z + x4y5z + x2y5z
Álgebra
Factor común
2x3y2z + 4x4y5 + 6x2y3z
Álgebra
Factor común
( ) ( )
2x3y2z + 4x4y5 + 6x2y3z
Álgebra
Factor común
ay + by + 2a + 2b
Álgebra
Factor común
3x + 3y + ax + ay
Álgebra
Factor común
x2
+ 7x + 10
Álgebra
Trinomio cuadrado
x4 + 8x2 + 7 =
x2 + 3x + 2 =
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + 3x + 2 =
x4 + 6x3 + 8 =
x6 – 3x3 – 4 =
x – 2 x + 1 =
a2 – 3ab – 10b2 =
x5 + 3x + 2 =
x4 + 6x5 + 8 =
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + 5x + 6 = ( + )( + )
x2 – 6x + 9 = ( )( )
x8 – 6x4 – 7 = ( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + 6x + 8 = ( + )( + )
x2 – 5x + 4 = ( )( )
x8 – 3x4 – 10 = ( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
( )( )
x – 2 x + 1 =
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 – 6x + 9 = ( ? )( ? )
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 – 6x + 9 = ( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 – 8xy + 7y2 = ( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
( )( )
x2 +13xy + 30y2 =
a2 – 3ab – 10b2 =
a2 + 2ab + b2 =
( )( )
( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
x8
+ 3x2
+ 2
x8
+ 3x4
+ 2
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + x – 12 =
Hay que
buscar 2
números
(x + 4)(x – 3)
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + 5x + 6 = ( + )( + )
x2 – 6x + 9 = ( )( )
x8 – 6x4 – 7 = ( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 – 6x + 9 = ( ? )( ? )
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 – 6x + 9 = ( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
( )( )
x – 2 x + 1 =
a2 – 3ab – 10b2 =
a2 + 2ab + b2 =
( )( )
( )( )
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + 6x + ____
x2 + 8x + ____
x2 + 10x + ____
x2 + 14x + ____
x2 + 2x + ____
Álgebra
¿Cómo completar un TCP?
x2 + 4x + ____
x2 + 12x + ____
x2 + x + ____
x2 + 7x + ____
Álgebra
¿Cómo completar un TCP?
x2 + ax + ____
x2 +
𝟏
𝟐
x + ____
x2 +
𝐚
𝐛
x + ____
Álgebra
¿Cómo completar un TCP?
x2 + 2ax + a2
– 4
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + 2ax + a2
– 4
Álgebra
Trinomio cuadrado
x2 + 2xy + y2
– z2
Álgebra
Trinomio cuadrado
Álgebra
- Cualquier resta se puede factorizar
- Sólo sacas raíz cuadrada de los 2 términos y los
conjugas (+)(–).
Diferencia de cuadrados
a2 – b2 = ( + )( – )
Álgebra
Diferencia de cuadrados
x– 5 =
x6 – 3 =
Álgebra
Diferencia de cuadrados
x4 – 16 =
4a2b4 – 7 =
Álgebra
Diferencia de cuadrados
x2 + 5x + 6 =
2x4 + 5x2 + 2 =
Álgebra
Trinomio al cuadrado con coeficiente
x4 + 5x2 + 6 =
2x4 + 5x2 + 2 =
Álgebra
Trinomio al cuadrado con coeficiente
x4 + 5x2 + 6 =
2x4 + 5x2 + 2 =
Álgebra
Trinomio al cuadrado con coeficiente
2x2 + 5x + 2 =
4x
x
Sólo hay que checar la panza
(2x + 1)(x + 2)
Álgebra
Binomio al cuadrado con coeficiente
2x2 + 7x + 3 = ( )( )
Álgebra
Trinomio al cuadrado con coeficiente
3x2 – 2x – 1 = ( )( )
Álgebra
Trinomio al cuadrado con coeficiente
4x2 + 8x – 5 = ( )( )
Álgebra
Trinomio al cuadrado con coeficiente
2x2 + 3x – 2 =
5x2 + 11x + 2 =
Álgebra
Trinomio al cuadrado con coeficiente
a3+b3 =
Álgebra
Suma y resta de cubos
a3-b3 =
Álgebra
Suma y resta de cubos
n3
–8
Álgebra
Suma y resta de cubos
a3 – 27 =
Álgebra
Suma y resta de cubos
8b9 + 1 =
1 – p3=
Álgebra
Suma y resta de cubos
Factor común:
Diferencia de cuadrados
Trinomio cuadrado
Trinomio cuadrado con
coeficiente
3xy+4x+5x
x – 9
x2
+ 5x + 6
2x2
+ 3x + 1
Suma y resta de
cubos x3 + 8
Álgebra
Repaso de factorizaciones
2x2
+ 10x + 12
Álgebra
Repaso de factorizaciones
5x2
– 125
Álgebra
Repaso de factorizaciones
La simplificación es cancelar múltiplos
(múltiplo)(múltiplo)(multiplo)
(múltiplo)(múltiplo)
= (múltiplo)
abc
bd
=
ac
d
abc
b+d
=
ac
d
a+b
a
= b
Álgebra
Simplificación algebraica
La simplificación es cancelar múltiplos
(múltiplo)(múltiplo)(multiplo)
(múltiplo)(múltiplo)
= (múltiplo)
abc
bd
=
ac
d
abc
b+d
=
ac
d
a+b
a
= b
Álgebra
Simplificación algebraica
La simplificación es cancelar múltiplos
(múltiplo)(múltiplo)(multiplo)
(múltiplo)(múltiplo)
= (múltiplo)
abc
bd
=
ac
d
abc
b+d
=
ac
d
a+b
a
= b
Álgebra
Simplificación algebraica
La simplificación es cancelar múltiplos
(múltiplo)(múltiplo)(multiplo)
(múltiplo)(múltiplo)
= (múltiplo)
abc
bd
=
ac
d
abc
b+d
=
ac
d
a+b
a
= b
Álgebra
Simplificación algebraica
(𝟐𝐚)(𝟑𝐚)
(𝐱)(𝟑𝐚)
Álgebra
Simplificación algebraica
𝟐𝐚 𝟑𝐚 + 𝟏
(𝐱)(𝟑𝐚)
Álgebra
Simplificación algebraica
𝐱𝟐 + 𝟔𝐱 + 𝟓
𝐱 + 𝟓
Álgebra
Simplificación algebraica
𝐱𝟐 + 𝟒𝐱 + 𝟒
𝒙𝟐 − 𝟒
Álgebra
Simplificación algebraica
𝐱𝟐 − 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟐
Álgebra
Simplificación algebraica
𝟑𝐱𝟐 − 𝟐𝟑𝒙 − 𝟖
𝒙𝟐 − 𝟔𝟒
Álgebra
Simplificación algebraica
𝐱𝟐
− 𝟐𝒙 + 𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏
Álgebra
Simplificación algebraica
𝐱𝟐
− 𝒚𝟐
𝒙𝟐 + 𝒙𝒚
𝐱𝟐
− 𝟏
𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟗
𝐱𝟐
+ 𝟐𝐱 + 𝟏
𝐱 + 𝟏
÷
𝐱𝟐
+ 𝟑𝐱 + 𝟐
𝐱 + 𝟐
Álgebra
Simplificación algebraica
𝐱𝟐
− 𝟐𝟓
𝐱 + 𝟓 𝐱 + 𝟓
Álgebra
Simplificación
𝐱 + 𝟐
𝐱 + 𝟐
Álgebra
Simplificación algebraica
Álgebra
Simplificación algebraica
𝒂 − 𝒃
𝒂 − 𝒃
Álgebra
Simplificación algebraica
𝟑
𝒙 − 𝟓
Álgebra
Simplificación algebraica
𝟓𝒙 + 𝟏
𝟐 − 𝟑
Álgebra
Simplificación algebraica
𝟕𝒙
𝒙 + 𝟒
3x + 1 = 2x + 7
Equipo 1 Equipo 2
4x = 8
Equipo 1 Equipo 2
Álgebra
Ecuaciones
¿Cómo sustituir valores?
3x + 1 = 2x + 7
Sustituye x=6
Álgebra
Ecuaciones
¿Cómo sustituir valores?
3x + 1 = x + 8
Sustituye x=3
___ = ___
¿Cómo quedan los
equipos?
Sí o No
¿Es una ecuación?
Álgebra
Ecuaciones
¿Cómo sustituir valores?
5x + 2 = 2 – x
Sustituye x=0
Álgebra
Ecuaciones
22x-1
= 8
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
Álgebra
Ecuaciones
(3)xx-1
= 3
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
Álgebra
Ecuaciones
3x3
+ 7x2
+ 2x4
= 20x
Álgebra
Tipos de ecuaciones
3x + 1 = 4
2x + 1 = 3x2
3x3
– x2
= 0
Ecuación de
primer grado
Ecuación de segundo
grado
Ecuación de tercer
grado
Álgebra
Tipos de ecuaciones
x3
+ x2
= 3x4
8x + x3
= 9x2
x3
– x8
= 0
Álgebra
Tipos de ecuaciones
x2
(x3
+ 1) = x4
x + 2 = 5
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
1 Debes dejar libre y despejada a la incógnita
“x”. El chiste de la ecuación es que quede
“sola” en el equipo 1 o en el 2.
x = 5 – 2
x + 2 = 5
La “x” está sola en
el equipo 1.
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
2 Debes quitar todo lo que le “estorbe” a
la incógnita “x”.
x2
– 5 = 2
2
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
3 Los “estorbos” los pasas al otro equipo con
operación contraria. Si está sumando, pasa
restando. Si está multiplicando, pasa
dividiendo.
x + 2 = 5
x
2
= 3
x = 5 – 2
x = 3(2)
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
4 Cuando cambias a algún término de equipo,
siempre pasa afectando a todos los miembros
de su nuevo equipo.
= x+1
3x
2
3x = 2(x+1)
El “2” debe
multiplicar a TODO “el
equipo 2”.
3x = 2x+1
Este es un error común. El
“2” debe multiplicar a
todo el equipo “2”. (x+1)
Error
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
5 Si tienes varias incógnitas (“x”) iguales, júntalas en un
solo equipo y súmalas. Esto sirve para que te quedes
con sólo una “x”.
6x + 1 = 3x + 2x + 5
6x – 3x – 2x = 5 – 1
x = 4
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
6 Si tienes una ecuación con fracciones, quita la
fracción. Lo que divide pasa multiplicando. Es
más cómodo trabajar sin fracciones.
𝟏
𝟐𝐱 + 𝟏
=
𝟐
𝟕𝒙 − 𝟏
1 (7x–1) = 2 (2x+1)
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
x + 2 = 3 x + y = 2
Ecuación de primer
grado con 1 incógnita
(x)
Ecuación de primer grado
con 2 incógnitas (x, y).
Álgebra
Ecuaciones de primer grado
x + 2 = 3
¿Cuánto vale x”?
Equipo 1 Equipo 2
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
x + 2 = 3
¿Cuánto vale x”?
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
5x+2 =3
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
5(x+2) = 3
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
(x+2)
2
5
= 5
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
8 – x
x
=
3
5
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
𝐱 + 𝟏 + 𝟏
𝟒
𝟐
= 𝟒
𝟓
𝐱 + 𝟑
=
𝟐
𝟑𝐱 − 𝟒
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
𝐱 + 𝟏 + 𝟏
𝟒
𝟐
= 𝟒
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
𝟓
𝐱 + 𝟑
=
𝟐
𝟑𝐱 − 𝟒
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
𝟐𝐱𝟐 + 𝐱 − 𝟏
𝐱 + 𝟏
=
𝐱𝟐 − 𝟗
𝐱 − 𝟑
Álgebra
Ecuaciones con 1 incógnita
𝐬𝐞𝐧(𝐱) =
co
hip
Despeja “hip”:
Álgebra
Despejes
tan(x)=
co
ca
Despeja “co”:
Álgebra
Despejes
𝐞 =
(Vo+Vf)
2
●t
Despeja “Vf”:
Álgebra
Despejes
𝐝 = 𝐕𝐢𝐭 +
𝐚𝐭𝟐
𝟐
Despeja “a”:
Álgebra
Despejes
𝐝 = 𝐕𝐢𝐭 +
𝐚𝐭𝟐
𝟐
Despeja “a”:
Álgebra
Despejes
𝐝 = 𝐕𝐢𝐭 +
𝐚𝐭𝟐
𝟐
Despeja “a”:
Álgebra
Despejes
𝐝 = 𝐕𝐢𝐭 +
𝐚𝐭𝟐
𝟐
Despeja “a”:
Álgebra
Despejes
𝐝 = 𝐕𝐢𝐭 +
𝐚𝐭𝟐
𝟐
Despeja “a”:
𝐝 −𝐕𝐢 𝐭 =
𝐚𝐭𝟐
𝟐
Álgebra
Despejes
𝐝 −𝐕𝐢 𝐭 =
𝐚𝐭𝟐
𝟐
Despeja “a”:
Álgebra
Despejes
Álgebra
Repaso
𝑥2
+ 𝑥 + 1
𝑥3 − 1
𝑥 − 1
2𝑥2 − 3𝑥 + 1
Álgebra
Repaso
3𝑥
5
+
𝑥
2
= 𝑥 − 1
𝑤 =
𝑘𝑥2
2
+ 1
Despeja x
5x + 2y = 1
-3x +3 y = 5
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
x + 3y = 6
5x - 2y = 13
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
2x + 3y = 12
x – y = 1
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
x + y = 2
y – x = 2
a) x=2, y=0
b) x=1, y=1
c) x=0, y=2
d) x=-1, y=-1
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
3x + 2y = 3
-x + 5y = 16
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
3x + y = 13
2x - 7y = -7
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
x + y + z = 12
2x – y + z = 7
x + 2y – z = 6
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
x + y = 2
y – x = 2
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
x
1
2
3
-3
-2
-1
1 2 3
-3 -2
y
-1
x
1
2
3
-3
-2
-1
1 2 3
-3 -2
y
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
-1
𝟔𝐱 + 𝟏𝟖
𝐱𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟒
=
𝐀
𝐱 + 𝟏
+
𝐁
𝐱 + 𝟒
Álgebra
Ecuaciones con fracciones parciales
𝟑𝐱 + 𝟕
𝐱𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟔
=
𝐀
𝐱 + 𝟑
+
𝐁
𝐱 + 𝟐
Álgebra
Ecuaciones con fracciones parciales
x2
+ 2x = 3
Álgebra
Resolución por factorización
x2
= 9
Álgebra
Resolución por factorización
2x2 + 3x + 1 = 0
Álgebra
Resolución por factorización
x2 = 2 + x
Álgebra
Resolución por factorización
2x2
+ 3x = 2
9x2
- 4 = 0
x2
+ ax + bx + ab = 0
Álgebra
Resolución por factorización
2x2
- 4ax + bx - 2ab = 0
Álgebra
Resolución por factorización
3 + x2
= 5 - 4x
Álgebra
Resolución por fórmula general
𝐱 =
−𝐛 ± 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
3 + x2
= 5 - 4x
Álgebra
Resolución por fórmula general
x2 = 2 – 2x 𝐱 =
−𝐛 ± 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
Álgebra
Resolución por fórmula general
x2 – 2x – 15 = 0 𝐱 =
−𝐛 ± 𝐛𝟐 − 𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
Álgebra
Resolución por fórmula general
Suma de 2 números cualquiera:
El producto de 2 números cualquiera:
Resta de 2 números cualquiera:
El cociente de 2 números cualquiera:
x
y
xy
x–y
x+y
Álgebra
Lenguaje algebraico
¿Cuántos años de edad tenías hace 5
años?
La suma de 2 números consecutivos:
¿Cuántos años de edad tendrás en 7
años?
La suma de 3 números
consecutivos:
x+(x+1)+(x+2)
x+(x+1)
x+7
x–5
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Lenguaje algebraico
El doble de un número:
a) x b) 2x c) x2
La cuarta parte de un número:
a)
𝐱
𝟒
b) 4x c) x4
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Lenguaje algebraico
3x + 2y = 7
4x - 3y = -2
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Ecuaciones con 2 incógnitas
Álgebra
Ecuaciones con 2 incógnitas
𝑥 + 3𝑦
2
= 5
4 −
2𝑥 − 𝑦
2
= 1
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Ecuaciones con 2 incógnitas
2𝑥2
− 7𝑥 + 3 = 0
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Ecuaciones con 2 incógnitas
𝑥2
− 4𝑥 + 7 = 0
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Si al doble de un número se le resta su mitad
resulta 54. ¿Cuál es el número?
Problemas con ecuaciones
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Juan acaba de cobrar su sueldo. Se gastó $600 en
pagar una deuda. Luego su hermano rico le prestó
el doble del sueldo de Juan. Finalmente, Juan
decidió gastarse la mitad de lo que tenía en
despensa y se quedó con $1200. ¿Cuál es el sueldo
de Juan?
Problemas con ecuaciones
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Un padre tiene 30 años y su hijo, 10. ¿Cuántos años
han de transcurrir para que la edad del padre sea el
doble que la del hijo?
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de hombres y triple número de niños que de
hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres,
mujeres y niños hay si la reunión la componen 96
personas?
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perímetro mide 16 cm y que su base es el triple de
su altura?
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Una granja tiene pavos y cerdos, en total hay 58
cabezas y 168 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?
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Una familia tiene 3 integrantes (Pepe, Juan y María).
Pepe tiene el doble de la edad de Juan menos 2
años y Juan tiene el triple de la edad de María.
¿Cuántos años tiene cada integrante de la familia?
Pepe Juan María
a) 40 20 5
b) 42 21 7
c) 48 24 8
d) 40 21 7
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