3. 3
Contenido
INTRODUCCION ..............................................................................................5
ANTECEDENTES .............................................................................................5
CONSIDERACIONES TEORICAS....................................................................6
Elemento de marco tridimensional.................................................................6
Desplazamientos axiales ...............................................................................7
Desplazamientos por torsión .........................................................................8
Desplazamientos por flexión en el plano x y................................................12
Desplazamientos por flexión en el plano x z................................................14
Matriz de rigidez del elemento.....................................................................15
Matriz de rigidez en direcciones globales ....................................................16
Matriz de transformación .............................................................................19
Expresión para [λ1].....................................................................................21
Expresión para [λ2].....................................................................................24
Nota para la transformación.........................................................................25
EJEMPLO UNO...............................................................................................27
EJEMPLO DOS...............................................................................................36
6. 6
permite resolver problemas de una manera fácil y clara dando transparencia al
procedimiento teórico.
CONSIDERACIONES TEORICAS
Elemento de marco tridimensionali
Un elemento de marco tridimensional es una barra recta de sección transversal
uniforme que es capaz de resistir fuerza axial, momentos por flexión alrededor
de sus dos ejes principales en el plano de su sección transversal y momento
torsional alrededor de su eje axial. Los grados de libertad de los
desplazamientos correspondientes se muestran en la figura 1-a.
Se puede ver que la matriz de rigidez de un elemento de marco tridimensional
será del orden de 12 x 12. Si los ejes locales (sistema x y z) se eligen de tal
manera que coincida con los ejes principales de la sección transversal, es
posible construir la matriz de rigidez de 12 x 12 de las sub-matrices 2x2 y 4x4.
De acuerdo a la teoría de la ingeniería de la flexión y la torsión de las vigas, los
7. 7
desplazamientos axiales q1 y q7 dependen solo de la carga axial y los
desplazamientos torsionales q4 y q10 dependen solo de los momentos
torsionales. Sin embargo, para una elección arbitraria del sistema de
coordenadas x y z, los desplazamientos por flexión en el plano x y,
específicamente q2, q6, q8 y q12, dependen no solo de las fuerzas de flexión
que actúan en ese plano (las fuerzas de corte actúan en la dirección del eje y y
los momentos por flexión actúan en el plano x y), sino también sobre las fuerzas
de flexión que actúan en el plano x z. Por otro lado, si los planos x y y x z
coinciden con los ejes principales de la sección transversal, los desplazamientos
por flexión y las fuerzas en los dos planos se pueden considerar independientes
uno de otro.
Se elige el sistema de coordenadas x y z para hacer coincidir los ejes
principales de la sección transversal con el eje x que representa el eje axial del
miembro en estudio. De tal manera que los desplazamientos se separen en
cuatro grupos, los cuales se pueden considerar independientes uno de otro.
Primero se considera la matriz de rigidez que corresponde a cada uno de los
conjuntos de desplazamientos y luego se obtiene la matriz de rigidez total de
cada elemento por superposición.
Desplazamientos axiales
Los desplazamientos nodales son q1 y q7 (figura 1-b) el modelo de
desplazamientos lineales produce una matriz de rigidez (que corresponde a los
desplazamientos axiales) como
8. 8
Donde A, E y L son el área de la sección, el módulo de Young y la longitud del
elemento respectivamente. Los elementos de la matriz [ka
(e)
] identifican los
grados de libertad q1 y q7
Desplazamientos por torsión
Aquí los grados de libertad (desplazamientos por torsión) están dados por q4 y
q10 como se ve en la figura 1-c. Suponiendo una variación lineal de los
desplazamientos por rotación o ángulo de torsión (alrededor del eje x), el modelo
de desplazamientos se puede expresar como
9. 9
Donde
Y
Suponiendo que la sección transversal del elemento es circular, la deformación
por corte inducida en el elemento se puede expresar como
10. 10
Donde r es la distancia de la fibra al eje del centroide del elemento, es decir la
relación deformación desplazamiento, ya que no hay efectos térmicos se
expresa, como
Donde
De la ley de HOOKE, la relación esfuerzo deformación se expresa como
Donde
11. 11
Y G es el módulo de cortante del material. La matriz de rigidez del elemento
correspondiente a los grados de libertad de los desplazamientos por torsión se
derivan de
J es el momento polar de inercia de la sección, que se puede re escribir,
suponiendo que la sección transversal de la sección sea uniforme, como
La cantidad GJ/L se llama rigidez torsional del elemento. Si la sección
transversal del elemento es rectangular como se muestra en la figura 2, la
rigidez torsional está dada por
12. 12
El valor de la constante c está dada por la tabla siguiente:
a/b 1.0 1.5 2.0 3.0 5.0 10.0
Valor de c 0.141 0.196 0.229 0.263 0.291 0.312
Desplazamientos por flexión en el plano x y
Los cuatro grados de libertad son q2, q6, q8, q12 figura 1-d y su correspondiente
matriz de rigidez se deriva como (Ver derivación en proyecto ii
)
14. 14
Donde Izz
Es el momento de inercia alrededor del eje z
Desplazamientos por flexión en el plano x z
Los cuatro grados de libertad son q2, q6, q8, q12 figura 1-e y su correspondiente
matriz de rigidez se deriva como (Ver deducción en proyecto iii
)
15. 15
Donde Iyy
es el momento de inercia alrededor del eje y
Matriz de rigidez del elemento
La matriz de rigidez derivada de los diferentes conjuntos de desplazamientos
independientes se pueden superponer para obtenerla matriz de rigidez total de
un elemento en el espacio, como
16. 16
Matriz de rigidez en direcciones globales
La matriz de rigidez de anterior está en un sistema de coordenadas locales x y
z. figura 3
17. 17
Los desplazamientos en los sistemas locales y globales se relacionan por medio
de
La matriz de transformación se puede identificar como
19. 19
Denotan los cosenos directores del eje y
Denotan los cosenos directores del eje z
La matriz de rigidez del elemento con respecto al sistema de coordenadas
globales se obtiene con:
Matriz de transformación
La derivación de la matriz de transformación entre los sistemas de coordenadas
local y global se realiza en dos etapas, en la primera etapa se deriva una matriz
de transformación [λ1] entre las coordenadas globales X Y Z y las coordenadas
x1 y1z1, considerando que z1 es paralelo al plano XZ: figura 4
20. 20
En la segunda etapa, se deriva una matriz de transformación [λ2] entre el
sistema de coordenadas locales x y z y el sistema x1 y1 z1 como
21. 21
Suponiendo que el sistema de coordenadas local x y z se obtiene rotando el
sistema x1 y1 z1 alrededor del eje x1 en un ángulo alfa α. Por lo que la
transformación que se busca entre el sistema x y z y el X Y Z se obtiene como
Donde
Expresión para [λ1]
De la figura 912.a los cosenos directores del eje longitudinal del elemento
espacial (x1 o x o el primer eje local) se obtiene con
22. 22
Que son igual para x1, y1, z1 y x y z
Donde
Representan de la geometría y las coordenadas en el sistema Global el nudo
Final y el Inicial de cada miembro. L representa la longitud del elemento e y se
obtiene con
Como el vector unitario ̅
⃗ (que es paralelo al eje z1) es normal a ambos, al
vector unitario (paralelo al al eje Y) e (paralelo al eje x1), del análisis vectorial
tenemos que
̅
⃗ ⃗
⃗
‖⃗
⃗ ‖
[
⃗
⃗
] ⃗
⃗
23. 23
Donde
Por lo que los cosenos directores del eje z1 con respecto al sistema global XYZ
están dados por
Para encontrar los cosenos directores de y1, se usa la condición que el eje y1
(es decir el vector unitario ) es normal al eje x1 ( ̅
⃗ ) y el eje z1 (̅
⃗ ). Por lo que
se expresa ̅ como
( ̅
⃗
⃗ ) ̅
⃗⃗⃗ ( ̅
⃗ ) |
⃗
⃗
|
⃗
⃗
Por lo que los cosenos directores del eje y1 están dados por
24. 24
Asi que la matriz [ ] esta dada por
[ ]
[ ]
Expresión para [λ2]
Cuando los ejes de la sección principal del elemento espacial (ejes x y z) son
arbitrarios forman un angulo α con los ejes x1 y1 z1 (aquí el eje x es el mismo
que x1), la transformación entre los dos sistemas se puede expresar como
{ } [ ] { } [ ] { }
Y
[ ] [ ]
25. 25
La transformación entre los sistemas de coordenadas globales XYZ y xyz se
encuentran con la ecuación
Nota para la transformación
a. Cuando α es igual a cero, la matriz [ ] se hace la matriz unitaria
b. Cuando el elemento espacial es vertical ( cuando x o x1 coincide con el
eje Y), = =0 y por lo tanto d también es cero. Esto hace que
algunos términos de la matriz [ ] sea indeterminados. figura 5
26. 26
En este caso se redefine la el ángulo α en el plano horizontal XZ entre el eje Z y
el z, positivo cuando gira del Z hacia el eje X. En este caso la matriz se puede
derivar con el mismo procedimiento, como
[ ] [ ]
Donde =1 para este caso.
27. 27
EJEMPLO UNO
Marco formado por tres miembros y una carga uniforme en el miembro 2
M es matriz de miembros
J es la matriz de coordenadas de los nudos
D es la matriz de los desplazamientos por nudo
36. 36
EJEMPLO DOS
VER ANEXO
DIBUJOS: Alejandro Avila Peralta
REFERENCIAS
i
Rao singiresu s. Teh finite element Method in engineering, cap 9.4
ii ANALISIS DE VIGAS CON EL METODO DEL ELEMENTO FINITO BEAM-FEM, TEP-IC-2012-
102 Director Responsable: Ing. José Haro Hernández
37. 37
iii ANALISIS DE VIGAS CON EL METODO DEL ELEMENTO FINITO BEAM-FEM, TEP-IC-2012-
102 Director Responsable: Ing. José Haro Hernández
