Análisis avanzado de estructuras.pptx

ANALISIS AVANZADO DE ESTRUCTURAS Y
TEORIA DE ELEMENTOS FINITOS
Ph. D Ing. YINA FERNANDA MUÑOZ MOSCOSO
E-mail: ymunoz20@cuc.edu.co
Oficina 5306, Bloque 5 – Piso 3

Análisis Estructural
Estudia el comportamiento de las estructuras
sometidas a las diferentes solicitaciones tales
como: las cargas muertas, las cargas vivas, los
efectos sísmicos, y las fuerzas de viento, entre
otras.
Tiene como objetivo determinar las fuerzas,
esfuerzos, momentos, desplazamientos y
deformaciones en toda la estructura, definiendo la
distribución de las fuerzas y momentos internos, o
de los esfuerzos, deformaciones y
desplazamientos, de toda o parte de la estructura.
En resumen el análisis de estructuras busca
establecer las condiciones de resistencia y rigidez
de las estructuras analizadas a través de la
Resistencia de Materiales y de la Teoría de la
Elasticidad.

Tipos de Estructuras
Sistema
Apórticado
Sistema tipo Viga Sistema tipo Cercha

Cálculo Matricial
El concepto de Matriz viene de los lenguajes de programación y de la necesidad de trabajar
con varios elementos de forma rápida y cómoda. Podríamos decir que una matriz es una serie
de elementos formando filas (matriz bidimensional) o filas y columnas (matriz tridimensional).
En el calculo matricial para estructuras consideraremos que nos movemos siempre dentro de
la zona elástica del diagrama tensión-deformación, por lo que trabajaremos en el campo
elástico.
El calculo matricial agrupa toda la información en matrices que relacionan todas las variables:
cargas propiedades mecánicas, desplazamientos conocidos y genera una solución automática
a través de programas o softwares.

Método de Rigidez o Método de los desplazamientos
Todo cuerpo elástico que sea sometido a fuerzas externas, ya sean estáticas o dinámicas, sufre
una deformación. La rigidez se define como la relación entre estas fuerzas externas y las
deformaciones que ellas inducen en el cuerpo. El caso más simple corresponde a un resorte
helicoidal, como el que se muestra esquemáticamente en la Figura 1-2(a).
Cuando el resorte se estira debido a la aplicación de
una fuerza P en uno de sus extremos, estando el
otro extremo adherido a un apoyo, las
deformaciones son resistidas por medio de un
trabajo interno que está asociado con la magnitud
de la deformación del extremo libre. La relación
entre la fuerza que resiste el resorte y la
deformación entre sus extremos tiene la forma
mostrada en la Figura 1-2(b).
La rigidez es, por lo tanto, la relación entre las
fuerzas y los desplazamientos y usualmente se
denomina por medio de la letra k.

Método de Elementos Finitos
Es una extensión del método de Rigidez, ya que requiere subdividir la estructura en
elementos discretos y sus extremos definidos como nodos.
La premisa básica es que una región de solución puede ser modelada analíticamente
reemplazándola con un arreglo de elementos discretos. Esto permite reducir un número
infinito de incógnitas del problema a uno con un número finito de incógnitas.

Grados de Libertad
Los elementos están unidos por nudos, los cuales tienen distintas propiedades según las
solicitaciones que se necesiten estudiar. Los nudos tienen la propiedad de desplazarse y
rotar y es a los nudos donde llega toda la carga de la estructura.
Las direcciones en las que cada nudo es capaz de rotar y girar
son conocidas como grados de libertad del nudo. En el caso
más general en el espacio tridimensional un nudo es capaz de
rotar en tres direcciones y también de desplazarse en tres
direcciones.

Grados de Libertad
Cercha
Vigas
Pórtico

Conceptos Generales
Matriz de rigidez local
• Elemento tipo cercha
Un elemento tipo cercha (Figura abajo) solo presentará fuerzas axiales internas siempre y cuando
las cargas externas sean aplicadas en los nudos de la cercha y los apoyos sean rotulados para que
no se desarrollen momentos flectores.

Para el elemento en la anterior diapositiva mostrado, se tiene la siguiente matriz de rigidez :
Dónde:
A: es el área de la sección transversal del elemento
E: módulo de elasticidad del material
L: longitud del elemento
Conceptos Generales

Conceptos Generales
Para facilitar las operaciones matriciales en el presente texto, la numeración de los grados de
libertad (gdl) para el elemento y la matriz de rigidez local se representan de manera
numérica (Observar Figura).

• Elemento tipo viga
La matriz de rigidez de un elemento viga (Figura abajo) sin consideración de la rigidez axial
es la presentada:
Conceptos Generales
Dónde:
Iy: es el momento de inercia de la sección transversal del elemento con respecto al eje y, para este sistema de referencia.

Conceptos Generales
La matriz de rigidez local se representa de manera numérica :

Conceptos Generales
• Elemento tipo pórtico
La matriz de rigidez de un elemento tipo pórtico (Figura abajo ) sin la consideración por aportes
de cortante, es la siguiente:

Conceptos Generales
Matriz de transformación de coordenadas
La matriz de rigidez de toda la estructura será en las coordenadas globales establecidas X, Y y Z, por
lo tanto es necesario rotar el sistema coordenado local de cada elemento al global. Para este fin, se
dará uso de la matriz de transformación de coordenadas obtenida de la siguiente figura:

Conceptos Generales
Matricialmente se obtiene
Dado que el ángulo de giro alrededor del eje Y no se ve afectado por la rotación del sistema, se concierne que el
giro del eje local coincide con el global, de esta manera se afecta la matriz de rotación con esta nueva identidad
(caso elemento de pórticos).

Conceptos Generales
Despejando en coordenadas locales, resulta
Se obtiene entones la matriz de rotación del sistema

Conceptos Generales
Matriz de rotación: La matriz de rotación con los 6 grados de libertad para un elemento tipo
pórtico, será:

La matriz de rotación para un elemento tipo cercha será:
Conceptos Generales
Para los elementos tipo viga la matriz de
rigidez local coincidirá siempre con la global
ya que este tipo de elementos por lo general
no tienen inclinación, es decir el ángulo será
igual a 0 por lo tanto no será necesario aplicar
la matriz de transformación de coordenadas.

Matriz de rigidez global de los elementos
Conceptos Generales
La matriz de rigidez global de un elemento está dada por:
K global= [T’]*[K local]*[T]
Dónde:
[T]: es la matriz de rotación del sistema
[T’]: es la transpuesta de T
[k local ]: es la matriz de rigidez local del elemento en estudio.

EJERCICIOS-EJEMPLOS
Elemento tipo Cercha:
Ejercicio 1- Cercha asimétrica con elementos inclinados:
Para la cercha mostrada en la figura,
determine el desplazamiento horizontal y
vertical en el punto D y la fuerza interna del
elemento AC, Considere A=1 cm2 y E=200 000
Mpa.
A=0,0001 m2
E=200 000 000 kPa

Ejercicio 1
• Numeración de los grados de libertad y elementos de la cercha
La numeración de los grados de libertad
en una estructura será arbitraria, pero los
que estén asociados a las restricciones
cinemáticas (reacciones), deberán estar
agrupados preferiblemente al inicio o al
final de la numeración para facilitar el
desarrollo de las operaciones matriciales.

Ejercicio 1
Se deben determinar las longitudes de cada uno de los elementos de la cerca y sus ángulos
respecto al elemento em posición local. Los ángulos son medidos desde el eje global x
positivo hasta el eje local longitudinal positivo del elemento (anti horario).

Ejercicio 1
• Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha

Ejercicio 1
• Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha
La matriz de rigidez local de un elemento cercha expresando sus grados de libertad numéricamente:

Ejercicio 1
Remplazando los valores de área, longitud y módulo de elasticidad de los elementos se obtiene la
matriz de rigidez local de los elementos.
Elemento 1
Angulo de rotación 135° (2,36 rad).

Ejercicio 1
Asociando la rigidez a axial (EA/L) en kN/m a la Matriz de rigidez en coordenadas locales se
obtiene:
Para un Angulo de rotación de 135° medido desde
el eje global X positivo al eje longitudinal del
elemento (antihorario) y sustituyéndolo en la
matriz de transformación de coordenadas para un
elemento cercha, se obtiene

Ejercicio 1
Realizando la operación matricialmente K global = [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento
(girado los 135°), la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados

Ejercicio 1
Elemento 2
Angulo de rotación 63,43° ( 1,10 rad).
Matriz de rigidez en coordenadas locales kN/m será

Ejercicio 1
Matriz de rotación para 63,43°
Matriz de rigidez global del elemento 2:

Ejercicio 1
Elemento 3
Angulo de rotación 116,56° (2,03 rad).
Matriz de rigidez con coordenadas locales en kN/m

Ejercicio 1
Matriz de rigidez global del elemento 3 en kN/m

Ejercicio 1
Elemento 4
Matriz de rigidez local en kN/m

Ejercicio 1
Matriz de rotación para 90°
Matriz de rigidez en coordenadas
globales del elemento 4 en kN/m

Ejercicio 1
Elemento 5

Ejercicio 1
Matriz de rigidez en coordenadas
globales del elemento 5 en kN/m

Ejercicio 1
Matriz de rigidez de la cercha
Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura, se tendrá en cuenta que la rigidez
concentrada en un nodo es la suma de las contribuciones de la rigidez de todos los elementos
estructurales conectados a tal nodo, por lo tanto se suma la rigidez que aporta cada elemento de su
matriz de rigidez global, al final esta será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de libertad
establecidos en la numeración de la estructura, es decir matriz de K8x8.
Ejemplo:
K1,2= (K1,2) e1 + K1,2 e2 + K1,2 e3 + K1,2 e4 + K1,2 e5 K1,2= (0,0) + (3578) + (0,0) + (0,0) + (1141)
K1,2= 4720 kN/m
K 8, 5= K 8, 5 e1 + K 8, 5 e2 + K 8, 5 e3 + K 8, 5 e4 + K 8, 5 e5 K 8, 5= 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00 + 0,00
K 8, 5= 0,00 kN/m
K 8, 7= K 8, 7 e1 + K 8, 7 e2 + K 8, 7 e3 + K 8, 7 e4 + K 8, 7 e5 K 8, 7= 0,00 + 0,00 + (-1788,67)
+ (0,00) + 1141,43
K 8, 7= -647,24 kN/m

Ejercicio 1
De esta manera se suman todas las rigideces que aportan cada elemento y se ensambla la matriz
de rigidez de toda la estructura.
Matriz de rigidez global de la cercha
Los grados de libertad entre 1 y 4, están asociados a las fuerzas desconocidas de la cercha y sus desplazamientos serán 0, la
matriz esta en unidades de kN/m.

Ejercicio 1
Vector de fuerzas actuantes en la cercha (F) en kN
Solo en el grado de libertad 8 existe una fuerza
externa, por lo tanto los otros grados de libertad
donde se presentaran desplazamiento no hay fuerzas
externas, las fuerzas Bx, By, Ax y Ay son desconocidas,
y corresponden a las reacciones.

Ejercicio 1
Vector de desplazamientos
Se sabe que La rigidez (K) está dada por:
Donde F es la carga y U el desplazamiento elástico que produce dicha carga.
La matriz de rigidez global de la
cercha está estructurada como
se muestra en la figura 2.1-c,
conforme a la distribución de los
grados de libertad establecidos
en la discretización

Ejercicio 1
Representado la ecuación F=K*U con los esquemas matriciales del ejercicio resulta:

Ejercicio 1
Resolviendo la matriz, se obtiene:
Fd = [Ktt] [Uc] + [Kto] [Ud]
Fd= [Kto][Ud] ecu. 1
FC = [K0t] [0] + [K00][Ud]
FC= [K00][Ud] ecu. 2
0
0
Despejando los desplazamientos desconocidos (Ud) de la ecuación 2, Se obtiene:
[Ud] = [K00]-1[FC] (Desplazamientos para las fuerzas conocidas)
Y las fuerzas desconocidas (Reacciones) serán la aplicación de la ecuación 1
[Fd]= [Kt0] [Ud] (Reacciones de la estructura)
Se sustrae la sub matriz de rigidez donde están asociadas las fuerzas conocidas (K00) para calcular los
desplazamientos que estas producen en la cercha aplicando la ecuación anterior.

Ejercicio 1
Obteniendo la inversa de la matriz Kc:

Ejercicio 1
Los desplazamientos generados por las fuerzas externas aplicadas sobre la cercha serán: [U]=
[K00]-1 [P]

Ejercicio 1
Resolviendo matricialmente se obtiene:
U5= 0,0000266 m
U6= -0,0033575 m
U7= -0,0038120 m
U8= -0,0069469 m
El desplazamiento horizontal y vertical
en el Nodo D será:
U7=-0,0038120 m ≈ 3,81 mm H ◄
U8=-0,0069469 m ≈ 6,947 mm V ▼

Ejercicio 1
Fuerza interna del elemento AC
Se sustraen los desplazamientos globales del elemento AC (elemento 1) teniendo en cuenta el
número correspondiente a cada grado de libertad.
U5= 0,00002661 m
U6= -0,00335751 m
U3= 0
U4= 0

Ejercicio 1
Es necesario conocer los desplazamientos locales del elemento para determinar su fuerza axial
interna, así como establecer si el elemento está sometido a esfuerzos de tracción o
compresión, para lo anterior se multiplica matricialmente la matriz de rotación del elemento
por los desplazamientos globales calculados, de esta manera se obtiene
[U Locales]= [T]*[U Globales]
Donde la matriz de rotación “T” es

Ejercicio 1
Se establece la operación matricial
u1= -0,002393 m
u2= 0,002355 m
u3= 0,00000 m
u4= 0,00000 m
Estos son los desplazamientos locales del elemento 1.

Ejercicio 1
Para obtener la fuerza axial interna del elemento se parte de la hipótesis principal del método,
donde la rigidez es igual a una fuerza F sobre el desplazamiento elástico que esta produce.
F = [K local]* [U local] (elemento 1).
Se obtiene

Ejercicio 1
Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza interna del elemento: Bx= -16,92 kN
By= 0 kN
Ax= 16,92 kN
Ay= 0 kN
Teniendo en cuenta que los valores obtenidos anteriormente corresponden a la fuerza interna del elemento en
sus coordenadas locales se determina el tipo de esfuerzo al que está sometido el elemento, en este caso son de
tensión, ya que f1 es negativo es decir actúa en dirección contraria a la supuesta inicialmente, mientras que f3
es positiva como se observa en la figura 2.1-d, como se esperaba las fuerzas f2 y f4 serán cero porque es la
funcionalidad de este tipo de elementos.
Fuerza axial del elemento será 16,92 kN (Tensión)

Ejercicio 2
Para la cercha mostrada en la figura 2.2-a. Determine el desplazamiento vertical en el nudo
C y la fuerza interna del elemento BF, Considere A=1.27 cm2 y E=200 000 MPa.
Cercha rectangular con elementos inclinados

Ejercicio 2
Propiedades de los elementos:
Solución:
A=0,000127 m2
E=200 000 000 kPa
• Numeración de los grados de
libertad y elementos de la cercha :

Ejercicio 2
• Resumen de las propiedades de los elementos de la cercha
Nota: los ángulos son medidos desde el eje
global x positivo al eje longitudinal del
elemento

Ejercicio 2
Matriz de rigidez local y global de los elementos de la cercha
Elemento 1
𝐀𝐄/𝐋= (𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟏𝟐𝟕 ∗ 𝟐𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎)/ 𝟏,𝟐
Por lo tanto la rigidez axial del elemento 1 será:
𝐀𝐄 /𝐋= 𝟐𝟏 𝟏𝟔𝟔,𝟔𝟕 𝐤𝐍/𝐦

Ejercicio 2
Sustituyendo el valor en la Matriz de rigidez local en kN/m se obtiene:
Matriz de rotación del elemento:

Ejercicio 2
Matriz de rigidez global del elemento en kN/m
Elemento 2

Ejercicio 2
Matriz de rotación del elemento: Angulo
de rotación 56,309° (0,98 rad).

Ejercicio 2
Matriz de rigidez global
del elemento en kN/m
Elemento 3
Angulo de rotación 90° (1,57rad).

Ejercicio 2
Matriz de rigidez local del elemento en kN/m
Matriz de rotación del elemento para 90°

Ejercicio 2
Elemento 4
Matriz de rigidez local del elemento en kN/m

Ejercicio 2
Matriz de rotación del elemento a 50,19°
Matriz de rigidez global en kN/m

Ejercicio 2
Elemento 5

Ejercicio 2
Matriz de rotación del elemento a 90°

Ejercicio 2
Elemento 6
Angulo de rotación 0° (0 rad).

Ejercicio 2
Matriz de rotación; como no hay rotación del elemento la matriz de rotación tendrá solo el valor de
uno en su diagonal (matriz identidad), multiplicando matricialmente por la matriz de rigidez local
del elemento se obtendrá la misma matriz de rigidez local.

Ejercicio 2
Elemento 7

Ejercicio 2

Ejercicio 2
Elemento 8

Ejercicio 2

Ejercicio 2
Elemento 9

Ejercicio 2
Matriz de rotación para 0°

Ejercicio 2
Matriz de rigidez global de la cercha (kN/m)
La matriz de rigidez de toda la cercha o armadura, se ensambla de igual manera como efectuó para
el ejercicio 1.1, sumando los aportes de rigidez global de cada elemento a los nodos de la misma.

Ejercicio 2
Vector de fuerzas actuantes
El vector describe las fuerzas externas que actúan sobre la
estructura y el grado de libertad asociado a esa fuerza, por
ejemplo en el grado de libertad vertical No 8 actúa 10 kN, en la
dirección de la gravedad, en nuestro sistema de referencia será
negativo.

Ejercicio 2
Para obtener los desplazamientos se aplica el procedimiento del ejercicio anterior, los cuales
estarán dados por:
Fc: son fuerzas conocidas
Se sustrae la sub matriz
de rigidez (K00) que
asocia las fuerzas
externas conocidas y los
desplazamientos
desconocidos .

Ejercicio 2

Ejercicio 2
Los desplazamientos generados por las fuerzas actuantes en la estructura estarán dados por:

Ejercicio 2
U5= 0,001496 m
U6= -0,004278 m
U7= 0,002316 m
U8= -0,010541 m
U9= -0,000656 m
U10= -0,011250 m
U11= -0,000656 m
U12= -0,005459 m
El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo C será:
U9= -0,000656 m ≈ 0,656 mm H ◄
U10= -0,0112 m ≈ 11,20 mm V ▼

Ejercicio 2
Calculo de las reacciones de la cercha
Las reacciones se calculan igual que el ejercicio anterior, si se conocen los desplazamientos, estos
se multiplican matricialmente por la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas desconocidas
(K0t)
Fd= [Kt0]*[U] donde Fd son las fuerzas desconocidas (Reacciones)
Aplicando la ecuación anterior, se obtiene

Ejercicio 2
Ax= 47,5 kN
Ay= 40,0 kN
Bx= -47,5 kN
By= 0,0 kN

Ejercicio 2
Fuerza axial del elemento BF
Sustrayendo los desplazamientos globales del elemento BF (elemento 4) y teniendo en cuenta el
número correspondiente a cada grado de libertad, se obtiene
U11= -0,000656 m
U12= -0,005459 m
U7= 0,002316 m
U8= -0,010541 m
Se calculan los desplazamientos locales del elemento dando
uso a la matriz de rotación para el ángulo de este elemento que
es 50,19° (0,88 rad).
[U local]= [T]*[U global]

Ejercicio 2
u1= -0,00461 m
u2= -0,00299 m
u3= -0,00661 m
u4= -0,00853 m
Estos son los desplazamientos locales del elemento 4.
Para calcular la fuerza interna del elemento se multiplica
matricialmente la matriz de rigidez local del elemento por sus
desplazamientos locales respectivamente.

Ejercicio 2
Se obtiene la operación matricial
Resolviendo matricialmente se obtiene la fuerza axial interna del elemento: f1= 32,54 kN
f2= 0,0
f3= -32,54 kN
f4= 0,00

Ejercicio 2
Mediante la resolución de la fuerza interna del elemento se observa que está sometido
a esfuerzos de compresión, como se observa en la figura abajo, en cuanto a las fuerzas
f2 y f3, serán cero puesto que se trata de una cercha y solo se considera el aporte axial
como se mencionó anteriormente.

VIGAS
Viga de tres luces con cargas puntual, continua y variable.
Ejercicio 1
Para la viga en concreto mostrada en la figura (a), encontrar las reacciones y el giro en el
punto D, considere E= 20 GPa.

Propiedades de la sección de la viga:
Solución:
• Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga
Solo se tendrán en cuenta los grados de libertad verticales y giros ya que la viga estará sometida solo a fuerzas
cortantes y flexión como se mencionó en el primer capítulo, como no existen cargas con componentes en la
dirección X, la fuerza axial en cualquiera de los tres elementos será cero.
La enumeración de los grados de libertad se realiza de manera que queden agrupados aquellos que no tienen
restricción cinemática y los demás corresponderán a las reacciones de la viga, como se aprecia en la figura (b).
A=0,10 m2
Iy=0,001333 m4
E=20 000 000 kPa

Como se estableció en la discretización de la viga solo se estudiaran tres elementos conectados por sus nodos
A, B, C y D, por lo tanto se llevaran las fuerzas equivalentes generadas por las distintas cargas sobre los
elementos a cada nodo, para ello se asume la condición de empotramiento perfecto de los elementos y se
calculan las reacciones para cada uno como se muestra en la figura (c), al final las fuerzas actuantes serán la
suma de los efectos de las cargas de cada elemento teniendo en cuenta su dirección y magnitud, estas
actuaran sobre la viga en el sentido contrario a la supuesta reacción.

Las fuerzas que actúan en los grados de libertad establecidos para el presente análisis son las que se
presentan en la figura (d) y (e), después de realizar la suma de los efectos debido a las cargas, y
aplicación de la estática en el elemento 3 para obtener las reacciones verticales.

De esta manera se obtienen las fuerzas actuantes sobre la viga, La dirección predominante de la
carga corresponde a la de mayor magnitud, estas actúan en la dirección opuesta a reacción
idealizada

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la viga
Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se sustituyen los valores de E, Iz
y L en la matriz mostrada en el primer capítulo para vigas.
Elemento 1
Angulo de rotación 0° (0,0 rad). L=5.0 m
12EIy/L3= 2560 kN/m
6EIy/L2= 6400 kN/m
2EIy/L = 10666,67 kN/m
4EIy/L = 21333,33 kN/m

Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m
Como los elementos de la viga están alineados horizontalmente no se presentaran rotaciones y no
será necesario el uso de la matriz de transformación de coordenadas del sistema local a global ya que
coinciden, siendo directamente la matriz de rigidez local la global, solo se agrega la correspondencia
de los grados de libertad locales a los globales de la viga según el elemento.

Elemento 2

Al igual que el elemento 1, el No 2 está alineado horizontalmente por lo tanto no se presentaran
rotaciones y no será necesario el uso de la matriz de transformación de coordenadas del sistema local a
global ya que coinciden. Solo se realiza la correspondencia de los grados de libertad locales a los globales
de la viga según el elemento.

Matriz de rigidez en coordenadas globales
Elemento 3

Matriz de rigidez en coordenadas globales
Ensamble de la matriz de rigidez de la viga
K3,4= K3,4 elemento1 + K3,4 elemento2 + K3,4 elemento3
K3,4= (0,0) + (-3511,66) + (0,0)
K3,4= - 3511,66 kN/m
K8,3= (-6400,00) + (7901,23) + (0,0)
K8,3= 1501,23 kN/m

Matriz de rigidez de la viga
Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 8 están asociados a las fuerzas externas conocidas, mientras
que los cinco primeros grados de libertad corresponden a las fuerzas desconocidas que son las reacciones
de la viga.

Vector de fuerzas
A diferencia de los ejercicios anteriores, en este caso existen fuerzas que actúan en los nodos
donde se presentaran las reacciones de la viga y que actúan en el sentido contrario a la misma
reacción, por lo tanto afectara la magnitud final de cada una, como se observa en la figura (f).

Vector de fuerzas sobre la viga en kN
Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el desplazamiento elástico que produce.
𝐾 =F/U

Se sustrae la sub matriz de rigidez asociadas a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus
desplazamientos aplicando la ecuación anterior.
Obteniendo la inversa de la matriz [K00], resulta

Los desplazamientos serán
U6= 0,0016889 rad
U7= -0,0002583 rad
U8= -0,0000083 rad
El giro en el punto D será: U8= 0,00169 rad

Reacciones en la base
Las reacciones de la viga serán el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas, con los
desplazamientos calculados.
[F]= [Kt0]*[U]

Las fuerzas en la base serán:
F1= -0,053 kN
F2= -0,089 kN
F3= -2,053 kN
F4= 9,6738 kN
F5= -7,5668 kN
Por lo tanto las reacciones en la base se obtendrán como sigue:
-0,053=Ay-17,5 ; Ay= 17,447 kN
-0,089=Ma-21,875 ; Ma= 21,786 kN.m
-2,053=By-51,25 ; By= 49,197 kN
9,6738=Cy-50,250 ; Cy= 59,92 kN
-7,566=Dy-38,50 ; Dy= 30,93 kN

Viga de dos luces y sección en voladizo
Ejercicio 2
Para la viga en acero cuya sección transversal es de tipo cajón como se aprecia en la
figura -a, encontrar la carga (P) aplicada en el punto C para que el giro en B sea 0,5° en el
sentido horario. Asumir Es=200.000 MPa

Propiedades de la sección de la viga:
Solución:
Numeración de los grados de libertad y elementos de la viga
Para la discretización de la viga solo se tendrán en cuenta los grados de libertad rotacionales del nudo A y B ya
que se obtendría el momento y el giro respectivamente, para obtener las reacciones verticales en esos mismos
nudos se calcularían por estática.
A=0,0104 m2
Iy=0,00004619 m4
E=200 000 000 kPa

La carga P por la longitud del elemento BC sería el momento equivalente debido a esa carga que
actúa en B, recordando que se asume la condición de empotramiento perfecto en los nudos de la
viga como se muestra a continuación.

Como la viga solo tendrá un desplazamiento angular
en el apoyo B la matriz de rigidez se puede
determinar cancelando los renglones y filas
asociados a los desplazamientos verticales de dicho
elemento, se tiene

Cancelando los renglones y filas expuestos anteriormente, se obtiene:
De este modo, la matriz de rigidez será:

Reemplazando los valores de E,I y L se obtiene la matriz de rigidez en kN/m:
El vector de desplazamiento ya es conocido, será 0 en el empotramiento y en B no podrá girar más de 0,5°
(0,00872 rad) según la magnitud de la carga.

Y el vector de fuerzas será igual a:
Teniendo en cuenta que K=F/U y despejando la fuerza F= [K]*[U], se obtiene entonces:
Resolviendo la matriz, se obtiene
Ma – 0,781= 14781*0 - 7390,4*0,00872 (1)
2P - 0,781= 7390*0 - 14781,8*0,00872 (2)

Ma – 0,781= - 64,44 (1)
2P - 0,781= - 128,88 (2)
Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el momento en A y la carga para que se dé la
condición inicial.
Ma= -63,66 kN.m
P= 64,06 kN
La carga para que se presente una rotación de 0,5° en el nudo B deber ser de 6,6 toneladas.

PÓRTICOS PLANOS
EJERCICIO 1. Análisis de pórtico simple con elemento en diagonal.
Para el pórtico mostrado en la figura -a determine las reacciones en la base, desplazamiento
horizontal y vertical en el punto C, así como las fuerzas internas del elemento AB. Los elementos
CD y BD articulan independientemente en el nodo D. Considere E=200 GPa.

Solución:
Propiedades del perfil W14x132
Para enumerar los grados de libertad del pórtico es necesario tener claridad sobre los posibles
desplazamientos y giros que se puedan presentar en los nudos para cada elemento, teniendo en
cuenta las condiciones de frontera.
Ejemplo: los elementos que convergen en el
nodo D comparten los mismos grados de
libertad horizontales y verticales, mas no
tendrá el mismo ángulo de giro, por lo tanto
cada uno tendrá un grado de libertad
rotacional diferente como se observa en la
figura -b.
A= 0,0248 m2
Iy= 0,000636 m4

Establecidos los nudos de pórtico (A, B, C y D), se llevan las fuerzas actuantes a cada uno. Debido
a que se cuenta con un elemento con carga distribuida, se asume la condición de empotramiento
perfecto en sus extremos y se calculan sus reacciones como se observa en la figura -c, las cuales
actuarán en esos nudos como fuerzas equivalentes del pórtico en el sentido opuesto de la
reacción.

Las fuerzas equivalentes que actúan en los nodos del pórtico formaran parte del vector de fuerzas
en el arreglo matricial, y se resumen en la figura – d.
Se sabe que la matriz de rigidez de un
elemento en el sistema global está dado por:
Donde T es la matriz de rotación de
coordenadas presentada anteriormente para
elementos tipo pórticos.

Para la obtención de la matriz de rigidez local de los elementos se reemplazan los valores de A, E, Iz y
L de la matriz de un elemento pórtico establecido anteriormente.
Matriz de rigidez local y global de los elementos del pórtico
Elemento 1
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). Matriz de rigidez en coordenadas locales en kN/m
La numeración representa los grados de libertad locales del elemento.

Para un ángulo de rotación de 90° medido desde el eje global positivo (X) al eje local positivo
longitudinal del elemento y sustituyéndolo en la matriz de transformación de coordenadas, se
obtiene:
Realizando la operación matricialmente K global= [T’][K local][T] se obtiene la matriz de rigidez global del elemento
(girado los 90°), la numeración hace correspondencia con los grados de libertad globales mostrados en la figura - b.

Elemento 2
Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads).

Para el Angulo de rotación 139,4° (2,43 rads) en sentido anti horario se obtiene
Matriz de rigidez global del elemento 2, asociado a los grados de libertad globales
será:

Elemento 3
Angulo de rotación 90° (1,57 rads).

Matriz de transformación de coordenadas, Para el Angulo de rotación 90° (1,57 rads), se obtiene:
Matriz de rigidez global del elemento No 3, asociado a los grados de libertad globales será

Elemento 4
Angulo de rotación 0°, como no existe rotación del sistema, la matriz de rigidez local coincide con
la global del elemento.

Matriz de transformación de coordenadas, para el ángulo de rotación=0°, se obtiene:
Matriz de rigidez global del elemento No 4, asociado a los grados de libertad globales.

Matriz de rigidez de la estructura
Para obtener la matriz de rigidez de toda la estructura se suma la rigidez que aporta cada
elemento, al final la matriz será cuadrada y simétrica del tamaño de los grados de libertad
establecidos en la numeración de la figura 4.1-b, es decir M13x13.
Ejemplo:
K11,12= (0,0) + (-524040) + (0,0)
K11,12= -524040 kN/m
K13,13= (169600,0) + (110392,7) + (145371,4)
K13,13= 425363,4 kN/m

Matriz de rigidez del pórtico
Los grados de libertad comprendidos entre 6 y 13 están asociadas a las fuerzas externas conocidas,
mientras que los cinco primeros grados de libertad a las fuerzas desconocidas que son las reacciones en la
base de la estructura.

Vector de fuerzas externas
Se sabe que la rigidez (K) es la relación entre una fuerza y el
desplazamiento elástico que produce.

Se sustrae la sub matriz de rigidez [K00] donde actúan las fuerzas conocidas para calcular sus
desplazamiento aplicando la ecuación anterior.

Los desplazamientos en los grados de libertad serán:
Se obtienen entonces los desplazamientos para cada grado de libertad
U6= -0,000121 rad
U7= 0,0000127 rad
U8= 0,0001755 m
U9= -0,0000219 m
U10= 0,0000668 rad
U11= 0,0001793 m
U12= 0,0000297 m
U13= -0,0001161 rad
El desplazamiento horizontal y vertical en el punto C será:
U8= 0,000176m ≈ 0.176mm H►
U9= -0,000022m≈ 0.22mm V ▼

Reacciones en la base
Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (K0t), con
los desplazamientos calculados.

Las reacciones en la base serán:
Ax= -0,29 kN
Ay= -49,2 kN
MA= 5,36 kN.m
Dx= -99,7 kN
Dy= 119,2 kN

Fuerzas internas del elemento 1
Se sabe que las coordenadas locales del sistema en función de las globales para un elemento tipo
pórtico está dada por

Con la matriz de transformación de coordenadas multiplicada matricialmente por los
desplazamientos globales del elemento 1, se obtienen desplazamientos locales del elemento para
el posterior cálculo de las fuerzas internas de este como se ha realizado en los ejercicios anteriores
Desplazamientos locales del Elemento 1
Se sustraen los desplazamientos globales del elemento teniendo en cuenta el número
correspondiente a cada grado de libertad.

Para Los desplazamientos en coordenadas locales serán UL= [T]*UG, resulta entonces:

Aplicando la ecuación [f]= [k1]*[U1 local] se obtendrán las fuerzas internas del elemento 1:
Por lo tanto las fuerzas internas del elemento 1 serán:

Como los momentos tienen signos contrarios indica que el elemento se curva simplemente:

Para el pórtico en concreto mostrado en la
figura 4.2-a determine las reacciones en los
nodos A y D, el desplazamiento horizontal y
vertical en los nodos B y C así como las
reacciones de la estructura. Asuma f’c=28
MPa y E= 3900√𝑓′𝑐 (MPa)
EJERCICIO 2. Análisis de un pórtico con carga distribuida sobre elemento inclinado.

Solución:
Propiedades de la sección
A=0,09 m2
I=𝑏ℎ =0,000675 m4
E=20.636,86 MPa
Discretización del pórtico
Se numera los grados de libertad de
tal manera que las reacciones
resulten agrupadas, para este caso
al igual que ejercicios anteriores se
numeran de primero como se
observa en la figura -b.

Para los elementos 2 y 3 con carga distribuida se asume la condición de empotramiento en
sus extremos y se llevan las reacciones como fuerzas equivalentes a dichos nodos, en la
dirección opuesta a la reacción.
Elemento 2: W=30 kN/m

Elemento 3: se calculan las reacciones en la proyección horizontal del elemento es decir L= 2.0 m
(Normal al eje longitudinal del elemento).
Wn=37,5 kN/m

Se superponen las fuerzas resultantes de ambos elementos como se observa en las figuras -c y -d.

Las fuerzas equivalentes actuantes en los nodos A,
B y C serán las obtenidas por la suma de los efectos
de las cargas teniendo en cuenta su dirección. En la
figura-e se presenta el resultado de la suma
algebraica de las acciones presentes en cada nodo.
Se debe tener en cuenta que las acciones externas
obedecen al sistema de referencia global. Por
ejemplo, en el nodo B se cuenta con un momento
resultante horario de 2.5 kN.m debido a la suma de
las acciones opuestas a las reacciones generadas
por la carga dentro de cada vano, así: Nodo B= + 10
kN.m - 12.5 kN.m (ver Figura -d).

Matriz de rigidez local y global de los elementos de la estructura
Elemento 1
Angulo de rotación 90° (1,57 rad). L=2,5 m

Para un Angulo de rotación de 90° y sustituyendo en la matriz de rotación del para un elemento
pórtico, se obtiene:

Realizando la operación matricialmente K global= [T’]*[K local]*[T] se obtiene la matriz de
rigidez global del elemento (girado los 90°), la numeración hace correspondencia con los grados
de libertad globales mostrados en la figura 4.2- b.

Elemento 2
Angulo de rotación 0° y L=2.0 m

Para un Angulo de rotación de 0° y sustituyendo en la matriz de rotación resulta:

Realizando la operación matricialmente K global= [T]*[K local]*[T’] se obtiene la matriz de
rigidez global del elemento la cual coincide con la local ya que el ángulo de giro es 0°

Elemento 3
Angulo de rotación 143,13° y L=2.0 m

Matriz de transformación de coordenadas
Matriz de rigidez del elemento 3 en coordenadas globales K global= [T]*[K local]*[T’]

Matriz de rigidez de la estructura
La matriz de rigidez de la estructura será cuadrada simétrica, su tamaño es igual al número de grados
de libertad en este caso será de 12x12.
La matriz se ensambla sumando la rigidez que aporta cada elemento como se mencionó en los
ejercicios anteriores
Matriz de rigidez
de la estructura
(kN/m)

Vector de fuerzas actuantes en la estructura para cada grado de libertad:

La rigidez (K) será igual a:
Se sustrae la sub matriz de rigidez donde actúan las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus desplazamientos como
sigue

Los desplazamientos en los grados de libertad serán

U6= -0,00541 m
U7= -0,00009 m
U8= -0,00439 rad
U9= -0,00541 m
U10= -0,00724 m
U11= -0,000819 rad
U12= 0,00639 rad
El desplazamiento horizontal y vertical en el Nodo B y C será:
Nodo B U9=-0,00541m≈ 5,41mm H►
U10= -0,00724m≈7,24mm V ▼
Nodo C U6=-0,00541m≈ 5,41mm H►
U7= -0,00009m≈0,09mm V ▼

Reacciones de la estructura
Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas, con los
desplazamientos calculados como se ha visto en los ejercicios anteriores:
[F]= [Kto]*[U] , donde Kto será:

Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos ya calculados
mostrado en el ejercicio 1. de pórticos planos:

Por lo tanto las fuerzas serán
Ax = 0,89kN
Ay - 37,5 =27,02kN
Dx =-0,89kN
Dy = 70,48kN
MD = 23,36kN.m
A diferencia de las demás reacciones, La vertical en A será a Ay menos la fuerza equivalente que actúa en ese punto y
esta diferencia será igual a la fuerza encontrada correspondiente a f2 como sigue:
f2 – Ay = 27,02
f2 – 37,5 = 27,02
f2 = 27,02 + 37,5
f2 = 64,52 k

El método de los elementos finitos es un método poderoso para analizar los esfuerzos y
deformaciones en componentes y sistemas estructurales. Este aproxima las ecuaciones diferenciales
gobernantes para sistemas continuos con ecuaciones mediante un número finito de variables
discretas que miden los desplazamientos y fuerzas en los nodos.
El método funciona dividendo la estructura en elementos conectados por nodos, pueden ser de tipo
plano o tridimensional dependiendo del componente estructural que se vaya a analizar.
INTRODUCCIÓN A LOS ELEMENTOS FINITOS
Se pueden emplear elementos
finitos unidimensionales para
modelar una estructura
aporticada con muros. (Fig-a)
Fig-a. Abstracción o idealización de una estructura aporticada a
través de elementos finitos

1. Análisis de una viga con inercia variable y sección trapezoidal
Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la solicitación de las cargas
dadas según la figura 5.1-a, por lo que se necesita conocer sus reacciones, la deflexión en los
puntos de aplicación de las cargas y en el punto medio de la viga. El concreto posee una
resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa.

Solución:
La viga representa un problema para su cálculo por la variación lineal de la sección a lo largo de
toda su longitud, recordemos que la matriz de rigidez está en función de la inercia del elemento
y esta a su vez del ancho y altura por lo que toda la matriz quedaría en función de una ecuación
que representa esa variación y el cálculo sería muy complejo. La solución a este problema está
en dividir la viga en una serie de elementos finitos de forma cubica con una única altura
equivalente (he) unidos por nodos como se aprecia en la Figura-b, el número de elementos se
puede establecer de manera arbitraria siempre dependiendo de la aproximación que se dese
del problema.
La inercia de cada elemento se calcula con una altura equivalente de tal manera que la inercia equivalente y
analítica sea igual y no afecte el cálculo de la viga.
Discretización de la viga
Para el presente ejercicio se asumió un número de elementos iguales a 8 unidos por nodos que tendrán dos
posibilidades de desplazamiento; vertical y de giro como se muestra a continuación.

Para calcular la inercia de cada elemento se realiza con la altura equivalente en el punto medio
de cada uno, por ejemplo para el elemento 1 será como se muestra en la figura -c.
Por lo tanto la inercia para este elemento seria:
I= 0,00969 m4

Realizando el cálculo de manera analítica (ver figura -d)
h varia respecto a x; el ancho de la viga es constante e igual
a 0,4 m.
La función que describe esta variación será
m=0,075 x
La ecuación será entonces:
h= hi – 0,075 x donde hi es la altura inicial de la viga de 0,7 m
h= 0,7 – 0,075x

La inercia de la sección será:
Se observa entonces que la variación entre la inercia a partir de una altura equivalente y la analítica es muy
pequeña.
I = 0,00972 m4

IPOR he = 0,00970 m4 y IANALITICA = 0,00972 m4
Por lo tanto se calcularan las inercias de los demás elementos con la equivalente para la facilidad
del ejercicio, las cuales se resumen en la siguiente tabla:
No obstante, para un cálculo más estricto seria
con las inercias calculadas analíticamente para
cada elemento como se expuso en el paso
anterior.

Matriz de rigidez local y global de los elementos
La viga no presenta solicitaciones de carga que generen fuerzas axiales internas en los
elementos, además solo se desean conocer sus giros y desplazamientos verticales en los puntos
de aplicación de las cargas y en su centro.
La matriz de rigidez local será para elemento tipo viga es la presentada en la figura-e

Elemento 1

Matriz de rigidez asociado a sus grados de libertad globales
Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

Elemento 5

Elemento 6

Elemento 7

Elemento 8

La matriz es de 18x18 que es el número de grados de libertad establecidos en la discretización de la viga
y está en unidades de kN/m.

Matriz de rigidez de la viga (kN/m)

Vector de fuerzas externas
Estas son las fuerzas externas en kN asociadas a
los grados de libertad de la viga según la
discretización.

La rigidez (K) será igual a:
Se sustrae la sub matriz de rigidez asociada a las fuerzas conocidas (K00) para calcular sus
desplazamiento aplicando la ecuación [U]= [K00]^-1 [F]

Obteniendo la inversa de la matriz [K00] resulta

Los desplazamientos en los grados de libertad serán: [U]= [Kc]^-1 [P]

[U]
U5= -0,000198 m
U6= -0,000351 rad
U7= -0,000639 m
U8= -0,000467 rad
U9= -0,001042 m
U10= -0,000333 rad
U11= -0,001243 m
U12= -0,000060 rad
U13= -0,001143 m
U14= 0,000271 rad
U15= -0,000754 m
U16= 0,000512 rad
U17= -0,000242 m
U18= 0,000424 rad
El desplazamiento vertical en los puntos de aplicación de las
cargas y el centro de la viga corresponden a los grados de
libertad 7,11 y 15:
U7=-0,000639m≈0,639 mm V ▼
U11= -0,001243m≈1,243mm V ▼
U15= -0,000754m≈0,76mm V ▼

Las reacciones en la base será el producto de la sub matriz asociada al vector de fuerzas (Kt0),
con los desplazamientos calculados como se observó en los ejercicios anteriores
[f]= [Kto]*[U]
Donde Kt0 será
Reacciones en los empotramientos de la viga
Y es la sub matriz de la global que asocia las fuerzas con los desplazamientos ya calculados.

Las fuerzas calculadas a partir del producto de la sub matriz Kt0 por los desplazamientos conocidos son las se
muestran en la tabla a.

Se desea diseñar una viga en concreto reforzado para un puente bajo la solicitación de las
cargas dadas según la figura 5.1-a, por lo que se necesita conocer sus reacciones, la deflexión
en los puntos de aplicación de las cargas y en el punto medio de la viga. El concreto posee una
resistencia a la compresión de 28 MPa y módulo de elasticidad de 20 GPa.
2- Ejercicio 1 realizado en sap2000 versión académica

A continuación se presenta el análisis de la viga mediante el programa sap2000 versión
académica, a modo de comprobación y uso de este reconocido programa de análisis y diseño.
Solución:
1. Espacio y generación de la cuadricula de trabajo
Click en New Model (ver figura -b).

Se designan las unidades (kN,m) y se seleccionan el modelo de viga (Beam) como se muestra en la
figura -b, Como son ocho elementos de un metro de longitud, se establecen en el programa
(Number of Spans=8) y la longitud de cada vano será un metro, y se le da ok (ver figura -c y -d).

Sap2000 trabaja en los planos x,z donde x es el plano horizontal y z el vertical. Se seleccionan todos
los elementos, luego click en borrar, y de manera sencilla se tiene la cuadricula de trabajo para la viga
como se observa en la figura-e.

2. Generación de las propiedades de la viga
En el menú Define dando click en Materials, se establece las propiedades del material de la viga (ver
figura -f).

Se da click en Add New Material y se asignan las propiedades del concreto; Modulo de elasticidad
(Ec=20GPa) y resistencia del concreto a la compresión (28MPa), en unidades de N,mm que son
equivalentes a MPa y se le asigna el nombre de concreto de 28 MPa, los demás datos se dejan por
defecto (ver figura-g y -h).

3. Geometría de la viga
En el mismo menú Define se establecen también las propiedades geométricas de la viga como se
aprecia en la figura -i.

Se da click en section propierties y luego en Frame Sections, inmediatamente se despliega el cuadro
frame propierties (ver figura-j).

Se selecciona en frame section property type, la opcion concreto luego se selecciona el icono de
secciones rectangulares, como se aprecia en la figura k.

Seleccionada la sección rectangular, se crea una sección inicial de 0,4m x 0,7m que es la geometría
de la viga en el empotramiento, luego se genera otra sección de viga cuadrada de 0,4m x 0,4m que
tiene lugar en el centro de la viga como se aprecia en las figuras -L y -n, con el material asignado de
“CONCRETO 28 MPa” y en property Modifiers se modifican las propiedades de la viga asignado solo
al momento de inercia alrededor del eje 3, como se muestra en la figura -m

Una vez creadas las dos secciones, Se selecciona en frame section property type, la opción other
luego se selecciona el icono de secciones no prismáticas (Nonprimatic), como se aprecia en la
figura -p y -q.

Dentro del cuadro de dialogo Nonprismatic section Definition se genera una sección única nombrada
sección 1, en la cual la sección de inicio (star section) será de 0,4m x 0,7m y al final (End section) de
0,4m x 0,4m la variación de la inercia será designada lineal , como se muestra en la figura -r.

4. Dibujo de la viga
Pasamos luego a dibujar la viga en el menú Draw frame (ver figura -t).

Asignamos sección 1para poderla dibujar, recordando que la viga inicia con una sección de 0,4m x 07
m donde primero se da el click, donde finalice será una sección de 0,4m x 0,4m que corresponde al
centro de la viga (ver figura -u)

Se puede observar como sap2000, asimila la variación lineal de la inercia de la viga de manera trapezoidal, esto no difiere
en los cálculos teniendo en cuenta el esquema inicial de la viga expuesto en el planteamiento del ejercicio donde
solamente el lado inferior de la viga es a que varía linealmente

Luego se divide la viga en sus 8 secciones de un metro de longitus, para ellos se entra al menu Edit,
Edit lines y Divide Frame somo se muestra en la figura -ad.

Una vez ingresado en el cuadro divide frames, se divide las dos secciones dibujadas manualmente en
4 de un metro de longitud cada una (ver figura -ae).

Finalmente se puede observar la viga dividida en los 8 vanos conectados por sus nodos y de un
metro de longitud como se muestra en la figura -af.

5. Asignación de cargas actuantes
En el planteamiento del ejercicio se observa que existen solo dos fuerzas que actúan en la dirección
gravitatoria a dos metros desde los extremos de la viga.
Primero se entra en el menú Assign, join loads y forces ver figura -ag.

Luego se asignan las fuerzas en los nodos indicados según el ejercicio para ello se cambia en el
cuadro de dialogo joint forces las unidades a ton,m, y se asignas las fuerzas actuantes (ver figura -ah).

6. Análisis de la viga
Finalmente se analiza la viga con las secciones, materiales y condiciones de carga estipuladas
anteriormente, para ello se adentra en el menú Analyze, Set Analysis options (ver figura -aj).

Dentro del cuadro de dialogo del analysis options se le dice a Sap2000 que solo realice el análisis en los
plans XZ, para facilidad y operación del programa ya que no existe la necesidad de realizar el análisis en
tres dimensiones (ver figura -ak).
Finalmente se le da correr al programa
para que lleve a cabo el análisis de la
viga en el menú Analyze o con la tecla
F5 (ver figura-aL).

7. Resultados del análisis de la viga

Se puede observar que la variación con la resolución analítica de la viga y asumiendo secciones rectangulares con
alturas equivalentes asumidas en el ejercicio 1 es mínima, por lo tanto se puede concluir que el programa realizó
el análisis de manera acertada o quizás con mayor precisión por tener en cuenta de manera más analítica la
variación inercial de la viga.

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