Material de clase de la universidad UTP mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm

1. Capítulo 5: Método de rigidez
por definición

2. Al finalizar la sesión el futuro ingeniero
entiende el proceso de resolución de
problemas usando el método de rigidez, y lo
aplica en estructuras bidimensionales.
Logro de la sesión:

3. 1. ¿Qué métodos se usan actualmente para analizar estructuras?
2. Programas más usados en análisis estructural
3. Grados de libertad de diversas estructuras
4. Algebra de matricial
5. Coeficientes de rigideces de barras y momentos de empotramiento perfecto
6. Método de rigidez por definición: matriz de rigidez, estado primario y complementario
7. Resolución de problemas
8. Conclusiones
Contenido de la sesión

4. ¿Qué métodos se usan actualmente para analizar estructuras?
Métodos
clásicos:
• Son métodos manuales
• Sirven para grupos específicos de estructuras, no
se pueden generalizar para cualquier tipo de
estructuras
• Aplicados a estructuras complejas y reales son
demasiado laboriosos o no aplicables.
Métodos energéticos: 2do
teorema de Castigliano
Métodos del trabajo virtual
Método de Cross
Un ingeniero estructural casi nunca usa los métodos clásicos para analizar una estructura
Métodos
matriciales
• El método de rigidez es la base de todos los
programas de análisis estructural, existe el
método de rigidez sistematizado que es bien
aprovechado por estos programas.
• Se aplica a todo tipo de estructuras, de las más
simples a las más complejas, y ante cualquier tipo
de excitación externa.
Método de flexibilidad
(fuerzas): no muy usado
Método de rigidez
(desplazamientos): muy
usado

5. Video 1-Programas usados en análisis estructural

6. Programas más usados en análisis estructural
• Ambos son programas de la corporación CSI= Computer and structures Inc
• Son los programas más usados en Perú, también en latinoamérica
• SAP 2000 sirve para cualquier tipo de estructuras
• ETABS es específico para edificaciones
ETABS
SAP 2000
Cypecad
Robot structural
analysis
• Programa del grupo CYPE Ingenieros S.A.
• Programa de la corporación Autodesk
Staad PRO
• Programa del grupo BENTLEY
• Poco usado en latinoamérica

7. Corporación CSI=Computer and structures Inc
Entrar a su página: https://www.csiamerica.com/

8. ETABS es el software de la corporación CSI especializado en análisis de
edificaciones
• Actualmente se encuentra en su versión V18.
• Permite trabajar con diversos materiales
estructurales: concreto armado, acero de refuerzo,
acero estructural, albañilería, adobe, madera.
• Podemos modelar edificaciones de todo tipo de
sistemas estructurales: aporticado, dual, de muros de
corte, de acero estructural, albañilería confinada, etc.
• Podemos realizar análisis ante cargas de gravedad
(muerta, viva), análisis sísmico estático y dinámico
(modal espectral y tiempo-historia), análisis
pushover.
• Además permite diseñar y verificar elementos de
concreto armado y verificar elementos de acero
estructural.
https://www.youtube.com/watch?v=wg4eIl-
6Ju4&list=PLN0Fx7t--xP1N65r9N7gB8ppnldGLug2j&index=1

9. Un grado de libertad es una posibilidad de movimiento de la estructura, ya sea
desplazamiento o rotación
Viga continua con 5 grados de libertad
3 rotaciones 2 desplazamientos
GDL= redundante cinemática = coordenada generalizada

10. Un sistema de desplazamientos o coordenadas es generalizado (Q-D), si estos son
independientes entre sí; es decir, si c/u de ellos puede ser deformarse sin alterar a los otros
2 traslaciones
2 T + 1 Rotación
3 T
3 T + 3 R
1T + 2R

11. Ejercicios de GDL de diversas estructuras
7 GDL
Pórtico
flexible
16 GDL
Pórtico flexible
de varios
pisos Sistema Q-D es el sistema
generalizado = mínimo de GDL

12. Ejercicios de GDL de diversas estructuras
13 GDL
Pórtico con
vigas axialmente
rígidas (EA= ∞)
8 GDL
Pórtico con todos
los elementos
axialmente
rígidos (EA= ∞)

13. Ejercicios de GDL de diversas estructuras
6 GDL
Pórtico
totalmente
flexible
5 GDL
Pórtico con viga
axialmente
rígida(EA= ∞)

14. Ejercicios de GDL de diversas estructuras
4 GDL
Pórtico con viga
indeformable en
flexión (EI= ∞)

15. Ejercicios de GDL de diversas estructuras
3 GDL
Pórtico con viga
totalmente
rígida(EA=EI= ∞)

16. Ejercicios de GDL de diversas estructuras
2 GDL
Pórtico con
barras
axialmente
indeformables
(EA= ∞)
3 GDL
Pórtico con barras
axialmente
indeformables(EA= ∞) Sistema Q-D es el sistema
generalizado = mínimo de GDL

17. Ejercicios de GDL de un pórtico inclinado

18. Ejercicios de GDL de un pórtico inclinado

19. Video 2-Columnas corta parte 1

20. Repasemos un poco de algebra matricial
Matriz: es un arreglo bidimensional de números [A] = es una matriz de 2x2
= 2 filas x 2 columnas
m= números de filas n= número de columnas

21. Partes de una matriz
Triángulo superior
Triángulo inferior

22. Tipos de matrices

23. Traza de una matriz y submatrices

24. Operaciones con matrices

25. Operaciones con matrices

26. Propiedades de la multiplicación de matrices
El producto de la transpuesta
de una matriz por su matriz
ortogonal da como resultado a
la matriz identidad

27. Determinante de una matriz
La determinante de una matriz es igual a la
determinante de su transpuesta
Si la determinante de una matriz es igual a cero entonces esa matriz se denomina “SINGULAR”

28. Inversa de una matriz
Si la determinante de una matriz es igual a cero entonces esa matriz se denomina “SINGULAR”

29. Ejemplos de operaciones con matrices
Se tienen las matrices A y B de 3x3, calcular el producto AXB, det (A), det (B), A’, inversa(A)
Ver solución en Excel: Ejercicios
análisis-2.Determinante

30. El método de rigidez sirve para resolver casi todo tipo de estructura ante cualquier
excitación externa, y tiene dos variantes: método por definición y método mecanizado
Método de
rigidez por
definición
Método
mecanizado
de rigidez
• Usa una matriz de rigidez (K), la cual es simétrica y definida positiva, esta matriz de
rigidez se ensambla usando la definición de coeficientes de rigidez (kij).
• Un coeficiente de rigidez es una fuerza que provoca una determinada configuración
deformada. Permite resolver estructuras hiperestáticas.
• La matriz de rigidez no depende del sistema de cargas (Q).
• Para el estado de cargas existe un estado (cargas de fijación) y complementario, y se
puede aplicar a fuerzas de gravedad, sísmicas, variaciones de temperatura y
asentamientos de apoyos.
• Permite resolver estructuras hiperestáticas.
• La matriz de rigidez se ensambla usando matrices de transformación de
desplazamientos (A).
• La matriz de rigidez no depende del sistema de cargas (Q).

31. El método de rigidez por definición formula la matriz de rigidez usando la definición de
coeficientes de rigidez
Un coeficiente de rigidez (Kij) es una fuerza que provoca
una determinada configuración deformada.

32. El método de rigidez por definición formula la matriz de rigidez usando la definición de
coeficientes de rigidez
Matriz de rigidez

33. Las principales características de la matriz de rigidez de una armadura son:
det (K) = 0
Todos los elementos de la diagonal principal son positivos, si obtienen un valor negativo o cero es por que
armaron mal la matriz de rigidez.

34. Los principales
coeficientes de
rigidez de
elementos que
usaremos en el
curso son:
Las secciones transversales
son constantes y se
desprecian las deformaciones
por corte.

35. Para ensamblar la matriz de cargas [Q] es necesario conocer los momentos de
empotramiento perfecto en cada elemento
Estos momentos aplican para elementos con sección transversal constante.

36. Para ensamblar la matriz de cargas [Q] es necesario conocer los momento de
empotramiento perfecto en cada elemento
Estos momentos
aplican para
elementos con
sección
transversal
constante.

37. Estado primario y complementario
Sea una estructura
sometido a
excitaciones
externas diversas
Tiene 6
GDL

38. Estado primario y complementario

39. Podemos decir del método de rigidez que:

40. Video 3-Columnas corta parte 2

41. El procedimiento de trabajo para resolver estructuras con el método de rigidez por
definición es:

42. Aprendamos con el ejemplo 1:
Obtener el diagrama de momento flector usando el método de rigidez por definición:
1ro. Seleccionamos nuestro sistema generalizado Q-D
2do. Calculamos las cargas nodales del vector Q
Estado primario + Estado complementario
Enunciado: se tiene un cobertizo para almacén de insumos de primera necesidad conformados por columnas
y vigas de concreto armado, una de estas vigas está sometida a las siguientes cargas:

43. Aprendamos con un ejemplo:
2do. Calculamos las cargas nodales= vector Q
Momentos de empotramiento E-E
Estos momentos primarios se
sumarán con los
complementarios para
obtener los momentos totales.

44. Aprendamos con un ejemplo:
2do. Calculamos las cargas nodales del vector Q

45. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K
Coeficiente de rigidez E-E
Se puede ver que los coeficientes
de rigidez son fuerzas que
provocan una configuración
deformada específica, en este
caso: el giro D1=1 y D2=0.

46. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K
Son los momentos
complementarios asociados al
D1= 1, que deberán sumarse
a los momentos primarios.

47. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K

48. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K
Son los momentos
complementarios asociados al
D2= 1, que deberán sumarse
a los momentos primarios.

49. Aprendamos con un ejemplo:
4to. Obtenemos la matriz de desplazamientos nodales D
Las rotaciones siempre se
obtienen en radianes

50. Aprendamos con un ejemplo:
5to. Calculamos los momentos flectores finales sumando los momentos complementarios con los primarios
Momentos flectores
complementarios
=(-2/3)*1.202
Momento antihorario positivo
Momento horario negativo

51. Aprendamos con un ejemplo:
5to. Calculamos los momentos flectores finales sumando los momentos complementarios con los primarios

52. Ejemplo 2:
Obtener el diagrama de
momento flector usando el
método de rigidez por
definición.
1ro. Seleccionamos nuestro
sistema generalizado Q-D
Enunciado: La entrada de una residencial multifamiliar tiene un pórtico de concreto armado conformado por
columnas y vigas, está sometido a las siguiente cargas:
Los GDL de los
volados son
despreciables, se
puede prescindir
de estos GDL

53. Aprendamos con un ejemplo:
2do. Calculamos las cargas nodales= vector Q
Momentos de empotramiento E-E
Estos momentos primarios se
sumarán con los
complementarios para
obtener los momentos totales.

54. Aprendamos con un ejemplo:
2do. Calculamos las cargas nodales del vector Q

55. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K
Coeficiente de rigidez E-E
Se puede ver que los coeficientes
de rigidez son fuerzas que
provocan una configuración
deformada específica, en este
caso: el giro D1=1 y D2=0.

56. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K
Son los momentos
complementarios asociados al
D1= 1, que deberán sumarse
a los momentos primarios.

57. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K

58. Aprendamos con un ejemplo:
3ro. Ensamblamos la matriz de rigidez K
Son los momentos
complementarios asociados al
D2= 1, que deberán sumarse
a los momentos primarios.

59. Aprendamos con un ejemplo:
4to. Obtenemos la matriz de desplazamientos nodales D
Las rotaciones siempre se
obtienen en radianes

60. Aprendamos con un ejemplo:
5to. Calculamos los momentos flectores finales sumando los momentos complementarios con los primarios
Momentos flectores
complementarios
=(-2/7)*6.415 + (-4/7)*(-6.415)
Momento antihorario positivo
Momento horario negativo

61. Aprendamos con un ejemplo:
5to. Calculamos los momentos flectores finales sumando los momentos complementarios con los primarios

62. Para resolver los problemas anteriores es recomendable tabular los resultados
primarios y complementarios
positivo
negativo
Elemento MP(tonf*m) MC1*EI MC2*EI MC (tonf*m) Mfinal(tonf*m)
3-4 1.50 - 2/3 0 -4.28 -2.78
4-3 -1.50 -1 1/3 0 -8.55 -10.05 D1 6.415 /EI= 5.9398E-04
4-5 20.42 - 4/7 - 2/7 -1.83 18.59 D2 -6.415 /EI= -5.9398E-04
5-4 -20.42 - 2/7 - 4/7 1.83 -18.59
5-6 10.00 0 0 0.00 10.00 EI 10800 tonf*m2
6-5 0.00 0 0 0.00 0.00
4-1 0.00 -1 1/3 0 -8.55 -8.55
1-4 0.00 - 2/3 0 -4.28 -4.28
5-2 0.00 0 -1 1/3 8.55 8.55
2-5 0.00 0 - 2/3 4.28 4.28
Momento antihorario
Momento horario
Revisar resultados en Excel
“ejercicios de análisis”.

63. Efectos de los asentamientos en los apoyos en las estructuras

64. Ejemplo 3: Asentamientos en los apoyos

65. Ejemplo 3: Asentamientos en los apoyos

66. Ejemplo 3:
Asentamientos en los
apoyos
El momento flector en el
tramo que sufrió el
asentamiento es de 45.8
tonf*m, probablemente la
viga fallará

67. Conclusiones
• Los métodos matriciales de resolución de estructuras son los más utilizados en la actualidad, incluso los
software de análisis de estructuras emplean estos métodos en sus programaciones.
• ETABS es el software de la corporación CSI especializado en análisis de edificaciones.
• Recordamos los aspectos principales del algebra matricial necesarios para desarrollar este capítulo.
• El método de rigidez sirve para resolver casi todo tipo de estructura ante cualquier excitación externa, y tiene
dos variantes: método por definición y método mecanizado. El método de rigidez por definición formula la
matriz de rigidez usando la definición de coeficientes de rigidez, los cuales son fuerzas que garantizan una
determinada configuración deformada de la estructura.
• El método de rigidez por definición divide a las cargas nodales en un estado primario y otro complementario,
de tal manera, que para obtener las respuestas finales debemos sumar los resultados parciales obtenidos en
cada uno de estos estados.
¿Qué hemos aprendido el día de hoy?

68. EL CONOCIMIENTO ES UN BIEN QUE CRECE A
MEDIDA QUE SE COMPARTE
GRACIAS