El documento describe los elementos básicos de una circunferencia y las propiedades de los ángulos asociados a ella. Explica que la medida de un ángulo central es igual a la medida del arco opuesto, la medida de un ángulo interior es igual a la semisuma de los arcos opuestos, y la medida de un ángulo inscrito es la mitad del arco opuesto. También resuelve problemas aplicando estas propiedades para calcular medidas de ángulos desconocidos.

1. CIRCUNFERENCIA

2. Flecha o sagita N Q  Cuerda PQ Recta secante M P  Radio A B Arco BQ Centro Diámetro ( ) AB T  Recta tangente Punto de tangencia ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA 

3. ANGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

4. A r C  r B  = mAB 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

5. D A  C B 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

6. A B  C 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

7. A C  B 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

8. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC. A  B C

9. A C  O B  + mAB = 180° 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

10. B C  O D A b.-Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

11. B  O C A c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

12. PROBLEMAS RESUELTOS

13. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ. Se traza la cuerda SQ Q P 50° 70º+x R X S Problema Nº 01 RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS PSQ = x Reemplazando: 2X En el triángulo PQS: X + (X+70) + 50° = 180° Resolviendo la ecuación: 140° X = 30°

14. A 70° X P B Resolución Problema Nº 06 Calcule la medida del ángulo “X”.

15. C A mAB=140º 70° X P B RESOLUCIÓN 140º Medida del ángulo inscrito: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 40º Resolviendo: 140º + x = 180º

16. A P X 130º B Resolución Problema Nº 07 Calcular la medida del ángulo “x”

17. C A P X 130º mAB = 260º mACB = 100º 260º + mACB = 360º B mACB + x = 100º RESOLUCIÓN 260º Medida del ángulo inscrito: En la circunferencia: Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º