Teoría, propiedades y ejercicios

1. CIRCUNFERENCIA
TEORÍA
PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS

2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.

3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB
( )
Centro

T

Punto de tangencia
Q

P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ

4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
L
R 

5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
MQ
PM
PQ
R 



6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
C D
 
mBD
mAC
CD
//
AB
:
Si 


7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentes
Arcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
mCD
mAB
CD
AB
:
Si 



8. 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R



9. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio

11. 
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
 = mAB

12. 
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
2
mCD
mAB 



13. 
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2
mAB



14. 
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
B
C
2
mAB



15. 
A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
 + mAB = 180°
2
mAB
-
mACB



16. 
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD
-
mAB



17. 
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
2
mBC
-
mAB



19. 50°
70º+x
X
R
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
x
º
70
2
x
2
º
140
PQS
m 




Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = x
Se traza la cuerda SQ
2
mQRS
PQS
m 

Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.

20. 20°
70°
X
X = 40°
R
Q
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m  S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQR
º
70  mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si mHRS=20º; calcule la mQPR.

21. x
130°
A
C
B
D
X = 40°
2
50
130
X




50°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
P
Resolviendo:
APD = x
Medida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior




90
2
mBC
130
mBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.

22. x
X = 18°
2
X
54
X



M
N
54°
x
x
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
P
A
B
APN = x
Se traza el radio OM:
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mAPN.

23. x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°
2
110
X


A
B
C
P
Q
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Resolviendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la mPRQ.

24. Calcule la medida del ángulo “X”.
Problema Nº 06
70°
B
A
X P
Resolución

25. RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X P
C
140º
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
2
mAB
º
70  mAB=140º

26. Calcular la medida del ángulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P
130º
Resolución

27. RESOLUCIÓN
B
A
X P
130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
X = 80º
2
mAB
º
130  mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º

28. Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Problema Nº 08
2
5 5
A
B
C
Resolución

29. Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUCIÓN
2
5 5
A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10