El documento describe las propiedades básicas de una circunferencia. Define una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes de un punto central. Explica elementos como el radio, diámetro, cuerda, arco y tangente. Luego detalla propiedades como que un radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la tangente, y que cuerdas paralelas determinan arcos congruentes. Finalmente, presenta teoremas sobre medidas de ángulos relacionados a circunferencias.

1. CIRCUNFERENCIA

2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.

3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
Flecha o
sagita Q

Cuerda PQ Recta
P secante

Radio
A  B
Arco BQ
Centro
Diámetro
( AB )
T

Recta
Punto de tangencia tangente

4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
R L

5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
R PQ PM MQ

6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
 
C D
Si : AB // CD mAC mBD

7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A C
Cuerdas congruentes
Arcos congruentes
B
Las cuerdas D
equidistan del
centro
Si : AB CD mAB mCD

8. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
A
R
P
R
B AP = PB

9. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
Inradio
b Circunradio
a r
R R
c
a + b = c + 2r

10. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
b
Cuadrilátero circunscrito
c
a
d
a + c = b + d

11. Problema Nº 10
En un cuadrilátero PQRS m Q = m S = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR Q
PLANTEAMIENTO
3
R
P
2
Resolución
S

12. Q
RESOLUCIÓN
Dato: a 3 b
a + b + c + d = 22cm
R
P
2
c
d
Teorema de Poncelet:
S
PQR  a + b = PR+2(3) +
PSR  c + d = PR+2(2)
a +b + c + d = 2PR + 10
22 = 2PR + 10 PR = 6cm

15. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
r
C
r
B
= mAB

16. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
A D
C
B
mAB mCD
2

17. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
A
B
C
mAB
2

18. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
C
B
mAB
2

19. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.
A
C B
mABC
2

20. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
A mACB - mAB
2
C O
B
+ mAB = 180°

21. b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
B
C
O
D
A
mAB - mCD
2

22. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
B
O
C
A
mAB - mBC
2

24. Problema Nº 01
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
RESOLUCIÓN Por ángulo semi-inscrito PQS
PSQ = x mQRS
Se traza la cuerda SQ m PQS
2
Q P Reemplazando:
50° 140º 2x
70º+x
2X m PQS 70º x
2
En el triángulo PQS:
R X + (X+70) + 50° = 180°
X
Resolviendo la ecuación:
S 140°
X = 30°

25. Problema Nº 02
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.
RESOLUCIÓN En el triángulo rectángulo RHS
PSQ = x
m S = 70º
Q Por ángulo inscrito
mQR
70 º mQR = 140°
2
S 70° 140° Es propiedad, que:
X
20° P
140° + X = 180°
R Resolviendo: X = 40°