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Srta. Yanira Castro Lizana
CIRCUNFERENCIA
CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
Recta
tangente
Recta
secante
Flecha o
sagita
Diámetro
AB( )
Centro

T

Punto de tangencia
Q

P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
LR
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
MQPMPQR
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
C D
 
mBDmACCD//AB:Si
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas
equidistan del
centro
mCDmABCDAB:Si
POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
d = Cero ; d : distancia
Distancia entre
los centros (d)
02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
d > R + r
R r
d = R + r
03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
R r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)
d
d = R - r
04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
d: Distancia entre los centros
R
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Punto de
tangencia
05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
( R – r ) < d < ( R + r )
Distancia entre
los centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
d2 = R2 + r2
Distancia entre
los centros (d)
06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
d
d < R - r d: Distancia entre los centros
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PB
A
B
P
R
R
2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AB = CD
A
B
C
D
R
R
r
r
3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
AB = CD
A
B
C
DR
R
r
r
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
a + c = b + d
d
a
b
c
Cuadrilátero circunscrito
Corolario:
Todo ángulo inscrito en una semi circunferencia es recto.
o
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
= mAB
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la
semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
2
mCDmAB
A
B
C
3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
del arco opuesto.
2
mAB
4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
del arco opuesto.
A
B
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mAB
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mABC
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
la medida del arco ABC.
A
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C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
+ mAB = 180°
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mAB-mACB
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD-mAB
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
2
mBC-mAB
50°
70º+x
X
R
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
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PQSm
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = x
Se traza la cuerda SQ
2
mQRS
PQSm
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
20°
70°
X
X = 40°R
Q
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQR
º70 mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.
x
130°
A
C
B
D
X = 40°
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P
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Medida del ángulo interior
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mBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
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PA
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70°
B
A
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Resolución
RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X P
C
140º
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
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mAB
º70 mAB=140º
Calcular la medida del ángulo “x”
Problema Nº 07
B
A
X P130º
Resolución
RESOLUCIÓN
B
A
X P130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
X = 80º
2
º130
mAB
mAB = 260º
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260º + mACB = 360º
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
Problema Nº 08
2
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A
B
C
Resolución
Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
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RESOLUCIÓN
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5 5
A
B
C
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X
PLANTEAMIENTO
Q
R
S
80º P
a
a
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
Si el arco QR mide 80º, calcular m QPR .
Resolución
2a + 80º = 360º
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140 80
2
º º º
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X
Q
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S
80º P
a
a
P
Q
R
S
2
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PLANTEAMIENTO
Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Resolución
Teorema de Poncelet:
a b
c
d
PQR  a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
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a + b + c + d = 22cm
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Circunferencia ab

  • 1. Srta. Yanira Castro Lizana CIRCUNFERENCIA
  • 2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.
  • 3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA A B Recta tangente Recta secante Flecha o sagita Diámetro AB( ) Centro  T  Punto de tangencia Q  P Radio Arco BQ Cuerda PQ
  • 4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA 01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente. LR
  • 5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes). P Q MQPMPQR
  • 6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas. A B C D   mBDmACCD//AB:Si
  • 7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes. A B C D Cuerdas congruentesArcos congruentes Las cuerdas equidistan del centro mCDmABCDAB:Si
  • 8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS 01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro. r d = Cero ; d : distancia
  • 9. Distancia entre los centros (d) 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común. d > R + r R r
  • 10. d = R + r 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia. R r Punto de tangencia Distancia entre los centros (d)
  • 11. d d = R - r 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia. d: Distancia entre los centros R r Punto de tangencia
  • 12. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones. ( R – r ) < d < ( R + r ) Distancia entre los centros (d)
  • 13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección. d2 = R2 + r2 Distancia entre los centros (d)
  • 14. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes. d d < R - r d: Distancia entre los centros
  • 15. 1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES AP = PB A B P R R
  • 16. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes AB = CD A B C D R R r r
  • 17. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes. AB = CD A B C DR R r r
  • 18. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio. a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a b c r R R Inradio Circunradio
  • 19. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales. a + c = b + d d a b c Cuadrilátero circunscrito
  • 20. Corolario: Todo ángulo inscrito en una semi circunferencia es recto. o
  • 21.
  • 22. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone. A B C r r = mAB
  • 23. A C B D 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos 2 mCDmAB
  • 24. A B C 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto. 2 mAB
  • 25. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto. A B C 2 mAB
  • 26. A BC 2 mABC 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.
  • 27. A B C O 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos: a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. + mAB = 180° 2 mAB-mACB
  • 28. A B C O D b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos. 2 mCD-mAB
  • 29. A B C O c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos. 2 mBC-mAB
  • 30.
  • 31. 50° 70º+x X R S Q 140° 2X X + (X+70) + 50° = 180° X = 30° Por ángulo semi-inscrito PQS Problema Nº 01 RESOLUCIÓN P xº70 2 x2º140 PQSm Reemplazando: En el triángulo PQS: Resolviendo la ecuación: PSQ = x Se traza la cuerda SQ 2 mQRS PQSm Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.
  • 32. 20° 70° X X = 40°R Q En el triángulo rectángulo RHS 140° Es propiedad, que: 140° + X = 180° Por ángulo inscrito Problema Nº 02 RESOLUCIÓN P S m S = 70º Resolviendo: PSQ = x 2 mQR º70 mQR = 140° Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m HRS=20º; calcule la m QPR.
  • 33. x 130° A C B D X = 40° 2 50130 X50° Problema Nº 03 RESOLUCIÓN P Resolviendo: APD = x Medida del ángulo interior Medida del ángulo exterior 90 2 mBC130 mBC = 50° Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
  • 34. x X = 18° 2 X54 X M N 54° x x Problema Nº 04 RESOLUCIÓN PA B APN = x Se traza el radio OM: o Dato: OM(radio) = PM Luego triángulo PMO es isósceles Ángulo central igual al arco Medida del ángulo exterior Resolviendo: En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m APN.
  • 35. x 70° Medida del ángulo inscrito: X = 55° 2 110 X A B C P Q R 110° Problema Nº 05 RESOLUCIÓN PRQ = x Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Resolviendo: 70° + mPQ = 180° mPQ = 110° En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m PRQ.
  • 36. Calcule la medida del ángulo “X”. Problema Nº 06 70° B A X P Resolución
  • 37. RESOLUCIÓN Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: Medida del ángulo inscrito: 70° B A X P C 140º 140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º 2 mAB º70 mAB=140º
  • 38. Calcular la medida del ángulo “x” Problema Nº 07 B A X P130º Resolución
  • 39. RESOLUCIÓN B A X P130º C Medida del ángulo inscrito: En la circunferencia: 260º Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes: X = 80º 2 º130 mAB mAB = 260º mACB = 100º mACB + x = 100º 260º + mACB = 360º
  • 40. Calcule el perímetro del triángulo ABC. Problema Nº 08 2 5 5 A B C Resolución
  • 41. Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2) Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10 (2p) = 24 RESOLUCIÓN 2 5 5 A B C a b a + b = 14 (1) (2) Reemplazando (1) en (2) (2p) = 14 + 10
  • 42. X PLANTEAMIENTO Q R S 80º P a a Problema Nº 09 Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS de modo que los arcos SQ y SR sean congruentes. Si el arco QR mide 80º, calcular m QPR . Resolución
  • 43. 2a + 80º = 360º a = 140º Medida del ángulo exterior: X a 80 2 140 80 2 º º º X = 30º En la circunferencia: RESOLUCIÓN X Q R S 80º P a a
  • 44. P Q R S 2 3 PLANTEAMIENTO Problema Nº 10 En un cuadrilátero ABCD m Q = m S = 90º se traza la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la longitud de PR Resolución
  • 45. Teorema de Poncelet: a b c d PQR  a + b = PR+2(3) + a +b + c + d = 2PR + 10 PR = 6cm Dato: a + b + c + d = 22cm PSR  c + d = PR+2(2) 22 = 2PR + 10 RESOLUCIÓN P Q R S 2 3