1. CIRCUNFERENCIA

2. CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico
de un conjunto de infinitos puntos que
equidistan de un punto situado en el centro.

3. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
M
N
A B
Recta
secante
Recta
tangente
Flecha o
sagita
Diámetro
( A B )
Centro
T
Punto de tangencia
Q
P
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ

4. PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es
perpendicular a la recta tangente.
R
L
R ^L

5. 02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda
la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
M N
R
R ^ PQ Þ PM = MQ

6. 03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes
entre las paralelas.
A B
 
C D
Si : AB // CD Þ mAC =mBD

7. 04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia
les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
CAuercrdoas sc oconnggrurueenntetess
Las cuerdas
equidistan del
centro
Si : AB = CD Þ mAB = mCD

8. POSICIONES RELATIVAS DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.
r
R
d = Cero d = Cero ;; dd :: ddiissttaanncciiaa

9. 02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.
R
r
R r
Distancia entre
los centros (d)
dd RR ++ rr

10. 03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un
punto común que es la de tangencia.
dd == RR ++ rr
r
R
R r
Punto de tangencia
Distancia entre
los centros (d)

11. 04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un
punto en común que es la de tangencia.
d
R
dd == RR -- rr
R
r
Punto de
tangencia
d: Distancia entre los centros

12. 05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes
que son las intersecciones.
R
r
Distancia entre
los centros (d)
(( RR –– rr )) dd (( RR ++ rr ))

13. 06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son
perpendiculares en el punto de intersección.
dd22 == RR22 ++ rr22
Distancia entre
los centros (d)
r
R

14. 06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.
R
r
d
dd RR -- rr d: Distancia entre los centros

15. PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede
trazar dos rayos tangentes que determinan dos
segmentos congruentes.
AAPP == PPBB
A
B
P
R
R
a
a

16. 2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes
AABB == CCDD
A
B
C
r
D
R
R
r

17. 3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.
A
R D
AABB == CCDD
B
C
R
r
r

18. TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma
de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa
mas el doble del inradio.
a
Inradio
b
R R
c
r
Circunradio
a a ++ bb == cc ++ 22rr aa ++ bb == 22 (( RR ++ rr ))

19. TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados
opuestos son iguales.
d
Cuadrilátero circunscrito
aa ++ cc == bb ++ dd
a
b
c

21. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la
medida del arco que se opone.
a
A
B
C
r
r
aa == mmAABB

22. 2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a
la semisuma de las medidas de los arcos
opuestos
b
A
C
B
D
b = mAB +mCD
2

23. 3.- MEDIDA DEL ÁNGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida
q
A
B
del arco opuesto.
C
q = mAB
2

24. 4.- MEDIDA DEL ÁNGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida
d
del arco opuesto.
A
B
C
d = mAB
2

25. 1.- MEDIDA DEL ÁNGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de
e
A
C B
e = mABC
2
la medida del arco ABC.

26. 6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es
igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos
opuestos.
a = mACB - mAB
C a
O
A
B
2
aa ++ mmAABB == 118800°°

27. b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la
semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
b
B
A
C
O
D
b = mAB -mCD
2

28. c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra
secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los
arcos opuestos.
q
A
B
C
O
q = mAB - mBC
2

30. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS
mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la
medida del ángulo PSQ.
PSQ = x
Se traza la cuerda SQ 2
70º+x 50°
X
2X
R
S
Q
140°
Por ángulo semi-inscrito PQS
mÐPQS = mQRS
Reemplazando:
mÐPQS = 140º+2x = +
X + (X+70) + 50° = 180°
XX = = 3 300°°
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
70º x
2
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:

31. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco
QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular
a la cuerda QS, si mÐHRS=20º; calcule la mÐQPR.
20°
70°
X
Q
Por ángulo inscrito
70º = mQR mQR = 140°
R XX = = 4 400°°
H
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m Ð S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2

32. Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se
trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC
y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida
del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
APD = x Medida del ángulo interior
° + = 90°
2
Medida del ángulo exterior
X 130 5050° = ° - °
x
130°
A
C
B
D
2
XX == 4400°°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
P
Resolviendo:
130 mBC
mBC = 50°

33. Problema Nº 04
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga
hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo
secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al
radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la mÐAPN.
APN = x Se traza el radio OM:
x
X 54 X = ° -
2
XX == 1188°°
M
N
54°
x
x
RESOLUCIÓN
A P
B
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:

34. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia
tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”,
“Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide
70º. Calcule la mÐPRQ.
70°
110°
x
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
Medida del ángulo inscrito:
XX = = 5 555°°
X 110= °
2
A
B
C
P
Q
R
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
Resolviendo:

35. Problema Nº 06
Calcule la medida del ángulo “X”.
70°
A
B
X P
Resolución

36. RESOLUCIÓN
70°
Medida del ángulo inscrito:
A
B
70º = mAB mAB=140º
Por la propiedad del ángulo exterior
formado por dos tangentes:
X P
C 140º
2
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º

37. Problema Nº 07
Calcular la medida del ángulo “x”
A
130º X P
B
Resolución

38. RESOLUCIÓN
A
130º C X P
B
260º
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
130º = mAB mAB = 260º
260º + mACB = 360º
Por la propiedad del ángulo exterior
2
mACB = 100º
X = 80º
formado por dos tangentes: mACB + x = 100º

39. Problema Nº 08
Calcule el perímetro del triángulo ABC.
2
5 5
A
B
C
Resolución

40. Teorema de Poncelet: a + b = 10 + 2(2)
Luego el perímetro: (2p) = a + b + 10 = 14 + 10
(2p) = 24
RESOLUCIÓN
2
5 5
A
B
C
a b
a + b = 14 (1)
(2)
Reemplazando (1) en (2)
(2p) = 14 + 10

41. X
PLANTEAMIENTO
Q
R
S
80º P
a
a
Problema Nº 09
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia
se trazan la tangente PQ y la secante PRS de
modo que los arcos SQ y SR sean congruentes.
Si el arco QR mide 80º, calcular mÐQPR .
Resolución

42. En la circunferencia:
2a + 80º = 360º
a = 140º
Medida del ángulo exterior:
X
a
=
-
80 -
2
º º º
=
140 80
2
X = 30º
RESOLUCIÓN
X
Q
R
S
80º P
a
a

43. P
Q
R
S
2
3
PLANTEAMIENTO
Problema Nº 10
En un cuadrilátero ABCD mÐQ = mÐS = 90º se traza
la diagonal PR. Los inradios de los triángulos PQR y
PRS miden 3cm y 2cm respectivamente. Si el
perímetro del cuadrilátero PQRS es 22cm. Calcule la
longitud de PR
Resolución

44. RESOLUCIÓN
P
Teorema de Poncelet:
a b
c
d
PQR  a + b = PR+2(3) +
a +b + c + d = 2PR + 10
PR = 6cm
Dato:
a + b + c + d = 22cm
PSR  c + d = PR+2(2)
22 = 2PR + 10
Q
R
S
2
3