El documento presenta el tema de cálculo diferencial. Explica la definición de derivada y muestra ejemplos de cómo calcular la derivada de funciones simples como f(x)=3x y f(x)=6-x^2. Luego, introduce las reglas para calcular la derivada de funciones más complejas, como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones, así como funciones elevadas a una potencia. Finalmente, proporciona ejercicios de aplicación de estas reglas.

1. Curso de Matemáticas II
Tema:
Cálculo Diferencial
Profesor: Fís. Edgar I. Sánchez Rangel
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel

2. Definición de derivada
La derivada de una función es la razón de cambio de dicha
función cuando cambia x, es decir, cuánto cambian los valores
de y, cuando x cambia una cierta cantidad.
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3. Primeros ejemplos
Vamos a mostrar algunos ejemplos ya resueltos de derivadas,
con la intención de que ustedes vayan deduciendo un
procedimiento (regla) para resolverlas.
f ( x) = 3x f ( x) = 6 − x 2
df df
=3 = −2 x
dx dx
x3 2x +1
f ( x) = f ( x) =
3 5
df df 2
= x2 =
dx dx 5
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4. Regla para
encontrar derivadas
Sea la función:
f(x)= c xn
La derivada de esta función es:
df ( )
n −1
=
dx
df
= cnx n −1
dx
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5. Derivadas especiales
Sea la función:
f ( x)= cx1
La derivada de esta función es:
df 1−1
= ( )
dx
df 0
= cx
dx
df
=c
dx
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6. Derivadas especiales
Sea la función:
f ( x) = c
La derivada de esta función es:
df
=0
dx
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7. Ejemplos de derivadas
Sea la función:
f(x)= 5 x3
La derivada de esta función es:
df 3 −1
= ( )
dx
df
= 15x 2
dx
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8. Ejemplos de derivadas
Sea la función:
f(x)= −3 x4
La derivada de esta función es:
df
= ( ) 4 −1
dx
df
= −12x 3
dx
Matemáticas II Fís. Edgar I. Sánchez Rangel

9. Ejemplos de derivadas
Sea la función:
1
2 5
f(x)= −
3
x
La derivada de esta función es:
df 1
−1
= ( ) 5
dx
4
df 2 −5
=− x
dx 15
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10. Derivada de una suma y
diferencia de funciones
Sea la función:
f ( x ) = g ( x ) ± h( x )
La derivada de la suma o diferencia es:
df dg dh
= ±
dx dx dx
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11. Ejemplos
Sean las funciones:
f ( x) = 5 x 2 + 7 x − 6
df
= 10 x + 7
dx
f ( x) = 4 x 6 − 3 x 5 − 10 x 2 + 5 x + 16
df
= 24 x 5 − 15 x 4 − 20 x + 5
dx
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12. Ejercicios propuestos
Deriva las siguientes funciones:
1
3 −4
f ( x) = −8 x + x
2
4
1
df  1  −2  3 
= (−8)  x +  (−4) x −5
dx 2 4
df 4 3
=− − 5
dx x x
f ( x) = −3 x −4 + 10 x
df 12 5
= 5+
dx x x
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13. Derivada de un producto
de funciones
Si la función que voy a derivar f(x) es el producto de las funciones g(x)
y h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
f ( x ) = g( x )h( x )
df dg dh
= h( x ) + g ( x )
dx dx dx
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14. Ejemplo
Consideremos el siguiente producto de funciones
f ( x) = (8 x 2 − 5 x)(13 x 2 + 4)
Claramente podemos identificar g(x)=8x2-5x y h(x)=13x2+4
y recordando la regla para derivar productos de funciones
df dg dh
= h( x ) + g
tenemos que dx dx dx
df
= (16 x − 5)(13 x 2 + 4) + (8 x 2 − 5 x)(26 x)
dx
= 208 x + 64 x − 65 x − 20 + 208 x − 130 x
3 2 3 2
= 416 x 3 − 195 x 2 + 64 x − 20
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15. Ejercicios propuestos
Resuelve el producto de funciones:
f ( x) = (4 − x)(3 + x 2 )
df
= (−1)(3 + x ) + (4 − x)(2 x)
2
dx
= −3 − x 2 + 8 x − 2 x 2
= −3x 2 + 8 x − 3
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16. Ejercicios propuestos
Deriva este otro producto de funciones:
f ( x) = (3 x 2 − x −3 )(− x −1 + 2 x 2 )
df
= (6 x + 3 x − 4 )(− x −1 + 2 x 2 ) + (3 x 2 − x −3 )( x − 2 + 4 x)
dx
= −6 + 12 x 3 − 3 x −5 + 6 x −2 + 3 + 12 x 3 − x −5 − 4 x −2
−2 −5
= 24 x + 2 x − 4 x − 3
3
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17. Derivada de un producto
de varios factores
Un caso especial en este tipo de derivadas, se presenta cuando
debemos derivar más de dos factores o términos. Para este caso
debemos seguir la siguiente regla. Consideremos tres factores, es decir
f ( x ) = e( x ) g ( x ) h ( x )
su derivada será:
df de dg dh
= g ( x ) h ( x ) + e( x ) h( x ) + e( x ) g ( x )
dx dx dx dx
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18. Ejemplo
Derivemos la siguiente expresión:
f ( x) = (3 − x)(2 − x)(5 − x)
df
= (−1)(2 − x)(5 − x) + (3 − x)(−1)(5 − x) + (3 − x)(2 − x)(−1)
dx
= (−2 + x)(5 − x) + (−3 + x)(5 − x) + (3 − x)(−2 + x)
= (5 − x)(−2 + x − 3 + x) + (−6 + 3 x + 2 x − x 2 )
= (5 − x)(−5 + 2 x) + (−6 + 5 x − x 2 )
= −25 + 10 x + 5 x − 2 x 2 − 6 + 5 x − x 2
= −3 x 2 + 20 x − 31
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19. Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es un cociente de funciones g(x) y
h(x), existe una regla para encontrar la derivada de esta función.
g( x )
f(x)=
h( x )
dg dh
h( x ) − g
df
= dx dx
dx [ h( x ) ] 2
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20. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
4x − 5
f ( x) =
3x + 2
Claramente podemos identificar g(x)=4x-5 y h(x)=3x+2y recordando
la regla para derivar productos de funciones
dg dh
h( x) − g
df
= dx dx
dx [ h( x ) ] 2
tenemos que
df (4)(3 x + 2) − (4 x − 5)(3)
=
dx ( 3x + 2) 2
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21. Ejemplo
df 12 x + 8 − (12 x − 15)
=
dx ( 3x + 2) 2
7
=−
( 3x + 2) 2
Es importante recordar que siempre tenemos que llegar a
la mínima expresión, como fue en este caso.
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22. Ejercicio propuesto
Sea
8 x 2 − 6 x + 11
f ( x) =
x −1
df (16 x − 6)( x − 1) − (8 x 2 − 6 x + 11)(1)
=
dx ( x − 1) 2
16 x 2 − 16 x − 6 x + 1 − 8 x 2 + 6 x − 11
=
( x − 1) 2
8 x 2 − 16 x − 10
=
( x − 1) 2
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23. Ejercicio propuesto
Sea
x3 − 1
f ( x) = 3
x +1
df 3 x 2 ( x 3 + 1) − ( x 3 − 1)(3 x 2 )
=
dx ( x 3 + 1) 2
3x 5 + 3x 2 − 3x 5 + 3x 2
=
( x 3 + 1) 2
6x2
= 3 2
( x +1)
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24. Derivadas
Si la función que voy a derivar f(x) es una h(x), que está elevada a
una potencia n, existe una regla para encontrar la derivada de esta
función.
f ( x ) = [ h( x )]
n
df n −1  dh 
= n[ h( x)]  
dx  dx 
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25. Ejemplo
Consideremos el siguiente cociente de funciones
f ( x) = (5 x − 4) 2
Claramente podemos identificar h(x)=5x-4 y recordando la regla de la
cadena
df n −1  dh 
= n[ h( x)]  
dx  dx 
tenemos que
df
= 2(5 x − 4)(5)
dx
= 10(5 x − 4)
= 50 x − 40
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26. Ejemplo
Sea
f ( x) = 7 x 2 − 6 x + 3
La función puede escribirse también de la siguiente forma:
( )
1
f ( x) = 7 x − 6 x + 3
2 2
( )
1
df 1
= 7 x − 6 x + 3 2 (14 x − 6 )
2 −
y
dx 2
7x − 3
=
( )
1
7x − 6x + 3 2
2
7x − 3
=
7x2 − 6x + 3
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27. Ejemplo
Sea
3x 2 + 6
f ( x) =
( x 3 + 6 x) 2
[ ]
1
−
df 1  3 x 2 + 6  2  (6 x)( x 3 + 6 x) 2 − (3 x 2 + 6) 2( x 3 + 6 x)(3 x 2 + 6)
=  3
 ( x + 6 x) 2   
dx 2  
 
 [ ( x + 6 x)
3
]
2 2


[ ]
1
1  ( x 3 + 6 x) 2   ( x 3 + 6 x) 6 x( x 3 + 6 x) − (3x 2 + 6) 2 
2
=  3x 2 + 6    
2   ( x 3 + 6 x) 4 
=
1 ( x 3 + 6 x) 2 [
 ( x 3 + 6 x) 6 x 4 + 36 x 2 − (9 x 4 + 36 x 2 + 36)  ]
2 3x 2 + 6  ( x 3 + 6 x) 4 
 
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28. Ejemplo
1 ( x 3 + 6 x)  ( x 3 + 6 x)(6 x 4 + 36 x 2 − 9 x 4 − 36 x 2 − 36) 
=
2 3x 2 + 6   ( x 3 + 6 x) 4 

1 1  ( x 3 + 6 x) 2 (−3x 4 − 36) 
=
2 3x 2 + 6 
 ( x 3 + 6 x) 4 

1 1  − 3x 4 − 36 
=  ( x 3 + 6 x) 2 
2 3x 2 + 6  
1 3x 4 + 36
=−
2 ( x 3 + 6 x) 2 3x 2 + 6
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