1. Lógica 1
5. QUÉ ES ANALIZAR UNA ARGUMENTACIÓN 2. QUÉ ES UN SISTEMA AXIOMÁTICO
Analizar una argumentación es ordenar un texto identificando Un sistema axiomático es un conjunto de enunciados estructu-
sus premisas y su conclusión, mostrando todos sus elementos, rados deductivamente. En un tal sistema se parte de la verdad de
incluidos los que están implícitos. unos enunciados básicos, llamados axiomas, para deducir otros
enunciados, llamados teoremas. El sistema será más o menos
Lógica 6. DIFERENCIA ENTRE ARGUMENTACIÓN DEDUCTIVA Y ARGU-
MENTACIÓN INDUCTIVA
complejo dependiendo del número de principios que se adopten y
de la profundidad y extensión de las deducciones que se hagan.
Según el vínculo que exista entre premisas y conclusión se dis-
tinguen dos tipos de razonamientos: deductivos e inductivos. 3. DISTINCIÓN ENTRE VERDAD Y VALIDEZ
1) La argumentación
2) Los argumentos deductivos y la lógica Una argumentación deductiva es aquella en la que la conclusión Es muy importante saber distinguir entre la verdad de una ar-
se sigue necesariamente de las premisas. Esto significa que no gumentación y la validez de una argumentación. Una argumenta-
3) Las paradojas y la lógica
puede ocurrir que siendo verdaderas las premisas sea falsa la ción puede ser válida y ser falsa. En cambio, una argumentación
conclusión. Es decir que de la verdad de las premisas se sigue la inválida nunca puede ser verdadera. Para entender este punto
I. LA ARGUMENTACIÓN verdad de la conclusión. En ciencia son comunes los argumentos fundamental consideremos los tres razonamientos siguientes:
deductivos que parten de premisas generales y extraen conclusio-
1. DEFINICIÓN DE ARGUMENTACIÓN nes particulares. Ejemplo: «Yo soy mortal porque todos los hom-
bres son mortales». (1) Todos los hombres son mortales.............. V
Una argumentación es un razonamiento mediante el cual se in- Sócrates es hombre ................................... V
tenta probar o refutar una tesis, convenciendo de la verdad o En una argumentación inductiva la conclusión no se sigue nece-
sariamente de las premisas. Éstas aportan razones para creer que Por tanto, Sócrates es mortal .................... V
falsedad de la misma.
la conclusión es verdadera pero no lo demuestran. Puede ocurrir
Las argumentaciones o razonamientos son formas en que se (2) Todos los hombres son ricos ......................F
que siendo verdaderas las premisas sea falsa la conclusión. En
expresa la racionalidad humana. Se recurre a ellos en muchos Bill Gates es hombre ................................. V
ciencia son comunes los argumentos que concluyen enunciados
contextos diferentes, tanto de la vida cotidiana como en el ámbito
generales a partir de enunciados particulares. En ellos se atribuye a Por tanto, Bill Gates es rico ....................... V
del derecho o de la ciencia.
todos los miembros de una clase alguna propiedad que ha sido
(3) Todos los hombres son estúpidos ..............F
2. ELEMENTOS DE UNA ARGUMENTACIÓN observada en algunos casos particulares. Ejemplos: «Los metales se
dilatan con el calor», «todos los cuervos negros». Sócrates es hombre ................................... V
Toda argumentación está formada por un conjunto de enun- Por tanto, Sócrates es estúpido..................F
ciados. Uno de ellos, la conclusión, es la tesis que quiere probarse o 7. QUÉ ES UN ARGUMENTO DE AUTORIDAD
defenderse. Los restantes enunciados son las premisas, que consti-
Aquel que pretende concluir la verdad de una tesis por la simple ¡Los tres son válidos pero sólo el primero es verdadero!
tuyen las razones que se aportan a favor de la tesis.
razón de que ha sido mantenida por alguien de prestigio. Por Los tres son válidos porque en los tres casos la conclusión de
3. DIFERENCIA ENTRE UN TEXTO ARGUMENTATIVO Y UN TEXTO ejemplo, se concluye que pasajes de la Biblia o escritos por los deduce de las premisas, es decir, se sigue necesariamente de ellas.
NO ARGUMENTATIVO. padres de la Iglesia son verdaderos. Estos razonamientos, desde un En cambio, sólo es verdadera la primera argumentación porque es
punto de vista lógico, son siempre inválidos. la única en que todos sus enunciados son verdaderos.
Un conjunto de enunciados dispuestos en secuencia no consti-
tuyen necesariamente una argumentación. Así, los textos descrip- Ejemplo de una argumentación inválida:
8. MENCIÓN DE FUENTES Y AUTORES.
tivos o aquellos que expresan deseos no pretenden argumentar (4) Todos los hombres son listos .....................F
Toda argumentación rigurosa debe mencionar explícitamente
sino sólo enunciar. Ejemplo de texto argumentativo: «La tierra Juana es lista ............................................. V
las fuentes de donde se han recogido los datos o informaciones
alegre, el cielo claro, el aire limpio, la luz serena, cada uno por sí y Por tanto, Juana es hombre .......................F
que se utilizan como premisas así como los autores de las mismas.
todos juntos daban manifiestas señales de que el día había de ser
sereno y claro». Ejemplo de texto no argumentativo: «Tengo el
De esta manera, cualquier persona tiene la posibilidad de compro-  La verdad se refiere a las proposiciones (enunciados). Una
bar si los datos se han reproducido de forma correcta, de estudiar proposición será verdadera si se corresponde con la realidad.
sueño de que un día mis cuatro hijos vivirán en una nación donde
cuál ha sido la metodología seguida para obtener la información y La lógica no estudia si un enunciado es verdadero sino si es o
no serán juzgados por el color de su piel sino por su valor como
averiguar si los autores mencionados realmente han dicho lo que no válido.
personas».
se les atribuye.
 La validez se refiere a la forma del razonamiento. El razona-
4. QUÉ ES UN ENTIMEMA miento será válido si hay una relación de consecuencia lógica
Es una argumentación en la que una o varias premisas están II. ARGUMENTOS DEDUCTIVOS Y LA LÓGICA entre premisas y conclusión de modo que de la verdad de las
implícitas, es decir, se dan por supuestas sin ser dichas explícita- premisas se sigue necesariamente la verdad de la conclusión.
mente. Ejemplo: «Como conducía a más de 120 km/h, le han 1. QUÉ ES LA LÓGICA
puesto una multa». En este argumento están implícitas dos premi- 4. LA FORMA DE LOS ARGUMENTOS
sas: 1. está prohibido conducir a más de 120 km/h y 2. La infracción La lógica es la ciencia que estudia la forma de los razonamientos
La lógica no se interesa por argumentos concretos, sino que es-
de esta prohibición se sanciona con multa. deductivos y su validez.
tudia los casos más generales o, lo que es lo mismo, la forma de los

2. Lógica 2
argumentos. Para ello se utilizan un conjunto de letras y signos Analícese la siguiente argumentación y explíquese si es válida o tiene ideas raras» puede ser «Ningún estudiante tiene ideas raras»,
lógicos que permiten expresar cualquier razonamiento de forma inválida. la cual definitivamente no es su negación.
abstracta. Las argumentaciones (1), (2) y (3) tienen en común una
misma forma lógica en virtud de la cual son precisamente válidas. 3) Ningún andaluz es africano. Como Juan vive en Montefrío, Juan EJERCICIO
Esa forma puede simbolizarse así: no es africano.
Encontrar las negaciones de los siguientes enunciados. Las res-
Todos los A son B TEST PARA COMPROBAR LAS APTITUDES LÓGICAS: puestas deben ser en castellano coloquial, pero no vale poner «No
x es A es verdad que» delante del enunciado original; funciona —esto es,
Respóndase verdadero (V) o falso (F) a cada uno de los enunciados produce la negación correcta— pero es demasiado fácil. Lo que se
Por tanto, x es B siguientes: pretende es que se piense sobre qué significa el enunciado y se
La lógica como ciencia estudia las formas de razonar sin ocu-
componga su negación basándose en ese significado.
parse del contenido concreto de los razonamientos.
1) Mi respuesta al 2 es diferente de mi respuesta a este enunciado.
1. Jim está calvo.
5 CÓMO DEMOSTRAR LA INVALIDEZ O INCORRECCIÓN DE UNA 2) Mi respuesta al 3 es la misma que mi respuesta a este enunciado.
2. Mad Max es el presidente de IBM.
ARGUMENTACIÓN. 3) ¡Yo soy una persona estupenda capaz de superarme a mí 3. Tom y Jim están calvos.
Se demuestra haciendo una prueba de independencia lógica. mism@! 4. Tom está calvo y Jim está calvo.
Consiste en hallar una interpretación que ponga de manifiesto 5. Tom o Jim son estrellas de rock.
cómo siendo verdaderas las premisas la conclusión puede ser falsa. Solución del Test 6. Tom es una estrella de rock o Jim es una estrella de rock.
Ejemplo: 7. Dick está casado y Jane está casada.
1) O bien (1) es V o bien (1) es F. 8. Dick y Jane están casados.
Premisa: Alfredo se ha comprado una pecera
2) Si (1) es V entonces (2) es F y (3) sólo puede ser V. [Pues si (3) 9. Todos los moluscos son del sexo femenino.
Conclusión: A Alfredo le gustan los peces.
fuese F (2) tendría que ser V] 10. Algunos supositorios son ambidiestros.
Esta argumentación es inválida porque es posible que Alfredo 11. Ningún graduado en geología es anfibio.
haya comprado la pecera sin que le gusten los peces por cualquier 3) Si (1) es F entonces (2) es F también y (3) sólo puede ser V igual
12. Algunos vegetales son carnívoros.
otro motivo (para regalarla, por ejemplo). Se ve que la verdad de la que en el caso anterior
13. Jean puede superar a cualquiera.
conclusión no depende de la verdad de la premisa. La conclusión En resumen, tanto si (1) es V como si (1) es F, (2) es F. Y 14. Jean puede superar a alguien.
puede ser verdadera o no independientemente de la verdad de la siendo (2) F, (3) no puede ser F, sino V. 15. Sue es amiga de todos los estudiantes del instituto.
premisa. 16. Todo estudiante del instituto tiene amigos.
6 LA NEGACIÓN 17. Hay un estudiante en el instituto que es amigo de cualquiera del
EJERCICIOS instituto.
La negación es una operación lógica elemental, y quizás la más
Sean las siguientes argumentaciones:
importante. En palabras de un viejo lógico: «Si no puedes negar, no
puedes pensar en firme.» Un enunciado es la negación del otro si es Soluciones
1) “Si no llevo a mi novia al baile entonces se sentirá defraudada.
imposible que ambos sean verdaderos al mismo tiempo y es imposi- 1. Jim no está calvo
Si la llevo al baile es que tengo dinero; pero si le pago al sastre
ble que ambos sean falsos al mismo tiempo. Por ejemplo, ¿cuál es 2. Mad Max no es el presidente de IBM
no me quedará dinero. Si no le pago al sastre, no me dará el
la negación del siguiente enunciado compuesto? 3. O Tom no está calvo o Jim no está calvo
traje y sin el traje no puedo llevar a mi novia al baile. O bien le
4. O Tom no está calvo o Jim no está calvo
pago al sastre o bien no le pago. Por tanto, mi novia se sentirá Alicia está en casa y el sol brilla.
5. Ni Tom ni Jim son estrellas de Rock
defraudada” Una respuesta que se suele dar a menudo es «Alicia no está en 6. Ni Tom ni Jim son estrellas de Rock
casa y el sol no brilla». Es incorrecta. La respuesta correcta es: 7. O Dick no está casado o Jane no está casada
2) “O existe el destino o no existe el destino. Si existe el destino
entonces la vida es como un teatro y cada ser humano repre- O bien Alicia no está en casa o bien el sol no brilla. 8. Dick y Jane no están casados
senta un papel que le ha sido asignado previamente. No existe Negar la verdad de una conjunción de enunciados es afirmar 9. Algún molusco no es del sexo femenino
el destino si y sólo si el ser humano es libre; y si esto último es que al menos uno de los enunciados de la conjunción es falso. 10. Ningún supositorio es ambidiestro
así entonces no representa ningún papel asignado previa- Otro ejemplo: 11. Algún graduado en geología es anfibio
mente. Si no existe el destino entonces, si la vida es como un Todo estudiante tiene ideas raras.
12. Ningún vegetal es carnívoro
teatro, cada ser humano representa el papel que elige él mis- 13. (Jean no puede superar a cualquiera) Jean no puede superar a
¿Qué debería hacerse para contradecir esto? Todo lo que hay
mo. Por tanto, si la vida es como un teatro entonces o bien el alguien
que hacer es encontrar un estudiante que no tenga ideas raras. La
ser humano es libre y él mismo elige el papel que representa 14. Jean no puede superar a nadie
negación, por tanto, es la siguiente:
en la vida o bien no es libre y representa un papel previamente 15. Sue no es amiga de algún estudiante del Instituto
asignado”. No todo estudiante tiene ideas raras. Es decir, 16. Algún estudiante del Instituto no tiene amigos
Algún estudiante no tiene ideas raras. 17. Ningún estudiante del Instituto es amigo de todos los estudian-
Informalmente, «negación» se suele confundir con «opuesto». tes del Instituto / Para cualquier estudiante del Instituto hay al
¿Son válidas o inválidas? Explíquese por qué.
En lógica no significan lo mismo. El opuesto de «Todo estudiante menos otro del que no es amigo

3. Lógica 3
7 LA LÓGICA PROPOSICIONAL 3) Reglas de transformación. Son las reglas lógicas que permiten Ejemplos
hacer deducciones, esto es pasar de unas fórmulas dadas a “(p  q)   (r  (t  s))”
La lógica proposicional es la parte más elemental de la lógica. otras como consecuencias lógicas suyas.
Estudia aquellas argumentaciones cuya validez no depende de la Este enunciado molecular se describiría así: “Es un condicional
estructura interna de los enunciados sino de cómo se combinan los cuyo antecedente es la conjunción entre p y q y cuyo consecuente es
8 ENUNCIADOS ATÓMICOS Y ENUNCIADOS MOLECULARES
enunciados entre sí. la negación del bicondicional cuyo componente izquierdo es r y cuyo
Denominaremos enunciado atómico a todo enunciado que componente derecho es la disyunción entre t y s”
La lógica utiliza lenguajes formales construidos artificialmente.
pueda simbolizarse por una letra enunciativa sola y que no vaya Este mismo enunciado se leería así:
Estos lenguajes están constituidos por tres elementos: 1) un con-
acompañada por ningún conector lógico.
junto de signos, 2) un conjunto de reglas de formación de fórmulas Si p y q entonces no es el caso de que r si y sólo si t o s
y 3) un conjunto de reglas de transformación de fórmulas. Una Ejemplos: p, q, r, etc.
fórmula es una expresión bien formada. Llamaremos enunciado molecular a todo enunciado que conste Describe verbalmente este enunciado:
de al menos una letra enunciativa y al menos un conector lógico.
1) Los signos que emplearemos en lógica proposicional son de
Hay cinco tipos de enunciados moleculares según cuál sea el “ (p  (q  s))  ((t   q)   (r  s))”
tres tipos:
conector lógico principal:
1. Letras enunciativas (p, q, r, s…), con subíndices si es preci-
so (p1, p2, p3…), que representan enunciados, los cuales 9 QUÉ ES FORMALIZAR UNA ARGUMENTACIÓN
TIPO DE ENUNCIA- CONECTOR LÓGICO
pueden ser verdaderos o falsos EJEMPLOS
DO MOLECULAR PRINCIPAL Formalizar una argumentación es poner de manifiesto su forma
2. Signos lógicos. Se denominan conectores lógicos y son sig- Negación “ “, Negador “ p “, “ (q  p)”,  (q  (p  r )) lógica mediante la sustitución de sus enunciados por letras enun-
nos que representan las palabras y expresiones mediante Conjunción “  “, Conjuntor “p  q “, “ q  s “,  (r  t)  q “ ciativas y la sustitución de las palabras o expresiones que enlazan
las cuales se unen entre sí los enunciados. Son cinco signos Disyunción “  “, Disyuntor “p  q”, “r   q”, “(t q)  (q   u)” los enunciados entre sí por los conectores lógicos apropiados.
que se explican en la tabla siguiente: Ejemplo: Sea la argumentación del folio anterior:
Condicional “  “, Condicional “ p  r”, “(q  u)   (s  p)
CONECTORES NOMBRE PALABRAS O EXPRESIONES LÓGICAS Bicondicional “  “, Bicondicional “p  q”, “r   t”, “(q  s)   s “ “Si no llevo a mi novia al baile entonces se sentirá defraudada. Si la
LÓGICOS DEL SIGNO QUE SIMBOLIZA
llevo al baile es que tengo dinero; pero si le pago al sastre no me
no, no es el caso que, (y otras expre-
“ “ Negador
siones que indiquen negación)
quedará dinero. Si no le pago al sastre, no me dará el traje y sin el
traje no puedo llevar a mi novia al baile. O bien le pago al sastre o
y, pero, sin embargo, etc. (y expre-
“ “ Conjuntor siones que indiquen coordinación o La tabla siguiente contiene algunas fórmulas de lógica proposi- bien no le pago. Por tanto, mi novia se sentirá defraudada”
conjunción entre enunciados) cional, se indica cómo se leen y a qué tipo de enunciado molecular
o, o bien...o bien, etc.., (expresiones pertenecen.
1) Esta argumentación consta de los siguientes 5 enunciados, a
““ Disyuntor que indiquen disyunción entre
cada una de los cuales se le asigna una letra enunciativa:
enunciados)
ENUNCIADO SE LEE TIPO DE ENUNCIADO
si...entonces (expresiones que p “Llevo a mi novia al baile / La llevo al baile / Puedo llevar a
“ p “ no p negación mi novia al baile”
““ Condicional establezcan condición entre enun-
ciados) “p  q” pyq conjunción q “Mi novia se sentirá defraudada “
Bicondicio- “p  q” póq disyunción r “Tengo dinero /Me quedará dinero”
““ si y sólo si
“p  q”
nal si p entonces q condicional s “Le pago al sastre / Le pago”
“p  q” p si y sólo si q bicondicional t “Me dará el traje (el sastre)”
3. Los paréntesis. Son unos signos auxiliares cuya función es
“ q  s” no q y s conjunción
similar a la función de los signos de puntuación del lengua- “Si no llevo a mi novia al baile entonces se sentirá defraudada.
“r   q” r ó no q disyunción
je escrito. Los paréntesis determinan el alcance de los co- Si la llevo al baile es que tengo dinero; pero si le pago al sastre
nectores precisando el significado de los enunciados. “ (q  p)”, no es el caso de que q ó p negación
no me quedará dinero. Si no le pago al sastre, no me dará el
 (r  t)  q “ no es el caso de que si r entonces t, y q conjunción
2) Reglas de formación. Estas reglas establecen las combinacio- traje y sin el traje no puedo llevar a mi novia al baile. O bien le
o bien si t entonces q o bien si q
nes de signos que se consideran bien construidas. Estas expre- “(t q)  (q   u)” disyunción pago al sastre o bien no le pago. Por tanto, mi novia se sentirá
entonces no u
siones bien formadas se llaman fórmulas. El lenguaje de la lógi- defraudada”
ca proposicional consta de estas reglas de formación de
Utilizaremos los términos “Antecedente” y “Consecuente” para 2) Sustituimos en la argumentación los enunciados por las letras
fórmulas:
referirnos respectivamente al componente izquierdo y al compo- enunciativas asignadas y obtenemos:
1. Cualquier letra enunciativa sola es una fórmula. nente derecho de un condicional. Y se usarán exclusivamente para “Si no p entonces q. Si p es que r; pero si s no r. Si no s, no t y
2. Si  es una fórmula, también lo es . el caso de un condicional. si no t no p. O bien s o bien no s. Por tanto, q”
3. Si y  son fórmulas, también lo son: Para referirnos a los enunciados que componen el resto de los
3) Finalmente sustituimos las palabras en negrita con que se unen
  ,  ,  ,  enunciados moleculares hablaremos de componentes izquierdo y
los enunciados por los conectores lógicos correspondientes y
donde  y  son fórmulas cualesquiera derecho o primero, segundo….
obtenemos la forma lógica de la argumentación:

4. Lógica 4
(b) Decir, en cambio, “tocar la pizarra es condición necesaria para 2. “Sólo si llueve se acabará la sequía aunque eso no baste”
pq que se caiga” no significa que “si se toca se cae” sino que “si 3. No es necesario tener dinero para ser feliz ni tampoco suficien-
(p  r)  (s   r) no se toca no se cae”. Lo que equivale a decir que “si la pizarra te.
se cae entonces se ha tocado”. Por ello, se debe formalizar
( s   t)  ( t   p) 4. Ni se es feliz si se tiene dinero ni sólo se es feliz si se tiene
como “q p”. dinero.
s s
CÓMO FORMALIZAR LAS EXPRESIONES “sólo si ” Y “ si ” 5. Si sólo se aprueba si se saca un cinco en el examen entonces si
q
no se saca un cinco en el examen no se aprueba
Obsérvese que los enunciados moleculares que no están conec- (a) “sólo si ” y 6. Comer, beber y respirar son necesarios para vivir pero no
tados entre sí se escriben en líneas distintas. La expresión “por bastan para vivir bien.
tanto” se simboliza por una línea horizontal para separar las premi- (b) “ si ”:
7. No sólo vino Javier a la fiesta sino que no vino solo.
sas de la conclusión. (a) Decir que “ sólo si ” es decir que  no ocurre si no ocurre 
es decir, que “ es condición necesaria de ”. Así, “ sólo si ”
EJERCICIOS RESUMEN:
se formaliza como “”
1) Formalizar la argumentación 2 del folio anterior.
(b) La expresión “ si ” significa “si  entonces ”, y por ello se
2) Formalizar las siguientes expresiones:
formaliza por “”
1) Si no p entonces q Un mismo condicional puede leerse de todas estas formas:
Ejemplos: 
2) No es el caso de que si p entonces q
a) “Juan se pone el abrigo sólo si hace frío” ........... p q 
3) No p sino q,

4) No p si no q b) “Juan se pone el abrigo si hace frío” .................. q  p ” es condición suficiente de ”
5) p equivale a q,
donde: p – Juan se pone el abrigo; q – Hace frío 2) “si ”, “si ”
6) p no es lo mismo que q,
3) “es condición necesaria de ”
7) Si p no equivale a q sino a r entonces s 11 QUÉ SIGNIFICA LA EXPRESIÓN « si y sólo si »
4) “ sólo si ”
10 DISTINCIÓN ENTRE CONDICIÓN SUFICIENTE Y CONDICIÓN NECESARIA. La expresión “ si y sólo si ” significa “ si  y  sólo si ”, es
Las expresiones “condición suficiente “y “condición necesaria” decir, “()  ()”, expresión que equivale a “ ”
EJERCICIO
se sustituyen por sendos condicionales cuyo sentido se expone en
RESUMEN:
la siguiente regla general:
“ es condición suficiente de ” ........ se formaliza como ................. “”
Formalizar la siguiente argumentación:
“es condición necesaria de ” ........ se formaliza como ................. “” Expresiones Formalización Si los jóvenes quieren prevenirse del contagio del SIDA enton-
ces: si tienen relaciones sexuales, deben protegerse con un condón
donde y representan enunciados cualesquiera. 1) “ es condición suficiente de ”  y si son drogadictos, y toman la droga por inyección intravenosa,
no deben compartir con otros ni la jeringuilla ni la aguja. Que los
Ejemplo: 2) “ es condición necesaria de ”  jóvenes deban protegerse con condón equivale a que utilicen el
(a) “Tocar la pizarra es condición suficiente para que se caiga” condón si tienen relaciones sexuales. Aunque no sea suficiente, es
3) “ no es condición suficiente de ”  () condición necesaria que los jóvenes se conciencien de la importan-
(p  q) cia de estos consejos para que no contraigan la enfermedad. El
4) “ no es condición necesaria de ”   virus del SIDA no distingue ni el sexo, ni la edad ni la orientación
(b) “Tocar la pizarra es condición necesaria para que se caiga”
sexual de las personas sino que puede infectar a todos y si los
(q  p) 5) “ si ”, “si  ”  jóvenes no quieren prevenirse del contagio entonces contraerán la
enfermedad.
En donde: 6) “ sólo si ”, “Sólo si  ” 
Por tanto, o bien los jóvenes contraerán la enfermedad si tie-
p - “Se toca la pizarra / la pizarra es tocada” 7) “ no sólo si ”, “No sólo si  ”  () nen relaciones sexuales y no utilizan el preservativo o bien si no
q - “La pizarra se cae / la pizarra ha caído” contraen el SIDA entonces, si tienen relaciones sexuales, tendrán
conciencia de la importancia de los consejos mencionados y utili-
(a) Decir que “tocar la pizarra es condición suficiente para que se zarán el condón"
EJERCICIO:
caiga” es decir que “si se toca la pizarra entonces se cae” y, por
esto, el enunciado (a) debe formalizarse así “p  q” Formalizar las siguientes expresiones:
Utilizar sólo la letra enunciativa p con subíndices. Pista: en total hay 14
1. “Que llueva es condición necesaria para que se acabe la sequía enunciados distintos. Asígnese p1 al primer enunciado y p14 al último siguien-
pero no suficiente” do el orden de aparición.

5. Lógica 5
SOLUCIÓN DEL EJERCICIO ANTERIOR: sibles, con tres letras se obtienen ocho combinaciones (tal co-
mo se muestra en la tabla adjunta) y con cuatro dieciséis. En 4) Para construir una tabla de verdad hay que calcular:
Diccionario: general se obtienen 2n combinaciones, donde n es el número 1. su número de columnas, que viene dado por el resultado
p1  Los jóvenes quieren prevenirse del contagio del SIDA
de letras enunciativas distintas. de descomponer el enunciado molecular del que se está
p2  (Los jóvenes) tienen relaciones sexuales haciendo la tabla de verdad.
p q p q r
p3  (Los jóvenes) deben protegerse con (un) condón a) Como cabecera de las columnas iniciales se escribirán
p4  (Los jóvenes) son drogadictos 1ª V V 1ª V V V las letras enunciativas atómicas distintas (sin repetir)
p5  (Los jóvenes) toman la droga por inyección intravenosa 2ª V F 2ª V V F que componen el enunciado siguiendo el orden al-
p6  (Los jóvenes) deben compartir con otros la jeringuilla 3ª F V 3ª V F V fabético.
p7  (Los jóvenes) deben compartir con otros la aguja 4ª F F 4ª V F F b) En la cabecera de la columna final aparecerá el enun-
p8  (Los jóvenes) utilicen/utilizan/utilizarán el condón/preservativo ciado molecular completo del que estamos haciendo
5ª F V V
p9  (Los jóvenes) se conciencien-an / tendrán conciencia de la importan- la tabla de verdad, que para una argumentación será
6ª F V F
cia de estos consejos (mencionados) su condicional correspondiente.
p10  (Los jóvenes) contraigan / contraerán la enfermedad 7ª F F V c) Las columnas intermedias se encabezarán disponien-
p11  El virus del SIDA distingue el sexo (de las personas) 8ª F F F do, de menor a mayor complejidad, todos los enun-
p12  (El virus del SIDA distingue) la edad (de las personas) ciados obtenidos tras la descomposición del enuncia-
p13  (El virus del SIDA distingue) la orientación sexual (de las personas) 3) Los conectores lógicos modifican el valor de verdad de un do molecular inicial.
p14  (El virus del SIDA) puede infectar a todos enunciado. Actúan como funciones de verdad que asignan un
valor de verdad al enunciado molecular correspondiente según 2. su número de filas que viene dado por la fórmula, antes
sea el valor de verdad de sus enunciados componentes. mencionada, 2n. Donde n es el número de variables atómi-
Formalización: cas distintas. El número de filas de la tabla coincide con el
Las siguientes tablas definen la función de verdad propia de de atribuciones veritativas posibles de las letras enunciati-
p1  [(p2  p3)  ((p4  p5)  ( p6   p7))] cada conector: vas, sin contar la cabecera de la tabla.
p3  (p2  p8) Las columnas se rellenarán con V y F, aplicando la función de
Criterio de Verdad verdad propia de cada conector.
 (p9   p10)  ( p10  p9)
 p11   p12   p13  p14  ( p1  p10)  Cambia el valor de un enunciado por su opuesto TAUTOLOGÍAS, CONTRADICCIONES E INDETERMINACIONES
Una conjunción de enunciados es V sólo en el caso de Las tablas de verdad pueden ofrecer tres resultados:
[(p2   p8)  p10]  [ p10  (p2  (p9  p8))]  que todos sus componentes sean V. Habiendo un
componente F la conjunción entera es F 1) Tautología, cuando la columna final da todo V, es decir, cuando
el enunciado del que se está haciendo la tabla de verdad es
Una disyunción en V cuando al menos es V un compo-
siempre V. En este caso la argumentación es válida y sólo lo es
12 LAS TABLAS DE VERDAD  nente. Una disyunción es F sólo en el caso de que todos
en este caso. Un enunciado tautológico es verdadero siempre.
sus componentes sean F.
La lógica ha desarrollado diversos métodos para averiguar qué Ejemplos: p ppppp
transformaciones de enunciados –y por tanto qué razonamientos- El valor de verdad de un condicional sólo es F cuando su
 antecedente es V y su consecuente F. En los demás 2) Contradicción, cuando el resultado es todo F en la columna
son válidos. Uno de estos métodos es el de las tablas de verdad.
casos el condicional es V. final. Un enunciado contradictorio es falso siempre. Ejemplos:
Este método sirve para comprobar si siempre que las premisas  (p p), q q
son verdaderas también lo es la conclusión y saber así si la argu- Un bicondicional es V cuando sus componentes tienen
mentación en cuestión es válida o no. Para elaborar una tabla de  el mismo valor de verdad y F cuando tienen distinto 3) Indeterminación o contingencia, cuando al menos un valor es V
verdad hay que tener en cuenta los siguientes puntos: valor de verdad. y al menos un valor es F. Un enunciado contingente puede ser
verdadero o falso. Ejemplos: p q, p  q
1) Una argumentación también puede formalizarse mediante un
condicional, aquél cuyo antecedente es la conjunción de las EJEMPLO DE TABLA DE VERDAD
Conectores lógicos
premisas entre sí y cuyo consecuente es la conclusión. Así, pa-
Sea el siguiente razonamiento:
ra toda argumentación hay un enunciado condicional corres-        
pondiente constituido como se acaba de explicar. Si Alfredo tiene más de trece años entonces puede ver la pelí-
V F V V V V V V cula. Alfredo tiene más de trece años. En conclusión, Alfredo
2) Una proposición sólo puede ser verdadera o falsa, lo que en F V V F F V F F puede ver la película.
lógica se expresa con las letras V y F. Hay que considerar todas
F V F V V F pq
las atribuciones posibles de valores de verdad V y F de las le- Su formalización da el siguiente resultado:
tras enunciativas que intervengan en la argumentación. Dos le- F F F F V V p
p – Alfredo tiene más de trece años
tras (dos proposiciones) dan lugar a cuatro combinaciones po- q – Alfredo puede ver la película q

6. Lógica 6
y el condicional correspondiente a esta argumentación es: TABLA DE VERDAD CORRESPONDIENTE A LA ARGUMENTACIÓN 2 Diccionario:
((p  q)  p) q DEL FOLIO 2
p – Existe el destino
La tabla de verdad de este enunciado es: O existe el destino o no existe el destino. Si existe el destino entonces la
q – La vida es como un teatro
vida es como un teatro y cada ser humano representa un papel que le ha
sido asignado previamente. No existe el destino si y sólo si el ser humano es r – Cada ser humano representa un papel previamente asignado
p q pq (p  q)  p ((p  q)  p) q libre; y si esto último es así entonces no representa ningún papel asignado s – El ser humano es libre
V V V V V previamente. Si no existe el destino entonces, si la vida es como un teatro, t – Cada ser humano representa el papel que elige él mismo
cada ser humano representa el papel que elige él mismo.
V F F F V p   p ................................................ A
Por tanto, si la vida es como un teatro entonces o bien el ser humano es p  (q  r) .......................................... B
F V V F V libre y él mismo elige el papel que representa en la vida o bien no es libre y
F F V F V ( p  s)  (s   r) .......................... C
representa un papel previamente asignado.
 p  (q  t) ..................................... D (A  B  C  D)  F
q  ((s  t)  ( s  r)) ........................ F EF
EXPLICACIÓN DE POR QUÉ LAS TABLAS DE VERDAD SIRVEN PARA
SABER SI UNA ARGUMENTACIÓN ES VÁLIDA O NO.      A B C D E F
p q r s t p r s qr ps sr qt st sr pp p  (q  r) ( p  s)  (s   r)  p  (q  t) AB C D (s  t)  ( s  r) q  ((s  t)  ( s  r)) EF
1 V V V V V F F F V F F V V F V V F V F V V V
Si observamos la tabla del ejemplo anterior vemos que la co-
2 V V V V F F F F V F F F F F V V F V F F F V
lumna final da todo V. Es decir, que el condicional correspondiente
3 V V V F V F F V V V V V F V V V V V V V V V
a la argumentación es tautología. Cuando eso sucede sabemos que V V V F F F F V V V V F F V V V V V V V V V
4
la argumentación es válida porque no ocurre en ningún caso que 5 V V F V V F V F F F V V V F V F F V F V V V
sus premisas sean V y su conclusión F, (el antecedente del condi- 6 V V F V F F V F F F V F F F V F F V F F F V
cional representa la conjunción de las premisas y el consecuente 7 V V F F V F V V F V V V F F V F V V F F F V
representa la conclusión). 8 V V F F F F V V F V V F F F V F V V F F F V
9 V F V V V F F F F F F V V F V F F V F V V V
(Se recuerda que la definición de argumentación válida estable-
10 V F V V F F F F F F F V F F V F F V F F V V
ce que nunca puede ocurrir que siendo V las premisas sea F la
11 V F V F V F F V F V V V F V V F V V F V V V
conclusión)
12 V F V F F F F V F V V V F V V F V V F V V V
13 V F F V V F V F F F V V V F V F F V F V V V
14 V F F V F F V F F F V V F F V F F V F F V V
OTRO EJEMPLO DE RAZONAMIENTO VÁLIDO 15 V F F F V F V V F V V V F F V F V V F F V V
16 V F F F F F V V F V V V F F V F V V F F V V
17 F V V V V V F F V V F V V F V V F V F V V V
O la célula no es eucariota o la célula tiene núcleo. Si la célula 18 F V V V F V F F V V F F F F V V F F F F F V
tiene núcleo, su ADN está contenido en el interior del núcleo. Por 19 F V V F V V F V V F V V F V V V F V F V V V
tanto, o el ADN está contenido en el interior del núcleo celular o la 20 F V V F F V F V V F V F F V V V F F F V V V
célula no es eucariota. 21 F V F V V V V F F V V V V F V V V V V V V V
22 F V F V F V V F F V V F F F V V V F F F F V
p – La célula es eucariota 23 F V F F V V V V F F V V F F V V F V F F F V
q – La célula tiene núcleo 24 F V F F F V V V F F V F F F V V F F F F F V
25 F F V V V V F F F V F V V F V V F V F V V V
r – El ADN está contenido en el interior del núcleo celular
26 F F V V F V F F F V F V F F V V F V F F V V
pq 27 F F V F V V F V F F V V F V V V F V F V V V
28 F F V F F V F V F F V V F V V V F V F V V V
qr  p  q)  (q  r))  (r   p)
29 F F F V V V V F F V V V V F V V V V V V V V
rp 30 F F F V F V V F F V V V F F V V V V V F V V
31 F F F F V V V V F F V V F F V V F V F F V V
32 F F F F F V V V F F V V F F V V F V F F V V
p q r  p  p  q q  r ( p  q)  (q  r) r   p (( p  q)  (q  r))  (r   p)
V V V F V V V V V
V V F F V F F F V EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD EJERCICIOS DE TABLAS DE VERDAD
V F V F F V F V V
1) ((p  (q   r))   q)   p ...................................................... Tautología 5)  ( ((p   r)   q)  (q   (r   p))) .............................Contradicción
V F F F F V F F V
F V V V V V V V V 2) (p   (q  r))  ( ( q  r)   p) .................................... Contradicción 6)  ( ( ( p  q)   r)   ( (p   q)   r)) ................... Contingencia
F V F V V F F V V 3) (p   q)  (((r   p)  q)   r) .......................................... Contingencia 7)  ( ( q  (r   p))  (p  ( r   q)))  q .......................... Tautología
F F V V V V V V V 4)  ( ( (p   q)   r)   ( ( p  q)   r)) ................... Contingencia 8)  ( (r   ( q  p))   (( p  (q  (r   p)))  ( p  q))) ......... Contingencia
F F F V V V V V V
9)  ( ( (p   q)   r)   ( ( p  q)  r))  (q   q) ................... Tautología

7. Lógica 7
SOLUCIONES DEL EJERCICIO DEL FOLIO 4 2) Si el tiempo es finito entonces tuvo un principio. Pero si tuvo un Diccionario: 2
Formalización:
principio entonces hubo un tiempo anterior al surgimiento del
tiempo y si esto fue así entonces el tiempo es infinito. Si el tiempo p — El tiempo es finito (p  q)  (q  r)  (r   p)
Formalizar las siguientes expresiones:
es infinito entonces no tuvo principio; y si no tuvo comienzo en- q — [El tiempo tuvo un principio/comienzo
r — Hubo un tiempo anterior al surgi- ( p   q)  ( q  s)  (s   t)  (t    p)
1. “Que llueva es condición necesaria para que se acabe la sequía tonces hasta el presente habría transcurrido un tiempo infinito.
pero no suficiente” Ahora bien, si el tiempo transcurrido hasta el presente hubiese miento del tiempo
sido infinito jamás habría llegado el tiempo presente. Y si el s — Hasta el presente habría/ha transcurri- (p   p)  ( p  p)  u
2. “Sólo si llueve se acabará la sequía aunque eso no baste”
do un tiempo infinito
3. No es necesario tener dinero para ser feliz ni tampoco suficien- tiempo presente ha llegado entonces el tiempo no es infinito. Por
t — Habría /ha llegado el tiempo presente
te. tanto, si el tiempo es finito entonces es infinito y si es infinito
u — Esto es un lío
4. Ni se es feliz si se tiene dinero ni sólo se es feliz si se tiene entonces es finito. Y esto es un lío.
3 Formalización:
dinero. 3) Dos más dos es igual a cinco si y sólo si las estrellas tienen gripe. Diccionario:
5. Si sólo se aprueba si se saca un cinco en el examen entonces si Ahora bien, las estrellas tienen gripe si o bien tienen fiebre y es-
p — Dos más dos es igual a cinco (p  q)  (((r  s)  t)  q)
no se saca un cinco en el examen no se aprueba tornudan o bien las leyes políticas son de color púrpura. Si no q — Las estrellas tienen gripe ( (r  s)   t)  (p  u)
6. Comer, beber y respirar son necesarios para vivir pero no ocurre ni una cosa ni otra entonces dos más dos es igual a cinco r — [Las estrellas tienen fiebre  (q  u)   p
bastan para vivir bien. si y sólo si los átomos se disfrazan en sus fiestas de carnaval. s — [Las estrellas estornudan
Además no es el caso que si las estrellas tienen gripe entonces los w
7. No sólo vino Javier a la fiesta sino que no vino solo. t — Las leyes políticas son de color púrpura
átomos se disfracen en sus fiestas de carnaval. Pero dos más dos u — Los átomos se disfrazan en sus fiestas de carnaval
no es igual a cinco. Conclusión: el sentido de todo esto es que w — El sentido de todo esto es que todo esto no tiene sentido
1 y 2 dicen lo mismo, por eso tienen la misma solución: todo esto no tiene sentido.
p - llueve/a 4) O se está sano o se está enfermo pero no ambas cosas a la vez.
(q  p)   (p  q) La enfermedad implica que el organismo afectado padezca una 4
q - se acaba/e la sequía Diccionario: Formalización:
alteración en su equilibrio fisiológico. Pero estar sano equivale a
p — se está sano / estar sano /se
3 El mismo diccionario vale para 3 y 4 no estar enfermo y viceversa. Por tanto, si el organismo no sufre (p  q)   (p  q)
tiene (tendrá) salud
una alteración de su equilibrio tendrá salud y no estará enfermo.
p - se tiene dinero/ tener dinero q — se está (estará) enfermo / la (q  r)  (p   q)  (q   p)
 (q  p)   (p  q) Y si padecer una alteración del equilibrio del organismo es condi-
q - se es feliz/ ser feliz enfermedad
ción suficiente para estar enfermo entonces si se está sano, ni se r — el organismo afectado padezca [ r  (p   q)]  [(r  q)  (p  ( r   q))]
sufre alteración en el equilibrio fisiológico del organismo ni se (sufra) una alteración en (de) su
4  (p  q)   (q  p) está enfermo. equilibrio (fisiológico)
5) "Si Romualdo no quiere a Filomena entonces Everisto ni quiere a
5 Pancracia ni quiere a Leonora. Pero si Everisto quiere a Tita Cle-
p - se aprueba (p  q)  (q  p) mentina entonces Romualdo no quiere a Leonora sino a Filome-
q - se saca un cinco en el examen na. Y Osvaldo Felipe se pondrá contento si Romualdo quiere a Diccionario:
6 Filomena. Que Leonora obtenga dinero de Romualdo es condi- 5
ción suficiente, pero no necesaria, para que Ruperto pueda ser p1 — Romualdo quiere a Filomena
p - se come/comer p2 — Everisto quiere a Pancracia
q - se bebe/beber (s  (p  q  r))   ((p  q  r)  s) operado de su gravísima enfermedad. Si Everisto no quiere a Tita
Clementina entonces quiere a Pancracia y si esto es así, Osvaldo p3 — Everisto quiere a Leonora
r - se respira/respirar p4 — Everisto quiere a Tita Clementina
Felipe no se pondrá contento. Si Leonora y Filomena son la mis-
s - se vive/vivir p5 — Romualdo quiere a Leonora
ma persona entonces Leonora obtendrá el dinero de Romualdo si
t - se vive bien /vivir bien p6 — Osvaldo Felipe se pondrá contento
éste la quiere (a Filomena). Ahora bien, si Osvaldo Felipe odia a p7 — Leonora obtiene/obtenga/obtendrá dinero de Romualdo
7 Tita Clementina entonces Everisto quiere a Pancracia y Romualdo p8 — Ruperto pueda/pudo ser operado de su gravísima enfermedad
p – Javier vino a la fiesta p q quiere a Filomena. Pero Ruperto no pudo ser operado y Leonora p9 — Leonora y Filomena son la misma persona / Leonora era la misma
q – Javier vino solo (a la fiesta) era la misma persona que Filomena. Por tanto, o bien Leonora es persona que Filomena
la misma persona que Everisto y Osvaldo Felipe no se puso con- p10 — Osvaldo Felipe odia a Tita Clementina
tento o bien Osvaldo Felipe se puso contento pero esto es un lío". p11 — Leonora es la misma persona que Everisto
p12 — Esto es un lío
MÁS ARGUMENTACIONES PARA FORMALIZAR, RESUELTAS
1) Si Juan fuese valiente no se echaría a temblar cuando ve a Luisa. Pero 1
Diccionario: Formalización: Formalización:
si se echa a temblar cuando la ve entonces es que la ama y no sabe
cómo decírselo. Juan es valiente si y sólo si es el caso que si ama a p — Juan es/fuese valiente ( p1  ( p2   p3))  (p4  ( p5  p1))  (p1  p6)
(p   q)  (q  (r   s))
Luisa entonces sabe decírselo. Además, si sabe decirle que la ama q — [Juan se echa/echaría a temblar (p7  p8)   (p8  p7)
(p  (r  s)) (s   p)   r)
pero no es valiente entonces Juan no ama a Luisa. Por consiguiente, si cuando [la ve [a Luisa ( p4  p2)  (p2   p6)
Juan es valiente y no sabe cómo decirle a Luisa que la ama entonces o r — [Juan ama a Luisa / la ama (p   s)  ( r   p) (p8  (p1 p7))  (p10  (p2  p1))   p8  p9
bien no la ama o bien no es valiente. s — [Juan sabe cómo decirle [a Luisa
que la ama/ sabe decírselo (p11   p6)  (p6  p12)