Matematica para todos

Matemática Para Todos
Reynaldo González
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ÍNDICE
• Datos del escritor: Reynaldo González 3
• Introducción 4
• Unidad I: Término 5
• Unidad II: Polinomios 16
• Unidad III: Operación de Polinomios 33
• Unidad IV: Factorización 78
3/10/2018
Reynaldo González. Suscríbete:
https://www.youtube.com/user/cerebroote
2

Datos del escritor: Reynaldo González
• Reynaldo González se ha trabajado como docente en los niveles
Primario, Secundario y Superior.
• Actualmente labora como docente de matemática en la Universidad
Tecnológica de Santiago UTESA recinto Puerto Plata y es Subdirector
de la Escuela Primaria María Mercedes Meyreles.
• Tiene maestría en Matemática de la Escuela de Graduados de UTESA
y Master en Profesorado en Educacion Secundaria Mención
Matemáticas en la Universidad a Distancia de Madrid.
3/10/2018
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Introducción
• Matemática para todos, es un breve resumen de algunos contenidos
algebraicos, como los términos, polinomios, operaciones de
polinomios, división sintética, productos notables, cocientes notables,
factorización y otros.
4/10/2018
4
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Unidad I:Término
Por: Reynaldo González
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Unidad I. Término
• Término: Definición y elementos. Visualizar esta clase en YouTube
• Grados de un término. Visualizar esta clase en YouTube
• Clasificación de los términos según su grado. Visualizar esta clase en
YouTube
• Términos semejantes. Visualizar esta clase en YouTube
• Ejercicios Práctica en Word Práctica en PDF
4/10/2018
6
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Es una expresión algebraica que consta de:
• Signo: + o –
• Coeficiente o Constante: N, Z, Q, Q´, R, C
• Parte literal o variable: a,b,c …, x,y,z
• Exponentes
Ejemplos:−3𝑎𝑏2
2𝑚3
Signo
Coeficiente o constante
Parte Literal o variable
Exponentes
Signo
Coeficiente o constante
Parte literal o variable
Exponente
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
a,b,c son las constantes
x es la variable
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4/10/2018
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Identifica los elementos de cada término
Término Signo Coeficiente Parte literal Exponentes
−9𝑚4 𝑛6
5𝑥𝑦6
3
4
𝑥4
−𝟓
4/10/2018
8
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Grados de un término
• Absoluto: consiste en sumar los exponentes de las variables
• Relativo: consiste en escribir el exponente de la variable pedida
Ejemplo: Hallar el grado absoluto y relativo de los siguientes términos:
a)−3𝑎𝑏2 𝑐4 b)53 𝑚
𝐸𝑙 𝐺𝐴: 1 + 2 + 4 = 7° El GA= 1°
El GR: ቐ
𝑎 = 1°
𝑏 = 2°
𝑐 = 4°
El GR: m= 1°
4/10/2018
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Ejercicio: Hallar el grado absoluto y relativo
de los siguientes términos.
• −9𝑚4 𝑛6
• 57 𝑥𝑦6
•
3
4
𝑥4
• -5
4/10/2018
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Clasificación de los términos según su grado
• Homogéneos: es cuando el grado absoluto de dos o más términos es
el mismo.
• Heterogéneos: es cuando el grado absoluto de dos o más términos
es distinto.
• Ejemplo: −10𝑥3
𝑦6
y 8𝑎2
𝑏4
𝑐2
𝑑 son homogéneos
• Ejemplo: 2𝑥𝑦4 y 4𝑥3 𝑦 son heterogéneos
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Ejercicio. Clasificar los términos según su
grado en: homogéneos y heterogéneos
• 𝑚3 𝑦 4𝑎𝑏𝑐 ___________________________
• 5𝑥𝑦6 𝑦 − 4𝑥5 𝑦____________________________
4/10/2018
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Términos semejantes
Dos términos son semejantes si se cumplen estas condiciones:
• Que tengan las mismas variables
• Que las variables tengan los mismos exponentes respectivamente
Los términos que no contengan variables son semejantes
4/10/2018
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Ejemplos: Determinar cuáles de estos
términos son semejantes
• −3𝑚2 𝑛3 y 9𝑚2 𝑛3 Sí
• −
7
3
𝑛7 𝑚6 y 9𝑚6 𝑛7 Sí
• 8 y -15 Sí
• 5𝑥3 y 5𝑥2 No
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Ejercicio: Determinar cuáles de estos
términos son semejantes
• −6𝑥2 𝑦3 𝑧2 3𝑥3 𝑦3 𝑧2______________________
•
2
7
𝑎3 𝑏5 − 8𝑎3 𝑏5________________________
• 5𝑥3
𝑦2
− 5𝑎3
𝑦2
_______________________
• −4 8 _______________________
4/10/2018
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Unidad II: Polinomios
Por Reynaldo González
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Unidad II. Polinomios
• Definición de polinomio. Visualizar esta clase en YouTube
• Clasificación de los polinomios según la cantidad de términos.
• Polinomio completo. Visualizar esta clase en YouTube
• Ordenar un polinomio. Visualizar esta clase en YouTube
• Grados de un polinomio. Visualizar esta clase en YouTube
• Término y coeficiente principal. Visualizar esta clase en YouTube
• Ejercicios Práctica en Word Práctica en PDF
4/10/2018
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Un polinomio es:
• Un único término.
• La suma finita de términos.
• 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
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Un polinomio es:
• 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 + 𝑎 𝑛−2 𝑥 𝑛−2 + ⋯ + 𝑎1 𝑥 + 𝑎0
• Donde
𝑎 𝑛, 𝑎 𝑛−1, +𝑎 𝑛−2, … 𝑎1, 𝑎0 son coeficientes
𝑥 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑛 ∈ 𝑧, 𝑛 ≥ 0
𝑎0 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
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Ejemplo: ¿Cuál de las siguientes expresiones
algebraicas es un polinomio?
• 3𝑥2 + 5𝑥 + 4 Sí, sus exponentes son enteros no negativos
• 5𝑚5 𝑛 Sí, sus exponentes son enteros no negativos
• 5𝑥−3 + 2𝑥 + 7 No, -3 es un entero negativo
• 4𝑎
1
3 + 2𝑎 − 8 No,
1
3
no es un entero
• 5 𝑥 + 7𝑥 − 5 No, 𝑥=𝑥
1
2 y
1
2
no es un entero
•
5𝑥+4
𝑥
No, 5 +
4
𝑥
= 5 + 4𝑥−1, -1 es un entero negativo
4/10/2018
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Ejercicio: ¿Cuál de las siguientes expresiones
algebraicas es un polinomio?
• 7𝑥−2 + 4𝑥 + 2
• 5𝑚5 − 𝑛
• 5𝑥3 + 2𝑥 + 7
• 4𝑎
6
3 + 3𝑎 − 8
• 5𝑥−3 + 7𝑥 − 9
•
5𝑥+4𝑥2
𝑥
4/10/2018
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Clasificación de los polinomios según la
cantidad de términos
• Monomio: −3𝑥2 𝑦, 5𝑎, 7, 𝑎𝑏𝑐𝑑
• Binomio: 1 + 𝑎, 8𝑚 − 6, 8𝑥3 𝑦 + 3𝑥6 𝑦, 𝑎𝑏 − 𝑐d
• Trinomio:𝑎 + 𝑏 − 𝑐𝑑, 3𝑥2 + 5𝑥 + 4, 5𝑥3 + 2𝑥 + 7
• Polinomio de n términos: 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 + 𝑑, 3𝑥2 + 5𝑥 + 4 − 𝑥3 + 𝑥5,
4/10/2018
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Clasifica los siguientes polinomios en: monomio,
binomio, trinomio y polinomio de n términos.
• 3𝑚 − 5𝑛 + 4𝑝 + 3𝑠 − 7
• 𝑥5 + 3𝑥2 + 5𝑥 + 4
• −𝑥3 + 𝑥5
• ab
• 4 − 𝑥3
• 3𝑥2 + 5𝑥 + 4
• −9𝑚4
𝑛6
4/10/2018
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Polinomio completo
• Un polinomio es completo si todos los exponentes de cierta variable
están todos desde el término independiente hasta el mayor de los
exponentes.
4/10/2018
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Polinomio completo
Ejemplo:
El polinomio 3𝑥2
+ 5𝑥 + 7𝑥4
+ 4 − 𝑥3
+ 𝑥5
es completo, el término
independiente es el 4, que seria el exponente cero, y no hay saltos
hasta el exponente 5.
El polinomio 3𝑥2
+ 4 − 𝑥3
+ 𝑥5
no es completo, el término
independiente es el 4, que seria el exponente cero, pero falta 𝑥
El polinomio 3𝑥2 + 5𝑥 + 𝑥3 + 𝑥5 no es completo, porque le falta el
término independiente es el 4.
4/10/2018
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Ejercicio. Clasificar los polinomios en
completo e incompleto
• 5𝑥 + 4
• 3𝑥6 + 5𝑥 + 7 − 8𝑥3 + 𝑥5
• −7𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥 + 8
• −7𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥
4/10/2018
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Ordenar un polinomio
• Los polinomios pueden organizarse de forma:
• Ascendente: Partiendo del término independiente hasta llegar al
términos que contenga el exponente mayor de la variable dada.
• Descendente: Parte del mayor exponente hasta llegar al término
independiente.
• Ejemplo ordenar: 3𝑥2 − 7𝑥4 + 5𝑥 + 4 − 𝑥3 + 𝑥5
Ascendente: 4 + 5𝑥 + 3𝑥2
− 𝑥3
− 7𝑥4
+ 𝑥5
Descendente: 𝑥5 − 7𝑥4 − 𝑥3 + 3𝑥2 + 5𝑥 + 4
4/10/2018
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Ejercicio: Ordenar tanto de forma ascendente
como descendente los siguientes polinomios
• 3𝑥6 + 5𝑥 + 7 − 8𝑥3 + 𝑥5
• 9𝑥5 + 8𝑥3 − 7𝑥4 − 3𝑥 + 8 − 2𝑥2
• −7𝑥4 + 8𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥
4/10/2018
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Grados de un polinomio
• Grado Absoluto o simplemente “Grado”: es el mayor de los grados
absolutos de cada término del polinomio.
• Grado Relativo: es el mayor de los exponentes de la variable pedida.
4/10/2018
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Hallar los grados absoluto y relativo de los
polinomios dados
• −3𝑚3 𝑛4 + 5𝑚𝑛4 − 3𝑚2 𝑛
El grado relativo es: para m=3° y para n=4°
En este caso: 𝑥5 + 8𝑥3 − 7𝑥4 − 3𝑥 + 8 − 2𝑥2, el grado 5°, tanto el
relativo como el absoluto.
GA=7° GA=5° GA=3°
El grado del término es 7°
4/10/2018
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El término y coeficiente principal
• −3𝑚3 𝑛4 + 5𝑚𝑛4 − 3𝑚2 𝑛
El término principal es −3𝑚3 𝑛4 y el coeficiente principal es 3
En este caso: 𝑥5 + 8𝑥3 − 7𝑥4 − 3𝑥 + 8 − 2𝑥2, el grado 5°, El término
principal es 𝑥5 y el coeficiente principal es 1.
GA=7° GA=5° GA=3°
El grado del término es 7°
4/10/2018
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Ejercicio de la unidad I y II
Descargar:
• Práctica en Word
• Práctica en PDF
4/10/2018
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Unidad III: Operaciones de
polinomios
Reynaldo González
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Unidad III: Operaciones de polinomios
• Adición y sustracción Visualizar esta clase en YouTube
• Multiplicación y división de polinomios Visualizar esta clase en YouTube
• Más multiplicaciones Visualizar esta clase en YouTube
• Valor numérico de expresiones algebraicas Visualizar esta clase en YouTube
• Productos notables: La suma por la diferencia de dos cantidades Visualizar esta clase en YouTube
• Productos notables: El cuadrado de la suma/diferencia de dos cantidades Visualizar esta clase en YouTube
• Productos notables: el cubo de la suma/diferencia de dos cantidades Visualizar esta clase en YouTube
• Productos notables: Suma y diferencia de cubos Visualizar esta clase en YouTube
• Productos especiales Visualizar esta clase en YouTube
• Cocientes notables: Diferencia de cuadrados Visualizar esta clase en YouTube
• Cocientes notables: suma y diferencia de cubos Visualizar esta clase en YouTube
• División sintética o algoritmo de Ruffini Visualizar esta clase en YouTube
• Teorema del residuo o resto Visualizar esta clase en YouTube
• Teorema del factor: Visualizar esta clase en YouTube
• Ejercicios:Ejercicio de Algebra en PDF Ejercicio de Algebra en Word
4/10/2018
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Adición y sustracción
Para sumar o restar polinomios se toma en
cuenta:
•Los términos semejantes
•La regla de los signos
En otras palabras se reducen los términos
semejantes
4/10/2018
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Ejemplo:
Sumar los siguientes polinomios:
a) 3𝑥2 + 5𝑥 − 6 + (−5𝑥3 − 8𝑥 + 7)
4/10/2018
36
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Ejemplo:
Restar los siguientes polinomios:
a) 3𝑥2 + 5𝑥 − 6 − (−5𝑥3 − 8𝑥 + 7)=
3𝑥2 + 5𝑥 − 6 + (5𝑥3 + 8𝑥 − 7)
4/10/2018
37
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Ejercicio: Realizar las siguientes sumas y
restas
• 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 + −3 + 4𝑥4 − 5𝑥
• 3𝑥2 + 6𝑥 − 2 − −3 + 4𝑥4 − 5𝑥
4/10/2018
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Valor numérico de expresiones algebraicas
• El valor numérico consiste en evaluar una expresión algebraica
asignándole valores a las variables, es decir se sustituye el valor de las
variables y luego se realizan las operaciones indicadas. Para efectuar
las operaciones se sigue el orden jerárquico siguiente:
• Primero: Operaciones dentro del paréntesis.
• Segundo: potenciación o radicación
• Tercero: multiplicación o división
• Cuarto: adición o sustracción
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Ejemplo: Hallar el valor numérico del polinomio
𝑃 𝑥 = 2𝑥3
+ 5𝑥2
− 𝑥 + 4
𝑃 = 2 3 + 5 2 − + 4 𝑃 − = 2 3 + 5 2 − + 4
𝑃 0 = 2 0 3
+ 5 0 2
− 0 + 4 𝑃 −1 = 2 −1 3
+ 5 −1 2
− −1 + 4
𝑃 0 = 2(0) + 5(0) − 0 + 4 𝑃 −1 = 2(−1) + 5(1) − −1 + 4
𝑃 0 = 0 + 0 − 0 + 4 𝑃 −1 = −2 + 5 + 1 + 4
𝑃 0 = 4 𝑃 −1 = 8
𝑃 = 2 3
+ 5 2
− + 4
𝑃 2 = 2 2 3
+ 5 2 2
− 2 + 4
𝑃 2 = 2(8) + 5(4) − 2 + 4
𝑃 2 = 16 + 20 − 2 + 4
𝑃 2 = 38
𝑃 2 − 𝑃(−1)
2𝑃(0)
=
38 − 8
2(4)
=
30
8
= 3.75
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• 𝑃 −3
• 𝑃 −5
• 𝑃 0
• 𝑃 −1
Ejemplo: Hallar el valor numérico del polinomio
𝑃 𝑥 = 5𝑥3
− 4𝑥2
− 9𝑥 +8
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Multiplicación y división de polinomios
Para multiplicar y dividir polinomios se toma en cuenta:
• Los signos: si dos signos son iguales el resultado es positivo y si son
diferentes el resultado es negativo.
• Los coeficientes: se multiplican o se dividen siguiendo las reglas de las
operaciones aritméticas.
• Las variables: si las bases son iguales, en la multiplicación se suman
los exponentes y en la división se restan.
4/10/2018
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Ejemplos:
• −3𝑥2 𝑦3 𝑧 5𝑥5 𝑦4 = −15𝑥7 𝑦7 𝑧 𝑎 𝑚 ∙ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚+𝑛
•
−15𝑥7 𝑦7 𝑧
5𝑥5 𝑦4 = −3𝑥2 𝑦3 𝑧 𝑎 𝑚 ÷ 𝑎 𝑛 = 𝑎 𝑚−𝑛
• −5𝑎3
𝑏4
−4𝑎5
𝑏6
− 2𝑎3
𝑏7
𝑐 + 𝑎2
𝑏4
𝑑 = 20𝑎8
𝑏10
+ 10𝑎6
𝑏11
𝑐 − 5𝑎5
𝑏8
𝑑
20𝑎8 𝑏10+10𝑎6 𝑏11 𝑐−5𝑎5 𝑏8 𝑑
−5𝑎3 𝑏4 =
20𝑎8 𝑏10
−5𝑎3 𝑏4 +
10𝑎6 𝑏11 𝑐
−5𝑎3 𝑏4 −
5𝑎5 𝑏8 𝑑
−5𝑎3 𝑏4
−4𝑎5 𝑏6 − 2𝑎3 𝑏7 𝑐 + 𝑎2 𝑏4 𝑑
Prop. Distributiva
𝑥 𝑦 + 𝑧 = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧
4/10/2018
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Multiplicar o dividir según sea el caso
• −7𝑥3 𝑦5 𝑧 −5𝑥6 𝑦4
•
12𝑥5 𝑦7
−4𝑥5 𝑦3
• 9𝑎3
𝑏4
−3𝑎5
𝑏2
+ 5𝑎7
𝑏9
𝑐 − 𝑎𝑏𝑐3
•
3𝑎5 𝑏7+15𝑎3 𝑏8 𝑑−18𝑎4 𝑏9 𝑐
3𝑎4 𝑏2
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Más multiplicaciones
• 3𝑥 + 5𝑦 −4𝑥 + 𝑦 = 3x −4𝑥 + 𝑦 + 5y −4𝑥 + 𝑦
= −12𝑥2 + 3𝑥𝑦 − 20𝑥𝑦 + 5𝑦2
= −12𝑥2 − 17𝑥𝑦 + 5𝑦2
Forma Vertical
Forma Horizontal
https://www.youtube.com/watch?v=Tt6SJRdAGRA
4/10/2018
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Ejercicio. Multiplica los siguientes binomios
• 7𝑥 − 2𝑦 9𝑥 + 5𝑦
• 4𝑚 − 5 6𝑚 + 9
• 8𝑚 + 7 8𝑚 − 7
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Productos notables
Son ciertos productos que cumplen reglas fijas
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La suma por la diferencia de dos cantidades
• 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
= 𝑎2 −𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏2
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 −𝑏2
La suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la diferencia de
los cuadrados de dichas cantidades.
Ejemplo:
a) 3𝑥 + 8 3𝑥 − 8 = 3𝑥 2 − 8 2 = 9𝑥2 − 64
b)(5𝑎3−10𝑏4)(5𝑎3 + 10𝑏4)= 5𝑎3 2 − 10𝑏4 2 = 25𝑎6 − 100𝑏8
𝑎 𝑚 𝑛
= 𝑎 𝑚∙𝑛
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Ejercicio. Desarrollar los siguientes productos
notables
• 8𝑚 + 3 8𝑚 − 3
• 9𝑥 + 6𝑦 9𝑥 − 6𝑦
• 3𝑥5 − 8𝑦7 3𝑥5 + 8𝑦7
• 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
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El cuadrado de la suma/diferencia de dos
cantidades
𝑎 + 𝑏 2 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎 − 𝑏 2 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 𝑎 + 𝑏 + 𝑏(𝑎 + 𝑏) 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 𝑎 − 𝑏 − 𝑏(𝑎 − 𝑏)
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera más el
doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera
menos el doble de la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda
cantidad.
4/10/2018
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Ejemplo: Hallar el cuadrado de la suma y el
cuadrado de la diferencia de las siguientes
cantidades:
• 3𝑥 + 5 2 = 2 + 2 + 2
3𝑥 + 5 2 = 3𝑥 2 + 2 3𝑥 5 + 5 2
= 9𝑥2 + 30𝑥 + 25
• 7𝑎 − 6𝑏3 2 = 2 − 2 + 2
7𝑎 − 6𝑏3 2
= 7𝑎 2
− 2 7𝑎 6𝑏3
+ 6𝑏3 2
= 49𝑎2
− 84𝑎𝑏3
+ 36𝑏6
𝑎 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎 𝑚 𝑛 = 𝑎 𝑚∙𝑛
4/10/2018
51
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notables
• 3𝑥 + 7𝑦 2
• 5𝑚3 + 7𝑛4 2
• 10𝑥 − 11𝑦 2
• 𝑥 − 𝑦 2
4/10/2018
52
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El cubo de la suma/diferencia de dos
cantidades
𝑎 + 𝑏 3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) 𝑎 − 𝑏 3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎 + 𝑏 2(𝑎 + 𝑏) 𝑎 − 𝑏 3 = 𝑎 − 𝑏 2(𝑎 − 𝑏)
𝑎 + 𝑏 3 = (𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 + 𝑏) 𝑎 − 𝑏 3 = (𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2)(𝑎 − 𝑏)
𝑎 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 𝑎 − 𝑏 3 = 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏2 − 𝑏3
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera más el triplo del
cuadrado de la primera por la segunda cantidad más el triplo de la primera por el
cuadrado de la segunda más el cubo de la segunda cantidad.
El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primera menos el triplo
del cuadrado de la primera por la segunda cantidad más el triplo de la primera por
el cuadrado de la segunda menos el cubo de la segunda cantidad.
4/10/2018
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Ejemplo: Hallar el cubo de la suma y el cubo
de la diferencia de las siguientes cantidades:
• 3𝑥 + 4 3 = 3 + 3 2 + 3 2 + 3
3𝑥 + 4 3
= 3𝑥 3
+ 3 3𝑥 2
4 + 3 3𝑥 4 2
+ 4 3
3𝑥 + 4 3 = 27𝑥3 + 3(9𝑥2) 4 + 3 3𝑥 (16) + 64
3𝑥 + 4 3
= 27𝑥3
+ 108𝑥2
+ 144𝑥 + 64
• 5𝑥 − 6𝑦 3 = 3 − 3 2 + 3 2 − 3
5𝑥 − 6𝑦 3
= 5𝑥 3
− 3 5𝑥 2
6𝑦 + 3 5𝑥 6𝑦 2
− 6𝑦 3
5𝑥 − 6𝑦 3 = 125𝑥3 − 3 25𝑥2 6𝑦 + 3 5𝑥 36𝑦2 − 216𝑦3
5𝑥 − 6𝑦 3 = 125𝑥3 − 450𝑥2 𝑦 + 540𝑥𝑦2 − 216𝑦3
4/10/2018
54
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notables
• 3𝑥 + 7𝑦 3
• 5𝑚3 + 7𝑛4 3
• 10𝑥 − 11𝑦 3
• 𝑥 − 𝑦 3
4/10/2018
55
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Suma y diferencia de cubos
• 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 − 𝑏3
La suma por el cuadrado de la primera menos la primera por la segunda más el
cuadrado de la segunda cantidad es igual a la suma de los cubos de dichas
cantidades.
La diferencia por el cuadrado de la primera más la primera por la segunda más el
cuadrado de la segunda cantidad es igual a la diferencia de los cubos de dichas
cantidades.
4/10/2018
56
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Obtener las siguientes sumas y diferencias de
cubos
• 3𝑥 + 5 9𝑥2 − 15𝑥 + 25 = 27𝑥3 + 125
• 7𝑎 − 8𝑏 49𝑎2
+ 56𝑎𝑏 + 64𝑏2
= 343𝑎3
− 512𝑏3
4/10/2018
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Ejercicio. Obtener los siguientes productos
notables
• 3𝑚 + 10 9𝑚2 − 30𝑚 + 100
• 7𝑥 − 4𝑦 49𝑥2 + 28𝑥𝑦 + 16𝑦2
• 2𝑚3 + 1 4𝑚6 − 2𝑚3 + 1
4/10/2018
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Productos especiales
• 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥 𝑥 + 𝑏 + 𝑎 𝑥 + 𝑏
• 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑏
• 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥2 + 𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏
• Ejemplos:
• 𝑥 + 5 𝑥 + 3 = 𝑥2
+ 5 + 3 𝑥 + 5 3 = 𝑥2
+ 8𝑥 + 15
• 𝑥 − 7 𝑥 − 6 = 𝑥2 + −7 + (−6) 𝑥 + −7 −6 = 𝑥2 − 13𝑥 + 42
• 𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 𝑥2 + −3 + 2 𝑥 + −3 2 = 𝑥2 − 𝑥 − 6
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Calcular los siguientes productos
• 𝑥 + 8 𝑥 + 9
• 𝑥 − 10 𝑥 − 4
• 𝑥 + 5 𝑥 − 1
• 𝑥 − 3 𝑥 − 2
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Cocientes notables
• Son ciertos cocientes que cumplen reglas fijas.
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𝑎2−𝑏2
𝑎+𝑏
= 𝑎 − 𝑏
𝑎2−𝑏2
𝑎−𝑏
= 𝑎 + 𝑏
• La diferencia del cuadrado de dos cantidades entre la suma de las
raíces cuadradas de dichas cantidades es igual a la diferencia de las
raíces cuadradas de dichas cantidades.
•
36𝑥2−25
6𝑥+5
= 6𝑥 − 5 36𝑥2 = 6𝑥 25 = 5
• La diferencia del cuadrado de dos cantidades entre la diferencia de las
raíces cuadradas de dichas cantidades es igual a la suma de las raíces
cuadradas de dichas cantidades.
•
81𝑥2−100𝑦2
9𝑥−10𝑦
= 9𝑥 + 10y 81𝑥2 = 9𝑥 100𝑦2 = 10
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 −𝑏2
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Calcular los siguientes cocientes notables
•
𝑥2−49
𝑥+7
•
100𝑥2−81
10𝑥−9
•
4𝑥4−64𝑦10
4𝑥2+8𝑦5
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Cocientes notables
𝑎3+𝑏3
𝑎+𝑏
= 𝑎2
− 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎3−𝑏3
𝑎−𝑏
= 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
• La suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las raíces
cúbicas de dichas cantidades es igual al cuadrado de la primera
menos la primera por la segunda más el cuadrado de la segunda raíz
cúbica de dichas cantidades.
• La diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las
raíces cúbicas de dichas cantidades es igual al cuadrado de la primera
menos la primera por la segunda menos el cuadrado de la segunda
raíz cúbica de dichas cantidades.
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• Ejemplo.
8𝑚3+125
2𝑚+5
= 2𝑚 2 − 2𝑚 5 + 25 = 4𝑚2 − 10𝑚 + 25
3
8𝑚3 = 2𝑚
3
125 = 5
64𝑥3−27𝑦3
4𝑥−3𝑦
= 4𝑥 2 + 4𝑥 3𝑦 + 9𝑦2 = 16𝑥2 + 12𝑥𝑦 + 9𝑦2
Ejemplo. Hallar el cociente notable de:
𝑎3
+ 𝑏3
𝑎 + 𝑏
= 1𝑟𝑎 2
− 1𝑟𝑎 2𝑑𝑎 + (2𝑑𝑎)2
3
𝑎3 = 𝑎
3
𝑏3 = 𝑏
𝑎3
− 𝑏3
𝑎 − 𝑏
= 1𝑟𝑎 2
+ 1𝑟𝑎 2𝑑𝑎 + (2𝑑𝑎)2
3
𝑎3 = 𝑎
3
𝑏3 = 𝑏
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Calcular los siguientes cocientes notables
•
𝑥3−8
𝑥−2
•
8𝑥3+27
2𝑥+3
•
343𝑥6−125𝑦9
7𝑥2−5𝑦3
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División Sintética
Algoritmo de Ruffini
Reynaldo González
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La División Sintética o Algoritmo de Ruffini
Es una división de la forma 𝑃 𝑥 ÷ 𝑥 − 𝑎 , 𝑃 𝑥 es el polinomio
dividendo y 𝑥 − 𝑎 es el divisor.
Ejemplo:
3𝑥6+2𝑥4−5𝑥3+𝑥2+8
𝑥−2
3𝑥5
+ 6𝑥4
+ 14𝑥3
+ 23𝑥2
+47x+94 R=196
El polinomio está ordenado descendentemente
Se escriben los coeficientes de P(x), escribiendo ceros en
los coeficientes faltantes si el polinomio es incompleto
𝑥6−1
= 𝑥5
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Realizar las siguientes divisiones usando la
División Sintética o Algoritmo de Ruffini
•
2𝑥5−6𝑥4+3𝑥3−𝑥2+3
𝑥−1
−𝑥5+7𝑥4−6𝑥3−𝑥2+5𝑥+6
𝑥+3
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Teorema del resto o residuo
Si dividimos P(x) entre x-a, entonces el residuo es igual a P(a).
• 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 Q x + r
• 𝑃 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 Q a + r
• 𝑃 𝑎 = 0 Q a + r
• 𝑃 𝑎 = 0 + r
• 𝑃 𝑎 = r
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Hallar el residuo de: 3𝑥6+2𝑥4−5𝑥3+𝑥2+8
𝑥−2
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71
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Hallar el residuo de: 3𝑥6+2𝑥4−5𝑥3+𝑥2+8
𝑥−2
• 𝑃 𝑥 = 3𝑥6 + 2𝑥4 − 5𝑥3 + 𝑥2 + 8
• 𝑃 2 = 3(2)6 + 2(2)4−5(2)3+(2)2+8
• 𝑃 2 = 3(64) + 2(16) − 5(8) + 4 + 8
• 𝑃 2 = 192 + 32 − 40 + 4 + 8
• 𝑃 2 = 196
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Hallar el residuo o resto de las siguientes
divisiones.
•
2𝑥5−6𝑥4+3𝑥3−𝑥2+3
𝑥−1
−𝑥5+7𝑥4−6𝑥3−𝑥2+5𝑥+6
𝑥+3
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Teorema del factor
Si P(a)=0, entonces x-a es un factor de P(x)
• 𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 Q x + r
• 𝑃 𝑎 = 𝑎 − 𝑎 Q a + r
• 0 = 0 Q a + r
• 0= 0 + r
• 0= r
Si el residuo es cero, la división es exacta
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Determinar si x-a es un factor de P(x)
• 𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5𝑥 + 6, a = −2
• 𝑃 −2 = −2 2 + 5(−2) + 6
• 𝑃 −2 = 4 + 5(−2) + 6
• 𝑃 −2 = 4 − 10 + 6
• 𝑃 −2 = 0
𝑥 − 𝑎 = 𝑥 − (−2) = 𝑥 + 2
𝑥 + 2 es un factor de 𝑃(𝑥)
4/10/2018
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Determinar si x-a es factor de P(x)
• 𝑃 𝑥 = 4𝑥3 − 𝑥2 − 5𝑥 + 2, a = 1
• 𝑃 𝑥 = 𝑥4 − 5𝑥3 + 7𝑥2 − 3𝑥 + 10, a = 1
4/10/2018
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Ejercicios de la Unidad III
• Ejercicio de Algebra en PDF
• Ejercicio de Algebra en Word
4/10/2018
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Unidad IV: Factorización
Por Reynaldo González
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Índice
• Factorización: Concepto. Visualizar esta clase en YouTube
• Factorización: Factor común. Visualizar esta clase en YouTube
• Factorización: Diferencia de cuadrados. Visualizar esta clase en YouTube
• Factorización de un Trinomio Cuadrado Perfecto TCP Visualizar esta clase en
YouTube
• Factorización de un trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 = 1 Visualizar esta
clase en YouTube
• Factorización de un trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1 Visualizar esta
clase en YouTube
• Factorización de suma y diferencia de cubos Visualizar esta clase en YouTube
• Factorizaciones combinadas. Visualizar esta clase en YouTube
• Ejercicios: Práctica en PDF Práctica en Word
4/10/2018
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Factorización
Es el proceso mediante el cual conocido el producto, obtenemos sus
factores:
• Factor común
• Diferencia de cuadrados
• Trinomio Cuadrado Perfecto TCP
• Trinomio de la forma a𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 = 1
• Trinomio de la forma a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1
• Suma/diferencia de cubos
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Factorización: factor común
• Se busca el factor común de la expresión algebraica:
• Se halla el Máximo Común Divisor de los coeficientes.
• Se escriben las variables comunes a cada uno de los términos de la expresión
algebraica escribiéndose el menor de los exponentes de cada variable elegida
• Se escribe el factor común seguido de un paréntesis en el cual se escribirán los
cocientes obtenidos de cada término de la expresión algebraica y el factor
común.
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Ejemplo. Hallar el factor común de las
siguientes expresiones algebraicas:
a) 𝑥2 + 5𝑥
El MCD (1,5) es 1
La variable x esta en ambos términos del binomio
El factor común será: 𝑥
𝑥2 + 5𝑥 = 𝑥(𝑥 + 5)
𝑥2
𝑥
= 𝑥
5𝑥
𝑥
= 5
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b)6𝑎2
𝑏5
𝑐 + 18𝑎4
𝑏3
𝑑 − 27𝑎3
𝑏6
𝑐𝑑
El M.C.D. (6,18,27)=3
Las variable 𝑎 y 𝑏 están en todos los términos del trinomio
Las variables c y d no formarán parte del factor común.
Los exponentes de a son: 2,4 y 3, elegimos el menor:2
Los exponentes de b son: 5,3 y 6, elegimos el menor:3
El factor común es: 3𝑎2 𝑏3
6𝑎2
𝑏5
𝑐 + 18𝑎4
𝑏3
𝑑 − 27𝑎3
𝑏6
𝑐𝑑 = 3𝑎2
𝑏3
(2𝑏2
𝑐 + 6𝑎2
𝑑 − 9𝑎𝑏3
𝑐𝑑)
6𝑎2 𝑏5 𝑐
3𝑎2 𝑏3 = 2𝑏2
𝑐
18𝑎4 𝑏3 𝑑
3𝑎2 𝑏3 = 6𝑎2
𝑑
27𝑎3 𝑏6 𝑐𝑑
3𝑎2 𝑏3 = 9𝑎𝑏3
𝑐𝑑
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Ejercicio. Hallar el factor común de las
siguientes expresiones
• 𝑥2 − 8𝑥
• 5𝑚 + 10
• 16𝑥5 𝑦9 + 8𝑥8 𝑦10 + 20𝑥13 𝑦12 − 36𝑥7 𝑦3
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Factorización: Diferencia de cuadrados
La diferencia de cuadrados es igual a la suma por la diferencia de las
raíces cuadradas de dichas cantidades.
𝑎2
− 𝑏2
= (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)
Ejemplo:
𝑎)25𝑚2 − 49𝑛10 = (5𝑚 + 7𝑛5)(5𝑚 − 7𝑛5)
25𝑚2 = 5𝑚
49𝑛10 = 7𝑛5
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Factorizar las siguientes diferencias de
cuadrados
• 𝑥2 − 100
• 36𝑥2 − 49
•
9
144
𝑥2 − 1
• 25𝑥6 − 81𝑦10
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Factorización de un Trinomio Cuadrado
Perfecto: TCP
• Se ordena el trinomio de forma descendente
• Se halla la raíz cuadrada del primer y tercer término
• Se escriben estas raíces dentro de un paréntesis(elevado al
cuadrado), separadas con el signo del segundo término del trinomio.
• Para verificar se multiplican estas raíces por 2 y si resulta igual al
segundo término, la factorización es correcta.
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EJEMPLO: Factorizar los siguientes TCP
a)𝑥2 + 10𝑥 + 25 b)81𝑥2 − 126𝑥𝑦 + 49𝑦2
𝑥2 = 𝑥 25 = 5 81𝑥2 = 9𝑥 49𝑦2 = 5
𝑥2 + 10𝑥 + 25 = 𝑥 + 5 2 81𝑥2 − 126𝑥𝑦 + 49𝑦2 = 9𝑥 − 7𝑦 2
2 𝑥 5 = 10𝑥 2 9𝑥 −7𝑦 = −126𝑥𝑦
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Factorizar los siguientes Trinomios Cuadrados
Perfectos
a)𝑥2 + 8𝑥 + 16 b)100𝑥2 − 120𝑥 + 36
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Trinomio de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 = 1
• Se abren dos paréntesis
• En cada paréntesis se escribe la raíz cuadrada del primer término
• Al lado de la variable del primer paréntesis se escribe el signo del segundo
término
• Al lado de la variable del segundo paréntesis se escribe el signo que resulta de
comparar el segundo y tercer término.
• Luego se buscan dos números que multiplicados resulten el tercer término del
trinomio y que sumado (si ambos signos en los paréntesis son iguales) o que
restado(si ambos signos de en los paréntesis son diferentes) resulten el segundo
término.
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
𝑥2
+ 5𝑥 + 6 = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2)
3 ∙ 2 = 6 3+2=5
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Ejemplo. Factorizar:
• 𝑥2 + 8𝑥 + 7 = (𝑥 + 7)(𝑥 + 1) 𝑥2 − 7𝑥 + 10 = (𝑥 − 5)(𝑥 − 2)
• 𝑥2 − 𝑥 − 20 = (𝑥 − 5)(𝑥 + 4) 𝑎2 + 3𝑎 − 18 = (𝑎 + 6)(𝑎 − 6)
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Trinomio de la forma 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1
Existen varias formas de realizar esta factorización. Aquí se explicará la siguiente:
• Se multiplica y se divide por el coeficiente principal, dejando expresada la multiplicación del
segundo coeficiente del trinomio. De aquí en adelante la factorización se efectúa en este nuevo
trinomio.
• Se abren dos paréntesis en forma de producto y dividido por el coeficiente principal
• En cada paréntesis se escribe la raíz cuadrada del primer término.
• Al lado de la variable del primer paréntesis se escribe el signo del segundo término
• Al lado de la variable del segundo paréntesis se escribe el signo que resulta de comparar el
segundo y tercer término.
• Luego se buscan dos números que multiplicados resulten el tercer término del trinomio y que
sumado (si ambos signos en los paréntesis son iguales) o que restado(si ambos signos de en los
paréntesis son diferentes) resulten el segundo término del trinomio original.
• Se divide por el coeficiente principal
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Trinomio de la forma a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1
𝑎)3𝑥2 + 8𝑥 + 4 b)6𝑥2 + 7𝑥 − 3
3𝑥2 + 8𝑥 + 4 por
3
3
6𝑥2 + 7𝑥 − 3 por
6
6
3(3𝑥2+8𝑥+4)
3
6(6𝑥2+7𝑥−3)
6
9𝑥2+8𝑥 3 +12
3
36𝑥2+7𝑥(6)−18
6
(3𝑥+6)(3𝑥+2)
3
(6𝑥+9)(6𝑥−2)
6
(𝑥 + 2)(3𝑥 + 2)
(6𝑥+9)(6𝑥−2)
3∙2
= (2𝑥 + 3)(3𝑥 − 1)
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Factorizar los siguientes trinomios de la forma
a𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1
• 5𝑥2 + 22𝑥 + 8
• 10𝑥2 − 𝑥 − 2
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Factorización de suma y diferencia de cubos
• 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏) 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(
)
𝑎2 + 𝑎𝑏 +
𝑏2
8𝑥3
+ 125 = (2𝑥 + 5)(4𝑥2
− 10𝑥 + 25) 64𝑚6
− 27𝑛9
= (4𝑚2
− 3𝑛3
)(16𝑚4
+ 12𝑚2
𝑛3
+ 9𝑛6
)
3
8𝑥3 = 2𝑥
3
125 = 5
3
64𝑚6 = 4𝑚2 3
27𝑛9 = 3𝑛3
2𝑥 2
= 4𝑥2
5 2
= 25 (4𝑚2
)2
= 16𝑚4
3𝑛3 2
= 9𝑛6
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Factorizar las siguientes sumas y diferencias
de cubos
• 𝑥3 − 27
• 343𝑚3 + 64
• 216𝑦12 − 1000 Escriba aquí la ecuación.
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Factorizaciones combinadas
• 𝑥3 − 𝑥 = 𝑥 𝑥2 − 1 = 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
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Factoriza las siguientes expresiones
• 𝑥3 + 5𝑥2 + 6𝑥
• 𝑥3 − 100𝑥
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Ejercicios
• Práctica en PDF
• Práctica en Word
4/10/2018
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