Unefm Ciencias de la Salud Ingeniería Biomédica

1. UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE CS. DE LA SALUD
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
UNIDAD CURRICULAR CÁLCULO NUMÉRICO
Interpolación
Introducción a la interpolación
Supongamos que hay dos magnitudes x e y de los que se conocen n + 1 valores relacionados
{(𝑥, 𝑦0), (𝑥1, 𝑦1),··· , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛)} , por ejemplo, datos obtenidos en una experimentación.
Nos planteamos si existe una función p tal que
𝑝(𝑥𝑘) = 𝑦𝑘 𝑘 = 0,··· , 𝑛 (1)
es decir, queremos una función cuya gráfica "pase" por los puntos del plano dados. Si p
verifica (1) diremos que p interpola los datos dados. p es una función de interpolación para
los datos (𝑥𝑘, 𝑦𝑘), 𝑘 = 0,··· , 𝑛.
Este tipo de problemas suele darse cuando tenemos datos obtenidos por experimentación y
sabemos que hay una función f que rige el proceso pero que desconocemos y queremos
trabajar con una función alternativa p que represente bien a esos datos de la muestra. Si f
rige el proceso entonces 𝑓 (𝑥𝑘) = 𝑦𝑘 luego exigiremos a la función p ese mismo requisito,
esto nos proporciona condiciones que imponer a p con las que trataremos de obtenerla y una
vez conseguido nos permitiría conocer o predecir qué habría pasado en otros x en los que no
se ha experimentado.
Supongamos que existe la función 𝑓 tal que 𝑓 (𝑥𝑘) = 𝑦𝑘 , 𝑘 = 0,··· , 𝑚 . Caben varias
preguntas:
i) La función p que interpola los datos dados ¿de qué tipo ha de ser? ¿polinómica,
trigonométrica, racional,...? La respuesta vendrá dada por los datos 𝑦𝑘.
 Si se observa que los datos presentan periodicidad entonces buscaremos a 𝑝 dentro de
las funciones trigonométricas.
 Si los datos presentan asíntotas entonces 𝑝 debería ser una función racional.
 Si los 𝑦𝑘 presentan un comportamiento polinomial, entonces p se escogería de tipo
polinómico. Nos centraremos en cómo resolver este caso.
ii) Una vez escogido el tipo de función habrá que responder dos cuestiones, ¿existe 𝑝 del
tipo escogido que interpole los datos dados? Y si existe, ¿es única?

2. iii) ¿Es la función polinómica escogida una buena aproximación de la función original 𝑓 en
los puntos 𝑥 que no son de la muestra?
Nota: entendemos como función original la que rige el experimento y de la cual sólo sabemos
qué pasa en los 𝑛 + 1 puntos de la muestra.
Vamos a hacer el estudio contestando a estas cuestiones suponiendo que la función 𝑝 es una
función polinómica.
De lo anterior podemos resumir que el proceso de ajustar una serie de datos de una tabla de
valores o de una función dada a una curva es lo que se denomina interpolación. Este proceso
también sirve para estimar valores intermedios entre datos precisos.
Definición: Una función de interpolación es aquella que pasa a través de puntos dados como
datos de una tabla de valores o puntos de una curva.
Donde 𝑓 una función y 𝑥0, x1, . . ., xn, n + 1 puntos diferentes en los cuales se puede evaluar
𝑓; se determinará un polinomio de grado  𝑛 tal que: 𝑃(𝑥0 ) = 𝑓(𝑥0 ), 𝑃(𝑥1 ) =
𝑓(𝑥1 ), . . . , 𝑃(𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥𝑛) (∗). Tal polinomio existe según el Teorema de Weierstrass para
una función continua, además este polinomio es único y si se cumple (∗) la seminorma:
0
)
(
)
(
0









 

n
k
k
k
x
P
x
f
P
f
Luego P es el polinomio de aproximación óptimo de acuerdo a esta seminorma..
Teorema: Aproximación de Weierstrass
Si f es definida y continua en [𝑎, 𝑏] y dado  > 0, existe entonces un polinomio P, definido en
[a, b] tal que: |𝑓(𝑥)– 𝑃(𝑥)| < , para todo x en el intervalo [𝑎, 𝑏].
𝑃(𝑥)
a b
𝑓(𝑥) + ,
𝑓(𝑥) − ,
𝑓 (𝑥)

3. Interpolación polinómica
Planteamiento del problema
Dada una tabla de 𝑛 + 1 puntos (𝑥𝑘, 𝑦𝑘) con 𝑘 = 0,··· , 𝑛.
Llamaremos interpolación polinómica a la determinación de un polinomio 𝑝 de grado menor
o igual que 𝑛 tal que
𝑝(𝑥𝑘) = 𝑦𝑘 , 𝑘 = 0,··· , 𝑛
Si p es de grado menor o igual que n entonces se podrá expresar
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2
+ ··· + 𝑎𝑛𝑥𝑛
donde los 𝑎𝑖 se obtendrán a partir de las condiciones de interpolación, esto es,
p(x0) =
p(x1) =
p(x2) =
...
𝑝(𝑥𝑚) =𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑚 + 𝑎2𝑥2𝑚 + · · · + 𝑎𝑛𝑥𝑚
𝑛
=
y0
y1
y2
...
𝑦𝑚
Aparece un sistema para las variables 𝑎0, 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛 que podemos escribir matricialmente
La matriz del sistema es cuadrada (𝑛 + 1) × (𝑛 + 1) y habrá una única solución del
problema si, y sólo si,
es decir, la solución es única si y sólo si todos los puntos de la muestra son distintos.

4. Construcción de la solución
Método directo
Planteamos el problema tal como se ha descrito en el párrafo anterior y pasamos a resolver
el sistema. Cuando hayamos obtenido la solución (𝑎0, 𝑎1, . . . , 𝑎𝑛) pasamos a escribir la
función polinómica solución de nuestro problema
𝑝(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2
+ ··· + 𝑎𝑛𝑥𝑛
Ventaja del método: la resolución del problema de interpolación pasa por resolver un
sistema que es un procedimiento ya conocido.
Inconvenientes: Si aparecen nuevos datos de la experimentación, la solución p de grado 𝑛
que tengamos para los datos previos no es aprovechable. Hay que rehacer todos los cálculos
para la nueva muestra (los datos anteriores y los nuevos juntos).
Interpolación de polinomios de Lagrange.
Interpolación Lineal: El método más sencillo de interpolación es conectar dos puntos con
una línea recta, esta técnica se llama interpolación lineal.
La forma de Lagrange para una línea recta que pasa por los puntos (𝑥0, 𝑦0) 𝑦 (𝑥1, 𝑦1) es:
𝑃(𝑥) =
 
 
 
 
1
0
1
0
0
1
0
1
y
x
x
x
x
y
x
x
x
x





;
es fácil verificar que esta expresión representa la ecuación de una línea recta y que los puntos
dados pertenecen a ella.
La fórmula de Lagrange de la ecuación de la parábola que pasa por los puntos (𝑥0, 𝑦0),
(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 (𝑥2, 𝑦2) es:
𝑃(𝑥) =
  
  
  
  
  
  
2
1
0
0
2
1
0
1
2
1
0
1
0
0
2
0
1
0
1
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x
y
x
x
x
x
x
x
x
x














.
Esta se denomina interpolación cuadrática.
La fórmula general del polinomio de Interpolación de Lagrange de grado a lo sumo n, que
pasa a través de los puntos (𝑥0, 𝑦0), (𝑥1, 𝑦1), . . . , (𝑥𝑛, 𝑦𝑛) tal que 𝑃(𝑥0) = 𝑦0, . . . , 𝑃(𝑥𝑛) = 𝑦𝑛
tiene la forma:
𝑃(𝑥) = 𝐿0𝑦0 + 𝐿1𝑦1 + . . . + 𝐿𝑛𝑦𝑛.
Siendo

5. 𝐿𝑘 =
 
       
       
k
j
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
k
k
k
k
k
k
k
n
k
k
n
j j
k
j































 ;
)
(
1
1
1
0
1
1
1
0
0
Ejercicio
Determine el polinomio cuadrático que pasa por los siguientes puntos: (−2, 4), (0, 2) y (2, 8).
Solución: 𝐿0 = ;
8
)
2
(
)
2
2
)(
0
2
(
)
2
)(
0
( 






 x
x
x
x
𝐿1 =
4
)
2
)(
2
(
)
2
0
))(
2
(
0
(
)
2
))(
2
(
( 








 x
x
x
x
𝐿2 =
8
)
2
(
)
0
2
))(
2
(
2
(
)
0
))(
2
(
( 






 x
x
x
x
Luego:
𝑃(𝑥) = 𝐿0𝑦0 + 𝐿1𝑦1 + 𝐿2𝑦2
= 2
8
8
)
2
(
2
4
)
2
(
2
(
4
8
)
2
( 2









x
x
x
x
x
x
x
x
Ejercicio resuelto:
(a) Use una interpolación del polinomio de primer y segundo orden para evaluar 𝑙𝑛(2)
con los siguientes puntos 𝑥0 = 1, 𝑥1 = 4 𝑦 𝑥2 = 6.
(b)Estime el error en cada caso. Compare con el valor verdadero.
Solución: (a) 𝑙𝑛(1) = 0; 𝑙𝑛(4) = 1.3863; 𝑙𝑛(6) = 1.7918
De acuerdo a la fórmula se tiene:
𝑃1(2) = 4621
.
0
3863
.
1
1
4
1
2
0
4
1
4
2






; 𝑙𝑛(2) − 𝑃1(2)| = 0.6932-0.4621 = 0.2311
𝑃2(2) = 56584
.
0
7918
.
1
)
4
6
)(
1
6
(
)
4
2
)(
1
2
(
3863
.
1
)
6
4
)(
1
4
(
)
6
2
)(
1
2
(
0
)
6
1
)(
4
1
(
)
6
2
)(
4
2
(















|𝑙𝑛(2)– 𝑃2(2)| = 0.69315 – 0.56584 = 0.12731, con 𝑃2 se obtiene una mejor
aproximación.

6. Interpolación del Polinomio de Newton.
De la definición de derivada en un punto x = z se puede encontrar una aproximación para la
pendiente que pasa por los puntos (𝑥, 𝑦(𝑥)), (𝑧, 𝑦(𝑧)):
𝑓’(𝑧) =
z
x
z
f
x
f
lím
z
x 


)
(
)
(
f’(z)
z
x
z
y
x
y
z
x
z
f
x
f






)
(
)
(
)
(
)
(
= 𝑓[𝑧, 𝑥] con esta notación
indicaremos la Primera Diferencia Dividida o diferencia dividida de primer orden (𝐷𝐷1).
Otra manera de relacionar la derivada y la diferencia dividida es mediante el teorema del
valor medio:
Teorema de Valor Medio: Sea 𝑓 una función definida y continua en el intervalo [a, b] y
diferenciable
en (a, b). Entonces existe al menos un punto c en el abierto (a, b) tal que 𝑓’(𝑐) =
a
b
a
f
b
f

 )
(
)
(
, 𝑏  𝑎.
De esta manera, si 𝑥0 , 𝑥 están en [𝑎, 𝑏] en el que f es diferenciable se cumple:
𝑓[𝑥, 𝑥0] =
0
0
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f


= 𝑓’(𝑐), para algún 𝑐 en (𝑥0, 𝑥).
Deducción del polinomio de interpolación de Lagrange.
Sea 𝑃𝑛 el n-ésimo polinomio de Lagrange que coincide con la función 𝑓 en los 𝑛 + 1 puntos:
𝑥0, 𝑥1,    𝑥𝑛. Obtendremos las diferencias divididas de f respecto a los n +1 puntos dados
con 𝑓(𝑥0) = 𝑦0, 𝑓(𝑥1) = 𝑦1,    , 𝑓(𝑥𝑛) = 𝑦𝑛; para expresar 𝑃
𝑛(𝑥) de la siguiente forma:
(∗) 𝑃
𝑛(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥 − 𝑥0) + 𝑏2(𝑥 − 𝑥0(𝑥 − 𝑥1 +    + 𝑏𝑛(𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)    (𝑥 −
𝑥𝑛 − 1), para constantes apropiadas: 𝑏0, 𝑏1,   , 𝑏𝑛.
Para 𝑛 = 0  𝑏0 = 𝑃0(𝑥0) = 𝑦0
𝑛 = 1  𝑓(𝑥1) = 𝑃1(𝑥1) = 𝑏0 + 𝑏1(𝑥1 – 𝑥0)  𝑏1 = [𝑓(𝑥1) – 𝑓(𝑥0) ]/ (𝑥1 – 𝑥0) =
𝐷𝐷1 (diferencias divididas de orden uno) Luego 𝑃1(𝑥) = 𝑓(𝑥0) + 𝐷𝐷1 (𝑥 − 𝑥0) =
𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0).
𝑓(𝑥𝑖) = 𝑓[𝑥𝑖] esta se denomina diferencia dividida de orden cero.
Con 𝑛 = 2 se puede determinar b2 ya que se conocen 𝑏0 𝑦 𝑏1: 𝑏2 = {𝑓[𝑥2, 𝑥1] – 𝑓[𝑥1, 𝑥0]}/
(𝑥2 – 𝑥1) = 𝐷𝐷2

7. Observe que en el denominador va la diferencia de los puntos extremos: 𝑥2 y 𝑥0.
Luego 𝑃2(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 – 𝑥1), y así
sucesivamente se obtiene:
𝑃𝑛(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 – 𝑥1) +    +
𝑓[𝑥𝑛, 𝑥𝑛−1,    , 𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 – 𝑥1)    (𝑥 – 𝑥𝑛−1).
FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
ORDEN NOTACIÓN DEFINICIÓN O EXPRESIÓN
0 𝑓[𝑥0] = 𝑦0 𝑓(𝑥0)
1 𝑓[𝑥1 , 𝑥0]
0
1
0
1
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f


2 𝑓[𝑥2 , 𝑥1, 𝑥0]
   
0
2
0
1
1
2
,
,
x
x
x
x
f
x
x
f


3 𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0]    
0
3
0
1
2
1
2
3
,
,
,
,
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f


− - - - - - - -
− - - - - - - -
n 𝑓[𝑥𝑛 , 𝑥𝑛−1,   , 𝑥1, 𝑥0]    
0
0
1
1
1
,
,
,
,
,
x
x
x
x
f
x
x
x
f
n
n
n
n







 

Por ejemplo, para un polinomio de orden cuatro se tiene:
𝑃4(𝑥) = 𝑓[𝑥0] + 𝑓[𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0) + 𝑓[𝑥2, 𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 – 𝑥1) +
𝑓[𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2) + 𝑓[𝑥4 , 𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0](𝑥 − 𝑥0)(𝑥 −
𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)(𝑥 − 𝑥3).
¿Cómo calcular las diferencias divididas?.

8. METODO DE LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE NEWTON
𝑥𝑖 𝐷𝐷0 𝐷𝐷1 𝐷𝐷2 𝐷𝐷3
𝑥0 𝑓(𝑥0)
0
1
0
1
)
(
)
(
x
x
x
f
x
f


=𝑓𝑥1, 𝑥0
𝑥1 𝑓(𝑥1)    
0
2
0
1
1
2
,
,
x
x
x
x
f
x
x
f

 =𝑓𝑥2, 𝑥1, 𝑥0
 
 
1
2
1
2
1
2
,
)
(
x
x
f
x
x
x
f
x
f



   
 
0
1
2
3
0
3
0
1
2
1
2
3
,
,
,
,
,
,
,
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f



𝑥2 𝑓(𝑥2)    
 
1
2
3
1
3
1
2
2
3
,
,
,
,
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f



   
 
2
3
2
3
2
3
, x
x
f
x
x
x
f
x
f


    
 
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
3
4
,
,
,
,
,
,
,
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f



𝑥3 𝑓(𝑥3)    
 
2
3
4
2
4
2
3
3
4
,
,
,
,
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f



   
 
3
4
3
4
3
4
, x
x
f
x
x
x
f
x
f



𝑥4 𝑓(𝑥4)
𝐷𝐷4 = 𝑓[𝑥4, 𝑥3, 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] =
   
0
4
0
1
2
3
1
2
3
4
,
,
,
,
,
,
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f


.
El resto asociado a este polinomio:
Rn(x)  f 
o
n
n
x
x
x
x
x ,
,.....,
,
, 1
1

(𝑥 – 𝑥0)(𝑥 – 𝑥1)(𝑥 – 𝑥2)      (𝑥 – 𝑥𝑛−1)(𝑥 – 𝑥𝑛).
Siendo x un valor adicional para poder estimar el error.
Ejercicio resuelto: dada la siguiente tabla de valores:
𝑖 𝑥𝑖 𝑦𝑖
0 0.1 0.99750
1 0.2 0.99002
2 0.4 0.96040
3 0.7 0.88120
4 1.0 0.76520
5 1.2 0.67113
6 1.3 0.62009
a) Elaborar una tabla de diferencia divididas

9. b) Escriba la fórmula de interpolación de Newton ajustada a la tabla de diferencias
divididas.
c) Evalúe el polinomio resultante en 𝑥 = 0.3
d) Estime el error en la interpolación.
Solución:
a) En primer término elaboramos la tabla de diferencias divididas:
𝑖 𝑥𝑖 𝐷𝐷𝑂 𝐷𝐷1 𝐷𝐷2 𝐷𝐷3 𝐷𝐷4 𝐷𝐷5 𝐷𝐷6
0 0.1 0.99750
-0.07480
1 0.2 0.99002 -0.24433
-0.14810 0.02088
2 0.4 0.96040 -0.23180 0.01478
-0.26400 0.03418 -0.00236
3 0.7 0.88120 -0.20445 0.01218 0.00122
-0.38667 0.04636 -0.00090
4 1.0 0.76520 -0.16736 0.01119
-0.47035 0.05643
5 1.2 0.67113 -0.13350
-0.51040
6 1.3 0.62009
b) la fórmula de interpolación ajustada a los datos sería:
)
2
.
1
)(
1
)(
7
.
0
)(
4
.
0
)(
2
.
0
)(
1
.
0
(
00122
.
0
)
1
)(
7
.
0
)(
4
.
0
)(
2
.
0
)(
1
.
0
(
00236
.
0
)
7
.
0
)(
4
.
0
)(
2
.
0
)(
1
.
0
(
01478
.
0
)
4
.
0
)(
2
.
0
)(
1
.
0
(
02088
.
0
)
2
.
0
)(
1
.
0
(
24433
.
0
)
1
.
0
(
07480
.
0
99750
.
0
)
(
6




























x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
P
c) 97762
.
0
)
3
.
0
(
6

P
d) Para estimar la cota del error se debe aplicar la siguiente ecuación:
𝑅6(𝑥)  𝑓 
o
x
x
x
x
x
x
x
x ,
,
,
,
,
,
, 1
2
3
4
5
6
(𝑥 – 𝑥0)(𝑥 – 𝑥1)(𝑥 – 𝑥2) (𝑥 – 𝑥4)(𝑥 – 𝑥5)(𝑥 – 𝑥6).
La diferencia dividida de la ecuación se obtiene calculando la diferencia dividida que
involucra el punto 𝑥 = 0.3, ubicando éste al final de la tabla y recalculando todas las
diferencias nuevamente hasta llegar a la deseada.
𝑅6(0.3)  0.00122 (0.3 – 0.1)(0.3 – 0.2)(0.3 – 0.4) (0.3 – 0.7)(0.3 – 1.0)(0.3 – 1.2)
= 6.1488𝑥10−7

10. Ejemplo 1
Los valores
t 0,0 10,0 27,4 42,1
s 61,5 62,1 66,3 70,3
Representan la cantidad s en gramos de dicromato de potasio disueltos en 100 partes de agua
a la temperatura t en grados centígrados. Para una temperatura de 25 grados, encuentra la
cantidad de gramos de dicromato de potasio. Por medio de interpolación simple:
a. Lineal
b. Cuadrática
c. Polinomial grado 3
Ejemplo 2
La siguiente tabla contiene las presiones de vapor del cloruro de magnesio. Por medio de
interpolación simple, polinomial de grado 5 calcula la presión de vapor correspondiente a
una temperatura de 1100 0C .
Presión
(mg de Hg)
10 20 40 60 100 200 400 760
0C 930 988 1050 1088 1142 1316 1223 1418
Ejemplo 3
Se preguntó a un grupo de mujeres su estatura y su peso dando los siguientes datos
Estatura 1: 65 1: 58 1: 70 1: 75 1: 54
Edad 52 62: 5 60 70 65
 Haga un gráfico con los datos.
 Encuentre la recta de mejor ajuste.
 Usando este modelo calcule el peso aproximado de una mujer que tiene una estatura de
1:80:
Ejemplo 4
Rendimiento de un proceso productivo en función de la temperatura
En una planta química se sintetiza un producto que es utilizado posteriormente como
conservante de productos en latados. El rendimiento del proceso depende de la temperatura.
Se dispone de los siguientes datos

11. T (◦C) 150 160 170 180 190 200 210
R(%) 35.5 37.8 43.6 45.7 47.3 50.1 51.2
Se considera un rendimiento óptimo el que va de 38.5 a 45, por lo que la planta trabaja a
175 °𝐶. Si la temperatura de trabajo cae a 162 °𝐶 por una avería, ¿será el proceso
satisfactorio hasta que sea reparada?
Ejemplo 5
En una planta se bombea esencia de trementina, 60 °𝐶, desde la base de una columna de
fraccionamiento hasta un gran tanque de almacenamiento descubierto. La columna opera a
1,29 atmósferas. En la siguiente tabla se representan los datos relativos los litros por hora
que puede bombear la bomba en función de la potencia en watios a la que es necesario que
trabaje:
Q (l/h) 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900
N (w) 365 361.6 370.64 379.68 384.46 395.5 395.95 397
Se desea saber si la bomba será capaz de impulsar un caudal de 1000 𝑙/ℎ de trementina hasta
el tanque de almacenamiento trabajando a un máximo de 373 𝑤.
Ejemplo 6
El pentóxido de dinitrógeno gaseoso puro reacciona en un reactor intermitente según la
reacción estequiométrica
𝑁2𝑂5­ 2𝑁2𝑂4 + 𝑂2
Calculamos la concentración de pentóxido de dinitrógeno existente en ciertos
instantes, obteniendo los siguientes datos:
T (s) 0 200 400 650 1100 1900 2300
C 5.5 5.04 4.36 3.45 2.37 1.32 0.71
Si lo tenemos en el reactor un tiempo máximo de 35 minutos (2100 segundos), ¿cuál es la
concentración de pentóxido de dinitrógeno que queda sin reaccionar?
Ejemplo 7
Capacidad calorífica de un gas.
La cantidad de energía necesaria para calentar un gas 1 grado (Llamada cantidad calorífica
del gas) depende no solo del gas, sino también de su temperatura. Esta relación se modela
usualmente con polinomios. Por ejemplo, considere el dióxido de carbono en la tabla 1.

12. Temperatura T en K. Capacidad calorífica Cp
en kj/(kg k).
250 0.791
300 0.846
350 0.895
400 0.939
450 0.978
500 1.014
550 1.046
600 1.075
650 1.102
700 1.126
750 1.148
800 1.169
900 1.204
1000 1.234
1500 1.328
Tabla 1. Capacidad calorífica de dióxido de carbono.
Cree un modelo matemático empírico que describa la capacidad calorífica como función de
la temperatura. Dicho modelo matemático debe determinarse bajo el siguiente criterio:
 Polinomio de interpolación de primer orden.
 Polinomio de interpolación de segundo orden.
 Polinomio de interpolación de tercer orden.
Una vez concluida la modelación debe determinarse el valor de la capacidad calorífica para
los siguientes valores de temperatura:
1. − 𝑡 = 850; 𝑐𝑝 = ?
2.− 𝑡 = 1100; 𝑐𝑝 = ?
3.− 𝑡 = 1250; 𝑐𝑝 = ?
4.− 𝑡 = 1350; 𝑐𝑝 = ?