Este documento presenta información sobre ecuaciones diferenciales. Introduce el tema y su importancia en matemáticas, ingeniería y ciencia. Explica métodos para resolver ecuaciones diferenciales como separación de variables, ecuaciones homogéneas y ecuaciones diferenciales exactas. Incluye ejemplos para ilustrar cada método.

1. República Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Ing. Sistemas - A
Barcelona - Edo. Anzoátegui
ECUACIONES DIFERENCIALES
Profesor:
Pedro Beltrán
Estudiantes:
Luis Ramos C.I. 28.613.368
Jesús Gómez C.I. 27.345.059

2. Introducción
Las ecuaciones diferenciales son parte fundamental del estudio tanto de la matemática como de la
ingeniería y la ciencia en general. Muchas leyes y fenómenos físicos pueden ser descritos mediante
ellas. En otras palabras, el estudio de estos fenómenos requiere de la creación de un modelo
matemático capaz de describirlo, el cual, generalmente se compone de una o varias ecuaciones
diferenciales. De allí la importancia de contar con un sólido conocimiento en este tema. El estudio de
las ecuaciones diferenciales ha influenciado el desarrollo de otras áreas de la matemática, por
ejemplo topología, análisis, etc..
En las matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas
representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas.

3. Separación de Variables
El método de separación de variables se refiere a un procedimiento para encontrar una solución
completa particular para ciertos problemas que involucran ecuaciones en derivadas parciales como
serie cuyos términos son el producto de funciones que tienen las "variables separadas".
Separamos para poder integrar:
f g
Transponiendo términos:
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 + 3
𝑥 − 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦 + 3 .
1
(𝑥 − 4)
1
(𝑦 + 3)
. 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥.
1
(𝑥 − 4)

4. Integramos ambos términos:
Despejamos y aplicando la propiedad: 𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑛
= 𝑛
Aplicamos la propiedad: 𝑎 𝑚
. 𝑎 𝑛
= 𝑎 𝑚+𝑛
Solución general explicita(cuando se puede despejar y)
𝑑𝑦
𝑦 + 3
=
𝑑𝑥
𝑥 − 4
𝑙𝑛 𝑦 + 3 = ln 𝑥 − 4 + 𝑐
𝑒ln(𝑦+3) = 𝑒ln 𝑥−4 +𝑐
𝑒ln(𝑦+3)
= 𝑒 𝑥−4
𝑒 𝑐
𝑦 + 3 = 𝐶(𝑥 − 4)
𝑦 = 𝐶 𝑥 − 4 − 3

5. Soluciones Particulares:
𝑺𝒊 𝒄 = 𝟏
𝑦 = 𝑐 𝑥 − 4 − 3
𝑦 = 1 𝑥 − 4 − 3
𝑦 = 𝑥 − 7
𝑺𝒊 𝒄 = −𝟐
𝑦 = 𝑐 𝑥 − 4 − 3
𝑦 = −2 𝑥 − 4 − 3
𝑦 = −2𝑥 + 8 − 3
𝑦 = −2𝑥 + 5

6. Comprobación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦 + 3
𝑥 − 4
𝑑(𝑥 − 7)
𝑑𝑥
=
𝑥 − 7 + 3
𝑥 − 4
1 =
𝑥 − 4
𝑥 − 4
1 = 1

7. 𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑠𝑒𝑛5𝑥
Ejercicio 2
𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛5𝑥𝑑𝑥
𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛5𝑥𝑑𝑥
𝑦 =
1
5
𝑠𝑒𝑛5𝑥(5𝑑𝑥)
𝑦 =
1
5
−𝑐𝑜𝑠5𝑥 + 𝐶
𝑦 = −
1
5
𝑐𝑜𝑠5𝑥 + 𝐶
{Separando variables}
{Aplicando la integral}
{Integrando el miembro izquierdo}
{Integrando el miembro derecho}

8. Ejercicio 3
𝑒 𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒−𝑦
+ 𝑒−2𝑥−𝑦
𝑒 𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒−𝑦
+ 𝑒−2𝑥
𝑒−𝑦
𝑒 𝑥
𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑒−𝑦
(1 + 𝑒−2𝑥
)
𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑒−𝑥 1 + 𝑒−2𝑥 𝑑𝑥
𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = (𝑒−𝑥+𝑒−3𝑥)𝑑𝑥
𝑦𝑒 𝑦
𝑑𝑦 = (𝑒−𝑥
+𝑒−3𝑥
)𝑑𝑥
𝑦𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = −𝑒−𝑥 −
1
3
𝑒−3𝑥 + 𝐶
{Ley de los exponentes}
{Factorizando}
{Separando variables}
{Aplicando la integral}
{Integrando el miembro derecho}

9. 𝑦𝑒 𝑦
𝑑𝑦
Sea:
sustituyendo los valores dados en la fórmula de integración por partes, 𝑢𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − 𝑣𝑑𝑢, la
integral queda:
𝑢 = 𝑦
𝑑𝑣 = 𝑒 𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 𝑑𝑦
𝑣 = 𝑒 𝑦
𝑦𝑒 𝑦
𝑑𝑦 = 𝑦𝑒 𝑦
− 𝑒 𝑦
𝑑𝑦 𝑦𝑒 𝑦
𝑑𝑦 = 𝑦𝑒 𝑦
− 𝑒 𝑦
𝑦𝑒 𝑦
− 𝑒 𝑦
= −𝑒−𝑥
−
1
3
𝑒−3𝑥
+ 𝐶
𝑦𝑒 𝑦
− 𝑒 𝑦
+ 𝑒−𝑥
+
1
3
𝑒−3𝑥
= 𝐶

10. Ejercicio 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= (𝑥 + 1)2 𝑑𝑦 = (𝑥 + 1)2
𝑑𝑦 = (𝑥 + 1)2
𝑑𝑥
𝑦 =
1
3
(𝑥 + 1)3+𝐶
{Separamos variables}
{Aplicamos la integral}

11. Ecuaciones Homogéneas
Una ecuación diferencial puede ser homogénea en dos aspectos: cuando los coeficientes de los
términos diferenciales en el caso del primer orden son funciones homogéneas de las variables; o para
el caso lineal de cualquier orden cuando no existen los términos constantes.
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, 𝑦′ = 𝑓(𝑥, 𝑦), es homogénea si la función
𝑓 𝑥, 𝑦 es homogénea de orden cero.
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 + 𝑁 𝑥, 𝑦 𝑑𝑦 = 0
sería homogénea sí y sólo sí los coeficientes 𝑀 𝑥, 𝑦 y 𝑁 𝑥, 𝑦 son funciones homogéneos del mismo
grado.

12. Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
𝑦′
= 𝑓 𝑥, 𝑦
es homogénea, entonces el cambio de variable 𝑦 = 𝑢𝑥 la reduce a una ecuación diferencial en
variables separadas.
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
Pero como 𝑓 𝑥, 𝑦 es una función homogénea de grado cero tenemos que
de donde
la cual es separable, como se quería

13. Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
La ecuación diferencial es homogénea pues y son homogéneas de
grado dos
Haciendo la sustitución
de donde
Integrando y volviendo a las variables x y y obtenemos
Note que x=0 es una solución singular de la ecuación diferencial dada.

14. Observación: cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma
conviene más rescribirla en la forma
y aplicar aquí el cambio de variable y=ux

15. Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial
Factorizando x
Haciendo la sustitución y=ux
Integrando
Y despejando y
Observación: al dividir por el factor se pudo haber perdido algunas soluciones, pero x=0
no es solución y que son soluciones singulares.

16. Ejemplos:
1) 𝑒 𝑚 𝑑2 𝑚
𝑑𝑡2 + 𝑡3 𝑑𝑚
𝑑𝑡
+ 𝑚𝑡
𝑑𝑚
𝑑𝑡
= 𝑚𝑡 Segundo orden
No lineal
Homogénea
Es homogénea porque no contiene términos que dependen sólo de su variable independiente “t”.
m (variable dependiente) ; t (variable independiente)
2)
𝑑3 𝑦
𝑑𝑥3 + 3
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 − 5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 8𝑥𝑦 = 2𝑥 3er orden
Lineal
No homogénea
Es no homogénea porque si contienen un término que depende sólo de la variable independiente 2x.

17. Ejemplos:
3)
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 + 𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒 𝑥 𝑦 = 0 No lineal
Homogénea
Por definición no contiene términos que dependen solamente de su variable independiente.
4) 𝑥2 𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2 +
8
𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 𝑦 = 𝑒 𝑥
Lineal
No homogénea
𝑒 𝑥
→ Este término depende sólo de x.

18. Ecuaciones Diferenciales Exactas
En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer
orden que presenta la forma: donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y son iguales. Esto
es equivalente a decir que existe una función tal que: donde y.
Sea la ecuación diferencial:
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1)
Donde las funciones M, N, 𝑀 𝑦, 𝑁𝑥 (los subíndices denotan derivadas parciales) son continuas en
una región rectangular R: a<x<b, c<y<d, entonces la (1) es una ED exacta si y sólo si
𝑀 𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑁𝑥(𝑥, 𝑦)
en cada punto de R.

19. Método de resolución
Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:
• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con
respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.
• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la
solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de
integración. Esto es:
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑀𝑑𝑥 + 𝑔 𝑦 = 𝑁𝑑𝑦 + 𝑔(𝑥)
• Para despejar la función g se deriva F(x,y) con respecto a la variable dependiente de g.
• Se iguala la derivada parcial recién calculada de F(x,y) con M o N (si se integró M se iguala a N y
viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este
modo se encontrará la función g.
• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general F(x,y).

20. Método de 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas
Primero definimos si la ecuación es exacta o no, mediante los siguiente dos criterios:
• Forma estándar de la ed exacta
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
• Criterio para definir exactitud de la ed
δ 𝑀
δ 𝑦
=
δ 𝑁
δ 𝑥

21. 4 pasos para resolver ecuaciones diferenciales exactas:
1. F(x,y)= M(x,y)dx+g(y)
2.
δ
δ 𝑦
M(x,y)dx+g′(y)=N(x,y)
3. g(y)= N(x,y)dy−
δ
δ 𝑦
M(x,y)dxdy
4. Sustituimos g(y)g(y) del paso (3) en (1) e igualamos a c (c = constante)
M(x,y)dx+g(y)=c
Si encontramos que la función N(x,y), es más fácilmente integrable podemos utilizar los mismos
cuatro pasos en función de N.

22. Ejemplo:
(5𝑥 + 4𝑦)𝑑𝑥 + (4𝑥 − 8𝑦3
)𝑑𝑦 = 0
Determinamos si es exacta la ED
𝑀 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 4; 𝑁(𝑥, 𝑦) = 4𝑥 − 8𝑦3
δ 𝑀
δ 𝑦
= 4;
δ 𝑁
δ 𝑥
= 4
De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:
δ 𝑀
δ 𝑦
=
δ 𝑁
δ 𝑥
Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente

23. Paso 1
M(x,y)dx+g(y)= (5x+4y)dx+g(y)
=5 xdx+4y dx+g(y)
=
5
2
x2
+4xy+g(y)
Paso 2
δ
δ 𝑦
M(x,y)dx+g′(y)=N(x,y)
δ
δ 𝑦
5
2
𝑥2
+4xy +g’(y)=4x−8𝑦3
0+4x+g’(y)=4x−8𝑦3
0+g’(y)=−8𝑦3
g’(y)=−8𝑦3

24. Paso 3
g(y)= N(x,y)dy−
δ
δ 𝑦
M(x,y)dxdy
g(y)=−8 𝑦3
dy
= −
8
4
𝑦4
= −2𝑦4
Paso 4
M(x,y)dx+g(y)=c
5
2
𝑥2
+ 4𝑥𝑦 − 2𝑦4
= 𝑐
La solución es:
5
2
𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦4 = 𝑐

25. Ejemplo:
(2x𝑦2
−3)dx+(2𝑥2
y+4)dy=0
Determinamos si es exacta la ED
M(x,y)=2x𝑦2−3; N(x,y)=2𝑥2y+4
δ 𝑀
δ 𝑦
= 4xy;
δ 𝑁
δ 𝑥
= 4𝑥𝑦
De donde concluimos que la ecuación si es exacta ya que:
δ 𝑀
δ 𝑦
=
δ 𝑁
δ 𝑥
Resolvemos la ecuación de acuerdo a los pasos listados anteriormente

26. Paso 1
M(x,y)dx+g(y)=2𝑦2
xdx−3 dx+g(y)
=
2
2
𝑦2 𝑥2 − 3𝑥 + 𝑔 𝑦
= 𝑦2
𝑥2
− 3𝑥 + 𝑔 𝑦
Paso 2
δ
δ 𝑦
M(x,y)dx+g′(y)=N(x,y)
δ
δ 𝑦
(𝑦2
𝑥2
− 3𝑥)+g′(y)=2𝑥2
𝑦 + 4
2𝑥2y+g’(y)=2𝑥2y+4
g’(y)=4

27. Paso 3
g(y)= N(x,y)dy−
δ
δ 𝑦
M(x,y)dxdy
g(y)=4 dy
g(y)=4y
Paso 4
M(x,y)dx+g(y)=c
𝑦2
𝑥2
− 3𝑥 + 4𝑦 = 𝑐
La solución es:
𝑦2
𝑥2
−3x+4y=c

28. Ejemplo:
(2y−
1
𝑥
+cos3x)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+
𝑦
𝑥2−4𝑥3+3ysin3x=0
Determinamos si es exacta la ED, pero en este caso antes, escribimos la FORMA ESTANDAR, de
una ecuación exacta.
(2y−
1
𝑥
+cos3x)dy +
𝑦
𝑥2 −4𝑥3+3ysin3x dx=0
Determinamos exactitud de la ED
M(x,y)=
𝑦
𝑥2 − 43
+3ysin3x; N(x,y)=2y−
1
𝑥
+cos3x
δ 𝑀
δ 𝑦
=
1
𝑥2 +3sin3x;
δ 𝑁
δ 𝑥
= −
1
𝑥2 −3sin3x
De donde concluimos que la ecuación NO es exacta ya que:
δ 𝑀
δ 𝑦
≠
δ 𝑁
δ 𝑥

29. Ejemplo:
(𝑥2
𝑦2
)dx+(𝑥2
−2xy)dy=0
Determinamos si es exacta la ED
M(x,y)=𝑥2
− 𝑦2
; N(x,y)=𝑥2
− 2𝑥𝑦
δ 𝑀
δ 𝑦
= −2y;
δ 𝑁
δ 𝑥
= 2𝑥 − 2𝑦
De donde concluimos que la ecuación NO es exacta ya que:
δ 𝑀
δ 𝑦
≠
δ 𝑁
δ 𝑥

30. Conclusión
La comprensión de la naturaleza y sus fenómenos necesita del auxilio de las matemáticas, y las
Ecuaciones Diferenciales y en Diferencia constituye una herramienta esencial para matemáticos,
físicos, ingenieros y demás técnicos y científicos, pues, sucede con frecuencia que las leyes físicas que
gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones
diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por
ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc.,
se expresan en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la
segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que
describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el
movimiento de partículas subatómicas, etc. Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución
analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el
comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo,
la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener
una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico, lo cual posible que se
estudien ecuaciones diferenciales en diferencias con la teoría de problemas de valor inicial.

31. Bibliografía
• Bronson, R., de Brigard, J. I. C., & de Brigard Montoya, A. (1976). Teoría y problemas de ecuaciones
diferenciales modernas: con transformaciones de Laplace, métodos numéricos, métodos de
matrices, problemas de valor Eigen (No. 515.35 B7T4 QA371 B7T4). McGraw-Hill.
• Arias, J. E. M. G., & Makárov, N. (2005). Ecuaciones diferenciales ordinarias.
• Valdés, J. E. N., & Segura, C. N. (2002). La historia de las ecuaciones diferenciales ordinarias
contadas por sus libros de texto. Xixím: Revista electrónica de didáctica de las matemáticas, (2), 1.
• Ramos, E. E. (2004). Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Servicios Gráficos JJ.
• Çengel, Y. A., Palm, W. J., & Ortega, S. M. S. (2014). Ecuaciones diferenciales para ingeniería y
ciencias. McGraw-Hill.
• Rodríguez, M. L. (2006). Problemas resueltos de ecuaciones diferenciales. Editorial Paraninfo.
• Campos Sancho, B., & Chiralt, C. (2011). Ecuaciones diferenciales. Universitat Jaume I.