Definitivamente los eclipses lunares no causan tanta conmoción popular como los eclipses solares; sin embargo, son un fenómeno astronómico de interés cuyo cálculo no es muy complejo y en realidad está al alcance de cualquier astrónomo aficionado a las matemáticas del cielo. En este artículo derivaremos analíticamente un método sencillo para el cálculo de un eclipse lunar con aplicación numérica a uno de los eclipses de 1999. Existen varios métodos para calcular un eclipse lunar, pero el que explicaremos es a juicio del autor, el más sencillo de derivar y de aplicar. En la preparación de las “Efemérides Astronómicas” los eclipses lunares y so lares se han calculado mediante un procedimiento más complejo y más “preciso”. Sin embargo, veremos como la precisión obtenida con el método explicado es suficiente aún para el aficionado más exigente. Por Andrés Mejía Valencia Sociedad Julio Garavito para el Estudio de la Astronomía de Medellín - República de Colombia - América del Sur.

1. A-EA1999 Pág.24
G.2.2. Cálculo de un eclipse lunar
Definitivamente los eclipses lunares no causan tanta conmoción popular como los eclipses solares; sin
embargo, son un fenómeno astronómico de interés cuyo cálculo no es muy complejo y en realidad está al
alcance de cualquier astrónomo aficionado a las matemáticas del cielo. En este artículo derivaremos
analíticamente un método sencillo para el cálculo de un eclipse lunar con aplicación numérica a uno de los
eclipses de 1999. Existen varios métodos para calcular un eclipse lunar, pero el que explicaremos es a
juicio del autor, el más sencillo de derivar y de aplicar. En la preparación de las “Efemérides
Astronómicas”los eclipses lunares y so lares se han calculado mediante un procedimiento más complejo y
más “preciso”. Sin embargo, veremos como la precisión obtenida con el método explicado es suficiente
aún para el aficionado más exigente.
Un eclipse lunar ocurre cuando la Luna se interpone en la sombra que arroja la Tierra en el espacio
alineándose el Sol, la Tierra y la Luna como ocurre en cada Luna llena todos los meses. Sin embargo,
debido a que la órbita lunar se encuentra inclinada unos 5º 09’ con relación a la eclíptica (plano que
contiene el Sol y la Tierra) no es posible ver todos los meses un eclipse lunar. Las condiciones
geométricas para que ocurra un eclipse deben satisfacer que la Luna se encuentre en fase llena y que esta
se encuentre sobre o muy cerca de la eclíptica.
figura G.2.2.1
En la figura G.2.2.1 podemos ver que las sombras de la penumbra DXYC y la umbra XYV, al ser
arrojadas por un cuerpo aproximadamente esférico como la Tierra, son en realidad un par de conos de
sombra (con vértices W y V en lados contrarios), los cuales al ser cortados transversalmente a la
distancia de la Luna, producen un par de círculos de sombras representados en la figura G.2.2.2. Los
instantes de los contactos de la Luna con estos “círculos de sombra”, determinan las diferentes fases de
un eclipse lunar, y dependiendo de que tan profundo ingrese la Luna, se generan los diferentes tipos de
eclipse.
Si la Luna ingresa completamente al cono de sombra de la Umbra (círculo interior de la figura G.2.2.2)
ocurre un eclipse total. En caso de no ingresar totalmente se presenta un eclipse parcial. Cuando la Luna
solo cruza (parcial o totalmente) el cono de sombra de la penumbra, sin tocar la umbra, entonces el
eclipse es de tipo penumbral.

2. A-EA1999 Pág.25
figura G.2.2.2
En el resto de este artículo usaremos la siguiente notación:
P = Paralaje horizontal ecuatorial del Sol
P1= Paralaje horizontal ecuatorial de la Luna
S = Semidiámetro del Sol
S1= Semidiámetro de la Luna
r = Distancia geocéntrica del Sol (en unidades del radio ecuatorial terrestre)
r1 = Distancia geocéntrica de la Luna (en unidades del radio ecuatorial terrestre)
s = Radio angular geocéntrico del cono de la umbra a la distancia de la Luna
s’= Radio angular geocéntrico del cono de la penumbra a la distancia de la Luna
Refiriéndonos a la figura G.2.2.3, el radio del cono de la umbra a la distancia de la Luna es MN. El radio
angular s, con respecto a T es NTM. Sí XVT se denota como v, entonces tenemos que:
XNT = s + v
figura G.2.2.3

3. A-EA1999 Pág.26
Pero XNT es el ángulo que subtiende el radio ecuatorial terrestre en la Luna y, tomando la Tierra como
una esfera, tenemos que XNT = P1, por lo tanto P1= s + v.
Adicionalmente STA = XAT + v. Pero STA es el ángulo que en la Tierra subtiende el radio del Sol y por
lo tanto equivale al semidiámetro solar S. Es obvio que XAT es el paralaje solar P, y por lo tanto
tenemos que S = P + v.
En resumen, tenemos que el radio del cono de la umbra es s = P + P1 – S. En forma similar se puede
encontrar que el radio del cono de la penumbra es s’= P + P 1 + S.
En la observación práctica de los eclipses lunares, se ha podido determinar que la atmósfera de la Tierra
tiene el efecto de incrementar en aproximadamente 1/50 la sombra de la Tierra. En el cálculo de los
eclipses lunares, básicamente existen dos métodos de tener este efecto en cuenta:
1. Regla tradicional: El efecto de la atmósfera se tiene en cuenta al incrementar en 1/50, es decir en un
2%, los radios de la penumbra y la umbra al mismo tiempo. Este método ha sido utilizado por muchos
años y está en concordancia general con las observaciones y mediciones de tiempos de contacto de la
sombra de la Tierra con cráteres específicos en la Luna.
2. Regla de Danjon: El gran astrónomo francés André Danjon correctamente sugirió desde 1951 que la
única manera razonable de tener en cuenta la presencia de una capa de aire opaco que rodee la Tierra es
mediante el incremento del radio terrestre en la altura de la atmósfera. Este efecto se puede lograr
incrementando proporcionalmente el paralaje lunar. Procediendo de esta manera, los radios de los conos
de la umbra y de la penumbra se corrigen en forma absoluta y no relativa, como lo hace la regla
tradicional. Con base en esta definición, al comparar las magnitudes con la regla tradicional, las
magnitudes de los eclipses son menores en aproximadamente 0.005 en eclipses en la umbra y en 0.026
para eclipses en la penumbra.
El autor de las “Efemérides Astronómicas” prefiere la regla de Danjon al considerar que sus argumentos
son más sólidos que los de la regla tradicional y aún cuando esta fuese cierta para la umbra no puede ser
correcta para la penumbra. En las ediciones de las “Efemérides Astronómicas” de 1997 y 1998 el autor
ha seguido la regla de Danjon, pero a partir de la edición de 1999 los eclipses lunares serán calculados
teniendo en cuenta la regla tradicional con el objeto de ser congruentes con la mayoría de los grandes
almanaques astronómicos.
Siguiendo la regla tradicional, tenemos que:
)
(
02
.
1 '
1 S
P
P
s −
+
= G.2.2.1
)
(
02
.
1
' '
1 S
P
P
s +
+
= G.2.2.2
En razón de que la sombra arrojada por la Tierra no es exactamente circular, debido a su achatamiento,
podemos corregir los conos de sombra mediante la suposición de un radio promedio para la Tierra, lo
que equivale a corregir el paralaje lunar llevándolo a una latitud de 45º, de tal manera que P’1 es igual a
0.998340P1.

4. A-EA1999 Pág.27
Por razones de espacio, no nos detendremos a discutir detalladamente la geometría necesaria para la
ocurrencia de los diferentes tipos de eclipses lunares. Por ahora serán suficientes las siguientes
definiciones de aplicación general, donde β es la latitud de la Luna:
Condición Conclusión
β > 1º 36’38’’ No hay eclipse en la penumbra
1º 26’19’’< β < 1º 36’38’’ Eclipse en la penumbra posible
1º 03’46’’< β < 1º 26’19’’ Eclipse en la penumbra, sin eclipse en la umbra
0º 53’26’’< β < 1º 03’46’’ Eclipse en la penumbra, eclipse en la umbra posible
β < 0º 53’26’’ Eclipse en la umbra
Teniendo en consideración las condiciones anteriores, en las páginas siguientes desarrollaremos en forma
general el procedimiento analítico de cálculo de un eclipse lunar.
Suponiendo que las condiciones geométricas descritas para la ocurrencia de un eclipse lunar se satisfacen,
a partir de la figura G.5.2.4 podemos suponer que T representa un observador en el centro de la Tierra y
que C es el centro del cono de la umbra. De igual forma L representa la Luna en el instante del último
contacto con la umbra y P representa el polo norte celeste.
figura G.2.2.4
Si (α1, δ1) y (α0, δ0) representan las coordenadas ecuatoriales aparentes del centro de la Luna y de C
respectivamente, y además definimos CL como η y PCL como Q, mediante las fórmulas básicas de la
trigonometría esférica tenemos que:
)
cos(
sen
cos
cos
sen
cos
sen
)
sen(
cos
sen
sen
0
1
0
1
0
1
0
1
1
α
−
α
δ
δ
−
δ
δ
=
η
α
−
α
δ
=
η
Q
Q

5. A-EA1999 Pág.28
Ahora, en razón de que η y (α1 - α0) son ángulos pequeños, podemos simplificar la ecuaciones anteriores
mediante el siguiente procedimiento:
1
)
cos(
)
sen(
sen
0
1
0
1
0
1
=
α
−
α
α
−
α
=
α
−
α
η
=
η
Por lo tanto:
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
cos
)
sen(
cos
sen
cos
cos
sen
cos
cos
)
(
sen
δ
−
δ
=
η
δ
−
δ
=
η
δ
δ
−
δ
δ
=
η
δ
α
−
α
=
η
Q
Q
Q
Q
En resumen :
1
0
1 cos
)
(
sen δ
α
−
α
=
η Q G.2.2.3
0
1
cos δ
−
δ
=
η Q G.2.2.4
Puesto que C es diametralmente opuesto al Sol, la Ascensión Recta de C es igual a la ascensión Recta del
Sol incrementada en 12 horas y su declinación tiene la misma magnitud que la declinación del Sol, pero
con signo contrario.
Definamos las coordenadas rectangulares de luna como:
Q
x sen
cos
)
( 1
0
1 η
=
δ
α
−
α
= G.2.2.4
Q
y cos
0
1 η
=
δ
−
δ
= G.2.2.5
Escogiendo una hora de referencia T0, como por ejemplo la hora entera más cercana al instante de
oposición en ascensión recta del Sol y la Luna, y adicionalmente tomando como x0, y0 los valores
calculados de x, y en este momento determinado, entonces podemos escribir:
t
y
y
y
t
x
x
x
'
'
0
0
+
=
+
=
Donde x’, y’ son las variaciones horarias de las coordenadas x, y, que pueden hallarse numéricamente y t
es el tiempo es medido en horas desde el tiempo de referencia T0.
Con las ecuaciones G.2.2.4 y G.2.2.5, tenemos que:
t
y
y
Q
t
x
x
Q
'
cos
'
sen
0
0
+
=
η
+
=
η
G.2.2.6

6. A-EA1999 Pág.29
Definamos las siguientes cantidades:
M
m
y
M
m
x
cos
sen
0
0
=
=
G.2.2.7
N
n
y
N
n
x
cos
'
sen
'
=
=
G.2.2.8
A partir de los valores numéricos conocidos de x0, y0, x’, y’, podemos hallar entonces en forma directa
los valores de m, M, n, N.
Elaborando las ecuaciones G.2.2.6, tenemos que:
N
nt
M
m
Q sen
sen
sen +
=
η G.2.2.9
N
nt
M
m
Q cos
cos
cos +
=
η G.2.2.10
Elevando al cuadrado estas dos ecuaciones y sumándolas entre sí, tenemos:
0
)
(
)
cos(
2
)
cos(
2
)
cos
(sen
)
cos
cos
sen
(sen
2
)
cos
(sen
)
cos
(sen
cos
cos
cos
2
cos
sen
sen
sen
2
sen
cos
sen
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
=
η
−
+
−
+
+
−
+
=
η
+
+
+
+
+
=
+
η
+
+
+
+
+
=
η
+
η
m
N
M
mnt
t
n
t
n
N
M
mnt
m
N
N
t
n
N
M
N
M
mnt
M
M
m
Q
Q
N
t
n
N
M
mnt
M
m
N
t
n
N
M
mnt
M
m
Q
Q
Esta última ecuación es de segundo grado en t, la cual es muy fácil de solucionar mediante el uso de la
fórmula general para hallar las dos raíces de t, así:
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
)
(
sen
)
cos(
)
1
)
(
(cos
)
cos(
)
(
cos
)
cos(
2
)
(
4
)
(
cos
4
(
)
cos(
2







 −
−
η
±
−
−
=







 η
+
−
−
±
−
−
=







 η
+
−
−
±
−
−
=
η
−
−
−
±
−
−
=
n
N
M
m
n
N
M
m
t
n
N
M
m
n
N
M
m
t
n
m
N
M
m
n
N
M
m
t
n
m
n
N
M
n
m
N
M
mnt
t

7. A-EA1999 Pág.30
Si definimos como:
)
(
sen
)
cos(
2
2
N
M
m
B
n
N
M
m
A
−
=
−
−
=
Entonces tenemos finalmente que:
2
1
2
2







 −
η
±
=
n
B
A
t G.2.2.11
La ecuación G.2.2.11 nos permite hallar los tiempos, medidos desde nuestro tiempo de referencia T0, de
todas las fases del eclipse, teniendo en cuenta que el signo negativo se refiere a los primeros contactos y
el signo positivo a los últimos contactos con los conos de las sombras.
De acuerdo con lo definido para los radios de los conos de las sombras tenemos que los valores de η,
para introducir en la ecuación G.2.2.11, correspondientes son:
Contactos con la penumbra:
( ) 1
1
998340
.
0
02
.
1 S
S
P
P +
+
+
=
η G.2.2.12
Contactos con la umbra:
( ) 1
1
998340
.
0
02
.
1 S
S
P
P +
−
+
=
η G.2.2.13
En las ecuaciones anteriores vemos cómo se suma el valor del semidiámetro lunar con el fin de relacionar
los contactos con las sombras con el limbo lunar y no con el centro de la luna.
Para los eclipses totales, el valor correspondiente de η es: ( ) 1
1
998340
.
0
02
.
1 S
S
P
P −
−
+
=
η , que
corresponde a los contactos internos del limbo lunar con la sombra de la umbra.
El instante del máximo eclipse, es decir el instante en el cual el centro de la Luna se acerca más al centro
de las sombras, está dado por T0 + t’, donde A
n
N
M
m
t =
−
−
=
)
cos(
' G.2.2.14
En razón de que las coordenadas x, y representan las coordenadas rectangulares del centro del disco lunar
con relación al centro de las sombras, podemos definir a 2
2
y
x
d +
= como la distancia de la Luna en
un momento dado.

8. A-EA1999 Pág.31
En el instante de máximo eclipse, es claro que d debe alcanzar su mínimo valor y por lo tanto, podemos
minimizar esta expresión para obtener el tiempo correspondiente, así:
( ) ( )
2
'
2
'
'
0
'
0
'
0
'
0
2
'
2
'
2
'
'
0
2
'
'
0
'
'
0
'
'
0
'
'
'
'
2
1
2
2
2
2
0
)
(
)
(
0
0
)
(
)
(
0
0
2
2
2
1
y
x
y
y
x
x
t
y
y
x
x
y
x
t
t
y
y
y
t
x
x
x
y
t
y
y
x
t
x
x
yy
xx
yy
xx
y
x
dt
dd
y
x
d
+
+
−
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=
+
+
=
+
=
−
Esta última expresión es equivalente a la ecuación G.2.2.14 y nos da, con relación a nuestro tiempo de
referencia T0, el instante de máximo eclipse, o de mínimo acercamiento entre el centro del disco lunar al
eje de las sombras de la penumbra y la umbra.
La magnitud de un eclipse parcial de Luna es la fracción del diámetro lunar que alcanza a entrar en la
sombra de la umbra, y está dado por:
1
2
)
sen(
S
N
M
m
Mag p
−
−
η
= G.2.2.15
Donde msen(M - N) debe ser tomado como positivo y η es el valor medio usado para el primer y último
contacto con la sombra de la umbra.
Para terminar de desarrollar nuestro análisis, sólo falta definir los ángulos de posición (referidos al polo
norte celeste) de la Luna con los círculos de las sombras de la penumbra y la umbra. Refiriéndonos de
nuevo a la figura G.2.2.4, tenemos que el dibujo corresponde al cuarto contacto (último contacto con la
umbra) y vemos que el círculo máximo que une el punto de contacto de la Luna con la umbra y el centro
de la umbra misma forma un ángulo PLC con el meridiano PL a través del centro de la Luna. En razón de
que los ángulos de posición son medidos desde el norte celeste hacia el oriente celeste, el ángulo de
posición θ del punto de contacto está dado por:
CLR
PLC
+
=
θ
−
=
θ
º
180
º
360
Pero como el ángulo CL es pequeño, entonces PCL es aproximadamente igual al ángulo CLR, y por lo
tanto: Q
º
180 +
=
θ . El ángulo Q es determinado mediante las ecuaciones G.2.2.9 y G.2.2.10, insertando
el valor de t apropiado para cada unos de los contactos.

9. A-EA1999 Pág.32
Aplicación numérica del método: A continuación veremos la aplicación numérica de nuestro método,
al eclipse lunar del 28 de julio de 1999.
Los datos básicos para el cálculo de este eclipse, y en realidad de casi todo cálculo astronómico, lo
constituyen unas buenas efemérides del Sol y la Luna. Mediante el mismo programa de computador del
autor, con el que se generan las efemérides de posición del Sol y la Luna en las secciones B.7 y C.5,
tenemos los siguientes datos:
Efemérides del Sol y la Luna para el 28 de Julio de 1999
Sol Luna
Hora TDT α
α δ
δ P S α
α1
1 δ
δ1
1 P1
1 S1
1
10:00:00 8h 29m 00.3s 19° 02' 18''
0.00241 0.2625 20h 25m 21.7s -18° 25' 27''
0.92793 0.2528
11:00:00 8h 29m 10.1s 19° 01' 44''
0.00241 0.2625 20h 27m 33.0s -18° 20' 48''
0.92826 0.2529
12:00:00 8h 29m 19.9s 19° 01' 09''
0.00241 0.2625 20h 29m 44.4s -18° 16' 02''
0.92855 0.2530
13:00:00 8h 29m 29.7s 19° 00' 34''
0.00241 0.2625 20h 31m 55.7s -18° 11' 11''
0.92893 0.2531
14:00:00 8h 29m 39.5s 19° 00' 00''
0.00241 0.2625 20h 34m 07.0s -18° 06' 14''
0.92927 0.2532
Tabla G.2.2.1
Es de anotar que en la tabla G.2.2.1 los valores han sido calculados para las 10, 11, 12, 13 y 14 horas
Tiempo Dinámico Terrestre y todos los valores están expresados en grados, a excepción de la Ascensión
recta que está expresada en horas. P se refiere al paralaje horizontal ecuatorial y S al semidiámetro
angular geocéntrico del Sol y la Luna
Igualmente, de la tabla anterior, es fácil ver que la oposición en ascensión recta entre la Luna y el Sol
debe ocurrir cerca de las 12:00:00 TDT. Este es realmente el primer cálculo que debemos realizar:
Sombra Luna Sombra-Luna
Hora TDT α
α+12h. α
α1
1 ∆
∆α
α Diferencias
10:00:00 20.48342 20.42269 0.06072
-0.03375
11:00:00 20.48614 20.45917 0.02697 -0.00003
-0.03378 0.00006
12:00:00 20.48886 20.49567 -0.00681 0.00003 -0.00008
-0.03375 -0.00003
13:00:00 20.49158 20.53214 -0.04056 0.00000
-0.03375
14:00:00 20.49431 20.56861 -0.07431
Tabla G.5.2.2
Para el cálculo de la oposición en ascensión recta, la función objetivo es la diferencia entre las
ascensiones rectas del centro de la sombra y de la Luna. Nótese como se suma 12 horas a la ascensión
recta del Sol, para obtener la ascensión recta de la sombra.

10. A-EA1999 Pág.33
Mediante un procedimiento de interpolación inversa para hallar el instante en el cual ∆α es igual a cero,
obtendremos el instante de oposición en ascensión recta del Sol y la Luna (véase la sección G.1 de este
apéndice), encontrando el siguiente intervalo de interpolación:
no’ no
-0.20155 0.00000
-0.20153 -0.20155
-0.20153 -0.20153
-0.20153 -0.20153
Con base en el valor hallado para el intervalo de interpolación, tenemos que el instante en el cual la
función objetivo ∆α es igual a cero corresponde es 12h – 0.20153h = 11.79847h el cual equivale a las
11h 47m 54.5s. En dicho instante, las coordenadas del Sol y la Luna son:
Sol Luna
α
α δ
δ Dist. (U.A.) α
α1
1 δ
δ1
1 Dist. (km.)
8h 29m 17.9s 19° 01' 16'' 1.015439 20h 29m 17.9s -18° 17' 00'' 393585
Nótese cómo la ascensión recta de la Luna difiere exactamente en 12 horas de la del Sol. Es claro que la
hora T0 de referencia debe tomarse como las 12 horas TDT y a este instante referiremos todos nuestros
cálculos.
La tabla de datos básicos para el cálculo del eclipse se forma así:
Sombra Luna Coordenadas y variación
Hora TDT α
α0
0 (
(°
°)
) δ
δ0
0 (
(°
°)
) α
α1
1 (
(°
°)
) δ
δ1
1 (
(°
°)
) x y x' y'
10:00:00 307.25125 -19.03833 306.34042 -18.42417 -0.86414 +0.61416 +0.48013 +0.06806
11:00:00 307.29208 -19.02889 306.88750 -18.34667 -0.38401 +0.68222 +0.48095 +0.06973
12:00:00 307.33292 -19.01917 307.43500 -18.26722 +0.09694 +0.75195 +0.48101 +0.07110
13:00:00 307.37375 -19.00944 307.98208 -18.18639 +0.57794 +0.82305 +0.48147 +0.07306
14:00:00 307.41458 -19.00000 308.52917 -18.10389 +1.05941 +0.89611
Tabla G.2.2.3
Nótese que en esta tabla la ascensión recta de la sombra y de la Luna están expresadas en grados, para lo
cual se debe tener en cuenta que 1h son 15º. Adicionalmente se encuentran tabulados los valores dex, y,
calculados mediante las ecuaciones G.2.2.4 y G.2.2.5, así:
Para las 10:00:00 TDT
x = (α1 − α0)cosδ1 = (306.34042 – 307.25125)cos –18.42417º =-0.86414º
y = (δ1 − δ0) = (-18.42417º - -19.03833º) = +0.61416º

11. A-EA1999 Pág.34
Las variaciones horarias de x , y se calculan directamente, así:
Para las 10:00:00 TDT, tenemos que:
x’= -0.38401 – (-0.86414) = +0.48013
y’= +0.68222 – (0.61416) = +0.06806
y así sucesivamente se genera el resto de la tabla para los demás tiempos indicados.
Para el cálculo de los parámetros básicos del eclipse, y partiendo de la tabla G.2.2.3 procedemos de la
siguiente manera:
Coordenadas de referencia (tomadas para las 12:00:00 TDT):
x0 = 0.09694
y0 = 0.75195
Mediante las ecuaciones G.2.2.7, tenemos que:
º
75817
.
0
º
34595
.
7
sen
09694
.
0
sen
º
34595
.
7
75195
.
0
09694
.
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
M
x
m
M
y
x
tanM
Adicionalmente:
x’0 = 0.48101
y’0 = 0.07110
Mediante las ecuaciones G.2.2.8, tenemos que:
º
48624
.
0
º
59177
.
81
sen
48101
.
0
sen
º
59177
.
81
07110
.
0
48101
.
0
'
0
'
0
'
0
=
=
=
=
=
=
N
x
n
N
y
x
tanN
Una vez calculados estos valores básicos podemos definir nuestra ecuación fundamental para el cálculo
de las fases de los eclipses, así:
532447
.
0
)
º
59177
.
81
º
34595
.
7
(
sen
75817
.
0
)
(
sen
423353
.
0
º
48624
.
0
)
º
59177
.
81
º
34595
.
7
cos(
º
75817
.
0
)
cos(
2
2
2
2
+
=
−
=
−
=
−
=
−
−
=
−
−
=
N
M
m
B
n
N
M
m
A

12. A-EA1999 Pág.35
La ecuación G.2.2.11, queda finalmente:
2
1
2
2
1
2
2
23643
.
0
532447
.
0
423353
.
0 






 −
η
±
−
=







 −
η
±
=
t
n
B
A
t
Los valores de η para los diferentes eventos son:
Ingreso/Egreso de la Penumbra:
( ) ( ) º
46876
.
1
2530
.
0
2625
.
0
92855
.
0
x
998340
.
0
00241
.
0
02
.
1
998340
.
0
02
.
1 1
1 =
+
+
+
=
+
+
+
=
η S
S
P
P
Ingreso/Egreso de la Umbra:
( ) ( ) º
93326
.
0
2530
.
0
2625
.
0
92855
.
0
x
998340
.
0
00241
.
0
02
.
1
998340
.
0
02
.
1 1
1 =
+
−
+
=
+
−
+
=
η S
S
P
P
Utilizando la ecuación de t con el signo negativo para los ingresos y el signo positivo para los egresos, y
con los valores apropiados de η, tenemos los siguientes resultados:
Evento η
η T Hora TDT Hora TU Hora TU Hora TCC
Ingreso penumbra 1.46876 -3.0449 8.9551 8.9373 8h 56m 3h 56m
Ingreso umbra 0.93326 -1.6199 10.3801 10.3623 10h 22m 5h 22m
Máximo eclipse -0.4234 11.5766 11.5588 11h 34m 6h 34m
Egreso umbra 0.93326 0.7732 12.7732 12.7554 12h 45m 7h 45m
Egreso penumbra 1.46876 2.1981 14.1981 14.1803 14h 11m 9h 11m
Tabla G.2.2.4
El momento del máximo eclipse se halla mediante la ecuación G.2.2.14., así:
423353
.
0
)
cos(
' −
=
=
−
−
= A
n
N
M
m
t
Tomando los valores de la tabla G.2.2.3, para nuestro valor central, podemos calcular el tiempo del
máximo eclipse así:
423358
.
0
07110
.
0
48101
.
0
07110
.
0
x
75195
.
0
48101
.
0
x
09694
.
0
' 2
2
2
'
2
'
'
0
'
0
−
=
+
+
−
=
+
+
−
=
y
x
y
y
x
x
t
Obteniendo básicamente el mismo resultado que mediante la ecuación G.2.2.14.

13. A-EA1999 Pág.36
La hora de cada instante se halla como T0 + t, por ejemplo
Ingreso penumbra
T= 12h –3.0449h = 8.9551h TDT.
Para expresar los tiempos en Tiempo Universal y recordando ∆T = TDT-TU, con ∆T = +64 segundos
para 1999, el Tiempo Universal equivalente es TU = 8.9515h – 64 / 3600 = 8.9373h = 8h 56m que
equivale a las 3h 56m en Tiempo Civil Colombiano.
De igual forma se procede con el resto de los eventos y de esta forma hemos calculado todos los
instantes relevantes de cada una de las fases del eclipse de julio de 1999.
Queda faltando calcular el valor de la magnitud del eclipse, el cual se halla mediante la ecuación G.2.2.15,
así:
405
.
0
5060
.
0
)
º
59060
.
81
º
34601
.
7
sen(
75816
.
0
93483
.
0
2
)
sen(
1
=
−
−
=
−
−
η
=
p
p
Mag
S
N
M
m
Mag
El valor encontrado de 0.405, significa que el 40.5% del diámetro del disco lunar alcanza a entrar, en el
momento del máximo eclipse, dentro de la sombra de la umbra.
Sólo restan por calcular los ángulos de posición de la Luna al principio y final del eclipse, pero este
ejercicio lo dejamos al lector interesado.
Nota: véase el diagrama de este eclipse en la sección C.4 de las “Efemér ides Astronómicas 1999” y
compárense los resultados obtenidos mediante nuestro análisis “simplificado” con los datos descritos en
la sección mencionada.