Aparentemente, esta pregunta parece ser simple de responder. Sin embargo, no existe un procedimiento analítico directo y sencillo que especifique el instante en el tiempo en el cual un planeta alcanza el máximo brillo en la esfera celeste. Antes de seguir con nuestro análisis, es importante el definir cómo se determina la apariencia visual del disco de un planeta y diferenciar los conceptos de magnitud y brillantez. Por: Andrès Mejìa Valencia Sociedad Julio Garavito para el Estudio de la Astronomia de Medellìn- Antioquia - Colombia

1. Cuándo alcanza un planeta inferior su máximo brillo?
Andrés Mejía Valencia
Aparentemente, esta pregunta parece ser simple de responder. Sin embargo, no existe un
procedimiento analítico directo y sencillo que especifique el instante en el tiempo en el cual
un planeta alcanza el máximo brillo en la esfera celeste. Antes de seguir con nuestro
análisis, es importante el definir cómo se determina la apariencia visual del disco de un
planeta y diferenciar los conceptos de magnitud y brillantez.
El familiar concepto de magnitud se utiliza para especificar en una formar cuantitativa que
tan iluminado aparece el disco de un planeta en un momento determinado. La magnitud se
fundamenta en una escala logarítmica y se calcula mediante una fórmula que tiene en
cuenta la geometría orbital del planeta, el Sol y la Tierra y por lo tanto los efectos de las
distancias relativas en el espacio y la apariencia del disco planetario visto desde la Tierra.
La fórmula adoptada para calcular la magnitud de un planeta inferior a la órbita de la
Tierra, es decir para Mercurio y Venus, es:
Mag. = A + 5Log r + Bi + Ci2
+ D i3
Ecuación 1
Donde A, B, C y D son constantes determinadas empíricamente para cada planeta
r = distancia entre el planeta y el Sol (Radio Vector)
 = distancia entre el planeta y la Tierra
i = ángulo de fase del planeta, es decir ángulo Sol-planeta-Tierra
Las constantes mencionadas en la ecuación 1 son:
Constante Mercurio Venus
A -0.42 -4.40
B +0.0380 +0.0009
C -0.000273 +0.000239
D +0.000002 -0.00000065
En la ecuación 1, es importante notar que las distancias deben estar expresadas en unidades
astronómicas, el ángulo de fase i debe estar dado en grados y el logaritmo es en base 10.
Dicha fórmula nos permite calcular en una forma muy aproximada la magnitud aparente de
Mercurio y Venus, y debe ser redondeada numéricamente a la décima más cercana debido a
la naturaleza, empírica hasta cierto punto, de la fórmula misma. Con fundamento en lo
anterior y debido al carácter logarítmico de la fórmula y lo pequeño de los coeficientes de
fase, es posible que al tabular la magnitud de un planeta para varios días, se obtenga un
valor numéricamente constante.

2. La atmosféra de los planetas, en caso de que la tengan, y las características propias y
presentes en la superficie de cada planeta, pueden hacer variar la magnitud observada con
la calculada, lo cual es otra razón para no otorgar "demasiada" precisión a la fórmula
mencionada.
En la figura 1, podemos observar los parámetros usados para determinar la magnitud y la
brillantez de un planeta.
Figura 1
Existe otro parámetro, algo menos conocido que la magnitud, llamado brillantez, el cual se
usa para determinar que tan brillante se encuentra un planeta interior en un momento dado,
su diferencia con la magnitud es que es la brillantez se define en forma totalmente analítica
mediante una fórmula que tiene en cuenta el "tamaño" aparente del disco planetario visto
desde la Tierra, su fase y su distancia al Sol. Es importante recordar que tanto Mercurio
cómo Venus nos muestran fases tal como lo hace nuestra Luna, en razón de tener órbitas
interiores a la de la Tierra, lo cual es un fenómeno conocido y observado desde los tiempos
de Galileo.
La Brillantez L se define como:
L
S k
r
=
2
2
Donde:
S
So
k
i
=
=
+

1
2
cos
Donde:
S = semidiámetro aparente del planeta, visto desde la Tierra.
So = semidiámetro del planeta a una distancia de 1.0 Unidad Astronómica desde la Tierra

3. r = radio vector del planeta
k = fase del planeta
i= ángulo de fase del planeta
En la fórmula descrita para la brillantez, tenemos la fase k del planeta, la cual es una
cantidad que varia entre 0.0 y 1.0 y nos indica la apariencia iluminada del disco del planeta.
Los otros parámetros son el semidiámetro aparente del planeta, que depende de su distancia
a la Tierra, y la distancia del planeta al Sol. Dicha fórmula varia muy rápidamente de un día
para otro, lo que no ocurre con la magnitud, y se puede usar para determinar en forma
precisa el instante en el cual un planeta inferior alcanza su máximo brillo.
Una manera de atacar el problema que nos ocupa es determinar bajo que geometría orbital
la brillantez alcanza su máximo valor, y luego verificar en que fecha e instante se genera
dicha geometría específica. A partir del cálculo diferencial, la máxima brillantez se obtiene
al maximizar la fórmula:
L
S k
r
=
2
2
Esta ecuación, con base en las definiciones anteriores, es equivalente a:
L
r
iS
o
=
+





2
2 2
1

cos
2
A partir de la figura 1, y usando la ley de cosenos, tenemos:
cos i
r R
r
=
+ −2 2 2
2


Introduciendo este valor para L, obtenemos:
L
r
r R
r
S
o
= +
+ −







2
2 2
2 2 2
2
1
2


luego,
( )L
r
r r R
S
o
= + + −
2
3 3
2 2 2
4
2

  Ecuación 2
El valor de So es constante para cada planeta, por lo tanto en la ecuación 2 tenemos tres
variables: la distancia del planeta al Sol, la distancia de la Tierra al Sol y la distancia del
planeta a la Tierra. Estos parámetros varían en una forma compleja con el tiempo y se
tratamos de maximizar, mediante el cálculo diferencial, la ecuación 2 en función de las tres

4. variables seguramente nos encontraremos con un problema muy interesante, pero
demasiado complicado de resolver analíticamente.
Otra forma de atacar nuestro problema, es determinar la geometría necesaria en función de
la elongación  , la cual se define como el ángulo Sol-Tierra-Planeta.
Refiriéndonos de nuevo a la figura 1 y de usando la ley de cosenos para el triángulo plano
Sol-Tierra-Planeta, tenemos que la elongación del planeta es:
cos =
R2

+ −

2 2
2
r
R
Ecuación 3
Es posible el introducir la elongación del planeta en la ecuación 2, pero de nuevo nos
encontraremos con las tres variables mencionadas anteriormente y el proceso tradicional de
maximización se convertirá en un problema de "tamaño astronómico".
Sin embargo, si queremos examinar en forma aislada el planeta Venus y obtener la
elongación para la cual este planeta alcanza su máximo brillo, podemos, como una
aproximación, hacer algunas suposiciones y disminuir en una forma notable nuestro
problema. Podemos asumir una órbita circular para Venus; De hecho tiene la menor
excentricidad orbital de todos los planetas de nuestro sistema solar. Adicionalmente,
asumamos que la órbita de la Tierra es también circular, ya que la variación entre las
distancias de la Tierra al Sol en el afelio y en el perihelio es de apenas un 3.4% como
máximo. Podemos ver ahora que hemos simplificado la ecuación 2, en razón de que la
única variable es la distancia  entre Venus y la Tierra y debido a que hemos supuesto las
órbitas de Venus y la Tierra como circulares, sus distancias al Sol son constantes y las
podemos tomar como la magnitud de los semiejes mayores de sus órbitas.
Estos valores son (Semiejes mayores):
Venus, r = 0.72333 U.A.
Tierra, R = 1.00000 U.A.
Por todo lo anterior, el proceso de maximización de la ecuación 2 es ahora muy simple:
Si definimos : A
So
r
=
2
3
4
entonces:
L A
r r R
dL
d
A
r r r R
=
+ + −





=
+ − + + −





 


    

2 2 2
3
3 2 2 2 2
6
2
2 2 2 3( ) ( )

5. Igualando esta primera derivada a cero y luego de hacer algunas sencillas manipulaciones
algebraicas, obtenemos:
 2 2 2
4 3 0+ + − =r r R( ) Ecuación 4
La ecuación 4 es una ecuación cuadrática en  y su solución puede ser hallada
directamente, mediante el uso de la fórmula tradicional para obtener las dos raíces de una
ecuación de segundo grado. Una vez simplificada la fórmula para la solución de la ecuación
4, obtenemos que las dos soluciones para  son:
1 2
2 2
2 3, = −  +r r R
Una vez resolvemos esta ecuación para , usando los valores mencionados para R y r,
encontramos que las soluciones son:
 = -3.3237 U.A.
 = +0.4304 U.A.
Tomando el segundo valor hallado para , y por medio de la ecuación 3, podemos calcular
la elongación correspondiente de Venus para el momento de máxima brillantez y
encontramos que este ángulo es de 39º 44', el cual se alcanza entre la conjunción inferior y
la elongación máxima de Venus con el Sol. Para dicha geometría, la fase correspondiente
de Venus, la cual se puede obtener con las fórmulas descritas en el texto para i y para k, es
de 0.266, lo que es lo mismo que decir que el 26.6% del disco de Venus, visto desde la
Tierra, se encuentra iluminado. Para terminar de definir la geometría buscada, encontramos
que el ángulo de fase correspondiente a este instante es 117º 55'.
Parece extraño que Venus parezca más brillante en una fase diferente a la de fase llena, lo
que ocurre en la conjunción superior con el Sol, pero en este momento no es posible ver a
Venus, pues se encuentra oculto bajo su intenso brillo. En el momento de máxima brillantez
de Venus, aunque sólo aparezca iluminado un 26.6% de su disco, el planeta se encuentra
mucho más cerca a la Tierra, y por lo tanto podemos ver un planeta mucho más brillante.
Obviamente, en el caso de la Luna, su instante de máximo brillo se alcanza en la fase llena,
es decir cuando su valor de k es de 1.0 ó 100.0%.
Para el caso de Mercurio, quien tiene la excentricidad más alta de los planetas del sistema
solar, la suposición de su distancia constante al Sol, no puede ser hecha sin comprometer
altamente los resultados, sin embargo se deja a los lectores curiosos este ejercicio, para el
cual el autor ha encontrado una solución aproximada interesante.

6. Es de anotar que los valores hallados para Venus son aproximados, pues se fundamentan en
las suposiciones efectuadas, sin embargo resulta interesante hacer los cálculos exactos y
verificar el instante en el cual, durante 1997, Venus alcanza su máximo brillo:
Calculando los parámetros para las 0.0 horas Tiempo Universal, en las fechas indicadas,
tenemos:
Fecha Mag. L  k i r  R
Dec. 10 -4.7 212.13 40º 55' 0.275 116.712 0.72213 0.41951 0.98478
Dec. 11 -4.7 212.52 40º 27' 0.267 117.782 0.72200 0.41283 0.98466
Dec. 12 -4.7 212.65 39º 57' 0.259 118.878 0.72186 0.40622 0.98455
Dec. 13 -4.7 212.50 39º 25' 0.250 120.000 0.72173 0.39968 0.98443
Dec. 14 -4.7 212.02 38º 51' 0.241 121.150 0.72160 0.39323 0.98433
De hecho vemos como los valores reales de r y R, son algo diferentes a los supuestos en
nuestro análisis simplificado. A partir de los datos tabulados, es obvio ver que no podemos
concluir nada a partir de la magnitud de Venus, pues su valor es constante para las fechas
indicadas. Recordemos lo dicho al principio del artículo acerca de la aproximación de la
fórmula para la magnitud.
Sin embargo, al analizar la columna de la brillantez L, vemos que definitivamente ocurrirá
un máximo alrededor de diciembre 12. Usando cualquiera de los métodos conocidos de
interpolación inversa para hallar un valor extremo, encontramos que el instante de máximo
valor para la brillantez ocurre el 11 de diciembre a las 23h Tiempo Universal, es decir a las
18h en Tiempo Colombiano en la misma fecha.
Los parámetros adicionales exactos, correspondiente a este instante son:
Magnitud: -4.7
Elongación: 39º 58'
Fase: 0.259
Angulo de fase: 118º 50'
Vemos como, a pesar de las suposiciones efectuadas en nuestro análisis aproximado, los
resultados concuerdan muy bien con los calculados exactamente, para el momento en el
cual Venus alcanza su máximo brillo durante 1997.
La magnitud de -4.7, ubica a Venus como el cuerpo má luminoso en el cielo vespertino de
fin de año, luego de la Luna y por supuesto del Sol, quien es quien en realidad le da la luz a
Venus para ser reflejada en su atmosfera y llegar a nuestros ojos.

7. En la gráfica siguiente se puede ver la variación de la brillantez y la elongación de Venus,
desde el 1 de enero de 1997 hasta el 31 de diciembre de 1999. Es fácil ver cómo los valores
máximos de la brillantez del planeta, se alcanzan siempre entre su conjunción inferior y las
elongaciones máximas, al este o al oeste del Sol.
Elongación Vs. Brillantez 1997-1999
Venus
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
Ene.1
Feb.1
Mar.4
Abr.4
May.5
Jun.5
Jul.6
Ago.6
Sep.6
Oct.7
Nov.7
Dic.8
Ene.8
Feb.8
Mar.11
Abr.11
May.12
Jun.12
Jul.13
Ago.13
Sep.13
Oct.14
Nov.14
Dic.15
Ene.15
Feb.15
Mar.18
Abr.18
May.19
Jun.19
Jul.20
Ago.20
Sep.20
Oct.21
Nov.21
Dic.22
Brillantez
Elongación
m.e.e. m.e.e.
m.e.o. m.e.o.
c.i. c.i.c.s. c.s.
Dic. 12 '97
Feb .20 '98
Jul. 15 '99
Sep. 27 '99
Sobre la gráfica de la elongación se pueden apreciar los instantes de conjunción y de
elongación máxima de Venus, para el período considerado, así:
c.i.: Conjunción inferior
e.m.o.: Elongación máxima al oeste del Sol (visible en el amanecer)
c.s.: Conjunción superior
e.m.e.: Elongación máxima al este del Sol (visible en el anochecer)
Las fechas indicadas de máxima brillantez está expresadas en Tiempo Universal, al día más
cercano.