Introducción a los vectores, matrices y distancias

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS,
TECNOLOGIA E INGENIERIA
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G. - UNIDADES 1 Y 2
JORGE ELIECER RONDON D. – UNIDAD 3
- 1 -
MODULO
ALGEBRA LINEAL
CAMILO ARTURO ZÚÑIGA G.
JORGE ELIECER RONDÓN D.
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA “UNAD”
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
UNIDAD DE CIENCIAS BÁSICAS
Bogotá D. C., 2010

- 2 -
COMITÉ DIRECTIVO
Jaime Alberto Leal Afanador
Rector
Gloria Herrera
Vicerrectora Académica
Roberto Salazar Ramos
Vicerrector de Medios y Mediaciones Pedagógicas
Maribel Córdoba Guerrero
Secretaria General
MÓDULO
CURSO ÁLGEBRA LINEAL
PRIMERA EDICIÓN
© Copyright
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
ISBN
2010
Bogotá, Colombia

- 3 -
AL ESTUDIANTE
El propósito del curso es que el estudiante apropie de manera significativa los elementos
teóricos fundamentales de Algebra Lineal y desarrolle las competencias pertinentes para
contextualizarlos en su campo de formación disciplinar.
El Algebra Lineal es un área de las matemáticas que en las últimas décadas ha tenido un
significativo desarrollo con el aporte de las ciencias computacionales. Su aplicabilidad en
diversos campos del saber ha generado la necesidad de articularla al proceso formativo
del profesional de hoy en día como herramienta de apoyo para resolver problemas en las
más diversas disciplinas. En este sentido y por su carácter mismo, el curso hace aportes
significativos al desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante, en
tanto potencia habilidades de pensamiento de orden superior, como la abstracción, el
análisis, la síntesis, la inducción, la deducción, etc.
El curso académico se estructura básicamente en tres unidades didácticas. La primera
contempla los Vectores, Matrices y Determinantes, la segunda Sistemas de Ecuaciones
Lineales, Rectas, Planos y la tercera Espacios Vectoriales.
A través del curso académico de Algebra Lineal se dinamizan procesos de resignificación
cognitiva y fortalecimiento del desarrollo de operaciones meta cognitivas mediante la
articulación de los fundamentos teóricos a la identificación de núcleos problémicos en los
diferentes campos de formación disciplinar.
Es importante que desde ahora el estudiante se compenetre con la dinámica del uso de
los recursos informáticos y telemáticos como herramientas de apoyo a los procesos de
aprendizaje. En este sentido, el curso académico de Algebra Lineal articulará a su
desarrollo actividades mediadas por estas tecnologías, como búsquedas de información
en la Web, interactividades sincrónicas o asincrónicas para orientar acciones de
acompañamiento individual o de pequeño grupo colaborativo y acceso a información
disponible en la plataforma virtual de la universidad.
La consulta permanente a diferentes fuentes documentales aportadas por el curso se
tomará como estrategia pedagógica que apunte al fortalecimiento del espíritu
investigativo. En este sentido, se espera que el estudiante amplíe la gama de opciones
documentales que aportan a la resignificación cognitiva. Estas fuentes documentales son
obviamente de diferentes orígenes, a las cuales se tendrá acceso a través de: material
impreso, bibliotecas virtuales, hemerotecas, sitios Web, etc.

- 4 -
TABLA DE CONTENIDO
Pag.
UNIDAD 1- Vectores, Matrices y Determinantes
CAPITULO 1: VECTORES EN 2
R Y 3
R ……… ……………………….……………..8
Lección 1.1.1 NOCION DE DISTANCIA ……………………………………….10
Lección 2.1.1 DEFINICION ALGEBRAICA DE VECTOR…………………..20
Lección 3.1.1 ALGUNAS OPERACIONES CON VECTORES………………23
Lección 4.1.1 VECTORES BASE…………………………………………………..66
Lección 5.1.1 PRODUCTO VECTORIAL………………………………………..72
CAPITULO 2: MATRICES……………………………………………………………...81
Lección 1.2.1 OPERACIONES CON MATRICES………………………….….83
Lección 2.2.1 SUMA DE MATRICES………………………………………….…84
Lección 3.2.1 MULTIPLICACION DE MATRICES………………….………..88
Lección 4.2.1 OPERACIONES SOBRE MATRICES………………………….92
Lección 5.2.1 MATRICES ELEMENTALES……………………………………105
CAPITULO 3: DETERMINANTES…………………………………………………..131
Lección 1.3.1 DETERMINANTES DE 3 X 3………………………………….131
Lección 2.3.1 ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.138
Lección 3.3.1 INVERSAS…………………………………………….……..…….140
Lección 4.3.1 AREA DE UN PARALELOGRAMO……………………….…..147
Lección 5.3.1 VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO……………………..152
UNIDAD 2 – Sistemas Lineales de ecuaciones, rectas, planos y
Espacios Vectoriales
CAPITULO 1: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES……………………….163
Lección 1.1.2: PRIMER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: ELIMINACION GAUSSIANA………………….186
Lección 2.1.2: SEGUNDO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: METODO DE GAUSS – JORDAN……..…….189
Lección 3.1.2: TERCER METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: REGLA DE CRAMER…………………………….195
Lección 4.1.2: CUARTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: EMPLEANDO LA FACTORIZACION LU……198
Lección 5.1.2 QUINTO METODO PARA RESOLVER ECUACIONES
LINEALES: EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA……….203

- 5 -
CAPITULO 2: RECTAS EN 3
R ……………………………………………………….208
Lección 1.2.2: CONCEPTUALIZACION……………………….……………….208
Lección 2.2.2: ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA…….…………….210
Lección 3.2.2: ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA….…………..213
Lección 4.2.2: ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA………..………….214
Lección 5.2.2: RECTAS EN 3
R PARALELAS Y ORTOGONALES….……217
CAPITULO 3: PLANOS……………………………………………………………….221
Lección 1.3.2: CONCEPTUALIZACIÓN…………………………….…….……201
Lección 2.3.2: ECUACION DEL PLANO……………………………………….222
Lección 3.3.2: COMO GRAFICAR UN PLANO……………………………….223
Lección 4.3.2: PLANOS PARALELOS…………………………….…………….224
Lección 5.3.2: ECUACION DE INTERSECCION DE DOS PLANOS
QUE NO SON PARALELOS…………………………..……….225
UNIDAD 3 – Espacios Vectoriales
CAPITULO 1: ESPACIOS VECTORIALES…………………………………..…….241
Lección 1.1.3: CONCEPTUALIZACIÓN……………………………..………….241
Lección 2.1.3: ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL………………..….……….246
Lección 3.1.3: COMBINACIONES LINEALES.……………………………….247
Lección 4.1.3: CONJUNTOS GENERADORES.………………...……………251
Lección 5.1.3: ESPACIOS GENERADORES.……………………..…..………254
CAPITULO 2: DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL………………………256
Lección 1.2.3: GENERALIDADES……………………………………..…………256
Lección 2.2.3: BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.………..……….……258
Lección 3.2.3: DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.…………...263
Lección 4.2.3: ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA………..………….264
Lección 5.2.3: RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ………….………..265
CAPITULO 3: SUBESPACIOS……………………………………………………….269
Lección 1.3.3: GENERALIDADES.……………………………………..………..269
Lección 2.3.3: SUBESPACIO TRIVIAL Y SUBESPACIO PROPIOS….…269
Lección 3.3.3: PRUEBA DE SUBESPACIO.……………………….………….271
Lección 4.3.3: INTERSECCIÓN ENTRE SUBESPACIOS.……………..….273
Lección 5.3.3: DIMENSIÓN DE UN SUBESPACIO…………………………273

- 6 -
UNIDAD 1
VECTORES, MATRICES Y DETERMINANTES

- 7 -
OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda el conjunto de conocimientos relacionados con los
fundamentos básicos que constituyen el campo teórico y aplicativo de los vectores,
matrices y determinantes a través del estudio y análisis de fuentes documentales y
situaciones particulares en diferentes campos del saber.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
 Evidenciar en el estudiante una apropiación conceptual que refleje el
entendimiento de nociones como la de vector, complementado con un manejo
pertinente de las operaciones con los mismos.
 Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de matriz, lo lleve a
espacios mas generales y reconozca su importancia en aplicaciones mas
especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad las distintas
operaciones que con ellas puede realizar y que le permitirán utilizar herramientas
como el determinante y el proceso de obtener la inversa de matrices para resolver
a futuro sistemas lineales.

- 8 -
CAPITULO 1
VECTORES EN 2
R Y 3
R

- 9 -

- 10 -
LECCION 1.1.1
NOCION DE DISTANCIA
Ahora abordemos el problema de dos puntos del plano. Nuestro interés es encontrar la distancia entre
ellos.
Para esto podemos recurrir a un teorema de la geometría elemental, llamado Teorema de Pitágoras, que
nos establece que:

- 11 -
100
100
86
2
222



a
a
a
Dado que a es una distancia, entonces consideramos únicamente los valores positivos, es decir,
10a unidades.

- 12 -

- 13 -

- 14 -

- 15 -

- 16 -

- 17 -

- 18 -

- 19 -

- 20 -
LECCION 2.1.1

- 21 -

- 22 -

- 23 -
LECCION 3.1.1

- 24 -

- 25 -

- 26 -

- 27 -

- 28 -

- 29 -

- 30 -

- 31 -

- 32 -

- 33 -

- 34 -

- 35 -

- 36 -

- 37 -

- 38 -

- 39 -

- 40 -

- 41 -

- 42 -

- 43 -

- 44 -

- 45 -

- 46 -

- 47 -

- 48 -

- 49 -

- 50 -

- 51 -

- 52 -

- 53 -

- 54 -

- 55 -

- 56 -

- 57 -

- 58 -

- 59 -

- 60 -

- 61 -

- 62 -

- 63 -

- 64 -

- 65 -

- 66 -
LECCION 4.1.1

- 67 -

- 68 -

- 69 -

- 70 -

- 71 -

- 72 -
LECCION 5.1.1

- 73 -
Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 251

- 74 -
Imagen obtenida de: ALGEBRA LINEAL
Autor: Stanley Grossman. Quinta Edición.
Pag. 263

- 75 -

- 76 -

- 77 -

- 78 -

- 79 -

- 80 -

- 81 -
CAPITULO 2
MATRICES

- 82 -

- 83 -
LECCION 1.2.1

- 84 -
LECCION 2.2.1

- 85 -

- 86 -

- 87 -

- 88 -
LECCION 3.2.1

- 89 -

- 90 -

- 91 -

- 92 -
LECCION 4.2.1

- 93 -

- 94 -

- 95 -

- 96 -

- 97 -

- 98 -

- 99 -

- 100 -

- 101 -

- 102 -

- 103 -

- 104 -

- 105 -
LECCION 5.2.1

- 106 -

- 107 -

- 108 -

- 109 -

- 110 -

- 111 -

- 112 -

- 113 -

- 114 -

- 115 -











100
011
001
1E , por lo tanto











100
011
001
1
1E

















100
0
6
1
0
001
2E , por lo tanto











100
060
001
1
2E









 

100
010
021
3E , por lo tanto











100
010
021
1
3E












160
010
001
4E , por lo tanto











160
010
001
1
4E

















3
1
00
010
001
5E , por lo tanto











300
010
001
1
5E

















100
010
3
5
01
6E , por lo tanto















 

100
010
3
5
01
1
6E

















100
6
1
10
001
7E , por lo tanto


















100
6
1
10
001
1
7E
Ahora realicemos el siguiente producto
1
7
1
6
1
2
1
1

 EEEE 

- 116 -
























































300
010
001
160
010
001
100
010
021
100
060
001
100
011
001

































 
100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
Realicemos los productos de izquierda a derecha, tenemos:

































 













































100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
300
010
001
160
010
001
100
010
021
100
061
001
Seguimos

































 


































100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
300
010
001
160
010
001
100
041
021
Seguimos

































 























100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
300
010
001
160
041
021
Seguimos

































 












100
6
1
10
001
100
010
3
5
01
360
041
021

- 117 -
Seguimos




































100
6
1
10
001
360
3
5
41
3
5
21
Finalmente












260
141
221
En conclusión, hemos visto que dada una matriz A, si esta es invertible, tanto A como su
inversa pueden ser escritas como el producto de matrices elementales (ya que, las
inversas de las matrices elementales son a su vez matrices elementales.

- 118 -

- 119 -

- 120 -

- 121 -

- 122 -

- 123 -

- 124 -

- 125 -

- 126 -

- 127 -

- 128 -

- 129 -

- 130 -

- 131 -
CAPITULO 3
DETERMINANTES
LECCION 1.3.1
DETERMINANTES DE 3 X 3

- 132 -

- 133 -

- 134 -

- 135 -

- 136 -

- 137 -

- 138 -
LECCION 2.3.1

- 139 -

- 140 -
LECCION 3.3.1

- 141 -

- 142 -

- 143 -

- 144 -

- 145 -

- 146 -

- 147 -
LECCION 4.3.1
AREA DE UN PARALELOGRAMO

- 148 -

- 149 -

- 150 -

- 151 -

- 152 -
LECCION 5.3.1
VOLUMEN DE UN PARALELEPIPEDO

- 153 -

- 154 -

- 155 -

- 156 -

- 157 -

- 158 -

- 159 -

- 160 -

- 161 -
UNIDAD 2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES, RECTAS, PLANOS Y
ESPACIOS VECTORIALES

- 162 -
OBJETIVO GENERAL
Que el estudiante comprenda los fundamentos teóricos que soportan la concepción de
los sistemas lineales, rectas, planos y los principios de espacio vectorial, a través del
complejo ejercicio mental de abstracción, estudio, análisis e interpretación de fuentes
bibliográficas referenciadas y casos específicos de aplicación en diferentes áreas del
conocimiento.
entendimiento de nociones como la de un plano o de una recta en el espacio.
Complementado con un manejo pertinente de las diversas formas en que son
obtenidas y empleadas las ecuaciones que las representan.
 Lograr que el estudiante conozca de cerca el concepto de lo que es un sistema de
ecuaciones lineales, lo lleve a espacios más generales y reconozca su importancia
en aplicaciones mas especificas. Además, debe entender y manejar con propiedad
los distintos procedimientos que le permiten obtener una solución del mismo (en
el caso en que sea posible)

- 163 -
CAPITULO 1
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

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- 165 -

- 166 -

- 167 -

- 168 -

- 169 -

- 170 -

- 171 -

- 172 -

- 173 -

- 174 -

- 175 -

- 176 -

- 177 -

- 178 -

- 179 -

- 180 -

- 181 -

- 182 -

- 183 -

- 184 -

- 185 -

- 186 -
LECCION 1.1.2

- 187 -

- 188 -

- 189 -
LECCION 2.1.2

- 190 -

- 191 -

- 192 -

- 193 -

- 194 -

- 195 -
LECCION 3.1.2

- 196 -

- 197 -

- 198 -
LECCION 4.1.2

- 199 -

- 200 -

- 201 -

- 202 -

- 203 -
LECCION 5.1.2
QUINTO METODO PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES
EMPLEANDO LA MATRIZ INVERSA
El objetivo es resolver un sistema de la forma bAX  (con A de nn ), donde A es
invertible.
Partiendo del sistema bAX  , podemos multiplicar a izquierda por 1
A (Que existe,
dado que A es invertible), con lo que nos queda:
bAAXA 11 
 Agrupando obtenemos
  bAXAA 11 
 Simplificando
  bAXI 1
 Finalmente
bAX 1

La ultima afirmación, nos indica que se A es de nn e invertible, entonces la solución
del sistema lineal bAX  , la encontramos de la forma bAX 1
 .
Ejemplo
Dado el sistema lineal
17457
114
211032
321
321
321



xxx
xxx
xxx
Determine si el sistema tiene solución única o no. De tener solución única, encuentre su
inversa y úsela para resolver el sistema.
Solución
Para determinar si el sistema tiene solución única o no, debemos calcular su
determinante. Si este nos da diferente de cero (0), entonces el sistema tendrá única
solución y además la inversa de la matriz de coeficientes existirá (y esta será única)
Encontremos el determinante:
225
457
114
1032



DetA
Recordemos que tenemos dos procedimientos para hallar la inversa:
1. Empleando el método de reducción de Gauss- Jordán
2. Empleando determinantes ( AdjA
A
A *
det
11

)

- 204 -
Voy a emplear el método de reducción de Gauss- Jordán. Se deja al estudiante la
invitación a realizarlo también por el otro método.
Por lo tanto, dado que la matriz A pudo ser reducida (por medio de operaciones
elementales) a la matriz identidad, se tiene que la matriz del lado derecho es la inversa
de A.
Es decir,
1
2
1
f 12 4 ff 
13 7 ff 
2
7
1
f
21
2
3
ff 
23
2
11
ff  3
225
14
f

31
14
13
ff 
32
7
19
ff 

- 205 -




















225
14
225
11
25
3
225
38
225
62
25
1
225
13
225
38
25
1
1
A
Finalmente, para obtener la solución del sistema, consideramos la ecuación bAX 1
 .
Donde,











17
11
21
b
Por tanto,






























17
11
21
225
14
225
11
25
3
225
38
225
62
25
1
225
13
225
38
25
1
X











2
1
2
X
Es decir, la solución es 2;1;2 321  xxx

- 206 -
SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS

- 207 -

- 208 -
CAPITULO 2
RECTAS EN 3
R
LECCION 1.2.2
CONCEPTUALIZACIÓN

- 209 -

- 210 -
LECCION 2.2.2
ECUACION VECTORIAL DE LA RECTA

- 211 -

- 212 -

- 213 -
LECCION 3.2.2
ECUACION PARAMETRICA DE LA RECTA

- 214 -
LECCION 4.2.2
ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA

- 215 -

- 216 -

- 217 -
LECCION 5.2.2
RECTAS EN 3
R PARALELAS Y ORTOGONALES
Para establecer si dos rectas en 3
R son paralelas u ortogonales basta con revisar sus
vectores de dirección.

- 218 -

- 219 -

- 220 -

- 221 -
CAPITULO 3
PLANOS
LECCION 1.3.2
CONCEPTUALIZACIÓN

- 222 -
despejando:
000 czbyaxczbyax 
LECCION 2.3.2
ECUACION DEL PLANO

- 223 -
LECCION 3.3.2
COMO GRAFICAR UN PLANO

- 224 -

- 225 -
LECCION 4.3.2
PLANOS PARALELOS
LECCION 5.3.2
ECUACION DE INTERSECCION DE DOS PLANOS QUE NO SON PARALELOS
Si dos planos no son paralelos, necesariamente se cortan en una recta.

- 226 -

- 227 -

- 228 -

- 229 -

- 230 -

- 231 -

- 232 -

- 233 -

- 234 -

- 235 -

- 236 -

- 237 -

- 238 -

- 239 -
UNIDAD 3
ESPACIOS VECTORIALES

- 240 -
OBJETIVO GENERAL
Contribuir a fortalecer en el estudiante la capacidad para apropiarse del conjunto de
conocimientos relacionados con los espacios vectoriales.
entendimiento de nociones como la de espacio vectorial, base, etc.
 Contribuir a que el estudiante comprenda y aplique en forma clara y pertinente
los conocimientos sobre espacios vectoriales; además, el estudiante debe
interpretar y aplicar de manera suficiente las definiciones, axiomas y teoremas
relacionados con los espacios vectoriales

- 241 -
CAPITULO 1
ESPACIO VECTORIAL
Introducción.
Los espacios vectoriales son una temática propia del curso de
Álgebra Lineal, donde se busca que el estudiante se apropie de la fundamentación teórica y este
en capacidad de analizar las particularidades de dichos principios.
El estudio de los espacios vectoriales permite al estudiante desarrollar habilidades y
competencias, especialmente la abstracción, ya que comprender un espacio vectorial requiere un
buen desarrollo de la abstracción. En este sentido la temática hace aportes significativos al
desarrollo de las competencias y aptitud matemática en el estudiante y al futuro profesional.
LECCIÓN 1.1.3
CONCEPTUALIZACIÓN
Al estudiar los vectores, se identificaron las operaciones de suma vectorial y multiplicación por
escalar y, algunas propiedades que cumplen dichas operaciones, como la clausurativa,
conmutativa y otras. Se dice que cuando un conjunto cumple dichas propiedades o axiomas se
le llama Espacio Vectorial. Al definir un espacio vectorial se debe tener presente que en sí la
definición es verdadera en sí, ya que parte de axiomas.

- 242 -
De acuerdo a lo anterior se puede observar que los espacios vectoriales están compuestos por 4
entes: Un conjunto de Vectores, un conjunto de escalares, la operación suma y una operación
producto por escalar. La definición establece que los elementos del espacio vectorial son
Vectores, pero eso es solo por definición, ya que los elementos de un espacio vectorial pueden
ser vectores, matrices, funciones, etc.
Veamos unos ejemplos que nos ilustrar los espacios vectoriales.
DEFINICIÓN:
Sea V un conjunto no vacío de elementos llamados vectores, sobre los que están
definidas las siguientes operaciones:
1. Suma Vectorial: Suma entre elementos de V
2. Multiplicación por Escalar: Multiplicación de un escalar (real o imaginario), por un
elemento de V.
Por otro lado, sea u, v, w,… elementos que están en V; además, los escalares c, d,
e,… Entonces V se le llama espacio vectorial, si cumple los siguientes axiomas.
Axiomas de la Suma:
1. Si Vu  y Vv  entonces: Vvu  )(  Ley Clausurativa (cerradura suma)
2. uvvu   Ley Conmutativa
3. wvuwvu   )()( Ley asociativa
4. El vector V0

Para todo uuVu   0 Ley Modulativa (Neutro aditivo)
5. Para todo Vu  existe un vector Vu   tal que 0)(  uu  Inverso Aditivo.
Axiomas de la Multiplicación por Escalar:
6. Si Vu  y c un escalar, Vvc  Ley Clausurativa (cerradura
multiplicación)
7. vcucvuc   )( Primera Ley Distributiva
8. uducudc   )( Segunda Ley Distributiva
9. ucdudc  )()(  Ley Asociativa
10. uu  *1 Ley Modulativa (Identidad escalar)

- 243 -
Ejemplo 1:
Sean el conjunto de pares ordenados de números reales en R2
con las operaciones normales.
Demuestre que corresponde a un espacio vectorial.
Solución:
Sea el vector V = (u, v) donde: u = (x1, y1), v = (x2, y2). La idea es demostrar que cumple
los 10 axiomas, pero demostrando solo algunos, los otros se cumplen automáticamente.
Demostremos el axioma 1 y 6.
Axioma 1: Como u y v pertenecen a V entonces: u + v también deben pertenecer a V.
Veamos: u = (x1, y1) y v = (x2, y2) entonces: (x1, y1) +(x2, y2) = (x1+ x2, y1 + y2), se observa
que tiene dos componentes, luego también pertenece a V.
Axioma 6: Sea c = 4 un escalar, entonces cu = 4(x1, x2) = (4x1, 4x2) que también esta en V.
Los demás axiomas se cumplen automáticamente.
Ejemplo 2.
Sean el conjunto de n-adas ordenadas definidas en Rn
con las operaciones normales.
Demuestre que corresponde a un espacio vectorial.
Solución:
Los vectores en este espacio son de la forma V = (v1, v2, v3,…, vn) cada vector de V es una
matriz de nx1.Veamos: v1 = (x1, x2,…, xn)-1
, v2 = (y1, y2,…, yn)-1
,…, vn = (k1, k2,…, kn)-1
Como VvVvVv n   ...21 entonces: Vvvv n   ...21 Es evidente mostrar que esto es
cierto. )...,...,...,...(... 22211121 nnnn kyxkyxkyxvvv   Así queda
mostrado el axioma 1.
Probemos el axioma 6. Sea c Un escalar y tomemos 1
211 ),...,,( 
 nxxxv Entonces:
1
21
1
211 ),...,,(),...,,( 
 nn cxcxcxxxxcvc Vemos que también se cumple este axioma.
Los demás axiomas se cumplen automáticamente.
Ejemplo 3:
Demuestre que el conjunto de puntos en R2
que están en una recta, la cual pasa por el origen de
coordenadas cartesianas es un espacio vectorial.
Solución:

- 244 -
Toda recta que pasa por el origen de coordenadas cartesianas tiene como modelo matemático el
siguiente: mxy  donde m es un escalar y x valores arbitrarios en el conjunto de los reales.
Sea v1 = (x1, y1) y v2 = (x2, y2) donde VvyVv  21
 Así: y1 = mx1 y y2 = mx2
Axioma 1: v1 + v2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, mx1) + (x2, mx2) = (x1 + x2, mx1 + mx2)
Entonces: Vvv  21
 Se cumple el axioma.
Axioma 5: Dada Vyx ),( Como y = mx. Definimos el inverso -(x. y) = (-x, m(-x)) Operando
(x, y) +(–x, -y) = (x – x, y – y) = (0, 0). Entonces Vyx  ),(
Axioma 6: Sea c un escalar y si planteamos cv1 = c(x1, y1), donde cy1 = cmx1 que también esta
en V, entonces se cumple el axioma.
Los demás se cumplen automáticamente.
Ejemplo 4:
Sea el conjunto de matrices rectangulares Mmxn de componentes reales. Demostrar que es un
espacio vectorial.
Solución:
Axioma 1: Si tenemos las matrices Amxn y Bmxn entones (A + B)mxn será una matriz de
dimensión mxn. Luego se cumple este axioma.
Axioma 4: Dada la matriz 0mxn y con la matriz Mmxn entonces Mmxn + 0mxn = Mmxn Se cumple
este axioma.
Axioma 5: Dada la matriz Mmxn, debe existir otra matriz –Mmxn tal que Mmxn + (-Mmxn) = 0. La
matriz cero que verifica la propiedad del inverso aditivo.
Axioma 6: Dada un escalar k y sea la matriz Mmxn entonces kMmxn será otra matriz de dimensión
mxn.
Se puede verificar fácilmente que los demás axiomas se cumplen.
Ejemplo 5:
Sea Pn el conjunto de polinomios de grado menor o igual que n; incluido el polinomio cero.
Demostrar que Pn es un espacio vectorial.
Solución:
Axioma 1: Sea 0
2
2
1
1 ... aaxxaxaxaP n
n
n
nn  
 y 0
2
2
1
1 ... bbxxbxbxbQ n
n
n
nn  


- 245 -
Entonces: )()()(...)()( 00
2
22
1
11 baxbaxbaxbaxbaQP n
nn
n
nnnn  
 Será un
polinomio de grado temor o igual a n. Así se cumple este axioma.
Axioma 4: Dado el polinomio 0(x) y el Pn entonces Pn + 0(x) = Pn Se cumple este axioma.
Axioma 6: Dada el escalar k, entonces: 0
2
2
1
1 ... kakaxxkaxkaxkakP n
n
n
nn  
 que también
es un polinomio de grado menor o igual a n.
Se puede verificar que los demás axiomas se cumplen. Intente hacer la verificación con el grupo
colaborativo y luego corregirlo con el Tutor.
Ejemplo 6:
Sea V = C[0, 1] el conjunto de funciones continuas definidas sobre los reales. Demostrar que V
es un espacio vectorial.
Solución:
Axioma 1: Sean f(x) y g(x) funciones continuas definidas sobre los reales. Entonces f(x) + g(x)
será una función continua, también sobre los reales.
Axioma 4: Dado la función 0(x) y la función f(x) entonces f(x) + 0(x) = f(x) Se cumple este
axioma.
Axioma 5: Definida la función f(x) y, dada la función (–f)(x), entonces –f(x) será otra función
continua y además f(x) + (-f(x)) = 0. Se verifica el inverso aditivo.
Axioma 6: Dada el escalar k, entonces: kf(x) será una función continua sobre los reales.
Se puede demostrar que los demás axiomas se cumplen. Intente hacer dichas demostraciones
con el grupo colaborativo y luego corregirlo con el Tutor.
Para reforzar lo referente a espacios vectoriales hagamos un resumen de los espacios vectoriales
más representativos:
1. El conjunto de todos los números reales R
2. El conjunto de todos los pares ordenados R2
3. El conjunto de todas las n-adas ordenadas Rn
4. El conjunto de todas las funciones continuas definidas sobre el intervalo [a, b]
5. El conjunto de todos los polinomios de grado menor o igual a n.
6. El conjunto de todas las matrices rectangulares de tamaño mxn
7. El conjunto de todas la matrices cuadradas de tamaño nxn.
8. El conjunto V de R2
que es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

- 246 -
LECCIÓN 2.1.3
ESPACIO VECTORIAL TRIVIAL.
Sea V = {0} el cual cumple todos los axiomas de un espacio vectorial, por consiguiente V se
define como un espacio vectorial, al cual se le llama espacio vectorial trivial.
Para comprender un poco más sobre los espacios vectoriales, vamos a analizar algunos ejemplos
que NO son espacios vectoriales.
Ejemplo 7:
Demostrar que V {1} no es un espacio vectorial.
Solución:
El axioma 1 no se cumple ya que por ejemplo 1 + 2 = 3 y V

3 . El axioma 6 sobre cerradura
de la multiplicación tampoco se cumple, ya que si tenemos un k, entonces Vk

1 . Aunque la
norma define que con un axioma que no cumpla, deja de ser espacio vectorial, aquí
demostramos que no cumple dos.
Ejemplo 8:
Demostrar que  bmxxfyxV  )(:),(

no es un espacio vectorial, corresponden a las rectas
que no pasan por el origen.
Solución:
El axioma 1 no se cumple. Veamos: Sean (x1, y1) y (x2, y2) pertenecientes a V. Al sumarlos
tenemos: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1 + y2) Expresando la ecuación en términos de y:
y1 + y2 = m(x1+ x2) + b = mx1+ mx2 + b
Por otro lado: 22221111 bxmyybxmy  Entonces:
2121212122211121 ))(( bbxxmmyybxmbxmyy 
Se observa que Vyyxx  2121 , . Lo anterior significa que si tenemos dos puntos:
VyxP  ),( 111 y VyxP  ),( 222 la suma Vyxyx  ),(),( 2211
Probado que no se cumple la cerradura para la suma, el conjunto definido no es un espacio
vectorial

- 247 -
Ejemplo 9:
Demostrar que  0),,(  yyxV corresponde al conjunto de puntos de un semiplano, no es un
espacio vectorial.
Solución:
Si 01 y y 02 y entonces 021  yy Se cumple la cerradura sobre la suma.
Pero si tenemos )1,1(y este no tiene inverso en V. ya que V )1,1( . No se cumple el
inverso aditivo. Por consiguiente V no es un espacio vectorial.
Ejemplo 10:
Demostrar que el conjunto de números enteros NO es un espacio vectorial.
Solución:
La suma de dos enteros es otro entero, se cumple la cerradura para la suma, pero no se cumple
la cerradura para la multiplicación. Por ejemplo sea k = ½ y dado un elemento de los enteros
por ejemplo 5, entonces ½ (5 ) no es entero.
Ejemplo 11:
Demostrar que el conjunto V de todas las matrices singulares de 2x2 no es un espacio vectorial.
Solución:
La suma de dos matrices singulares No siempre origina otra matriz singular.
LECCIÓN 3.1.3
COMBINACIONES LINEALES.
Por definición los elementos de los espacios vectoriales son vectores, hay la posibilidad de que
un vector se puede escribir como combinación lineal de otros vectores en un espacio vectorial
dado.

- 248 -
Ejemplo 12:
Sea el vector











1
3
2
w y sean los vectores












1
4
1
1u y












3
5
0
2u Determine si w es una
combinación lineal de u1 y u2.
Solución:
Como


































3
5
0
1
4
1
2
1
3
2
entonces: 212 uuw   Así se muestra que w es combinación lineal
de u1 y u2.
Ejemplo 13:
Muestre que la matriz 




 

710
13
M es una combinación lineal de las matrices: 




 

32
11
A
y 







12
10
B
Solución:
Se puede ver que 











 





 
12
10
2
32
11
3
710
13
Entonces: BAM 23  Así M es una
combinación lineal de A y B.
DEFINICIÓN:
Sean nuuu  ,...,, 21 vectores en el espacio vectorial V; además, sea el vector
w que esta en V, entonces si w se puede escribir de la forma
nnuauauaw  ...2211 Para a1, a2,…, an escalares.
Se dice que w es una combinación lineal de los vectores nuuu  ,...,, 21 .

- 249 -
Ejemplo 14:
Muestre que todo polinomio de grado menor o igual a n: Pn se puede expresar como
combinación lineal de los monomios xn
, xn-1
,…, x2
, x, 1
Solución:
Es evidente que cualquier polinomio de grado menor o igual a n se puede escribir como
combinación lineal de monomios.
Veamos: P3 se puede escribir como: P3 = 2 + 2x2
+ 2x3
Determinación de Combinaciones Lineales:
En los ejemplos 13 y 14 se muestra que un vector es combinación lineal de otros vectores en el
espacio vectorial V, pero cómo se puede determinar los vectores que hacen parte de la
combinación lineal, el procedimiento lo explicaremos con unos ejemplos modelos.
Ejemplo 15:
Dado el vector w = (-4, 8. 17) escribirlo como una combinación lineal del conjunto de vectores
conformados como: S = [(-2, 0, 1), (1, 0, -1), (1, 2, 3)]
Solución:
Sea v1 = (-2, 0, 1) v2 = (1, 0, -1) y v3 = (1, 2, 3)
Se deben buscar escalares k1, k2, k3. Tal que:
)3,2,1()1,0,1()1,0,2()17,8,4()3,2,1()1,0,1()1,0,2()17,8,4( 333222111321 kkkkkkkkkkkk 
Para resolver se debe plantear un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.
173
8200
42
321
321
321



kkk
kkk
kkk
Como podemos ver k3 = 4.
Resolviendo por eliminación: k2 = -2 y k1 = 3
Entonces: 321 423 vvvw  
Cuando se utiliza el método de Gauss Jordán o el método Gaussiano, el sistema puede tener
única solución o infinitas soluciones, lo que indica que el vector w es combinación lineal de los
vectores v1, v2, v3.

- 250 -
Ejemplo 16:
Expresar el vector v = (2, 2, 2) si es posible como una combinación lineal del conjunto de
vectores S = [(2, 4, 6), (0, 2, 4), (-2, 0, 2)]
Solución:
Definimos los vectores: u1 = (2, 4, 6), u2 = (0, 2, 4), u3 = (-2, 0, 2)
Debemos hallar escalares k1, k2, k3. Tal que:
)2,0.2()4,2,0()6,4,2()2,2,2()2,0.2()4,2,0()6,4,2()2,2,2( 333222111321 kkkkkkkkkkkk 
Planteando el sistema de ecuaciones:
2246
2024
2202
321
321
321



kkk
kkk
kkk
Usando el método Gauss Jordán:




































 
0
2
2
000
420
202
4
2
2
840
420
202
2
2
2
246
024
202
La última matriz nos muestra que el sistema tiene infinitas soluciones. Cada una de la forma:
k3 = t,
-2k2 = 2 + 4t entonces: k2 = -1 – 2t
2k1 = 2 + 2t entonces: k1 = 1 + t
Si damos un valor por ejemplo t = 4, entonces: k3 = 4, k2 = -9, k1 = 5 Así:
v = 5u1 – 9u2 + 4u3

- 251 -
Ejemplo 17:
Expresar el vector v = (3, 2, -1) si es posible como una combinación lineal del conjunto de
vectores S = [(2, 4, 6), (0, 2, 4), (-2, 0, 2)]
Solución:
Definimos los vectores: u1 = (2, 4, 6), u2 = (0, 2, 4), u3 = (-2, 0, 2)
Debemos hallar escalares k1, k2, k3. Tal que:
)2,0.2()4,2,0()6,4,2()1,2,3()2,0.2()4,2,0()6,4,2()1,2,3( 333222111321 kkkkkkkkkkkk 
Planteando el sistema de ecuaciones:
1246
2024
3202
321
321
321



kkk
kkk
kkk
Usando el método Gauss Jordán:








































2
4
4
000
420
202
10
4
3
840
420
202
1
2
3
246
024
202
Como se observa en la última matriz el sistema es inconsistente, por lo cual NO hay solución.
Por consiguiente el vector v no se puede expresar como combinación lineal de u1, u2, u3.
LECCIÓN 4.1.3
CONJUNTOS GENERADORES.
Si todo vector w en un espacio vectorial V puede expresarse como una combinación lineal de
vectores u1, u2,…, un de un conjunto S, se dice que S es un conjunto generador del espacio
vectorial V.
DEFINICIÓN:
Sea S = (u1, u2, u3, …, un) un conjunto contenido en el espacio vectorial
V, entonces el conjunto S se le llama Conjunto Generador de V, si todo
vector de V se puede escribir como una combinación lineal de vectores de
S.
Cuando esto ocurre se dice que S Genera a V.

- 252 -
Ejemplo 18:
Sea el conjunto S = {(1,0), (0,1)} Mostrar que S genera a R2
.
Solución:
Por definición los vectores )1,0()0,1(  jyi

generan a R2
ya que cualquier vector
u = {u1, u2} se puede escribir como: u = u1(1, 0) + u2(0, 1)
Ejemplo 19:
Dado el conjunto S = {u1, u2, u3} Para u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 0) y u3 = (0, 0 ,1)} Mostrar
que S genera a R3
.
Solución:
Al igual que el caso anterior, los vectores )1,0,0()0,1,0()0,0,1(  kji

generan a R3
ya
que cualquier vector v = {v1, v2, v3} se puede escribir como: v = v1(1,0,0) + v2(0,1,0) +
v3(0,0,1)
Ejemplo 20:
Sea el conjunto S = {1, x, x2
} Demuestre que S genera a P2.
Solución:
Sea el polinomio p(x) = a + bx + cx2
Ahora escribamos p(x) como: p(x) = a(1) + b(x) + c(x2
)
entonces: p(x) = a + bx + cx2
. Por consiguiente S genera a P2.
Conjunto Generadores Normales:
Los ejemplos 18, 19 y 20 muestras conjuntos generadores llamados Conjuntos generadores
normales, ya que cualquier vector en dichos espacios se puede escribir como combinación lineal
de éstos.
El de R2
, S = {(1,0), (0,1)}
El de R3
, S = {(1, 0,0), (0, 1, 0), (0, 0 ,1)}
El de P2, S = {1, x, x2
}
Veamos en seguida conjuntos generadores que no son normales.

- 253 -
Ejemplo 21:
Mostrar que el conjunto S {(1, 1), (1, 0), (1, -1)} es un conjunto que genera a R2
.
Solución:
Sea v = (v1, v2) cualquier vector en R2
, se deben buscar escalares k1, k2, k3, tales que:
(v1, v2) = k1(1, 1) + k2(1, 0) + k3(1, -1) = (k1 + k2 + k3, k1 – k3) Esto origina el sistema de
ecuaciones
231
1321
vkk
vkkk


El sistema anterior tiene solución, lo que nos indica que es consistente. Así queda demostrado
que el conjunto S genera a R2
.
Ejemplo 22:
Demostrar que el conjunto S = {(0, 1, 2), (1, 2, 3), (-2, 0, 1)} genera R3
.
Solución:
Sea el conjunto v = (v1, v2, v3) cualquier vector en R3
, se deben buscar escalares k1, k2, k3, tales
que: (v1, v2, v3) = k1(0, 1, 2) + k2(1, 2, 3) + k3(-2, 0, 1) = (k2 -2k3, k1+2k2, 2k1+3k2 + k3)
Esto origina el sistema:
3321
221
132
32
2
2
vkkk
vkk
vkk



La matriz de coeficientes.









 

132
021
210
A Det(A) = 1 Como el determinante es deferente de cero, entonces hay solución
única. Lo que demuestra que S genera a R3
:

- 254 -
LECCIÓN 5.1.3
ESPACIOS GENERADORES
Vamos a analizar una forma de encontrar subespacios vectoriales, tema de la siguiente sección,
partiendo de un conjunto de vectores. Si tenemos un conjunto S2 = {v1, v2, v3}, éste puede
generar un Subespacio de R3
, lo cual ocurre si los vectores de S2 son coplanares. El subespacio
originado se le conoce como Espacio Lineal Generado por S2.
Según esta definición Gen {v1, v2, v3,…, vk} es el menor subespacio de V que contiene a G, lo
que conlleva a que cualquier otro subespacio de V que contenga a G, debe contener a Gen(G).
Ejemplo 23:
Sean los vectores v1 = (2, -1, 4) y v2 = (4, 1, 6), identificar el espacio generado por dichos
vectores.
Solución:
Definimos el conjunto M = gen {v1, v2} Así: v = k1 (2, -1, 4) + k2 (4, 1, 6) Por otro lado
definimos v = (x, y, z) Є M. Entonces:
21
21
21
64
42
kkz
kky
kkx



Se obtiene un sistema el cual solucionamos de la siguiente manera:


































2/
2/
2/
10
30
21
2/
2/
32
11
21
64
11
42
zx
yx
x
z
y
x
z
y
x
De la primera a la segunda matriz se dividió la primera fila y la tercera fila por 2. De la segunda
matriz a la tercera, se planteó:
DEFINICIÓN:
Sea G = {v1, v2, v3,…, vk} un conjunto de vectores en un espacio
vectorial V, entonces el Espacio Generado por G, es el conjunto de
combinaciones lineales de los vectores en G.
Gen {v1, v2, v3,…, vk} = {v/ v = a1v1, a2v2, a3v3,…, akvk}
Para a1, a2, a3,…, ak. Escalares cualesquiera.

- 255 -
R2: R1+ R2 y R3: 2R1 – R3 Donde R1 Primera fila, R2 segunda fila y R3 tercera fila.
























2/32/5
2/
2/
00
30
21
2/
2/
2/
10
30
21
zyx
yx
x
zx
yx
x
La última matriz se obtuvo así: R3: R2 – 3R3.
Como el sistema tiene infinitas soluciones, según la última matriz existe una solución cuando:
-5x/2 + y + 3z/2 = 0, dividiendo por 2 se obtiene: -5x + 2y + 3z = 0, multiplicando por -1, se
obtiene finalmente. 5x – 2y – 3z = 0. Corresponde a una ecuación de un plano en R3
que pasa
por el origen.
El ejemplo anterior nos lleva a la siguiente generalización.
Generalización:
El espacio generado por dos vectores diferentes de cero en R3
que no son
paralelos, es un plano que pasa por el origen.

- 256 -
CAPITULO 2
DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL
Introducción.
La dependencia lineal esta asociada a una combinación lineal, cuando se cumplen ciertas
condiciones del conjunto de vectores que forman dicha combinación. Dentro del estudio de un
espacio vectorial, el análisis de dependencia o independencia permite conocer particularidades
del espacio analizado.
LECCIÓN 1.2.3
GENERALIDADES
El concepto de independencia lineal se puede ver con el siguiente caso: Sea el vector v1 = (2,
3) y el vector v2 = (6, 9). Se observa que v2 = 3v1 esto es igual a: 3v1 - v2 = 0. Lo anterior
nos indica que el vector cero se puede escribir como una combinación lineal no trivial de dos
vectores v1 y v2. No trivial hace referencia a que los coeficientes de cada vector no son todos
cero.
DEFINICIÓN 1:
Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio
vectorial V, se dice que S es linealmente independiente, si la
ecuación:
c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0
Tiene solamente la solución trivial. Entonces: c1 = c2 = c3 =… = ck = 0
DEFINICIÓN 2:
Dado un conjunto de vectores S = {v1, v2,…, vk} en un espacio
vectorial V, se dice que S es linealmente dependiente, si la
ecuación:
c1v1 + c2v2 +… + ckvk = 0
Tiene solución No trivial.
Entonces: c1, c2, c3,…, ck no todos son cero.

- 257 -
La anterior definición se puede fortalecer con el siguiente teorema:
Demostración:
Asumiendo que v2 = kv1 dado que k ≠ 0 entonces: kv1 - v2 = 0 lo que muestra que los dos
vectores son linealmente dependientes; según la definición 2.
Ahora si asumimos que v1 y v2 son linealmente dependientes, entonces deben existir escalares
k1 y k2 donde k1≠ 0 ó k2 ≠ 0, tal que: k1v1 + k2v2 = 0 si k1≠ 0 entonces dividimos toda la
ecuación por k1 obteniendo: v1 + (k2/k1)v2 = 0 así: v1 = - (k2/k1)v2 esto muestra que v2 es
múltiplo escalar de v1.
Ejemplo 24:
Dado el conjunto M = {(2, 4), (2, 2)} demostrar que los vectores de M son linealmente
independientes.
Solución:
Planteamos la ecuación vectorial: c1v1 + c2v2 = 0 Debemos determinar que el sistema tenga
solamente solución trivial. Entonces c1(2, 4) + c2(2, 2) = (0, 0)
022
042
21
21


cc
cc
Al resolver por matrices, por el método de Gauss – Jordan:






















0
0
10
01
2:0
0
12
11
2/
2/
0
0
24
22
212
1
2
1
RRR
R
R
R
La última matriz corresponde a una escalonada reducida, la cual nos muestra que c1 = 0 y
c2 = 0. Esto nos lleva a concluir que los vectores del conjunto M son linealmente independiente,
ya que la única solución es la trivial.
TEOREMA:
Dos vectores en un espacio vectorial V son linealmente dependientes,
si y solo si, uno es múltiplo escalar del otro.

- 258 -
Ejemplo 25:
Dado el conjunto S = {(1, 3, 1), (0, 1, 2), (1, 0, -5)} demostrar que los vectores de S son
linealmente dependientes.
Solución:
Planteamos la ecuación vectorial: c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 Debemos determinar que el sistema
tenga solución no trivial. Entonces c1(1, 3, 1) + c2(0, 1, 2) + c3(1, 0, -5) = (0, 0, 0)
052
003
00
321
321
321



ccc
ccc
ccc
Al resolver por matrices, por el método de Gauss – Jordan:



































 0
0
0
100
310
101
2:0
0
0
520
310
101
:
3:
0
0
0
521
013
101
323
2
1
313
212
1
RRR
R
R
RRR
RRR
R
La última matriz nos muestra:
c1 + c3 = 0, -c2 + 3c3 = 0. .
Para c1 = 1, entonces: c3 = -1 y c2 = -3
La solución: v1 = 3v2 + v3
Por lo anterior se muestra que los vectores del conjunto S son linealmente dependientes.
LECCIÓN 2.2.3
BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL.
En secciones anteriores se analizó lo referente a conjuntos generadores, siguiendo con dicha
línea se estudiaran algunos conjuntos generadores que son linealmente independientes y que
generan todo el espacio vectorial.
DEFINICIÓN:
Sea el conjunto finito S conformado por los vectores {v1, v2,.., vk},
contenidos en el espacio vectorial V. Entonces se dice que S es
Una Base del espacio vectorial V, si se cumple:
1. S genera a V
2. S es linealmente independiente.

- 259 -
De la definición se puede puntualizar que una base debe ser tal que contenga los suficientes
vectores para generar a V, pero no en exceso de modo que permita a uno de ellos ser
combinación lineal de los demás. Por otro lado, todo espacio vectorial tiene al menos una base.
Un espacio vectorial que tiene una base cuya cantidad de vectores es finita, se dice que es un
espacio vectorial de dimensión finita. De igual manera para un espacio de dimensión infinita.
Ejemplo 26:
Muestre que S = {(1, 0), (0, 1)} es una base en R2
.
Solución:
Por ejemplos anteriores se sabe que S = {(1, 0), (0, 1)} genera a R2
; demás, los vectores
v1 = (1, 0) y v2 = (0, 1) son linealmente independientes. Por consiguiente por cumplir las dos
condiciones, S genera a V.
Ejemplo 27:
Identifique dos espacios vectoriales de dimensión infinita.
Solución:
Sea el espacio vectorial P = {Todos los polinomios}
Sea el espacio vectorial M = {Todas las funciones continuas definidas sobre la recta real}
Base Canónica:
Las siguientes bases por su naturaleza se le conocen como bases canónicas o bases normales.
1. Sea S = {(1, 0), (0, 1)} es la base canónica de R2
. Se sabe que S genera a R2
; además, los
vectores son linealmente independientes.
2. Sea S = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} es la base canónica de R3
. Es sabido que todo vector
en R3
se puede escribir como k1(1, 0, 0) + k2(0, 1, 0) + k3(0, 0, 1) Donde la única solución es la
trivial; es decir, k1 = k2 = k3 = 0, lo que muestra que los vectores son linealmente
independientes. Por otro lado se ha demostrado que S genera a R3
.
3. Sea S = {e1, e2, e3,…, en} es la base canónica de Rn
.
Si e1 = (1, 0, 0,…,0), e2 = (0, 1, 0,… ,0),…, en = (0, 0, 0,…, 1). Entonces se sabe que los
vectores e1, e2, e3,…, en son linealmente independientes y además S generan a Rn
.
4. S = {1, x, x2
,..,xn
} es la base canónica de Pn. Anteriormente se estudio que los vectores son
linealmente independientes y S generan a Pn.

- 260 -
5. Sea































10
00
01
00
00
10
00
01
S es la base canónica de M2x2.
Las matrices de S son linealmente independientes; además, S genera a M2x2.
Base No Canónica:
Una base no canónica son las que están fuera de los casos 1, 2, 3, 4, 5. Son de gran interés en
matemáticas, ya que tienen diversas utilidades, veamos algunos ejemplos.
Ejemplo 28:
Dado el conjunto S = {v1, v2} Donde v1 = (2, 1) y v2 = (-1, 1). Demostrar que S es una base
de R2
.
Solución:
Para hace la demostración se debe mostrar que S genera a R2
y que S es linealmente
independiente.
a-) S genera a R2
: Sea el vector x = (x1, y1) de R2
. Luego: c1v1 + c2v2 = x Reemplazando:
c1(2, 1) + c2(-1, 1) = (x1, y1) Operando: (2c1, c1) + (-c2, c2) = (x1, y1). Esto genera el sistema:
2c1 – c2 = x1 y c1 + c2 = y1.





 

11
12
A Det(A) = 2 – (-1) = 3. Como el determinante de la matriz de coeficientes es
diferente de cero, se puede afirmar que el sistema tiene solución única. Entonces se puede
concluir que S genera a R2
.
b-) S es linealmente independiente: Planteando el sistema: 2c1 – c2 = 0 y c1 + c2 = 0.


















 

0
0
30
12
2:0
0
11
12
212
1
RRR
R
A
La última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, así la única solución es la trivial.
c1 = c2 = 0. Por consiguiente S es linealmente independiente.
Como se han demostrado las dos condiciones, entonces se puede concluir que el conjunto S es
una base de R2
.

- 261 -
Ejemplo 29:
Dado el conjunto S = {u1, u2, u3, u4} Donde u1 = (0, 1, 0, 1); u2 = (1, 0, -1, -2); u3 = (0, 2, -
2, 1) y u4 = (2, 1, 0, 1). Demostrar que S es una base de R4
.
Solución:
a-) S genera a R4
: Sea u = (x1, x2, x3, x4) plantemos la combinación:
c1u1 + c2u2 +c3u3 +c4u4 = (x1, x2, x3, x4). Entonces:
c1(0, 1, 0, 1) + c2(1, 0, -1, -2) + c3 u3(0, 2, -2, 1) + c4(2, 1, 0, 1) = (x1, x2, x3, x4) Esto genera el
sistema que origina la matriz:
































































121
210
201
2
121
010
101
0
111
020
121
1
112
021
120
0
1121
0210
1201
2010
A
Al resolver los determinantes 0 – 0 + 0 –(-6) = 6.
Como el determinante de coeficientes es diferente de cero, indica que el sistema tiene solución
única, por consiguiente se puede afirmar que S genera R4
.
b-) A partir del planteamiento del sistema homogéneo, se obtiene la matriz
aumentada:


















































0
0
0
0
0120
0210
2010
1201
:0
0
0
0
1121
0210
2010
1201
:
0
0
0
0
1121
0210
1201
2010
414
3
2
1
4
3
212
1
RRR
R
R
R
R
R
RRR
R
A



















































0
0
0
0
6000
0200
2010
1201
2:0
0
0
0
4100
2200
2010
1201
2:
:
0
0
0
0
0120
0210
2010
1201
434
3
2
1
424
323
2
1
RRR
R
R
R
RRR
RRR
R
R
Como la última matriz nos muestra que el sistema es inconsistente, entonces la única solución es
la trivial. c1 = c2 = c3 = c4 = 0. Por consiguiente los elementos del conjunto S son linealmente
independientes.
Así queda demostrado que S es una base no normal de R4
.

- 262 -
Ejemplo 30:
Dado el conjunto de vectores 4x + 2y – 12z = 0. Encontrar una base para dicho conjunto en R3
.
Solución:
Sea:





















 01224 zyxpara
z
y
x
 Definido π como un espacio vectorial.
Expresamos y en función de x y z: y = -2x + 6z. Luego:





















z
zx
x
z
y
x
62
Haciendo x = 0 y z = 0, tenemos:























































0
2
1
1
6
0
0
26
0
62 xzx
x
z
z
z
zx
x
Por consiguiente: S = {(0, 6, 1), (1, -2, 0)} Es una base del espacio vectorial π.
Unicidad de la Base:
Dentro de los usos de la base de un espacio vectorial, esta el de representar cualquier vector
Vu  , lo cual según el siguiente teorema, se muestra que para una base definida, la
representación es única.
Demostración:
Definimos el vector v en V, entonces se puede escribir el vector v como una combinación lineal
v = a1u1 + a2u2 +… + anun Donde u1, u2,…, un están en V. Lo cual es evidente ya que u1,
u2,…, un son la base del espacio vectorial V y cualquier vector en V se puede escribir como
combinación lineal de vectores de S.
La unicidad se puede demostrar asumiendo que v tiene dos formas de representación: La
primera es la definida anteriormente v1 = a1u1 + a2u2 +… + anun y la otra de la siguiente
manera: v2 = b1u1 + b2u2 +… + bnun. Ahora restamos la segunda de la primera combinación:
v2 – v1 = (b1 – a1)u1 + (b2 – a2)u2 + … + (bn – an)un = 0
Debido a que S es linealmente independiente, entonces la única solución es la trivial; es decir,
TEOREMA:
Sea el conjunto S = {u1, u2, … , un}, donde S es una base del espacio
vectorial V, entonces Todo Vector en V puede escribirse como una y solo
una combinación lineal de vectores de S.

- 263 -
b1 – a1 = 0 y así par los demás.
Lo anterior quiere decir que bi = ai para todo i = 1, 2, 3,.., n, por consiguiente v solo tiene una
representación para la base S.
LECCIÓN 3.2.3
DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL.
Se ha analizado lo referente a conjuntos generadores, independencia lineal y bases de un
espacio vectorial, se sabe que si un espacio vectorial V tiene una base de n vectores, entonces
cualquier otra base tendrá el mismo número de vectores; es decir, n. Dicho de otra manera, un
espacio vectorial tiene muchas bases, pero se ha demostrado que éstas tiene el mismo número
de vectores.
La definición nos muestra que la dimensión de un espacio vectorial, son los elementos que
contiene una base de dicho espacio.
Ejemplo 31:
Determinar la dimensión de los espacios vectoriales definidos por Rn
, Pn, Mm,n con sus
operaciones normales.
Solución:
- La dimensión de Rn
es n.
- La dimensión de Pn es n + a.
- La dimensión de Mm,n es mn.
Es pertinente aclarar que la dimensión de un espacio vectorial puede ser finita o infinita, el
ejemplo anterior presenta espacios vectoriales de dimensión finita. El espacio vectorial P
conformado por todos los polinomios y el espacio vectorial C(-α, α) conformado por todas las
funciones continuas en los reales, son ejemplos de espacios vectoriales de dimensión infinita.
Así todos los espacios vectoriales de dimensión finita e igual, presentan las mismas propiedades
algebraicas; solo difieren en la naturaleza de sus elementos.
DEFINICIÓN:
Sea un espacio vectorial V no nulo, el cual tiene una base que consta de
n vectores, entonces la dimensión de V será n, denotándolo como dim
(V) = n.

- 264 -
Ejemplo 32:
Encontrar la dimensión del espacio vectorial V definido en R2
, el cual tiene una base dada por: S
= {(1, -2), (0, 1)}
Solución:
Por definición la dimensión de un espacio vectorial V son los elementos de la base, para nuestro
caso: dim (V) = 2.
LECCIÓN 4.2.3
ESPACIO FILA Y ESPACIO COLUMNA.
Para una matriz A de tamaño mxn, las filas de A se pueden ver como un conjunto de m vectores,
de igual manera para las columnas.
Los concepto espacio fila y espacio columna son fundamentales para el análisis del rango de una
matriz.
DEFINICIÓN:
Sea A una matriz de tamaño m x n, entonces:
1. El Espacio Fila de A esta dado por el subespacio Rn
generado por
los vectores fila de A.
2. El Espacio Columna de A, esta dado por el subespacio Rm
generado por los vectores columna de A.
TEOREMA:
Si dos matrices son equivalentes por filas, entonces tiene el mismo
espacio fila.
Específicamente: Sea la matriz A de tamaño m x n y, sea la matriz B
de tamaño m x n. Si A es equivalente a B por filas, entonces el espacio
fila de A es igual al espacio fila de B.

- 265 -
Demostración: Se invita a investigar en las fuentes propuestas en la bibliografía, sobre la
demostración de este teorema, es relativamente fácil.
LECCIÓN 5.2.3
RANGO Y NULIDAD DE UNA MATRIZ
RANGO DE UNA MATRIZ: Anteriormente se estudio el espacio fila y espacio columna de una
matriz; además, lo referente a dimensión de un espacio vectorial, todo esto nos permite analizar
el concepto de rango de una matriz.
Esta demostrado que los rangos de fila y columna son iguales para una matriz A, entonces al
nombrar el rango de una matriz, se sabe que estamos refiriéndonos a éstos.
Para una matriz A de tamaño mxn, esta demostrado que ran(A) ≤ min{m, n}
Para determinar el rango de una matriz, solo debemos llevarla a la forma escalonada y observar
las filas diferentes de cero (no nulas) que se obtengan, el número de filas diferentes de cero
será el rango de la matriz.
DEFINICIÓN:
La dimensión del espacio generado por las filas de una matriz A se le
denomina Rango por Fila de A. La dimensión del espacio generado
por las columnas de la matriz A se le denomina Rango por Columna
DEFINICIÓN:
Dada la matriz A de tamaño mxn, el Rango de A, denotado por ran(A)
es el número de filas no nulas de la matriz escalonada. Dicho de otra
manera, el número de pivotes.

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