-Definiciones Básicas utilizadas en las demostraciones matemáticas. -Reglas inferencia lógica matemática. -Elementos del principio de inducción.

1. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN
MATEMÁTICA

2. DEFINICIONES BÁSICAS UTILIZADAS EN LAS DEMOSTRACIONES MATEMÁTICAS
 AXIOMA : ES UNA PROPOSICIÓN ASUMIDA DENTRO DE UN CUERPO TEÓRICO SOBRE LA CUAL
DESCANSAN OTROS RAZONAMIENTOS Y PROPOSICIONES DEDUCIDAS DE ESAS PREMISAS.
 LEMA: ES UNA PROPOSICIÓN DEMOSTRADA, UTILIZADA PARA ESTABLECER UN TEOREMA MENOR O
UNA PREMISA AUXILIAR QUE FORMA PARTE DE UN TEOREMA MÁS GENERAL.
 COROLARIO: ES UN CONCEPTO REFERIDO A UNA PROPOSICIÓN TANTO EN MATEMÁTICA COMO EN
LÓGICA QUE SE UTILIZA PARA DESIGNAR LA CONSISTENCIA DE UN TEOREMA YA DEMOSTRADO.
 HIPÓTESIS: ES UNA FÓRMULA DE LA QUE SE PARTE PARA ALCANZAR FINALMENTE OTRA FÓRMULA
MEDIANTE DEDUCCIONES VÁLIDAS.
 TESIS: ES EL INICIO DE UN TEXTO ARGUMENTATIVO, UNA AFIRMACIÓN CUYA VERACIDAD HA SIDO
ARGUMENTADA, DEMOSTRADA O JUSTIFICADA DE ALGUNA MANERA.
 TEOREMA: ES UNA PROPOSICIÓN TEÓRICA, ENUNCIADO O FÓRMULA QUE INCORPORA UNA VERDAD,
AXIOMA O POSTULADO QUE ES COMPROBADA POR OTROS CONJUNTOS DE TEORÍAS O FÓRMULAS.

3. APLICAR LAS REGLAS DE INFERENCIA LÓGICA MATEMÁTICA EN LAS CONCLUSIONES
A PARTIR DE LAS PREMISAS DADAS
 MODUS PONENDO PONENS –MPP: ESTA REGLA ESTABLECE QUE SI LA IMPLICACIÓN DE PREMISAS Y SU
ANTECEDENTE SON VERDADEROS, SU CONSECUENTE ES NECESARIAMENTE VERDADERO.
 MODUS TOLLENDO TOLLENS –MTT: ESTA REGLA SEÑALA QUE SI LA IMPLICACIÓN DE PREMISAS ES
VERDADERA Y SU CONSECUENTE ES FALSO, ENTONCES SU ANTECEDENTE ES NECESARIAMENTE FALSO.
 MODUS TOLLENDO PONENS –MTP :ESTA REGLA INDICA QUE SI UNA DISYUNCIÓN DE PREMISAS ES CIERTA
Y UNA DE SUS PREMISAS ES FALSA, ENTONCES LA OTRA PREMISA ES NECESARIAMENTE VERDADERA.
SIMBÓLICAMENTE…
 REGLA DE SIMPLIFICACIÓN –RS :ESTA REGLA ESTABLECE QUE DE LA CONJUNCIÓN DE PREMISAS SE PUEDE
INFERIR UNA DE ELLAS.

4.  REGLA DE ADICIÓN –RA: DE ESTA REGLA SE PUEDE DETERMINAR QUE DE UNA PREMISA SE PUEDE DEDUCIR
COMO CONCLUSIÓN LA DISYUNCIÓN DE LA PREMISA CON OTRA CUALQUIERA.
 REGLA DE SILOGISMO HIPOTÉTICO –RSH: ESTA REGLA INDICA QUE SI SE TIENEN DOS CONDICIONALES TALES
QUE EL ANTECEDENTE DEL SEGUNDO ES EL CONSECUENTE DEL PRIMERO.
 REGLA DEL DILEMA CONSTRUCTIVO –RDC: ESTA REGLA SEÑALA QUE SI SE TIENEN DOS CONDICIONALES Y
LA DISYUNCIÓN DE LOS ANTECEDENTES ENTONCES SE PUEDE CONCLUIR LA DISYUNCIÓN DE SUS
CONSECUENTES.
 REGLA DE SIMPLIFICACIÓN DISYUNTIVA –RSD: ESTA REGLA INDICA QUE SI SE TIENE UNA DISYUNCIÓN DE
UNA PREMISA CONSIGO MISMA, SE PUEDE INFERIR LA PREMISA DADA.
 REGLA DE UNIÓN O ADJUNCIÓN –RU: ESTA REGLA ESTABLECE QUE DADA UNA PREMISA VERDADERA COMO
ANTECEDENTE DE DOS CONDICIONALES VERDADEROS.

5. EJEMPLOS
Concluya “no relampaguea” del enunciado: “si no
llueve de día entonces ni voy a misa ni voy a cine. Si
tengo dinero entonces voy a misa o a cine. No llueve
de día. Si relampaguea entonces tengo dinero”
Las premisas son:
1. Si no llueve de día entonces ni voy a misa ni voy a
cine.
2. Si tengo dinero entonces voy a misa o a cine.
3. No llueve de día.
4. Si relampaguea entonces tengo dinero.
Simbolicemos premisas:
P: “llover de día”
Q: ”ir a misa”
R: “ir a cine”
S: “tener dinero”
T: “relampaguear”
La regla de inferencia aplicada a en el
ejemplo precedente es modus
ponendo ponens.
Premisa 1. Si él está en el partido de
fútbol , entonces él está en el estadio.
Premisa 2 . él está en el partido de
fútbol.
Conclusión. Él está en el estadio.

6. PRINCIPIO DE INDUCCIÓN : La aplicación de este principio requiere realizar los pasos
siguientes.
1ro: (Proposición) Comprobamos que la propiedad es cierta para el primer elemento
del conjunto.
2do: (Hipótesis inductiva) Tenemos que hacer la hipótesis de que, la propiedad sea
cierta para un elemento cualquiera.
3ro: (Tesis inductiva) Tratamos de inferir de aquí que la propiedad también es cierta
para el elemento siguiente..
EJEMPLO… Demuestre que para todo número natural n≥1, se cumple que:
7+13+19+…+(6n+1)n (3n+4)
1er paso: (inicio de inducción) Probemos que se cumple la propiedad para el primer
elemento de este conjunto, es decir para n=1. La propiedad es cierta para el primer
elemento pues, sustituyendo este valor en la expresión se tiene que: (3(1) + 4) = 7
2do y 3er paso: suponemos la hipótesis cierta de que la propiedad se cumple para
un elemento cualquiera n = k, es decir, que se cumple: 7+13+19 +…+(6k
+1)k(3k+4).
LOS ELEMENTOS DEL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN

7. Hipótesis de inducción: debemos demostrar que entonces la propiedad es cierta para su sucesor.
N= k+1, es decir: 7+13+19+…+(6(k+1)+1)(k+1)(3(k+1)+4).
Efectuando los productos indicados resulta:
Tesis de inducción: 7+13+19+…+6k+7)(k+1)(3k+7)
Hipótesis: 7+13+19+…+(6k+1)k(3k + 4).
Vemos que para obtener la tesis basta sumar en ambos miembros de la igualdad el término que
le sigue 6k+7 (sucesor de 6k+1).
Obtendríamos entonces: 7+13 +19+…+(6k +1)+(6k+7)k(3k+4)+(6k+7)
Como ya tenemos los miembros izquierdos iguales, entonces trabajaremos con el miembro
derecho, efectuando los productos indicados:
7+13+19+…+(6k+1)+(6k+7)3k2+4k+6k+7=3k2+10k+7 (reduciendo términos semejantes)
=(K+1)(3k+7) descomponiendo en factores.
Luego, 7+13+19+…+(6k+1)+(6k+7)=(k+1)(3k+7) como se quería demostrar.
Es decir, la propiedad se cumple también para el elemento k+1. Por tanto, podemos concluir
que la propiedad se cumple para cualquier número n, natural, n≥1.
CONTINUANDO CON EL EJEMPLO…

8. Link del video:
https://www.youtube.com/watch?v=b6UnydbkCp8&t=6s