Matrices y sistemas de ecuaciones

Brian Bastidas
Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales
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Docente: Brian Bastidas
Temas a trabajar:
• Definición de matriz
• Tipos de Matrices
• Operaciones con matrices. Suma, multiplicación por un escalar, multiplicación de matrices.
• Forma escalonada reducida de una matriz.
• Forma matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Matriz aumentada de un sistema.
• Solución de sistemas de ecuaciones lineales por reducción de matrices.
• Solución de un sistema de ecuaciones utilizando la inversa de una matriz.
Definición de matriz
Una matriz es un arreglo rectangular de números, la cual el arreglo completo tendrá un tamaño de × , donde
representara el número de filas y el número de columnas y al ubicar un elemento dentro de la matriz lo
haremos por medio de dos subíndices , donde = ú = ú
=
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡
…
…
… … …
…
…
…
…
⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
Las matrices son utilizadas es muchos campos, en la ingeniería, en la administración, en economía, en inventarios,
entre otros, veamos el siguiente ejemplo:
Una empresa que fabrica los productos A, B y C, necesita una cantidad de materiales 1, 2, 3 y 4 para su fabricación
diaria como lo vemos en la siguiente tabla
Producto A Producto B Producto C
Material 1 5 9 7
Material 2 3 1 5
Material 3 8 6 4
Material 4 2 3 1
Este mismo arreglo lo podemos presentar más sencillo en una matriz
= "
5 9 7
3 1 5
8
2
6
3
4
1
,
Podemos decir de la matriz que es de tamaño 4 × 3, cuatro filas y tres columnas y representa los 4 tipos de
materiales y los 3 productos a fabricar.

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Transpuesta de una matriz
Teniendo la matriz anterior hallar su transpuesta es intercambiar las filas por las columnas y se denomina -
-
= .
5 3 8 2
9 1 6 3
7 5 4 1
/
Tipos de Matrices
A continuación, veremos algunos tipos especiales de matrices
Matriz Fila
Una matriz con una sola fila y con columnas
= 0−2 3 62
Matriz Columna
Una matriz con filas y 1 sola columna
= 3
5
12
4
Matriz Nula o Matriz Cero
Una matriz con todos sus elementos iguales a cero, se denomina con la letra 5
5 = .
0 0
0 0
0 0
/
Matriz Cuadrada
Una matriz con la misma cantidad de filas que de columnas
= .
−2 0 1
3 8 0
7 −4 3
/
Matriz Diagonal
La diagonal principal de una matriz cuadrada es la diagonal de números de izquierda a derecha, una matriz diagonal
es aquella en la que solo hay números en la diagonal principal y los demás números son ceros
= .
1 0 0
0 −9 0
0 0 5
/
Matriz Escalar
Una matriz diagonal es aquella en la que los números de la diagonal principal son iguales y los demás números son
ceros
= .
3 0 0
0 3 0
0 0 3
/

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Matriz Identidad o Unidad
Una matriz identidad es aquella en la que los números de la diagonal principal son unos y los demás números son
ceros
= .
1 0 0
0 1 0
0 0 1
/
Matriz Triangular Superior
Es una matriz en la que los elementos debajo de la diagonal principal son ceros
= .
4 9 4
0 3 7
0 0 −1
/
Matriz Triangular Inferior
Es una matriz en la que los elementos encima de la diagonal principal son ceros
= .
6 0 0
5 2 0
−8 7 −1
/
Operaciones Entre Matrices
Definiendo los tipos de matrices anteriormente, ahora entraremos a las operaciones que se pueden trabajar entre
las ellas, la primera operación es la primera que vemos en los números.
Suma de matrices
Para sumar dos matrices debemos tener en cuenta antes que nada su tamaño, solo podemos sumar matrices de
igual tamaño, después de verificar lo anterior es muy fácil sumar las matrices, lo que haremos es sumar cada
elemento correspondiente, si tenemos dos matrices y 7.
= . / 7 = .
8 8
8 8
8 8
/
La suma + 7 es igual a:
+ 7 = .
+ 8 + 8
+ 8 + 8
+ 8 + 8
/
Ejemplo: Dadas las siguientes matrices
= .
−7 3 −3
4 8 9
2 1 −4
/ , 7 = .
3 0 1
−4 6 −3
5 9 2
/
La matriz que expresa la suma de las dos matrices es:
; = + 7 = .
−7 + 3 3 + 0 −3 + 1
4 + (−4) 8 + 6 9 + (−3)
2 + 5 1 + 9 −4 + 2
/ = .
−4 3 −2
0 14 6
7 10 −2
/

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Propiedades de la Suma de Matrices
1. + 7 = 7 + Propiedad Conmutativa
2. + (7 + ;) = ( + 7) + ; Propiedad Asociativa
3. + 5 = 5 + = Propiedad de Identidad
Multiplicación por un Escalar
Multiplicar por un escalar es multiplicar por un número real, debemos recordar que es multiplicar, por ejemplo 2*3
es sumar 2 veces 3 o 3 veces 2, en matrices es exactamente lo mismo 2 = + , entonces si
= 3 4 → 2 = 3 4 + 3 4 = 3
+ +
+ + 4 = ?
2 2
2 2
@
Al final veremos que multiplicar por un escalar es multiplicar ese número real por cada elemento de la matriz a la
cual está multiplicando
Ejemplo 1: Sea la matriz 7
7 = .
−2 5
3 4
7 0
/
Hallar 67
67 = 6 .
−2 5
3 4
7 0
/ = .
6 ∙ −2 6 ∙ 5
6 ∙ 3 6 ∙ 4
6 ∙ 7 6 ∙ 0
/ = .
−12 30
18 24
42 0
/
Ejemplo 2: Sea la matriz
= 3
−3 6 5
2 −9 4
4
Hallar −
−
2
3
= −
2
3
3
−3 6 5
2 −9 4
4 = B
−
2
3
∙ −3 −
2
3
∙ 6 −
2
3
∙ 5
−
2
3
∙ 2 −
2
3
∙ −9 −
2
3
∙ 4
C = B
2 −4 −
10
3
−
4
3
6 −
8
3
C
Propiedades de la Multiplicación por un Escalar
1. D( + 7) = D + D7
2. (D + ) = D +
3. D( ) = (D )
4. 0 = 5
5. D5 = 5
Resta de Matrices
Utilizando la multiplicación por un escalar es mucho más fácil realizar una resta de matrices, si queremos hallar el
resultado de la resta − 7, podemos definir esta resta como + (−1)7, esta segunda operación es una
multiplicación de la matriz 7 por el escalar (−1) y el resultado se lo sumamos a la matriz .

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Son iguales
Matriz Resultado
Ejemplo: hallar la resta − 7 de las siguientes matrices
= 3
−2 −12 6
1 4 −5
4 7 = 3
4 −10 7
−9 6 −11
4
Hallaremos primero cuanto es (−1)7, multiplicando cada elemento de la matriz 7 por −1 que es igual a cambiar
todos los signos de la matriz
−7 = 3
−4 10 −7
9 −6 11
4
Ahora realizaremos la suma de + (−7)
+ (−7) = 3
−2 −12 6
1 4 −5
4 + 3
−4 10 −7
9 −6 11
4 = 3
−6 −2 −1
10 −2 6
4
Si realizamos la resta directamente, debemos tener en cuenta que los signos de la matriz 7 deben cambiar en todos
los elementos
− 7 = 3
−2 −12 6
1 4 −5
4 − 3
4 −10 7
−9 6 −11
4 = ?
−2 − 4 −12 − (−10) 6 − 7
1 − (−9) 4 − 6 −5 − (−11)
@
Resolviendo cada operación
− 7 = 3
−6 −2 −1
10 −2 6
4
Multiplicación de Matrices
Para multiplicar matrices ∙ 7 = 7, vamos a tener en cuenta los tamaños de cada matriz, en este caso no
necesitamos que las matrices sean de igual tamaño, lo que necesitamos es que el número de columnas de la primera
matriz ( ) sea igual al número de filas de la segunda matriz (7), si se cumple esta condición podremos hallar el
producto entre 7.
Ejemplo 1: Dada la matriz fila y al matriz columna 7
= 0−2 3 42 7 = .
5
8
−3
/
Podemos hallar el producto 7 dado que tiene 3 columnas y 7 tiene 3 filas, su resultado es la suma de las
multiplicaciones de los elementos correspondientes, elemento 1 de la fila con elemento 1 de la columna 7,
elemento 2 de la fila con elemento 2 de la columna 7 y elemento 3 de la fila con elemento 3 de la columna 7:
7 = (−2 ∙ 5) + (3 ∙ 8) + (4 ∙ −3) = −10 + 24 − 12 = 2
La matriz resultado siempre va a ser el número de filas de la primera matriz con el número de columnas de la
segunda matriz, de forma genera podemos escribir:
EF×G ∙ HG×I = JF×I

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Ejemplo 2: Dadas las matrices y 7 hallar ; = 7
× = 3
−2 4 5
1 3 6
4 7 ×K = .
3 7 6 −4
2 −3 −1 5
−1 4 2 3
/
Solución: En este caso haremos los mismo que hicimos en el ejemplo 1 la única diferencia es que, no es una fila y
una columna, sino varias filas y varias columnas, cada fila de la matriz se debe multiplicar por cada columna de la
matriz 7 y cada multiplicación representa un elemento de la matriz resultado ;.
; ×K = 3
−2 ∙ 3 + 4 ∙ 2 + 5 ∙ −1 −2 ∙ 7 + 4 ∙ −3 + 5 ∙ 4 −2 ∙ 6 + 4 ∙ −1 + 5 ∙ 2 −2 ∙ −4 + 4 ∙ 5 + 5 ∙ 3
1 ∙ 3 + 3 ∙ 2 + 6 ∙ −1 1 ∙ 7 + 3 ∙ −3 + 6 ∙ 4 1 ∙ 6 + 3 ∙ −1 + 6 ∙ 2 1 ∙ −4 + 3 ∙ 5 + 6 ∙ 3
4
; ×K = ?
; ; ; ; K
; ; ; ; K
@ = 3
−3 −6 −6 43
3 22 15 29
4
Los subíndices de la matriz resultado nos indica a su vez que fila y que columna se deben multiplicar, ejemplo, para
hallar el elemento ; , se debe multiplicar la fila 2 de la matriz A con la columna 3 de la matriz B
; = 1 ∙ 6 + 3 ∙ −1 + 6 ∙ 2 = 6 − 3 + 12 = 15
Propiedades de la Multiplicación de Matrices
1. (7;) = ( 7); Propiedad Asociativa
2. (7 + ;) = 7 + ; Propiedad Distributiva
3. ( + 7); = ; + 7; Propiedad Distributiva
4. ( 7)-
= 7- -
Transpuesta de un producto
Ejemplos de Aplicación (Operaciones básicas)
Ejemplo 1: Un fabricante de cierto producto realiza tres modelos, A, B y C. Algunas partes de cada uno se elaboran
en la fábrica F1, ubicada en Brasil, y después se terminan en la fábrica F2, de Estados Unidos. El costo total de cada
producto consta de los costos de manufactura y de embarque. En consecuencia, los costos (en miles de pesos) de
cada fábrica pueden describirse mediante las siguientes tablas:
Fabrica (F1) Costo de Manufactura Costo de Embarque
Modelo A 28 40
Modelo B 46 60
Modelo C 72 34
Fabrica (F2) Costo de Manufactura Costo de Embarque
Modelo A 60 96
Modelo B 72 84
Modelo C 90 30
Podemos representar las tablas mediante las siguientes matrices 3 × 2
M = .
28 40
46 60
72 34
/ M = .
60 96
72 84
90 30
/
Sin queremos hallar los costos totales de manufactura y embarque de cada modelo debemos hallar la suma de
estas matrices M + M

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M + M = .
88 136
118 124
162 64
/
Podemos ver que el modelo que sale más costoso es el modelo B con un costo de manufactura de $118.000 y un
costo de embarque de $124.000.
Ejemplo 2: Una empresa de fotografía tiene una tienda en cada una de las siguientes ciudades: Bogotá, Cali y
Medellín. Cierta marca de cámara está disponible en los modelos automático, semiautomático y manual. Además,
cada una tiene una unidad de flash correspondiente, la cual se vende por lo general junto con la cámara. Los precios
de venta de las cámaras y de las unidades de flash están dados (en miles de pesos) por la siguiente tabla
Automático Semiautomático Manual
Cámara 600 450 300
Unidad de Flash 150 100 60
El número de equipos (cámara y unidad flash) disponibles en cada tienda está dado por la tabla:
Bogotá Cali Medellín
Automático 25 22 18
Semiautomático 32 38 30
Manual 40 36 35
Podemos representar las dos tablas anteriores por medio de dos matrices:
= 3
600 450 300
150 100 60
4 7 = .
25 22 18
32 38 30
40 36 35
/
Si realizamos la multiplicación de matrices ( 7), este resultado representa el valor total de las cámaras y de las
unidades de flash que hay en cada ciudad
7 = 3
600 ∙ 25 + 450 ∙ 32 + 300 ∙ 40 600 ∙ 22 + 450 ∙ 38 + 300 ∙ 36 600 ∙ 18 + 450 ∙ 30 + 300 ∙ 35
150 ∙ 25 + 100 ∙ 32 + 60 ∙ 40 150 ∙ 22 + 100 ∙ 38 + 60 ∙ 36 150 ∙ 18 + 100 ∙ 30 + 60 ∙ 35
4
7 = 3
41400 41100 34800
9350 9260 7800
4
De la tabla resultado podemos decir que Cali tiene en cámaras un valor total de $41.100.000 y en unidades de flash
un total de $9.260.000, de la misma forma vemos los valores de Bogotá y Medellín.
Sistemas de Ecuaciones Matriciales
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden representar por medio de la multiplicación de matrices
Ejemplo: Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales
O
3P − 2 = 16
4P + 3 = −7
Se puede representar en multiplicación de matrices como:
3
3 −2
4 3
4 ∙ 3
P
4 = 3
16
−7
4

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De forma general podemos expresar la ecuación matricial como Q = 7, donde es la matriz de coeficientes de
las variables, Q la matriz de variables y 7 la matriz resultados.
También podemos ver esta matriz como la llamada matriz aumentada, que consiste en unir la matriz de coeficientes
con la matriz resultados separados por una barra, pero en una sola matriz
3
3 −2
4 3
R
16
−7
4
Solución de Sistemas de Ecuaciones Mediante la Reducción de Matrices
En un sistema de ecuaciones matricial podremos utilizar las propiedades de un sistema de ecuaciones lineales
1. Se pueden intercambiar las filas de la matriz.
2. Se puede multiplicar una fila de una matriz por un número real diferente de cero.
3. Se pueden sumar dos filas de la misma matriz e intercambiar por una las filas que se esté sumando.
Notación Operación con la Fila correspondiente
ST ↔ SV Intercambiar la fila M con la fila M
W ∙ ST Multiplicar la fila M por una constante D
SV → W ∙ ST + SV Cambiar la fila M por el resultado de la fila M
multiplicado una constante sumado con M
Ejemplo: Dada la siguiente matriz
.
1 −2 3
3 −4 2
0 5 −6
/
Si deseamos convertir el 3 de la posición en un 0, vamos a multiplicar la primera fila por -3 y sumársela a la fila
2 e intercambiar este resultado por la fila 2.
M → −3M + M = −3(1 − 2 3) + (3 − 4 2) = (−3 6 − 9) + (3 − 4 2) = (0 2 − 7)
En la matriz quedaría
M → −3M + M .
1 −2 3
0 2 −7
0 5 −6
/
Estas operaciones entre filas de matrices las utilizaremos para reducir la matriz y llegar a la solución del sistema,
para ello necesitamos definir la matriz escalonada reducida.
Matriz Escalonada Reducida
Una matriz es escalonada reducida por filas cuando cumple las siguientes características
1. Todas las filas que constan de ceros si las hay están en la parte inferior.
2. Para cada fila diferente de cero, la entrada principal es 1 y las demás entradas de esta columna de la
entrada principal, deben ser cero.
3. La entrada principal en cada fila está a la derecha de las entradas principales de las filas que están arriba.
En una matriz escalonada los 1 principales forman una escalera que desciende desde la esquina superior izquierda.

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Ejemplos de matrices escalonadas
3
1 0
0 1
4 .
1 0 0
0 1 0
0 0 1
/ .
1 0
0 1
0 0
/ B
1 3 0 2
0 0 1 −4
0 0 0 0
0 0 0 0
C
Para resolver el sistema de ecuaciones matriciales, vamos a encontrar la matriz reducida que equivale a la matriz
aumentada
Pasos para encontrar la matriz reducida
1. Verificamos que el primer elemento de la matriz sea 1, si no lo es, buscamos la forma más fácil de convertir
en 1, ya sea intercambiando filas o dividiendo por el mismo número del primer elemento toda la primera
fila
2. Con el 1 en la entrada principal de la fila 1 eliminaremos las primeras entradas de las filas de abajo,
multiplicando por el inverso aditivo del número que queremos eliminar la fila 1 y sumando el resultado a
la fila que queremos eliminar
3. Hacemos el proceso nuevamente, pero con la fila 2, ahora nuestro segundo elemento buscamos que sea 1,
podremos lograrlo multiplicando por el inverso multiplicativo, con ese 1 cancelamos los números de arriba
y debajo de la fila.
4. Hacemos el proceso hasta llegar a la última fila
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por medio de la reducción de matrices
O
3P − = 8
P + 2 = 5
Primero definiremos la matriz aumentada
3
3 −1
1 2
R
8
5
4
Pasos
1. En este caso podemos intercambiar las filas de posición para obtener el primer elemento como 1
M ↔ M 3
1 2
3 −1
R
5
8
4
2. Ahora multiplicamos por el inverso aditivo de 3 que es -3 la fila 1 y lo sumamos a la fila 2 para eliminar el
elemento debajo del 1, este resultado se lo asignamos a la fila 2
M → −3M + M 3
1 2
0 −7
R
5
−7
4
3. Ahora necesitamos que el segundo elemento de la fila 2 sea 1, multiplicamos por el inverso multiplicativo
que es −
X
M → −
1
7
M 3
1 2
0 1
R
5
1
4
4. Con este 1 de la segunda fila eliminaremos el 2 de arriba, multiplicando por el inverso aditivo de 2 que es
-2 a la fila 2, luego sumarlo a la fila 1 y asignar este resultado a la fila 1

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M → −2M + M 3
1 0
0 1
R
3
1
4
Con este último paso obtenemos la matriz reducida
3
1 0
0 1
R
3
1
4
La cual si la trasformamos al sistema de ecuaciones quedaría
O
P + 0 = 3
0P + = 1
→ O
P = 3
= 1
Obteniendo las soluciones del sistema de ecuaciones.
Ejemplo 2: Solución de un sistema de ecuaciones por medio de la reducción de matrices
Y
2P − 4Z = 8
P − 2 − 2Z = 14
P + − 2Z = −1
3P + + Z = 0
Expresando el sistema de ecuaciones como una matriz aumentada, debemos tener en cuenta que la primera
ecuación no tiene la variable por lo tanto su coeficiente es 0.
B
2 0 −4
1 −2 −2
1 1 −2
3 1 1
[
8
14
−1
0
C
Procedemos a realizar la reducción de la matriz aumentada, en este caso podemos intercambiar la primera fila por
la segunda o la tercera que ya tienen un 1 en el primer elemento, pero vemos que la primera fila tiene un cero a la
derecha de la entrada principal el cual necesitaremos más adelante y que los demás números son divisibles por 2
que es el número que necesito dividir para convertir el primer elemento en 1, por eso en este caso se decide dividir
por 2 la primera fila
M →
1
2
M B
1 0 −2
1 −2 −2
1 1 −2
3 1 1
[
4
14
−1
0
C
Con este 1 de la primera fila vamos a convertir las tres filas debajo en ceros multiplicando por el inverso aditivo y
sumándoselo a la fila correspondiente
M → (−1)M + M
M → (−1)M + M
MK → (−3)M + M
B
1 0 −2
0 −2 0
0 1 0
0 1 7
[
4
10
−5
−12
C
Ahora necesito un 1 en el segundo elemento de la fila 2, vemos que la fila 3 ya tiene un 1 en el segundo elemento
y los demás elementos son ceros, vamos a intercambiar entonces fila 2 y fila 3.
M ↔ M B
1 0 −2
0 1 0
0 −2 0
0 1 7
[
4
−5
10
−12
C

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Con el 1 de la segunda fila eliminaremos el -2 de la tercera fila y el 1 de la cuarta fila multiplicando por el inverso
aditivo la fila 2 y sumando el resultado a la fila correspondiente
M → (2)M + M
MK → (−1)M + MK
B
1 0 −2
0 1 0
0 0 0
0 0 7
[
4
−5
0
−7
C
Recordemos una de las características de una matriz reducida es que las filas con solo elementos ceros deben ir en
la parte inferior por lo que cambiaremos la fila 3 y 4 y en la fila 4 que necesitamos un 1 en el tercer elemento
multiplicaremos por el inverso multiplicativo que es lo mismo que dividir por 7
MK →
1
7
MK
M ↔ MK
B
1 0 −2
0 1 0
0 0 1
0 0 0
[
4
−5
−1
0
C
Con este 1 de la tercera fila convertiremos en 0 el -2 de la primera fila multiplicando por el inverso aditivo la tercera
fila y sumándolo a la fila 1
M → (2)M + M B
1 0 0
0 1 0
0 0 1
0 0 0
[
2
−5
−1
0
C
Llegamos a la matriz reducida y a su vez a la solución del sistema de ecuaciones
P = 2, = −5, Z = −1
Volviendo a nuestro sistema de ecuaciones, vamos a probar las soluciones (P, , Z) en las 4 ecuaciones,
reemplazando los valores correspondientes
Y
2P − 4Z = 8
P − 2 − 2Z = 14
P + − 2Z = −1
3P + + Z = 0
→ Y
2(2) − 4(−1) = 8
(2) − 2(−5) − 2(−1) = 14
(2) + (−5) − 2(−1) = −1
3(2) + (−5) + (−1) = 0
→ Y
4 + 4 = 8
2 + 10 + 2 = 14
2 − 5 + 2 = −1
6 − 5 − 1 = 0
Verificamos que se cumplen las 4 ecuaciones, por lo tanto, (P, , Z) = (2, −5, −1) es la solución al sistema de
ecuaciones.
Solución de un Sistema de Ecuaciones Utilizando la Inversa de una Matriz
Anteriormente habíamos llegado a la ecuación matricial de un sistema de ecuaciones Q = 7, si esta fuera una
ecuación lineal de números reales P = 8, para hallar la solución de la variable P lo que hacemos es multiplicar por
el inverso multiplicativo en ambos lados, la propiedad del inverso multiplicativo es que si multiplicamos un numero
por su inverso el resultado debe ser 1, el inverso de es

= ]
, ( ]
∙ = 1).
Siguiendo esta misma secuencia en la ecuación matricial Q = 7 para hallar la matriz de variables debemos
multiplicar por ]
en ambos miembros de la ecuación ]
Q = ]
7, en este caso ]
= ^ es la matriz
identidad, con estos llegamos a la solución de la ecuación matricial
Q = ]
7

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Recordemos que es la matriz de coeficientes, Q matriz de variables y 7 es la matriz de resultados, la ecuación
anterior nos indica que la inversa de la matriz multiplicado la matriz resultados nos dará la solución de la matriz
de variables.
Lo que necesitamos ahora es como hallar la inversa de una matriz.
Determinación de la Inversa de una Matriz
Una matriz inversa solo se le puede hallar a una matriz cuadrada a esta matriz se le llama invertible y no todas las
matrices cuadradas son invertibles, para hallar la inversa de una matriz será crear una matriz aumentada en la que
el aumento va a ser una matriz identidad de igual tamaño.
Ejemplo: Encontrar la matriz inversa de la siguiente matriz
= .
2 1 0
4 −1 5
1 −1 2
/
Primero necesitamos expresar la matriz aumentada con la matriz identidad en este caso de 3 × 3
.
2 1 0
4 −1 5
1 −1 2
_
1 0 0
0 1 0
0 0 1
/
Ahora reduciremos la matriz del lado izquierdo para obtener la matriz identidad
M ↔ M .
1 −1 2
4 −1 5
2 1 0
_
0 0 1
0 1 0
1 0 0
/
M → −4M + M
M → −2M + M
.
1 −1 2
0 3 −3
0 3 −4
_
0 0 1
0 1 −4
1 0 −2
/
M →
1
3
M .
1 −1 2
0 1 −1
0 3 −4
_
0 0 1
0 1/3 −4/3
1 0 −2
/
M → M + M
M → −3M + M
.
1 0 1
0 1 −1
0 0 −1
_
0 1/3 −1/3
0 1/3 −4/3
1 −1 2
/
M → (−1)M .
1 0 1
0 1 −1
0 0 1
_
0 1/3 −1/3
0 1/3 −4/3
−1 1 −2
/
M → (−1)M + M
M → M + M
.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
_
1 −2/3 5/3
−1 4/3 −10/3
−1 1 −2
/
Cuando ya tenemos el lado inicial como la matriz identidad, la matriz aumentada del lado derecho será la matriz
inversa de , en este caso
]
= .
1 −2/3 5/3
−1 4/3 −10/3
−1 1 −2
/

Brian Bastidas
pág. 13
Una matriz que no sea invertible
.
1 −2 1
2 −1 5
1 1 4
/
Al hallar la reducción de la matriz aumentada, no obtendremos la matriz identidad y diremos que la matriz no es
invertible
.
1 −2 1
2 −1 5
1 1 4
_
1 0 0
0 1 0
0 0 1
/ → ⋯ → .
1 0 3
0 1 1
0 0 0
_
−1/3 2/3 0
−2/3 1/3 0
1 −1 1
/
Ahora que ya sabemos hallar la inversa de una matriz veremos la aplicación en la solución de un sistema de
ecuaciones
Ejemplo: Solucionar el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la inversa de una matriz
b
2P + = 1
4P − + 5Z = 3
P − + 2Z = 0
Primero identificamos la matriz de coeficientes
= .
2 1 0
4 −1 5
1 −1 2
/
Sabemos que Q = ]
7, donde B es la matriz de resultados y ]
es la inversa de la matriz de coeficientes, matriz
que hallamos en la página anterior
]
= .
1 −2/3 5/3
−1 4/3 −10/3
−1 1 −2
/ 7 = .
1
3
0
/
Lo que haremos es hallar la multiplicación ]
7
]
7 =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎡ (1)(1) + c−
2
3
d (3) + c
5
3
d (0)
(−1)(1) + c
4
3
d (3) + c−
10
3
d (0)
(−1)(1) + (1)(3) + (−2)(0) ⎦
⎥
⎥
⎥
⎤
= .
1 − 2 + 0
−1 + 4 + 0
−1 + 3 + 0
/ = .
−1
3
2
/
Y sabemos que ]
7 = Q donde Q es la matriz de variables, por lo tanto, llegamos a la solución del sistema
Q = .
−1
3
2
/ P = −1 = 3 Z = 2
Probamos la solución anterior en el sistema de ecuaciones
b
2P + = 1
4P − + 5Z = 3
P − + 2Z = 0
→ e
2(−1) + (3) = 1
4(−1) − (3) + 5(2) = 3
(−1) − (3) + 2(2) = 0
→ b
−2 + 3 = 1
−4 − 3 + 10 = 3
−1 − 3 + 4 = 0
Verificamos que las tres ecuaciones se cumplen y las variables halladas anteriormente son la solución al sistema de
ecuaciones lineales.

Brian Bastidas
pág. 14
Ejemplos de Aplicación
Ejemplo 1: Un ebanista fabrica sillas, mesas para café y mesas para comedor. Se necesitan 10 minutos para lijar
una silla, 6 para pintarla y 12 para barnizarla. Se requieren 12 minutos para lijar una mesa para café, ocho para
pintarla y 12 para barnizarla. Son necesarios 15 minutos para lijar una mesa para comedor, 12 para pintarla y 18
para barnizarla. El centro de lijado está disponible 16 horas a la semana, el de pintura 11 horas a la semana y el de
barnizado 18 horas. ¿Cuántas unidades de cada mueble deben fabricarse por semana de modo que las mesas de
trabajo se utilicen a toda su capacidad?
Solución: Primero lo que haremos es definir nuestras variables, en todos los problemas las variables o incógnitas
nos la definen la pregunta del problema en este caso son las unidades de cada mueble:
f = ú g g h = ú g g i é k = ú g g i
Antes de crear nuestro sistema de ecuaciones debemos tener en cuenta que el tiempo requerido para fabricar cada
mueble esta dado en minutos y el tiempo de cada centro de trabajo está dado en horas, por lo tanto, debemos
cambiar ya sea los minutos a horas o las horas a minutos que en este caso es más fácil para trabajar con enteros,
16 horas equivalen a 960 minutos, 11 horas a 660 minutos y 18 horas a 1080 minutos, nuestro sistema de
ecuaciones quedaría:
b
10P + 12 + 15Z = 960
6P + 8 + 12Z = 660
12P + 12 + 18Z = 1080
Donde la primera fila representa el tiempo que cada mueble tomara del centro de lijado, la segunda fila
corresponde al centro de pintura y la tercera al centro de barnizado.
De otra forma, también podríamos representar toda la información como se muestra en la siguiente tabla
Sillas Mesas
para café
Mesas para
comedor
Tiempo disponible
del centro
Lijado 10 12 15 960
Pintura 6 8 12 660
Barnizado 12 12 18 1080
De cualquiera de las dos formas podremos hallar la matriz aumentada para solucionar nuestro sistema por medio
de la reducción escalonada
.
10 12 15
6 8 12
12 12 18
_
960
660
1080
/
En este caso la fila más fácil de convertir la entrada principal en un 1 son la fila 2 o 3, debido a que, la fila 1
deberíamos dividir entre 10 y las 2 entradas siguientes quedarían como fracción, en cambio la fila 2 o 3 al dividir
solo queda una entrada como fracción.
M ↔ M .
6 8 12
10 12 15
12 12 18
_
660
960
1080
/ → M →
1
6
M .
1 4/3 2
10 12 15
12 12 18
_
110
960
1080
/
M → −10M + M
M → −12M + M
.
1 4/3 2
0 −4/3 −5
0 −4 −6
_
110
−140
−240
/

Brian Bastidas
pág. 15
Ahora necesitamos un 1 en la segunda entrada de la fila 2, multiplicaremos por el reciproco de 4/3 que es 3/4, y
con este 1 convertiremos en cero la entrada de arriba y la de abajo
M → −
3
4
M .
1 4/3 2
0 1 15/4
0 −4 −6
_
110
105
−240
/ →
M → −4/3M + M
M → 4M + M
.
1 0 −3
0 1 15/4
0 0 9
_
−30
105
180
/
Ahora multiplicaremos por el reciproco de 9 la fila 3 para convertir en 1 la tercera entrada y con esta entrada
convertir en cero las entradas de arriba
M →
1
9
M .
1 0 −3
0 1 15/4
0 0 1
_
−30
105
20
/ →
M → 3M + M
M → −15/4 ∙ M + M
.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
_
30
30
20
/
Ahora tenemos la solución a nuestro problema,
P = 30 = 30 Z = 20
Debemos fabricar 30 sillas, 30 mesas para café y 20 mesas para comedor y así aprovechar al máximo la capacidad
de cada centro de trabajo.

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