4. 1.1 Sucesiones. Definición
1.2 Definición de Sucesión Convergente
1.3 Propiedades de Limites de Sucesiones
1.4 Teorema de la Media Aritmética
1.5 Teorema de la Media Geométrica
1.6 Criterio de la Razón para la Convergencia de
Sucesiones.
2.1 Sucesiones Divergentes. Definición.
2.2 Sucesiones Monótonas y Acotadas
DESARROLLO DE CONTENIDOS - SUBTÍTULOS
DEL TEMA
5. SUCESIONES
Definición:
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros
positivos (Conjunto de números Naturales), y el rango es un conjunto arbitrario
(dependiendo de la operación en la función).
Consideremos una función 𝑺: 𝒁+
⟶ 𝑹, tal que, ∀𝒏 ∈ 𝒁+
, 𝑺(𝒏) ∈ 𝑹, es un elemento de la
sucesión.
Por efectos de simbología 𝑆(𝑛) lo escribiremos como 𝑆 𝑛 y llamaremos por 𝑆 𝑛 𝑛≥1;
gráficamente tenemos:
15. DEFINICION DE SUCESIÓN CONVERGENTE:
Se dice que una sucesión es convergente cuando tiene límite, caso contrario la
sucesión es DIVERGENTE.
Ejemplo:
Determinar si es convergente o divergente la sucesión siguiente:
𝑆 𝑛 =
𝑛2
+ 1
2𝑛2 − 𝑛 𝑛≥1
Solución:
Para determinar la convergencia o divergencia de esta sucesión bastará calcular el
límite de esta sucesión
lim
𝑛⟶∞
𝑆 𝑛 = lim
𝑛⟶∞
𝑛2
+ 1
2𝑛2 − 𝑛
= lim
𝑛⟶∞
𝑛2
+ 1
𝑛2
2𝑛2 − 𝑛
𝑛2
= lim
𝑛⟶∞
1 +
1
𝑛2
2 −
1
𝑛
=
1 + 0
2 − 0
=
1
2
16. Por lo tanto:
lim
𝑛⟶∞
𝑛2
+ 1
2𝑛2 − 𝑛
=
1
2
Entonces podemos decir que:
𝑛2
+ 1
2𝑛2 − 𝑛 𝑛≥1
ES CONVERGENTE.
17. Ejemplo 2:
Determinar si es convergente o divergente la sucesión siguiente:
𝑆 𝑛 =
3𝑛3
+ 1
2𝑛3 + 1 𝑛≥1
Solución:
Para determinar la convergencia o divergencia de esta sucesión bastará calcular el
límite de esta sucesión
lim
𝑛⟶∞
𝑆 𝑛 = lim
𝑛⟶∞
3𝑛3
+ 1
2𝑛3 + 1
= lim
𝑛⟶∞
3𝑛3 + 1
𝑛3
2𝑛3 + 1
𝑛3
= lim
𝑛⟶∞
3𝑛3
𝑛3 +
1
𝑛3
2𝑛3
𝑛3 +
1
𝑛3
= lim
𝑛⟶∞
3 +
1
𝑛3
2 +
1
𝑛3
=
3 + 0
2 + 0
=
𝟑
𝟐
Por lo tanto:
lim
𝑛⟶∞
3𝑛3
+ 1
2𝑛3 + 1
=
3
2
Entonces podemos decir que:
𝑆 𝑛 =
3𝑛3
+ 1
2𝑛3 + 1 𝑛≥1
ES CONVERGENTE.
32. SUCESIONES DIVERGENTES
Hemos mencionado que una sucesión es Divergente cuando no tiene Límite, esto puede
ser, divergente a +∞; a −∞ ú oscilante.
Definición:
Sea 𝑆 𝑛 𝑛≥1, una sucesión, diremos que 𝑆 𝑛 → +∞, cuando 𝑛 → ∞, si para todo 𝑀 > 0,
existe 𝑁 > 0, tal que: 𝑆 𝑛 > 𝑀, ∀𝑛 > 𝑁.
Ejemplo:
Probar que lim
𝑛→∞
32𝑛+1
= +∞
Solución:
Basándonos en la definición podemos decir:
∀𝑀 > 0, ∃𝑁 =? que depende de 𝑀 , tal que 32𝑛+1
> 𝑀 ==> 2𝑛 + 1 𝐿 𝑛3 > 𝐿 𝑛 𝑀,
Es decir:
𝑛 >
1
2
𝐿 𝑛 𝑀
𝐿 𝑛3
− 1 = 𝑁
33. Definición:
Sea 𝑆 𝑛 𝑛≥1, una sucesión, diremos que 𝑆 𝑛 → −∞, cuando 𝑛 → ∞, si para todo 𝑀 > 0,
existe 𝑁 > 0, tal que: 𝑆 𝑛 < −𝑀, ∀𝑛 > 𝑁.
Ejemplo:
Probar que lim
𝑛→∞
1 − 2𝑛 = −∞
Solución:
Basándonos en la definición podemos decir:
∀𝑀 > 0, ∃𝑁 =? 𝑡. 𝑞. 1 − 2𝑛 < −𝑀 ==> 𝑛 >
1 + 𝑀
2
= 𝑁
Luego ∀𝑀 > 0, ∃ 𝑁 =
1+𝑀
2
𝑡. 𝑞. 1 − 2𝑛 < −𝑀, ∀𝑛 > 𝑁.
34. Definición:
Si la sucesión 𝑆 𝑛 𝑛≥1 diverge, pero no a −∞, ni a +∞, y además toma valores positivos y
negativos en forma alternada diremos que la sucesión 𝑆 𝑛 𝑛≥1, es oscilante.
Ejemplo:
La Sucesión −𝟏 𝒏
𝒏≥𝟏, 𝐞𝐬 𝐨𝐬𝐜𝐢𝐥𝐚𝐧𝐭𝐞, pues la sucesión es −1,1, −1,1, … − 1,1, −1,1, … si 𝑛
es par lim
𝑛→∞
−1 𝑛
= 1 y cuando 𝑛 es impar lim
𝑛→∞
−1 𝑛
= − 1. Luego ∄ lim
𝑛→∞
−1 𝑛
, por lo
tanto, no es convergente, pero tampoco divergente a +∞, 𝑛𝑖 − ∞, por lo tanto, es
OSCILANTE por definición.
35. SUCESIONES MONOTONAS Y ACOTADAS
DEFINICION:
a. Sea 𝑆 𝑛 𝑛≥1, una sucesión, entonces:
i.- Si 𝑆 𝑛 ≤ 𝑆 𝑛+1, ∀𝑛 > 𝑁 ==> 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑆 𝑛 𝑛≥1 𝑒𝑠 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆.
ii.- Si 𝑆 𝑛+1 ≤ 𝑆 𝑛, ∀𝑛 > 𝑁 ==> 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑆 𝑛 𝑛≥1 𝑒𝑠 𝒅𝒆𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆.
A una sucesión que sea creciente o decreciente le llamaremos monótona.
Observación:
Si 𝑆 𝑛 ≤ 𝑆 𝑛+1 ==> diremos que la sucesión es estrictamente creciente.
Si 𝑆 𝑛+1 ≤ 𝑆 𝑛 ==> diremos que la sucesión es estrictamente decreciente.
36. Ejemplo:
Determinar si la sucesión
𝑛
2𝑛+1 𝒏≥𝟏
es creciente, decreciente o no monótona.
Solución:
Escribiremos los elementos de la sucesión
1
3
,
2
5
,
3
7
,
4
9
, … ,
𝑛−1
2𝑛−1
,
𝑛
2𝑛+1
,
𝑛+1
2𝑛+3
,
𝑛+2
2𝑛+5
, … ,
𝑆 𝑛:
𝑛
2𝑛 + 1
==> 𝑆 𝑛+1:
𝑛 + 1
2 𝑛 + 1 + 1
=
𝑛 + 1
2𝑛 + 3
: 𝑆 𝑛+1
𝑛 = 1; 𝑛 = 2; 𝑛 = 3; 𝑛 = 4; …
Observamos que los cuatro primeros elementos de la sucesión van creciendo
cuando “𝑛” crece.
37. En general podemos decir:
𝑺 𝒏 𝑺 𝒏+𝟏
𝒏
𝟐𝒏 + 𝟏
≤
𝒏 + 𝟏
𝟐𝒏 + 𝟑
… … … … (𝟏)
La desigualdad (1) se verifica si encontramos otra desigualdad equivalente en la cual
podemos afirmar que es válida.
Por ejemplo en la desigualdad (1) podemos escribir:
𝟐𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 ≤ 𝟐𝒏 𝟐
+ 𝟑𝒏 + 𝟏 … … … … 𝟐
La desigualdad (2) es válida porque el miembro de la derecha es igual al de la izquierda
más uno, por lo tanto la desigualdad (1) es válida.
Es decir: 𝑆 𝑛 ≤ 𝑆 𝑛+1, luego la sucesión es creciente.
Hallamos si la sucesión tiene límite:
𝐥𝐢𝐦
𝒙→∞
𝒙
𝟐𝒙 + 𝟏
= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞
𝑥
𝑥
2𝑥 + 1
𝑥
=
1
2 +
1
𝑥
=
1
2 + 0
=
1
2
38. Ejemplo 2:
Determinar si la sucesión 𝑆 𝑛 =
9𝑛+1
𝑛+1
es Monótona y si tiene límite:
Solución:
Sabemos que la sucesión es
𝑆 𝑛 =
9𝑛 + 1
𝑛 + 1
==> 𝑆 𝑛+1 =
9 𝑛 + 1 + 1
𝑛 + 1 + 1
=
9𝑛 + 10
𝑛 + 2
==> 𝑆 𝑛+2 =
9 𝑛 + 2 + 1
𝑛 + 2 + 1
=
9𝑛 + 19
𝑛 + 3
Para saber si nuestra sucesión es creciente o decreciente hallemos los 4 primeros
términos
𝑛 = 1 ; 𝑛 = 2; 𝑛 = 3 ; 𝑛 = 4 ; …
5 ;
19
3
; 7;
37
5
; … ;
9𝑛 + 1
𝑛 + 1
;
9𝑛 + 10
𝑛 + 2
Observamos que en esta sucesión se tiene que:
1er𝑇 < 2do𝑇 < 3er𝑇 < 4to𝑇 … < 𝑛 < 𝑛 + 1
39. Esto quiere decir que la sucesión crece cuando “𝒏” crece:
9𝑛 + 1
𝑛 + 1
≤
9𝑛 + 10
𝑛 + 2
… … … … … (1)
Veamos la condición verdadera, multiplicando esta inecuación en aspa:
9𝑛 + 1 𝑛 + 2 ≤ 9𝑛 + 10 𝑛 + 1 ===> 𝟗𝒏 𝟐
+ 𝟏𝟗𝒏 + 2 ≤ 𝟗𝒏 𝟐
+ 𝟏𝟗𝒏 + 10
==> 2 ≤ 10 Esta condición es VERDADERA
Podemos decir que la Ec. (1) es VERDADERA.
Pues se cumple que:
9𝑛 + 1
𝑛 + 1
≤
9𝑛 + 10
𝑛 + 2
<==> 𝑆 𝑛 ≤ 𝑆 𝑛+1
Por lo tanto, la sucesión:
9𝑛 + 1
𝑛 + 1
𝐞𝐬 𝐌𝐎𝐍𝐎𝐓𝐎𝐍𝐀 𝐲 𝐂𝐑𝐄𝐂𝐈𝐄𝐍𝐓𝐄
