Unidad n°7 b las funciones (continuación), 12° 2013

Material de Álgebra. Preparado por la Profesora: Xenia Batista para los grupos de 12º I.P.T.V. Santiago, 20131
Tel.: 958-5804
República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Nombre del Alumno(a): __________________________________________ Grupo: 12º _________
Sección: Bachiller Industrial Especialidad: ______________________________________
7b.0 OBJETIVO GENERAL:Que el alumno o la alumna sea capaz de:
Utilizar, explicar y aplicar con seguridad y confianza los conceptos fundamentales de la
Matemática para la comprensión e importancia del concepto función y su aplicabilidad en
situaciones que ocurren en la vida cotidiana.
7b.1OBJETIVOS ESPECÍFICOS:Que el alumno o la alumna sea capaz de:
Reconocer los elementos principales de una función.
Valorizar funciones reales.
Conocer los tipos de funciones.
7b.2INTRODUCCIÓN
Una de las grandes inquietudes de los seres humanos a través de la historia ha sido la de
describir los fenómenos naturales, sus cambios y las relaciones entre unos y otros. Desde hace
tiempo, el hombre ha estudiado ciertos fenómenos naturales y ha expresadoeste conocimiento a
través de fórmulas que interrelacionan las magnitudes que caracterizan a dichos fenómenos; por
ejemplos: 1) Para una cierta dosis de x centímetros cúbicos de una droga la presión sanguínea
resultante P está dada por la expresión:
32
3050 x,x,B . Aquí, la presión sanguínea P depende
de la dosis de x , y podemos concluir, que la presión sanguínea P está en función de x .
2) El interés sobre una inversión de 004000,/B a razón de 40% anual está dado por la expresión:
t,I 0004400 donde t es el número de años. Entonces, el interés depende del número de años
t , y eso significa que el interés I está en función de t .
3) La ley deBoyle establece que para un gas ideal, a temperatura constante, si el volumen es de
v unidades, la presión P es igual a: v
k
P
siendo k un número fijo. En este ejemplo, la presión
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 7b
Las Funciones Reales

P del gas depende de las unidades del volumen v , y eso significa que: la presión P del gas está
en función de v .
Ejemplos como los anteriores descritos de diferentes tipos de relaciones, motivaron el origen del
concepto de función, ypor esta razón es común llamar a: x , t , v variables independientes y a P
, I , P variables dependientes respectivamente.
El mundo en que vivimos, debido al gran desarrollo actual, utiliza la tecnología más avanzada
para el análisis de las relaciones de todo tipo al igual que interpreta, valora y predice los
fenómenos que en él se manifiestan, o se pueden manifestar, a través de modelos matemáticos
que se describen con funciones.
Las palabras: funcióny relación implican la idea de una correspondencia entre los elementos de
dos conjuntos, es decir, la formación de parejas ordenadas de objetos cualesquiera: personas,
números, figuras geométricas y muchas más.
Lasfunciones1
sirven para describir fenómenos físicos, económicos, biológicos, sociológicos o,
simplemente, para expresar relaciones matemáticas.
Generalmente se hace uso de las funciones reales 2
, (aun cuando el ser humano no es
consciente de su uso), para el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otras, debido
a que se están utilizando subconjuntos de los números reales.
7b.3ALGUNOS EJEMPLOS DE FUNCIONES
Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con
funciones. Se pueden construir diferentes tipos de funciones, como por ejemplo:
1. La función que relaciona el año y la cantidad de habitantes del planeta, que se utiliza en las
estadísticas poblacionales.
2. En la industria, las funciones que expresan la producción alcanzada; por ejemplo la cantidad
de petróleo extraída en diferentes períodos de tiempo; o la cantidad de azúcar o de café que
se produce en el país, en un año.
3. En la industria farmacéutica, la cantidad de medicamentos que se producen en cada jornada
laboral.
4. La presión atmosférica es función de la altura, porque a cada altura le corresponde una
presión atmosférica.
5. El peso medio de los adolescentes depende de la edad, esa es una función, porque a cada
persona le corresponde un peso corporal, y a cada persona le corresponde su edad.
1La función es una regla matemática que asigna a cada valor de entrada un y sólo un valor de salida.
2Una función real de variable real es una aplicación BAf : con BA , R.

6. La posición de un móvil es función del tiempo, porque a cada tiempo le corresponde un
espacio recorrido (a una velocidad determinada).
7b.4CONCEPTOS FUNDAMENTALES DE UNA FUNCIÓN
El conjunto de valores posibles que puede tomar la variable independiente sellama dominio de la
función y los valores correspondientes de la variable dependienteforman el conjunto de
imágenes de la función o rango de la función.Ahora daremos algunas definiciones
importantes:
FUNCIONES:Dados dos conjuntos no vacíos A y B , llamamos función de A en B , a toda
relación que hace corresponder a cada elemento del conjunto A un elemento del conjunto B y
nada más que uno. Se anota BA:f y se lee “función del conjunto A en el conjunto B ”.
En la gráfica siguiente, se representa la función de A en B
Además, en ella, se tiene que:
f : es el operador, determinado por la formula,
regla o ley que nos permite relacionar los
elementos del conjunto A con los del conjunto B .
A : es el dominio de la función que es igual al conjunto de partida.
B : es el codominio de la función o conjunto de llegada.
C : es el Rango o recorrido de la variable que es el conjunto formado por todas las
imágenes del dominio.
DOMINIO DE UNA FUNCIÓN: Sea f , una función de A en B , llamaremos dominio de f ,
alconjunto de los elementos de A que están relacionados por f con un elemento de B .Su
notación, será: Dom ( f ) y se define así: yxByy,A,xx/f f
)(Dom
Ejemplo: Dados los conjuntos 10987654387654321 ,,,,,,,By,,,,,,,A Sea la función f ,
definida así: )10,5),(8,4),(6,3),(4,2(f el dominio de f será: 5432Dom ,,,f )(
Representamos el ejemplo con diagramas:

CODOMINIO DE UNA FUNCIÓN:Llamaremos codominio, al conjunto de llegada, al conjunto
B . Su notación, será: Cod ( f ) y se define así: By/yf )(odC En el ejemplo anterior, el
codominio será: 109876543Cod ,,,,,,,f )(
RECORRIDO O RANGO DE UNA FUNCIÓN:Llamaremos recorrido de f , al conjunto de los
elementos de B que son imágenes de los elementos de A . Su notación, será: Rec ( f ) ó Ran
( f ) y se define así: xfy/Byy,fRe )(c En el ejemplo anterior, el recorrido será:
10864c ,,,fRe )(
7b.5 FORMAS DE REPRESENTAR UNA FUNCIÓN
Una función se puede representar a través de maneras distintas, de forma: verbal (con una
descripción en palabras, o un enunciado), numérica (con una tabla de valores), visual (con una
gráfica o red de puntos), y algebraicamente (con una fórmula explícita o una ecuación).
Por ejemplos:
1. Verbal: (en un enunciado)por ejemplos: “A cada cuadrado le corresponde un área“, “a cada
alumno le corresponde una banca”, “a cada asignación le corresponde una calificación”, “a
cada artículo de un almacén, le corresponde un único precio”, “a cada automóvil le
corresponde un número de placa”, “a cada persona le corresponde un número de identidad
personal”, “a cada número le corresponde su cuadrado”, “a cada número le corresponde su
cubo”, etc.
2. Algebraica:(su expresión analítica o su fórmula o ecuación)por ejemplos:
2
lA ,
2
xxf , 14
totalespuntos
obtenidospuntos
C , .xxf 3
La expresión analítica es la forma más precisa y manejable de dar una función, pero a partir de
ella el estudio posterior y la obtención de su gráfica es una tarea minuciosa si se quiere obtener
una gráfica lo suficientemente real de la función.
3. Numérica: (a través de una tabla de valores)Por ejemplo representemos por y la distancia
en metros que una piedradesde un edificio en x minutos
tiempox 0 1 2 3
ciatandisy 0 2 4 6
El valor de la variable y depende del valor de la variable x
Los datos recogidos en esta tabla podrían representarse en un sistema cartesiano y con ello
conseguir, al menos de forma aproximada, la gráfica de la función que mide los miles de bacterias
en cada hora.
1. Visual: (un diagrama o una gráfica)es

Diagramas de Venn – Euler Una gráfica
La gráfica muestra la función representada por la cotización en bolsa de un determinado producto
en los primeros 10 días en que se sacó a la bolsa. Como mejor podemos apreciar el
comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica, por eso, siempre
nos será de mucha utilidad conseguir representar la función si no nos la dan ya representada.
La variable independiente sería el tiempo en días y la variable dependiente el valor de cotización
del producto en miles de Balboas.
Cuando una función se presenta en forma gráfica su dominio corresponde al intervalo del eje X
donde la función comienza hasta donde termina.
En este ejemplo, el dominio de la función sería el
intervalo comprendido entre - 3 y 5, lo que se
escribe así: 53,fDom )( , con los corchetes van
hacia adentro, o sea cerrado, ya que esto indica que los
valores - 3 y 5 son parte del dominio. El
codominio o recorrido sería el intervalo
comprendido entre -1 y 3, esto lo escribimos, así:
31,fCod )(
En este ejemplo el dominio son todos los números
reales (R) ya que la gráfica tiene flechas a cada
esquina lo que muestra que la gráfica es continua,
pero hay un tramo que no tiene grafica el tramo
entre el 0 y el 2 por lo que este intervalo no es
parte del dominio. )( fDom R 20,

El codominio o recorrido sería en este caso desde
el -1 hasta el infinito positivo (ya que la gráfica
nunca termina y se extiende para el lado positivo
del eje X ) )( fCod ,1
En conclusión el dominio es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente de
tal forma que la función quede completamente definida, el codominio es el conjunto de valores
que, dependiendo de los valores de la variable x , puede tomar la función. El codominio o rango
de la función se puede determinar, también, utilizando la representación gráfica de la función.
Sean A y B dos conjuntos no vacíos.
Una función f de A en B ( BAf : ) es un conjunto de
pares ordenados tal que todos los elementos de A debe
tener un único elemento en B .
Por ejemplo: 13
xy
En donde x es la variable independiente y la y es la
variable dependiente.
fyxxfDom ,/ y
fyxyfCod ,/
ByAxyxf /, Entonces 65,4;28,3;9,2;2,1f
7b.6 LA NOTACIÓN FUNCIONAL
Con frecuencia es necesario representar las funciones por medio de símbolo de tal modo que
cuando ésta es nombrada sabemos a qué función nos referimos. El símbolo más usual para
representar una función es la letra f , y el símbolo xf se usa para representar el elemento
asociado a x que se lee “efe de equis”; algunas veces se dice que xf es el valor de f en x .
También, es costumbre escribir la terna BAf ,, por BAf : o bien BAf
f
: tal que ,Aa
:! Bb baf . Y las expresiones: BAf : o bien BAf
f
: Se leen: “Función de A en B
”.
Gráficamente, tenemos:
No deben confundirse los símbolos f y xf ; f
representa la función no está ni en eldominio x ni en
el rango y . Sin embargo xf es un elemento de y .

7b.7ORIENTACIONES PARA IDENTIFICAR UNA FUNCIÓN
1. Analiza si lo que aparece indicado es una correspondencia de un conjunto X en un conjunto
Y .
2. Determina si para cada elemento del conjunto X le corresponde un único elemento del
conjunto Y .
Un ejemplo donde se establece la relación entre un número y su respectivo cuadrado, utilizando
la regla de correspondencia es: 2
xy o bien 2
xxf . El dominio de esta función es
2,1,0,1,2A de manera que las imágenes de los elementos del A se obtienen o expresan
como sigue: 4,1,0B
422
2
f y se lee: “cuatro es la imagen de menos dos”
111
2
f y se lee: “uno es la imagen de menos uno”
000
2
f y se lee: “cero es la imagen de cero”
111
2
f y se lee: “uno es la imagen de uno”
422
2
f y se lee: “cuatro es la imagen de dos”
7b.8VALOR DE UNA FUNCIÓN
La notación para las funciones xfy ; tiene su ventaja porque permite identificar claramente la
variable dependiente como xf ; al mismo tiempo que nos indica que x es la variable
independiente y que la propia función se denota así: “ f ”.
La expresión: xf se lee: “efe de equis” y nos facilita ahorrar palabras cuando buscamos el
valor de la función, ya que en lugar de pedir “el valor de y ” que corresponde a 1x , podemos
decir “hallar 1f ”, es decir, “hallar efe de uno”.
Para evaluar una función, escrita en forma de función, debemos generalmente aislar la variable
dependiente en la parte izquierda de la ecuación, por ejemplo: en 32yx , quedará así:
xy 32 entonces
2
3 x
y . Utilizando la notación de función será:
2
3 x
xf ésta notación
tiene una ventaja, porque facilita identificar claramente la variable dependiente xf y la variable
independiente x .
Evaluar numéricamente la función 12xxf y en vez de pedir el valor de y que corresponde a:
3x , podemos decir “hallar 3f ”, quedando así:
163
1323
12
)(f
)(f
x)x(f

53)(f
Observación:Evaluar numéricamente una función es encontrar el valor de la función
para un valor numérico de sus variables. Para realizar la evaluación se sustituye el
valor numérico en cualquier parte de la función en que aparezca la variable y se
realizan las operaciones aritméticas necesarias.
Por ejemplos:
1) Dada 18911)( 234
xxxxxf , evaluar o hallar 4f y 1f .
Solución:
1264
2123384
1836176642564
18361611642564
1849411444
18911
234
234
f
f
f
f
f
xxxxxf
151
12281
18911111
1819111111
1819111111
18911
234
234
f
f
f
f
f
xxxxxf
2) Dada 4)( 2
xxg , Hallar a) 1g , b) 0g , c) ag 3 , d) 1ag , e) xg 2 , f) 2ag , g)
hxg , h) 0h
h
xghxg
, i) 0
2
12222
h
h
xgxghxg
.
Solución:
a) 541411
2
g b) 440400 2
g c) 49433 22
aaag
d) 52412411 222
aaaaaag e) 44422 22
xxxg
f) 84444422 222
aaaaaag
g) 42424 22222
hxhxhxhxhxhxg
hx
h
hxh
h
hxh
h
xhxhx
h
xhxhx
h
xghxg
2
2
2442442 2222222
h)
hx
h
hxh
h
hxh
h
xxhxhx
h
xxhxhx
h
xgxghxg
2
2
22
2
24
2
2144828242
2
124442422
2
12222
22222
2222
i)

3) Dada 53)( xxh , Hallar a) 1h , b) 0h , c) 1h , d) 2h , e) xh 2 , f) 2h , g) dxh , h)
ah 3 , i) 1ah , j) 0d
d
xhdxh
, k) 0
3
22
h
d
xhdxh
Solución:
a) 2535131h b) 5505030h
c) 8535131h d) 1565232h
e) 565232 xxxh f) 11565232h
g) 53353 dxdxdxh h) 595333 aaah
i) 835335131 aaaah
j) 3
35353353533
d
d
d
xdx
d
xdx
d
xhdxh
k) 2
3
6
3
1061066
3
5325332
3
22
d
d
d
xdx
d
xdx
d
xhdxh
7b.9FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
La Función Real es aquella función cuyo dominio y codominio(o recorrido) son
subconjuntos del conjunto de los números reales, tal que a cada elemento x de D le
corresponde uno y sólo un elemento y de R : RDf :
yxfx ; x dela variable independiente y y la variable dependiente.
Una función real de variable real f es una aplicación: RRf : o bien de D en R ,
RDf : siendo D un subconjunto de R distinto del conjunto vacío D .
Al conjunto D se le denomina dominio de la función f . Llamaremos fCod ó fIm o recorrido
de f al conjunto siguiente: DxRxf ; .Evidentemente se verifica RfIm . Además, una
función f queda determinada conociendo su dominio y su criterio de asignación de imágenes.
Sin embargo, en la práctica, al referirnos a una función, en muchas ocasiones indicamos
exclusivamente cuál es su criterio de asignación de imágenes. Cuando esto suceda, es decir
cuando al referirnos a una función no se indique cuál es su dominio, consideraremos que éste es
el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación de imágenes indicado. Por
ejemplo, si consideramos la función 452
xxxf y no mencionamos su dominio, éste será
el más amplio posible, de acuerdo con el criterio de asignación citado. Es decir, estará formado
por todos los números reales tales que sustituidos en la x hacen que 452
xx sea un número
real. Por tanto el dominio de f será el siguiente conjunto: ,, 41
Observación:Las funciones reales de variable real se suelen representar en el plano,
utilizando un sistema de referencia.

7b.10 COMO QUEDA DEFINIDA UNA FUNCIÓN REAL
Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
El conjunto inicial o dominio de la función.
El conjunto final o imagen de la función.
La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del
conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por: Rrf :
2
xx Asigna a cada número real su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado
cualquier número real x , siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro
número real.
Tiene por conjunto imagen todos los números reales positivos, puesto que el cuadrado de
un número siempre es positivo: RfIm
La regla de asignación es “dado cualquier número real x , calcular su cuadrado para
obtener la imagen”.
7b.11EJEMPLOS DE HALLAR EL DOMINIO O CAMPO DE EXISTENCIA DE UNA FUNCIÓN
Sea xfy una función. Llamamos dominio (o campo de existencia) de la función al conjunto
de todos los valores x para los cuales xfy esté definida (sea un número real). Se le suele
escribir con la letra mayúscula D o simplemente: Dom
Para el cálculo del dominio de una función dada por su fórmula, hemos de tener en cuenta que:
1. No es posible la división por cero (0).
2. No es posible extraer raíces cuadradas, cuartas, sextas, etc., cuando el radicando es
negativo (pero sí es posible la raíz, cuando el índice es impar).
3. No es posible calcular el logaritmo de un número negativo, ni tampoco de cero (0).
Por ejemplos:
1. Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por:
2
1
x
xf
Solución:La función será un número real, si el valorde la expresión
2
1
x
está definida para
todos los números reales, salvo para aquellos que anulen el denominador, puesto que la
expresión
0
1
no es un número real. El denominador 2x se anula cuando 2x . Por tanto,
el campo de existencia de la función es 2. REC . Y su representación mediante
intervalos es ,22,fDom .

2. Hallar el dominio o campo de existencia de la función f definida por:
4
1
2
x
xf
Solución:La función xf sólo será un número real sí 42
x , no es cero (o). Resolviendo la
ecuación 2404 22
xxx que son los valores que anulan al denominador.
Por tanto el dominio es 2,2RD .
3. Hallar el dominio o campo de existencia de la función g definida por: 93xxg
Solución:La función xg está definida sólo cuando sí 93x , es mayor o igual que cero (o).
Resolviendo la ecuación 393093 xxx de donde deducimos que el
dominio es ,3gDom .
4. Hallar el dominio o campo de existencia de la función h definida por: xxxh 11
Solución:La función xh está definida para aquellos Rx , que hagan los dos radicandos no
negativos: 1110101 xxyxxyx Por tanto el dominio de la
función está formado únicamente por 1hDom .
5. Hallar el dominio o campo de existencia de la función p definida por:
6
1
2
xx
xp
Solución:el valor de la expresión:
6
1
2
xx
está definida cuando el denominador no se
anula. Resolviendo:
2
3
2
251
2
2411
06
2
1
2
x
xxxxx
Por tanto, el campo de existencia de la función pertenecen todos los números reales excepto
el 3 y el -2, así: 3,2R y su representación mediante intervalos es
,33,22,pDom .
7b.12TIPOS DE FUNCIONES
En los ejemplos tratados de funciones, observamos ciertas características que las hacen
distinguirse unas de las otras. Por ejemplo: a elementos diferentes del dominio le corresponden
diferentes imágenes, y a cada elemento del codominio es imagen de por lo menos un elemento
del dominio, o la combinación de ambas características. Esto nos indica que existen varios tipos
de funciones: inyectiva, sobreyectiva,biyectivay la función inversa.
1. Función inyectiva:una función BAf : es inyectivasi ba, de A
implica que bfaf o lo que es lo mismo, sí babfaf )()( .
Dicho en otras palabras, una función es inyectiva si cada elemento del
codominio es imagen de, cuando más, un elemento del dominio.

A la función inyectiva también se le llama “función uno a uno”. Un ejemplo de función
inyectiva, es el que se muestra en el diagrama de la derecha.
Otros ejemplos:
a) Comprobemos que la función: 43xxf es inyectiva
Solución: debemos verificar si f es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola
imagen (codominio). Entonces eso implica que: bfaf
O sea: 4343 ba , ahora si restamos - 4 a ambos lados de la expresión, quedará: ba 33
luego si dividimos por 3, nos resultará: ba , es decir, f es inyectiva.
Observación:para que una función sea inyectiva, se debe demostrar que si dos
imágenes son iguales, las preimágenes también deben serlo. Para ello, la incógnita xse
reemplaza por una “ a ” y esta se iguala a la misma función, y luego la incógnita es
sustituida por una “b”. Después se despejan las nuevas incógnitas y si éstas son iguales,
como en este caso sucede, se concluye que la función es inyectiva.
b) Comprobemos que la función: 12
xxg es inyectiva
Solución: debemos verificar si g es inyectiva, porque cada preimagen (dominio) tiene una sola
imagen (codominio). Entonces eso implica que: bgag
O sea: 11 22
ba , ahora si sumamos 1 a ambos lados de la expresión, quedará:
22
ba
luego si pasamos los términos al miembro izquierdo, nos resultará: 022
ba , entonces se
trata de una diferencia de cuadrados, 0baba en donde, 0ba y 0ba , lo
cual implica que: ba y ba lo cual concluimos que g no es inyectiva.
Observación: aquí se realiza el mismo procedimiento anteriormente explicado, pero en este
caso las preimágenes tienen diferentes imágenes, por lo tanto la función “ g ” no es inyectiva.
2. Función sobreyectiva:una función BAf : es sobreyectivaosuprayectiva, si y sólo si
AaBb , tal que: baf , es decir, el codominio (recorrido) de Bf ó Baf , o
sea, una función es epiyectiva si y solo si su recorrido corresponde a todos los números
reales.
A la función sobreyectiva también se le llama “función sobre o
función epiyectiva”. Un ejemplo de función sobreyectiva, es el
diagrama, de la derecha.
Otros ejemplos:
a. Comprobemos que la función zcxbyaf ,;,;, es una función
epiyectiva o sobreyectiva. En efecto, si lo es, ya que el codominio, o rango, o imagen, o

recorrido son todos los elementos del conjunto de llegada, es decir las imágenes son:
zyxfCod ,,
b. En el siguiente diagrama, el recorrido es: zxfCod , , entonces f
no es sobreyectiva.
c. La función
2
xxf no es una función sobreyectiva, porque su recorrido
ésta definido por ,0fCod
d. La función
3
xxg es una función sobreyectiva, porque su recorrido ésta definido por
,gCod
3. Función biyectiva:una función BAf : es biyectiva,si y sólo si es
inyectiva y sobreyectiva a la vez. A la función biyectiva también se le
llama “función biunívoca”.Un ejemplo de función biyectiva, es el
diagrama, de la derecha
Las funciones biyectivas son aquellas que cumplen con ser inyectivas y
sobreyectivas simultáneamente.
Por ejemplos:
a. La función
3
xxf es una función biyectiva.
b. La función 3xxg es una función biyectiva.
c. Todas las funciones lineales son biyectivas.
4. Función Inversa:sea la función BAf : . Su inversa se designa por ABf :1
y se
define por: yxfByAxxyf ,/,1
Observación: una función tiene inversa o es invertible si su inversa también es una función.
Ejemplos:
a) Sean hedcbaA ,,,,, , 4,3,2,1B , se define f como: 2af , 1bf , 2cf ,
2df , 4ef y 4hf , entonces:
4,,4,,2,,2,,1,,2, hedcbaf
hedcbaxf ,4,,4,,2,,2,,1,,21
Observación:Para que
1
f sea función debe suceder que f sea biyectiva. O sea, una
función posee inversa solo si es biyectiva.
b) Sean cbaA ,, , rnmB ,, , se define f como: maf , nbf , rcf ,
entonces es invertible, ya que: amf , bnf , crf , rcnbmaf ,,,,, y

crbnamxf ,,,,,1
lo cual demuestra que ABf :1
es también una función,
luego f es biyectiva si y sólo si es invertible.
Observación:Si BAf : es invertible, entonces yfxxfy 1
.
c) Sea la función real 23xxf
Para encontrar
1
f se hace yxf . Esto es: yx 23 , para luego despejar “ x”:
Así la función inversa es: 23 yx
3
2y
x
Luego, sustituyendo “ y ” por “ x”, se tiene:
3
21 x
xf
d) Sea la función real 23xxg , encuentre
1
g y represente gráficamente g y
1
g en un
mismo sistema de coordenadas.
Solución: primero hallaremos a
1
g despejando a “ x”en la ecuación 23xy así:
23 yx
3
2y
x
Luego, intercambiamos las variables:
3
2x
y por lo tanto
3
21 x
xg es la función inversa
de 23xxg
Observe en el gráfico siguiente que las curvas de g y
1
g son simétricas respecto a la bisectriz
del primer cuadrante.
7b.13CARACTERÍSTICAS GLOBALES E IMPORTANTES DE LAS FUNCIONES
Cuando nos referimos a los aspectos globales de una función, estamos hablando de las
siguientes características: su dominio, codominio (contradominio, “rango o imagen”), sus
puntos de intersección con los ejes de coordenados, su curvatura, sus puntos de inflexión,

su continuidad, su monotonía, sus máximos y mínimos, su periodicidad, su simetría y sus
tendencias.
1. Ceros de una función:son los valores de x
que hacen que y sea cero. Los ceros de una
función f son las soluciones de la ecuación
0xf . En la representación gráfica de una
función, son los valores donde la curva “corta
o toca o intercepta” al eje de las X . Si en la
gráfica de una función f , se corta al eje X en el punto 0,a , entonces ase denomina un
cero de f . En la gráfica, los valores -2, 0, 3 y 5 son ceros de la función.
2. Simetría: una función es paró simétricarespecto del eje Y sí xfxf .Una función es
simétrica respecto del eje Y cuando al plegarla por dicho eje el dibujo se superpone, es decir,
a cada valor de '' x'' y '' x'' le corresponde el mismo valor de '' y ''.
Una función es imparó simétricarespecto del
origensí xfxf .Una función es
simétrica respecto al origen de coordenadas
0,0 cuando al plegarla primero sobre un
eje y luego sobre el otro, la gráfica se
superpone, es decir, al valor de '' x '' le
corresponde '' y '', y al valor de '' x '' le
corresponde '' y''.
Una función que no es par ni impar se dice que es no simétrica.
Dos funciones f y g son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante si son
funciones recíprocas, es decir: xf y xfxg 1
.
3. Continuidad:una función es
continuacuando se puede dibujar sin
levantar el lápiz del papel, o dicho de
otra forma, la variable independiente
(la “ x ”) puede tomar cualquier valor
numérico. En caso contrario se dice
que es discontinua.

4. Periodicidad:una función es periódica si su gráfica muestra un comportamiento en la que se
repite cada vez que la variable independiente “ x” recorre un cierto intervalo. A la longitud de ese
intervalo, se llama período.
5. Tendencia: la palabra tendencia en Matemática significa aproximarse progresivamente a
un valor determinado, sin llegar nunca a alcanzarlo. Este término se usa para referirse a
variables o a funciones (según el comportamiento de su gráfica). Hay funciones en las que,
aunque solo conozcamos un trozo de ellas, podemos predecir cómo se comportarán lejos del
intervalo en que han sido
estudiadas, porque tienen
ramascon una tendenciamuy
clara. Estas ramas reciben el
nombre de asíntotas. Existen
tres tipo de asíntotas: Las
asíntotas verticales: ax , las
asíntotas horizontales: by y las asíntotas oblicuas: nmxy
6. Curvatura y puntos de inflexión:una
función es cóncava si su gráfica queda por
encima de las rectas tangentes a cada uno de
sus puntos.Una función es convexa si su
gráfica queda por debajo de las rectas
tangentes a cada uno de sus puntos.
Pero las funciones no siempre son cóncavas o convexas, sino
que tendrán tramos de una clase y de otra. Los puntos del
dominio donde la función cambia de curvatura, es decir, pasa de
cóncava a convexa o de convexa a cóncava, se les conoce como
puntos de inflexión.

7. Monotonía (Crecimiento y decrecimiento):una
función es monótona creciente cuando a medida que
aumentan los valores de '' x'',aumentan los valores
de '' y ''.
Una función es monótona decreciente cuando a
medida que aumentan los valores de '' x '',
disminuyen los valores de '' y ''.
8. Máximos y mínimos
Máximos:una función
presenta un máximo
absoluto en un punto
cuando es el valor más
alto de su representación
gráfica. Este punto debe
de ser del dominio.
Una función presenta un máximo relativo o máximo localen un punto cuando en dicho punto la
función pasa de creciente a decreciente. Este punto debe de ser del dominio.
Mínimos:una función presenta unmínimo absoluto en un punto cuando es el valor más bajo de
su representación gráfica.Este punto debe de ser del dominio.
Una función presenta un mínimo relativo o mínimo localen un punto cuando en dicho punto la
función pasa de decreciente a creciente. Este punto debe de ser del dominio.

Unidad n°7 b las funciones (continuación), 12° 2013

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