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CÁLCULO DIFERENCIAL
Ing. Julio Villavicencio, Msc.
FUNCIONES
UNIDAD 1
FUNCIONES DE VARIABLE REAL
TEMA 1

SUBTEMAS
 Subtema 1: Dominio y Rango.
 Subtema 2: Notación de Funciones.
 Subtema 3: Tipos de Funciones.

OBJETIVO
Identificar, graficar y operar con los diversos tipos de funciones de
variable real, relacionándolos con sus características.

ACTIVIDAD DE INICIO
Sres. Estudiantes, para comenzar la Unidad 1 del Tema 1: Funciones de
Variable Real de la asignatura de Cálculo Diferencial, por favor realizar el
siguiente cuestionario, que se encuentra en el link:
https://forms.gle/Gr8c5UW4UruQCTmv7
Fuente: https://encrypted-
tbn0.gstatic.com/images?q=tbn
:ANd9GcS9g47kOqQ22HkfZ4
hOTJM1Wmc-
WndTzIp33g&usqp=CAU

SUBTEMA 1: DOMINIO Y RANGO
Definición de Función.
Una función es una relación entre dos conjuntos en la que, a cada valor del
primer conjunto, denominado dominio, le corresponde un único valor del
segundo conjunto, denominado rango.
Figura 1. Representación de una función
de variable real.
Fuente: Compendio de Cálculo
Diferencial de la UNEMI

Representación Gráfica de una Función.
Una función comúnmente se la representa en un plano cartesiano.
Figura 2. Función representada en el plano cartesiano.
Fuente: (Fundamentos de matemáticas, 2006).

Criterio de la Recta Vertical.
Se puede verificar cuando una gráfica representa una función y cuando no lo
es, según el criterio de la recta vertical:
Figura 3. Criterio de la Recta Vertical.

Dominio de una Función.
El dominio de una función lo constituyen los valores posibles de x, estos
valores serán aquellos para los cuales la expresión y = f(x)está definida en
los reales.
Figura 4. Dominio de una Función.

Restricciones Para el Cálculo del Dominio de una
Función.
1.- Si f(x) contiene un cociente, este no existe si el denominador se hace
cero, por lo que se deben excluir del dominio aquellos valores de que
provocan esta situación.
𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 1
𝑥 − 3
El cociente no debe ser cero, entonces: x – 3 ≠ 0
Por lo tanto x ≠ 3
El Dom f = (-∞,3) U (3,∞)

Restricciones Para el Cálculo del Dominio de una
Función.
2.- Si f(x) contiene una raíz de índice par, esta existirá sólo si el radicando es
positivo o cero.
El Dom f =(4,∞)
Ejemplo: f(x)= (𝑥 − 4)
Entonces: x - 4 ≥ 0
x ≥ 4

Rango de una Función.
Llamado conjunto imagen o simplemente imagen de la misma, es el conjunto
de valores que toma la propia función, es decir, el conjunto de valores que se
obtienen como salida al aplicar la función sobre los elementos del dominio.
Este conjunto se representa simbólicamente por rgf
Figura 5. Rango de una Función.

Método para calcular la Imagen de una Función.
1.- Despejar algebraicamente la variable x en la función.
2.- El rango será el conjunto de valores que puede tomar la variable y , una
vez despejada la variable x .
𝑓 𝑥 =
𝑥 + 1
𝑥
𝑦 =
𝑥 + 1
𝑥
xy = x+1
𝑥𝑦 − 𝑥 = 1
𝑥 𝑦 − 1 = 1
𝑥 =
1
𝑦 − 1
Por lo tanto:
𝑦 − 1 ≠ 0
Entonces:
𝑦 ≠ 1
rgf = (-∞,1)U(1,∞)

SUBTEMA 2: NOTACIÓN DE FUNCIONES
Notación de una Función.
La notación de funciones permite diferenciar la variable dependiente de la
independiente , y se expresa de la siguiente manera: f(x) = x2 + 3
Donde f representa el nombre de la función (puede usarse cualquier otra
letra, pero por norma se denota con la letra f )
𝑓 𝑥 = 2𝑥
𝑔 𝑥 =
2𝑥
1 − 𝑥
ℎ 𝑥 =
3
𝑥 + 2

Notación de una Función.
Figura 6. Máquina de funciones.
Fuente: Elaboración del autor.

Representación Verbal de una Función.
La función se puede expresar como un texto, en la cual se describe la
relación de forma detallada.
Ejemplos:
P(t) es la población humana del mundo en el tiempo . Vamos a medir , así
que t = 0 se corresponde con el año 1900.
C(w) el costo de envío por correo de un paquete con peso w .

Representación Numérica de una Función.
Se puede realizar una tabla donde se muestre que a cada valor de x le
corresponde uno de y; mediante la tabla de valores se puede trazar una
gráfica.
Figura 7. Tabla de valores.
Fuente: Compendio Cálculo Diferencial de la UNEMI

Representación Gráfica de una Función.
Se muestra mediante una gráfica en el plano cartesiano
Figura 8. Representación gráfica.
Fuente: Compendio de Cálculo Diferencial de la UNEMI.

SUBTEMA 3: TIPOS DE FUNCIONES
Función Polinómica.
Son aquellas funciones formadas por polinomios, donde el grado del
polinomio lo determina el mayor exponente de la variable. Su fórmula
general es:
Donde n es un número positivo y a es una constante real. El dominio de
cualquier función polinomial es:

Grado Función Polinomial
1 f(x) = mx + b
2 g(x) = ax2 + bx + c
3 h(x) = ax3 + bx2 + cx + d

Figura 9. Función lineal.
Fuente: Compendio del Cálculo
Diferencial de la UNEMI.
Figura 10. Función cuadrática.
Figura 11. Función cúbica.

Función Racional.
Una función racional es un cociente de dos funciones polinomiales:
Donde P y Q pueden ser polinomiales, logarítmicas o trigonométricas.
El dominio consiste en todos los valores de x tales que Q(x) ≠ 0 , ya
que en ese punto la función será discontinua y habrá una asíntota.

Función Racional.
Una función racional es un cociente de dos funciones polinomiales:
Figura 12. Función racional.
Fuente: (Ignacio Mateos Wolff, 2010)
http://bit.ly/2X1fiHi

Propiedades de la Función Racional.
 Toda función racional tiene asíntotas.
 El rango de una función racional será (-∞,∞) .

Dominio de la Función Racional.
Se debe de seguir los siguientes pasos:
1. Se analiza cada función por separado.
2. Se despeja cada ecuación y se iguala a cero.
3. Se intersectan los valores en caso de haber restricciones en ambas
ecuaciones.

Dominio de la Función Racional.
Calcular el dominio de la siguiente función racional:

Función Irracional.
Las funciones irracionales son aquellas cuya expresión matemática presenta
un radical:
𝑓 𝑥 =
𝑛
𝑔(𝑥)
Si el índice del radical no es par, el dominio de la función estará dado por los
valores en los que g(x) es mayor o igual que cero.

Función Irracional.
Figura 13. Función irracional.
Fuente: Compendio Cálculo Diferencial de la UNEMI

Dominio de una Función Irracional.
1. El radical será igual o mayor que cero.
2. Se iguala el interior de la raíz (radicando) a cero y se determina el
dominio.

Dominio de la Función Irracional.
Calcular el dominio de la siguiente función irracional:

Funciones Trigonométricas.
Estas funciones son razones trigonométricas, es decir la división entre dos
lados de un triángulo rectángulo respecto a sus ángulos.
Figura 14. Círculo unitario.
Fuente: (Garret Eugene Sobczyk, s.f.)
http://bit.ly/2Hs4NHw

Función Seno.
La función seno se denota f(x) = sen x , con dom f = (-∞,∞) y rg f = −1,1
Figura 15. Función seno.
Fuente: (Varsity Tutors, s.f.)
http://bit.ly/2VEA7qm

Función Coseno.
La función coseno se denota f(x) = cos x , con dom f = (-∞,∞) y rg f =
−1,1
Figura 16. Función coseno.

Función Tangente.
La función tangente se denota f(x) = tan x , con dom f = (-∞,∞); excepto los
valores donde el cos x = 0. El rg f = (-∞,∞)
Figura 17. Función tangente.

Función Secante.
La función secante se denota f(x) = sec x , con dom f = (-∞,∞); excepto los
valores donde el cos x = 0. El rg f = −∞, −1 U ⌈1, ∞)
Figura 18. Función secante.

Función Cosecante.
La función cosecante se denota f(x) = csc x , con dom f = (-∞,∞); excepto los
valores donde el sen x = 0. El rg f = −∞, −1 U ⌈1, ∞)
Figura 19. Función cosecante.

Función Cotangente.
La función cotangente se denota f(x) = cot x , con dom f = (-∞,∞); excepto
los valores donde el sen x = 0. El rg f = (-∞, ∞)
Figura 20. Función cotangente.

Función Exponencial.
Una función exponencial se define de manera general como f(x) = ax , donde
a es la base de la función y es una constante positiva.
Figura 21. Función exponencial base .
Fuente: (Universo Formulas, s.f.)
http://bit.ly/2EiRuXS

Función Exponencial de base e.
Una función exponencial de base e se define de manera general como f(x) =
ex , donde e es la base de la función y tiene un valor aproximado de 2.718.
Figura 22. Función exponencial base .

Función Logarítmica.
La función logarítmica se define como y = loga (x) donde a es la base de la
función y una constante positiva.
Figura 23. Función logarítmica base .

Función Logaritmo Natural.
Una función logarítmica tiene la forma f(x) = ln x , con dom f = (0,∞) y
rg f = (-∞, ∞) .
Figura 24. Función logarítmica natural.
Fuente: http://bit.ly/30xDgfk

Dominio de una Función Logarítmica.
1. Se toma en consideración sólo el argumento de la función logarítmica.
2. La función se iguala a cero.
3. Posteriormente se obtienen las soluciones de la ecuación.
4. Y el dominio de la función Logarítmica será igual o mayor que los
valores obtenidos.

Dominio de una Función Logarítmica.
Calcular el dominio de la siguiente función logarítmica:

ACTIVIDAD DE CIERRE
Sres. Estudiantes, realizar la siguiente prueba, que se encuentra en el
siguiente link:
https://quizizz.com/join?gc=00577670

BIBLIOGRAFÍA
1. Instituto de Ciencias Matemáticas. (2006). Fundamentos de matemáticas.
Ecuador: ICM-ESPOL.
2. C. A. (29 de 4 de 2019). Laplacianos. Obtenido de
https://laplacianos.com/limitesunilaterales/
3. Gil Sevilla, J., & Díaz Téllez, R. (2013). Cálculo diferencial: para cursos
con enfoque por competencias. México: Pearson educación de México, S.A.
4. Purcell, E., Varberg, D., & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e integral.
México: Pearson Educación.
5. Stewart, J. (2012). Cáculo de una variable. Trascendentes tempranas.
México: Cengage Learning.

BIBLIOGRAFÍA
5. Mateos Wolff, I. (2010). Departamento de matemática aplicada. Obtenido
de
http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/
estudio_funciones/asintvert.html
6. Sobczyk, G. E. (s.f.). ResearchGate. Obtenido de
https://www.researchgate.net/figure/El-circulo-unitario-S-1-en-el-plano-xy-
Calculando-entonces-el-producto-geometrico-de-dos_fig9_322927190
7. Universo fórmulas. (s.f.). Obtenido de
https://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-
logaritmica/
8. Varsity Tutors. (2007-2019). Obtenido de
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/trigono
metricfunctions

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