Proyecto de aula matemática (Operaciones de Conjuntos)

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZO
`
UNIDAD DE NIVELACIÓN
AREA DE EDUCACION Y SERVICIOS
MATEMÁTICA
ESTUDIANTES:
 Santiago Arguello
 Paola Mejía
 Katherine Rojas
 Vanessa Soto
DOCENTE:
Ing. Paulina Robalino
TEMA:
Operaciones de Conjuntos
PARALELO:
EM2
SEGUNDO PERIODO 2015

OPERACIONES DE CONJUNTOS Página 2
1. INTRODUCCIÓN
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades y
relaciones de los conjuntos. La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de
agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras
ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir
la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna
característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.
Los conjuntos se designan, habitualmente, por letras latinas mayúsculas: A, B,... y los
elementos por letras latinas minúsculas. Al conjunto que carece de elementos se le denomina
conjunto vacío y se denota por ∅.
Para realizar este trabajo se tomó en consideración que las operaciones entre conjuntos son
las disposiciones específicas de combinar conjuntos para formar otros, de semejante
estructura.

2. OBJETIVO
2.1 Objetivo General
 Determinar la eficiencia, empleo e importancia de operaciones entre conjuntos,
analizando su comprensión y solución de problemas matemáticos mediante los
mismos, guiándose también en el estudio de la unión, intersección, diferencia,
complementación, diferencia simétrica y problemas de aplicación de conjuntos.
2.2 Objetivo Específico
 Conocer su definición y las distintas formas de expresar un conjunto en las
operaciones entre conjuntos.
 Definir cada una de las operaciones entre conjuntos conociendo también sus
propiedades respectivas en el caso de unión e intersección de conjuntos.
 Interpretar correctamente la notación simbólica en la definición de conjuntos.
 Representar conjuntos en Diagramas de Venn.
 Realizar operaciones entre conjuntos (unión, intersección, diferencia y diferencia
simétrica).
 Usar y aplicar las operaciones entre conjuntos en la vida diaria y ámbito educativo
para una mejor comprensión del tema.

3. JUSTIFICACIÓN
Las operaciones de conjuntos tienen como finalidad proveer a los estudiantes, porque de
esta manera lo aplican no solo de una manera académica, sino en si, en la vida cotidiana. En el
mundo de los números, de la matemática y de la teoría de conjuntos, se puede notar el
comportamiento de las operaciones básicas que nos hallamos poniendo en práctica día a día.
Se realizo este trabajo con el propósito de saber que la teoría de conjuntos sirve para
optimizar procesos (entre una infinidad mas de cosas) ya que con un buen análisis se puede
detectar redundancias y se puede simplificar las operaciones realizadas por ejemplo
supongamos que en una fabrica que tiene un "conjunto" llamado empaque y un "conjunto"
llamado revisión de calidad pero resulta que por algún error al momento de definir los
conjuntos resulta que en empaque revisan algún detalle de calidad que en el conjunto anterior
ya revisaron con los conjuntos se podría notar fácilmente que hay repetición de datos o en este
caso de operaciones, aunque el ejemplo es bastante burdo ejemplifica una posible forma de ver
los conjuntos, eso si se necesita de un buen análisis matemático para poder abstraer la realidad
y ponerla en la forma de conjuntos.

4. DESARROLLO
4.1 UNIÓN O REUNIÓN
Unión o reunión de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a
"A", a "B" o a ambos, se simboliza por: A(B; y se lee: "A unión B"
Por comprensión:
Figura 1
Tema: unión de conjuntos
Gráficamente, la unión de conjuntos se representa, en un diagrama de Venn-Euler,
achurando la zona donde se encuentran los diversos elementos que pertenecen a los conjuntos
que van a formar la unión o reunión. (Garcia, 2007)
Figura 2
Tema: Unión de conjuntos

Ejemplo 1:
Figura 3
Tema: unión de conjuntos
Propiedades de la Unión de conjuntos
Figura 4
Tema: Propiedades de la unión de conjuntos

Ejemplo 2:
1. A={a, b, c, d} y B = {d, e, f} , AUB = {a, b, c, d, e, f}
Figura 5
Tema: ejemplo unión de conjuntos
2. A={Juan, Pedro Pablo}, B={María, Martha, Juana}; AUB={Juan, Pedro Pablo,
María, Martha, Juana}
Figura 6
Tema: ejemplo unión de conjuntos
4.2 INTERSECCION DE CONJUNTOS
Intersección de los conjuntos A y B es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a
"A" y a "B". Está formado por elementos comunes a los conjuntos que forman la
intersección. Se simboliza por A(B y se lee: A intersección B. (Garcia, 2007)
A
B
C
D
E
F
Juan
Pedro
Pablo
María
Martha
Juana

Figura 7
Tema: intersección de conjuntos
Gráficamente, la respuesta es la zona sombreada que contiene a los elementos que
pertenecen a ambos conjuntos.
Figura 8
Tema: Intersección de conjuntos
Propiedades de la intersección de conjuntos
Figura 9
Tema: Propiedades de intersección de conjuntos

Ejemplos:
1. Encontrar la intersección
Sea A = {1 naranja, 1 piña, 1 plátano, 1 manzana} y
B = {1 cuchara, 1 naranja, 1 cuchillo, 1 tenedor, 1 manzana}
A Ç B = {1 naranja, 1 manzana}
Figura 10
Tema: ejemplo de intersección de conjuntos
2. Encuentre la intersección de A y B.
A = {b, 1, 2, 4, 6} y B = {4, a, b, c, d, f}
A Ç B = {4, b}
Figura 11
Tema: ejemplo de intersección de conjuntos
Naranja
Manzana
Piña
Plátano
Cuchara
Cuchillo
Tenedor
1
2
6
A
C
D
F
4
B
C
u
c
hi
ll
o
T
e

4.3 DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Diferencia entre los conjuntos "A" y "B", es el conjunto de elementos "x" que pertenecen a
"A" pero no a "B", se simboliza por "A( B". (Garcia, 2007)
Ejemplo:
Sean los conjuntos.
A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} y el conjunto universal, el conjunto de Números Naturales.
Figura 12
Tema: Diferencia de conjuntos
En el diagrama, la parte achurada, representa: "A(B"
Figura 13
a. Si el conjunto universal, esta formado por los números naturales la diferencia será:

Figura 14
Ejemplos:
1. A={a, b, c, d} y B = {d, e, f} , A-B = {a, b, c}
Figura 15
Tema: ejemplo de diferencia de conjuntos
2. A= {Juan, Pedro Pablo}, B={María, Martha, Juana}; B-A={Juan, Pedro Pablo, María,
Martha, Juana}
Figura 16
Tema: ejemplo de diferencia de conjuntos
A
B
C
D
E
F
Juan
Pedro
Pablo
María
Martha
Juana

4.4 COMPLEMENTACIÓN
Se lo reconoce por:
Definición 2; complemento de un subconjunto cualquiera "B" respecto a un conjunto "A"
que no pertenece a "B". Se le llama complemento de "B" en "A", o simplemente conjunto
diferencia "A(B". (Alvarez, 2010)
Figura 17
Tema: Complementación de conjuntos
Figura 18
Tema: Complementación de conjuntos

Ejemplo 1:
Figura 17
Ejemplo 2:
Figura 19
2
3
4
0
1
5
6
7
8
U: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
A: {2, 3, 4}
A´= {0, 1, 5, 6, 7, 8}
U
A
U
A B
0
1
2
5
6
7
3
4
8
9
U= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}
A= {3, 4, 5, 6, 7}
B= {3, 4, 8, 9}
B´= {0, 1, 2, 5, 6, 7}

Figura 20
Tema: Propiedades del complemento de un conjunto
Figura 21
Tema: Propiedades del complemento de un conjunto

4.5 DIFERENCIA SIMÉTRICA
Diferencia simétrica de los conjuntos "A" y "B", es el conjunto de elementos de "A" y de
"B", excepto los que pertenecen a la intersección. Esto es, que pertenecen a "A" o "B".
(Alvarez, 2010)
Figura 22
Tema: Diferencia simétrica
Ejemplo:
Sean:
Figura 23
Resolución:
Por definición:

Figura 24
O también:
Figura 25

4.6 PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE CONJUNTOS
Ejemplo 1:
De una encuesta hecha a 135 personas para establecer preferencias de lectura de las revistas
A, B y C; se obtienen los siguientes resultados: Todos leen alguna de las 3 revistas; todos,
menos 40, leen A; 15 leen A y B pero no C, 6 leen B y C pero no A; 10 leen sólo C. El número
de los que leen A y C es el doble del número de los que leen las 3 revistas. El número de los
que leen sólo B es el mismo que el total de los que leen A y C. Según todo esto, hallar el
número de los que leen solamente A.
Figura 26
Tema: Problemas de aplicación de conjuntos
Ejemplo 2:
De un grupo de 62 trabajadores, 25 laboran en la fábrica A, 33 trabajan en la fábrica B, 40
laboran en la fábrica C y 7 trabajadores están contratados en las tres fábricas. ¿Cuántas
personas trabajan en dos de estas fábricas solamente?

Figura 27
Ejemplo 3:
De un grupo de 80 personas:
- 27 leían la revista A, pero no leían la revista B.
- 26 leían la revista B, pero no C.
- 19 leían C pero no A.
- 2 las tres revistas mencionadas.
¿Cuántos preferían otras revistas?

Figura 28

4.7 EJERCICIOS RESUELTOS
Dados los conjuntos U, A, B, C determina el conjunto indicado en cada caso.
U= (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
A= (2, 4, 6, 8,10)
B= (1, 2, 3, 4,5)
C= (1, 3, 5, 7,9)
Figura 29
Tema: Ejercicios resueltos de conjuntos
1. AUB
AUB= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10)
Figura 30
2. B∩A

B∩A = (2,4)
Figura 31
3. A Δ B
A Δ B = (1, 3, 5, 6, 8,10)
Figura 32
4. B – U
B – U= (Ø)

Figura 33
5. U – B
U – B= (6, 7, 8, 9,10)
Figura 34
6. C’
C’ = (2, 4, 6, 8,10)

Figura 35
7. B U A
B U A= (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,10)
Figura 36
8. A ∩ B
A ∩ B = (2,4)

Figura: 37
9. (AUB)’
(AUB)’ = (7,9)
Figura: 38 y 39
10. Sombrea lo siguiente : B ∩ (AUC’)

Figura: 40, 41 y 42
11. Sombrea lo siguiente: ( A ΔB) ∩ C
Figura: 43 y 44

5. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En una investigación realizada a un grupo de 100 personas, que estudiaban varios
idiomas fueron los siguientes: Español 28, Alemán 30, Francés 42, Español y Alemán
8, Español y Francés 10, Alemán y Francés 5 y los tres idiomas 3.
a) ¿Cuántos alumnos no estudiaban idiomas? b) ¿Cuántos alumnos tenían como
francés el único idioma de estudio?
2. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 6 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y
construir los diagramas respectivos: AUC b) BUC c) AUB
3. Dados los conjuntos: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5,9}, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y
construir los diagramas respectivos.
4. Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }, efectuar y construir los
diagramas respectivos: a) AUB b) B A
5. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A= {1, 3, 5, 7, 9 } donde A  U. El complemento de
A estará dado por?
6. Un grupo de 5 alumnos conocen de ARITMETICA y ALGEBRA, pero no de
GEOMETRIA, 8 saben de ARITMETICA y solo 4 de ALGEBRA; 25 saben de
GEOMETRIA o ALGEBRA, de los cuales 7 saben ARITMETICA pero no
ALGEBRA y 2 saben ALGEBRA y GEOMETRIA pero no ARITMETICA. Si 4
alumnos conocen los 3 cursos entonces determina el número de alumnos que hay en el
grupo.
7. Si A = {a, b, c, d, e}, B = {a, e, i, o}, D= {Consideremos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} como
conjunto universal y A{1,2,3,4}, B = {2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}. Halla:
a) A B, B A, A C, C A, B C, C B. ¿La unión de conjuntos cumple la propiedad
conmutativa?
b) B B, A A, C C. ¿La unión de conjuntos cumple la propiedad impotente?
c) (A B) C, A (B C). ¿La unión de conjuntos cumple la propiedad asociativa?
d) A Ø, C Ø, , A U, C U. ¿A qué conclusión llegas? a, b, f, g, h}, entonces la unión de
dichos conjuntos es? La intersección entre A y D?
8. Consideremos U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} como conjunto universal y A = {1,2,3,4}, B =
{2,4,6,8} y C = {3,4,5,6}

Halla los conjuntos A intersección (B unión A), B intersección (B unión A), C
intersección (B unión C).
a) ¿La intersección de conjuntos verifica la propiedad de absorción respecto de la
unión?
b) Halla los conjuntos A U (B intersección A), AU (C intersección A), BU (B
intersección A), BU (C intersección A), CU (B intersección C).
9. Se sabe que, de los 65 alumnos del sexto curso, a 30 les gusta la Biología, a 40 las
Matemáticas y a 10 les gustan ambas asignaturas. a) ¿A cuántos alumnos les gusta al
menos una de esas asignaturas? b) ¿A cuántos les gusta solamente la biología? c) ¿A
cuántos les gusta exactamente una de esas dos? d) ¿A cuántos alumnos no les gustan
ninguna de esas asignaturas?
10. Sean A= {a, b, c, d, e}, B= {a, b, c, d, e, f, g, h} y U= {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k}.
Calcule: A∪B, A ∩B, A – B, B – A, B, A ∩B

6. CONCLUSIÓNES
 Se concluye que las operaciones con conjuntos, por su realización de obtención de
resultados y mejor comprensión del contenido, se nota que estos no solo se los
aplica en esta asignatura, sino, en la vida diaria, con cada actividad lúdica que nos
hallamos realizando.
 Las operaciones con conjuntos aporta en gran parte fundamental en nuestra rutina o
realización académica ya que conlleva problemas y posibles soluciones de las
mismas.
 La operación de conjuntos es una base principal de las matemáticas tanto de forma
indefectible ya que los métodos propuestos de forma sistemática y sencilla , dan
así una simplicidad ya que se puede someter a prueba para determinar con absoluta
validez su resultado.
 Se concluye que de una u otra manera está presente en la teoría de conjuntos en
nuestra vida diaria, ya sea para tomar una decisión o para tener posibles
combinaciones de resultados, está implícito de una manera u otra alguna unión o
intersección de procesos, tareas o elecciones.
 Se concluye además que las operaciones de conjuntos sirve para optimizar
procesos entre una infinidad o más cosas ya que con un buen análisis se puede
determinar redundancias y se puede simplificar las operaciones propuestas.

7. RECOMENDACIONES
 Se recomienda a los estudiantes del paralelo Em1, prestar más atención en
clases de matemáticas para que así puedan realizar de mejor manera los
ejercicios propuestos.
 Otra recomendación seria que tomen como algo importante y fundamental a la
teoría de conjuntos ya que esta se encuentra en nuestro diario vivir, ya sea
cuando realizamos cualquier actividad académica o lúdica.
 Se recomienda saber todos los métodos a realizarse para la obtención de los
resultados correctamente en los ejercicios propuestos en cualquier ámbito
educativo
 Obtener la variación de resultas en base al tema propuesto en nuestro proyecto,
para así poder obtener resultados concretos que nos puedan servir en el día a
día.
 Mediante las operaciones de conjuntos podemos obtener resultados más
óptimos y con un menor tiempo de espera, por lo cual se recomienda tomar
como parte fundamental en nuestra vida diaria este tema, ya que nos ayuda a
lidiar con decisiones que se nos enfrenten y para poder resolver de una manera
eficaz y eficiente.

8. BIBLIOGRAFIA
(1) Alvarez, S. (18 de Noviembre de 2010). Obtenido de operaciones entre conjuntos
(complementación): https://es.wikibooks.org/wiki/Operaciones_entre_Conjuntos
(2) Garcia, M. (14 de Diciembre de 2007). Matemáticas de conjuntos. Obtenido de
http://www.gcfaprendelibre.org/matematicas/curso/los_conjuntos/entender_los_conjuntos/
8.do

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