preposición estructura discreta.

1. Proposiciones
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE - RECTORADO ACADÉMICO
DECANATO DE INGENIERÍA
ESCUELA DE ELÉCTRICA
Alumna:
Deximar Boza C.I: 18.705.948
Profesora:
Alba Espinoza

2. Proposición
Es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como
"verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez.
Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.
1: Verdadero
0: Falso

3. •Notación: Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s,
t, ya que las letras mayúsculas las usaremos para denotar los conjuntos.
Ejemplos
P: La matemática es una ciencia.
q: 2 es un número impar.
r: mañana es 27 de junio.
Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL,
al valor 1 si la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como ejemplo de
las proposiciones anteriores, podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0.

4. Operaciones Veritativas
Los Conectivos u Operadores Lógicos son símbolos o conectivos que
nos permiten construir otras proposiones; o simplemente unir dos
o más proposiciones, a partir de proposiciones dadas.
Cuando una proposición no contiene conectivos lógicos diremos
que es una proposición atómica o simple; y en el caso contrario,
diremos que es una proposición molecular o compuesta.

5. TABLA DE LOS CONECTIVOS

6. Conectivos lógicos: La negación
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada
por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo
valor lógico está dado por la negación de dicha proposición.
La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p
es verdadera cuando p es falsa.

7. Forma analítica
La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que
~ p es verdadera cuando p es falsa. Este mismo resultado lo
podemos expresar en forma analítica mediante la siguiente
igualdad:
VL (p)= 1- VL(~ p)
En efecto
Si VL(~ p) = 1, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1-1 = 0
Si VL(~ p) = 0, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1- 0 = 1
Si p es la proposición

8. La conjunción
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la
proposición p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la
tabla o igualdad siguiente:
Ejemplo
Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo.
q: Bolívar murió en Colombia.
r: Miranda nació en Coro.
Entonces
1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murió
en Colombia.
Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.
2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació en Coro.
Además, VL(q ^ r) = 0, ya que VL(q)= 1 y VL(r)= 0.
VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras palabras el menor valor de los
números dados.

9. La disyunción inclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es
la proposición p vq, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado
por la tabla siguiente:
VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

10. La disyunción inclusiva
Definición: Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la
proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la
tabla siguiente:
VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).

11. El condicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. El condicional con antecedente p y
consecuente q es la proposición p ® q, que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico
está dado por la siguiente tabla:
Ejemplo
a. Observe las proposiciones condicionales siguientes:
1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
3. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).
4. Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Verdadera).

12. El bicondicional
Definición: Sean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicional de p y q a la
proposición p « q, que se lee "p si sólo si q", o "p es condición necesaria y suficiente
para q", y cuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.
o en otras palabras el VL (P « q ) = 1 si VL (p) = VL (q)
La tabla nos dice que p « q es verdadero cuando VL(p) = VL(q), y esa falsa cuando
VL(p) ¹ VL(q)
p q P « q
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1

13. Tablas de verdad
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición
compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que contengan.
Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es
este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las
diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las
posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de proposiciones
dadas.
Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2combinaciones
Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

14. p q R
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de
valores de verdad:
Pasos para construir la tabla:
(Ø p Ù q) Û (p Þ Ør)
Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones
2. Determinamos las combinaciones:

15. 3. Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos debajo de cada una de la
variables sus valores de verdad :
p q R (  p  q )  ( p   r )
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
(4)
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
(6)
V
V
V
V
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
(5)
F
V
F
V
F
V
F
V

16. Definición: Es aquella proposición
molecular que es verdadera (es decir, todos
los valores de verdad que aparecen en su
tabla de verdad son 1) independientemente
de los valores de sus variables.
Ejemplo: Probar que P Ú ~ P es una
tautología
P Ú ~ P
1 1 0
0 1 1
Proposición Tautológica o Tautología
Contradicción : Es aquella proposición molecular que
siempre es falsa (es decir cuando los valores de verdad
que aparecen en su tabla de verdad son todos 0)
independientemente de los valores de sus variables
proposicionales que la forman. Por ejemplo, la
proposición molecular del ejemplo siguiente es una
contradicción, p Ù ~ p, para chequearlo recurrimos al
método de las tablas de verdad.
Ejemplo: Probar que p Ù ~ p es una contradicción
p Ù ~ p
1 0 0
0 0 1

17. Algunas Leyes del Algebra de Proposiciones
1. Leyes Idempotentes
1.1. pÚ p º p
1.2. pÙ p º p
2. Leyes Asociativas
2.1. (P Ú q) Ú r º p Ú (q Ú r)
2.2. (P Ù q) Ù r º p Ù (q Ù r)
3. Leyes Conmutativas
3.1. P Ú q º q Ú p
3.2. P Ù q º q Ù p
4. Leyes Distributivas
4.1. P Ú ( q Ù r ) º ( p Ú q ) Ù (p Ú r)
4.2. P Ù ( q Ú r ) º ( p Ù q ) Ú (p Ù r)
5. Leyes de Identidad
5.1. P Ú F º P
5.2. P Ù F º F
5.3. P Ú V º V
5.4. P Ù V º P
6. Leyes de Complementación
6.1. P Ú ~ P º V (tercio excluido)
6.2. P Ù ~ P º F (contradicción)
6.3. ~ ~ P º P (doble negación)
6.4. ~ V º F, ~ F º V
7. Leyes De Morgan
7.1. ~ ( P Ú q ) º ~ P Ù ~ q
7.2. ~ ( P Ù q ) º ~ P Ú ~ q

18. Circuitos Lógicos
Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una forma proposicional.
Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un circuito; o dado un circuito podemos
asociarle la forma proposicional correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra
proposicional podemos simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma
función que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:
Conexión en serie
Conexión en paralelo

19. Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a cada una de las siguientes
expresiones:
i) p Ù (q Ú r)
(ii) (p Ù q) Ú [( p Ù r) Ú ~ s)]
i)
p Ù (q Ú r)
ii)
(p Ù q)Ú [( p Ù r) Ú ~ s)]

20. Simplificar el siguiente circuito:
Sol
(pÚ q)Ù (~ pÚ q)Ù (~ pÚ ~ q) = [(p Ú q)Ù (~ p Ú q)] Ù (~ p Ú ~ q)
= [(p Ù ~ p) Ú q] Ù (~ p Ú ~ q)
= [F Ú q] Ù (~ p Ú ~ q)
= q Ù (~ pÚ ~ q)
= ( q Ù ~ p) Ú (q Ù ~ q)
=( q Ù ~ p) Ú F
= ( q Ù ~ p)
Así, el circuito se simplifica a: