estructura discreta saia

1. Estructura Discreta
Unidad 1
SAIA - A kristhian alexander medina perez
C.I:25894500

2. Proposiciones
• Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como
"verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez.
• Toda proposición tiene una y solamente una alternativa.
• 1: Verdadero
• 0: Falso
ejemplos
• p: Coro es un municipio de Miranda
• q:barquisimeto esta en el estado lara
• r:La ingeniería es el conjunto de conocimientos
Llamaremos valor lógico de una proposición, el cual denotaremos por VL, al valor 1 si
la proposición es verdadera; y 0 si es falsa. Como ejemplo de las proposiciones
anteriores, podemos decir que VL(P)=1, VL(q)=0, VL(r)=1

3. Operaciones Veritativas
• Los Conectivos u Operadores Lógicos
son símbolos o conectivos que nos
permiten construir otras
proposiones; o simplemente unir dos
o más proposiciones, a partir de
proposiciones dadas.
Cuando una proposición no contiene
conectivos lógicos diremos que es
una proposición atómica o simple; y
en el caso contrario, diremos que es
una proposición molecular o
compuesta.
Ejemplos de Proposiciones Atómicas
• p: Coro es un municipio de Miranda
• q:barquisimeto esta en el estado lara
• r:La ingeniería es el conjunto de
conocimientos

4. conectivos logicos: negacion
Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se
lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la
negación de dicha proposición.
La tabla anterior dice, que ~ p es falsa cuando p es verdadera y que ~ p es verdadera
cuando p es falsa. Este mismo resultado lo podemos expresar en forma analítica
mediante la siguiente igualdad:
• VL (p)= 1- VL(~ p)
• En efecto
• Si VL(~ p) = 1, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1-1 = 0
• Si VL(~ p) = 0, entonces VL(p) = 1 - VL(~ p) = 1- 0 = 1

5. conectivos logicos: negacion
Ejemplo
Si p es la proposición
P: La ingeniería es el conjunto de conocimientos
• Entonces su negación se puede expresar de cuatro formas:
• ~ p: Es falso que La ingeniería es el conjunto de conocimientos
• ~ p: No es cierto que La ingeniería es el conjunto de conocimientos
• ~ p: La ingeniería no es el conjunto de conocimientos
.
• ~ p: De ninguna manera La ingeniería es el conjunto de conocimientos.

6. conectivos logicos: La conjunción
• Sean p y q dos proposiciones. La
conjunción de p y q es la proposición
p Ù q, que se lee "p y q", y cuyo valor
lógico está dado con la tabla o
igualdad siguiente:
VL(p^q) = min (VL(p), VL(q)) en otras
palabras el menor valor de los
números dados.
Ejemplo
Si, p: El Negro Primero peleó en Carabobo.
q: Bolívar murió en Colombia.
r: Miranda nació en Coro.
Entonces
1. p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y
Bolívar murió en Colombia.
Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.
2. q ^ r: Bolívar murió en Colombia y Miranda nació
en Coro.
Además, VL(q ^ r) = 0, ya que VL(q)= 1 y VL(r)= 0.

7. conectivos logicos:La disyunción inclusiva
• Sean p y q dos proposiciones. La
disyunción de p y q es la
proposición p vq, que se lee "p o
q", y cuyo valor lógico está dado
por la tabla siguiente:
VL(pvq)=máximo valor(VL(p),VL(q)).
Ejemplo
Si p: La estatua de la Divina Pastora está en
Barquisimeto.
q: La estatua de Miranda está en Caracas.
r: El Chorro de Milla está en Carabobo.
Entonces
p v q: La estatua de la Divina Pastora está en
Barquisimeto o La estatua de Miranda está en
Caracas.
VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.
b. q v r: La estatua de Miranda está en Caracas
o El chorro de Milla está en Carabobo.
VL(q v r)= 0, ya que VL(q)= 0 y VL(r) = 0.

8. conectivos logicos:La disyunción exclusiva
• Sean p y q dos proposiciones. La
disyunción exclusiva de p y q es la
proposición p vq, que se lee "o p o q",
y cuyo valor lógico está dado por la
tabla. En otras palabras, la
disyunción exclusiva es falsa sólo
cuando los valores de p y q son
iguales.
VL(pv q) = 0 si VL (p) = VL ( q ).
Ejemplo
Si, p: 17 es un número primo.
q: 17 es un número par.
r: 17 es mayor que 2.
Entonces
p v q: ó 17 es un número primo ó
17 es un número par VL(p v q) = 1,
ya que
VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
p v r: ó 17 es un número primo ó
17 es mayor que 2 VL(p Ú r) = 0, ya
que VL(p) = 1 y VL(r) = 1

9. conectivos logicos:condicional
• Sean p y q dos proposiciones. El
condicional con antecedente p y
consecuente q es la proposición p->q,
que se lee "si p, entonces q", y cuyo
valor lógico está dado por la
siguiente tabla:
Ejemplo
a. Observe las proposiciones
condicionales siguientes:
Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3
(Verdadera).
Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4
(Falsa).
Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 3
(Verdadera).
Si 6 es primo, entonces 2 + 1 = 4
(Verdadera).

10. Condición Necesaria y Condición Suficiente
• El condicional es una de las proposiciones más importantes en la matemática, ya que
la mayoría de teoremas vienen dados en esa forma. En los teoremas, el antecedente
es llamado hipótesis y el consecuente tesis. Un condicional puede ser expresado
también con las llamadas condiciones necesarias y suficientes. El antecedente es la
condición suficiente y el consecuente la condición necesaria.
Así el condicional A - C puede ser leído de las siguientes maneras:
1. Si A entonces C
2. C es condición necesaria para A
3. Una condición necesaria para A es C
4. A es condición suficiente para C
5. Una condición suficiente para C es A
6. C si A
7. A sólo si C

11. Condicionales Asociados
Dado un condicional p->q podemos asociarles los siguientes condicionales:
1. Directo: p ->q
2. Recíproco: q ->p
3. Contrarrecíproco: ~ q -> ~ p
4. Contrario: ~ p -> ~ q
Ejemplo
Escribir el recíproco, contrarrecíproco y contrario del siguiente condicional: Si 5 es
primo entonces 7 es impar.
Solución
* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.
* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no es impar.

12. conectivos logicos: Bicondicional
Sean p y q dos proposiciones. Se llama
Bicondicional de p y q
a la proposición p <->q, que se lee "p si sólo si
q", o "p es condición necesaria y
suficiente para q", y cuyo valor lógico es
dado por la siguiente tabla.
o en otras palabras el VL (P <->q ) = 1 si VL
(p) = VL (q)
La tabla nos dice que p <-> q es verdadero
cuando VL(p) = VL(q), y es falsa cuando
VL(p) ≠VL(q
Ejemplo
Consideremos las
siguientes proposicones:
a: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3
b: 2 + 1 = 3 si y sólo si 2 > 3
c: 2 + 1 = 4 si y sólo si 2 > 3
d: 2 + 1 = 4 es condición
necesaria y suficiente para
que 2< 3.
Entonces
VL(a)=1, VL(b)= 0, VL(d) = 0

13. Construir la "Tabla de Verdad"
para las proposiciones dadas:
• (p­­>
q) Ù ~ (p ­­>
r)
• Solución
(p ­­>
q) Ù ~ (p­­>
r)
1 1 1 0 0 1 1 1
1 1 1 1 1 1 0 0
1 0 0 0 0 1 1 1
1 0 0 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 1 1
0 1 1 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1 1
0 1 0 0 0 0 1 0

14. Tablas de Verdad de las formas proposicionales
Las tablas de verdad permiten determinar el valor de verdad de una proposición
compuesta y depende de las proposiciones simples y de los operadores que
contengan.
Es posible que no se conozca un valor de verdad específico para cada proposición; es
este caso es necesario elaborar una tabla de verdad que nos indique todas las
diferentes combinaciones de valores de verdad que pueden presentarse. Las
posibilidades de combinar valores de verdad dependen del número de
proposiciones dadas.
Para una proposición (n = 1), tenemos 21 = 2 combinaciones
Para dos proposiciones (n = 2), tenemos 22 = 4 combinaciones
Para tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8 combinaciones
Para n proposiciones tenemos 2n combinaciones

15. Tablas de Verdad de las formas proposicionales
Ejemplo: dado el siguiente esquema molecular, construir su tabla de valores de verdad:
Pasos para construir la tabla:
(- p q) Û (p =>- Ør)
1. Determinamos sus valores de verdad 2 3 = 8 combinaciones
2. Determinamos las combinaciones:

16. Tablas de Verdad de las formas proposicionales
Adjuntamos a éste cuadro el esquema molecular y colocamos
debajo de cada una de la variables sus valores de verdad :

17. Leyes del Algebra de Proposiciones

19. Razonamiento
Un razonamiento o una inferencia es la aseveración de que una proposición, llamada conclusión es
consecuencia de otras proposiciones dadas llamadas premisas.
Forma Proposicional de un Razonamiento
• Un razonamiento con premisas P1, P2, P3, P4, & .., Pn y conclusión C lo escribiremos en forma
proposicional como:
• P1
• P2
• P3
• P4
• .
• .
• .
• Pn
• ----

20. Razonamiento
• Ejemplo1: El siguiente es un razonamiento:
• Si hoy es domingo, entonces mañana habrá examen.
• Si hoy es sábado, entonces mañana no hay examen.
• Hoy es domingo.
• Luego, mañana habrá examen.
• Este razonamiento lo podemos simbolizar de la manera siguiente:
• Premisa 1: d -­>
e
• Premisa 2: s ­­>
~ e
• Premisa 3: d
----------------------.
Conclusión: e
Donde:
d: hoy es domingo
s: hoy es sábado
e: mañana habrá examen

21. circuitos logicos
• Los circuitos lógicos o redes de conmutación los podemos identificar con una
forma proposicional. Es decir, dada una forma proposicional, podemos asociarle un
circuito; o dado un circuito podemos asociarle la forma proposicional
correspondiente. Además, usando las leyes del álgebra proposicional podemos
simplificar los circuitos en otros más sencillos, pero que cumplen la misma función
que el original. Veamos los siguientes interruptores en conexión:
Conexión en serie cual se representa como p q
Conexión en paralelo cual se representa como p V q

22. circuito logico
• Ejemplo: Construir el circuito
correspondiente a cada una de las
siguientes expresiones:
• 1) p (qV r)
• (2) (p q) V [( p r) V ~ s)]
• (3) t [q V (s p)]
• Sol
1)
(2)
(3)