Logica y conjuntos (subir).pptx

1. 𝐿ó𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑦 𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠

2. 𝑆𝑖 𝑛𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛
Este hecho es importante en matemática, ya que, al igual que en la gramática, en las matemáticas se necesitan
reglas lógicas y coherentes para explicar un suceso verdadero o falso (Pero a través de ecuaciones). Las
matemáticas son solo un lenguaje que esta escrito en números, formulas, funciones, ecuaciones, etc.

3. 𝐿ó𝑔𝑖𝑐𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
Es un lenguaje preciso y claro que estudia las
“proposiciones”. El objetivo de esta lógica se basa en
unir dichas proposiciones a través de “conectores”, de
forma tal, que su resultado tenga un sentido coherente
y sin contradicciones.
Definiremos una Proposición, como cualquier
afirmación que se crea verdades o falsa y la
denotaremos por letras minúsculas (p, q, r, s, etc.)
Ejemplos:
- p: Un arco dispara flechas ---> V
- q: Los gatos ladran ---> F
- r: Hoy es sábado ---> F
- s: 10-6=10 ---> F
- t: 3x4=12 ---> V
NO SON PROPOSICIONES, oraciones tales como las
Exclamativas, interrogativas, desiderativas e
imperativas… No se pueden afirmar que sean V ni F.
Exclamativas: Expresan sorpresa o admiración.
• ¡Que bien huele!
• ¡Qué frío hace hoy!
• ¡No te quedes ahí!
Interrogativas: Expresan dudas o preguntas.
• ¿Dónde dejaste las llaves?
• ¿Qué nota te sacaste?
• ¿Cuántos años tienes?
Desiderativas: Expresan anhelo o deseo.
• ¡Ojalá que salga todo bien!
• Espero que te sientas cómoda.
• Cuanto daría por un 7.0
Imperativas: Expresan un mandato u orden.
• Prohibido pisar el césped.
• ¡Vengan todos a ver esto!
• Prohibido salir en toque de queda

4. 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑
Puede ser V o F
Son símbolos que sirven para unir dos o mas
proposiciones, los mas comunes son:
𝑣(𝑝)
𝑉
𝐹
𝑠𝑖 𝑝 𝑒𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
𝑠𝑖 𝑝 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑙𝑠𝑜
𝐿𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛
𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎𝑡𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎
𝑇𝐴𝐵𝐿𝐴 𝐷𝐸 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷
𝑇𝐴𝐵𝐿𝐴 𝐷𝐸 𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑝 𝑞
V F
F V
𝑉𝐸𝑅𝐷𝐴𝐷
𝑉𝐴𝐿𝑂𝑅
𝐷𝐸
𝐶𝑜𝑛𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝐿ó𝑔𝑖𝑐𝑜𝑠
𝑵𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝑬𝒙𝒑𝒓𝒆𝒔𝒊ó𝒏
𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂𝒕𝒊𝒄𝒂𝒍
𝑺í𝒎𝒃𝒐𝒍𝒐 𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
Conjunción …y… ∧ Estaba feliz y enamorado
Disyunción
inclusiva o
débil
… o … ∨ Estaba feliz o enamorado
Disyunción
exclusiva o
fuerte
o… o… ∨, Δ O es Sábado o Domingo
Condicional Si… Entonces… →, ⇒ Si hoy es Sábado, Entones
no es Domingo
Bicondicional … Si y solo si… ⟷
, ⇔,≡
Tendré una buena nota si y
solo si estudio
Negación … No… ¬, ∼ Los gatos maúllan y no
ladran

5. 𝐶𝑙𝑎𝑠𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒆 (𝑜 𝑎𝑡ó𝑚𝑖𝑐𝑎) 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 (𝑜 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟)
Tiene un solo significado
y carece de conectores lógicos
Tiene dos o mas significados
y contiene al menos un conector
lógico
• La tierra es plana
• 16 es par
• Esa caja es de
madera
• Los números pares
son divisibles por
dos.
• Mi nombre es
Fabián
• Está lloviendo.
• Mañana será
miércoles.
• Hoy es 7 de
octubre.
• La tierra es plana y no esférica
• Carlos se casa o termina con Carla.
• Un numero es par si y solo si es
divisible por 2
• Una ballena azul no es roja
• Si el ovino come pasto, entonces es
herbívoro.
• O La tortuga camina o corre
𝐸𝑗𝑒𝑚𝑙𝑝𝑙𝑜𝑠: 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑙𝑝𝑙𝑜𝑠:

6. 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑠
Como hemos visto en otros ejemplos, podemos
operar entre distintas proposiciones, sin embargo,
¿Cómo podemos saber si el resultado de operar
entre 2 o mas proposiciones son V o F dados sus
respectivos valores de verdad?
Ejemplo: Sean las siguientes proposiciones V y F
p: Hoy es martes V
q: La luna es cuadrada F
r: Mañana es miércoles V
s: La tierra es plana F
¿Que valor de verdad tendrán las siguientes proposiciones
compuestas, unidas con el conector “Y” (conjunción) ?
p ∧ r: Hoy es martes (V) y Mañana es miércoles (V) ----- V o F?
p ∧ q: Hoy es martes (V) y La luna es cuadrada (F) ----- ?
s ∧ q: La tierra es plana (F) y La luna es cuadrada (F) ----- ?
s ∧ p: La tierra es plana (F) y Hoy es martes (V) ----- ?
¿ 𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑠𝑖 𝑢𝑛𝑎 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 𝒆𝒔 𝑽 𝒐 𝑭?

7. 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑠
Como hemos visto en otros ejemplos, podemos
operar entre distintas proposiciones, sin embargo,
¿Cómo podemos saber si el resultado de operar
entre 2 o mas proposiciones son V o F dados sus
respectivos valores de verdad?
Ejemplo: Sean las siguientes proposiciones V y F
p: Hoy es martes V
q: La luna es cuadrada F
r: Mañana es miércoles V
s: La tierra es plana F
p ∧ r: Hoy es martes (V) y Mañana es miércoles (V) ----- V o F?
p ∧ q: Hoy es martes (V) y La luna es cuadrada (F) ----- ?
En la conjunción, la lógica del conector “y” significa que el
resultado de la proposición compuesta será Verdadera solo si
ambas proposiciones simples son verdaderas. Y tendrá un valor
Falso si ocurre cualquier otro caso. Esto es que:
s ∧ q: La tierra es plana (F) y La luna es cuadrada (F) ----- ?
s ∧ p: La tierra es plana (F) y Hoy es martes (V) ----- ?
¿Que valor de verdad tendrán las siguientes proposiciones
compuestas, unidas con el conector “Y” (conjunción) ?
𝐶𝑜𝑛 2 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
4 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

8. 𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎𝑠
Como hemos visto en otros ejemplos, podemos
operar entre distintas proposiciones, sin embargo,
¿Cómo podemos saber si el resultado de operar
entre 2 o mas proposiciones son V o F dados sus
respectivos valores de verdad?
Ejemplo: Sean las siguientes proposiciones V y F
p: Hoy es martes V
q: La luna es cuadrada F
r: Mañana es miércoles V
s: La tierra es plana F
p ∧ r: Hoy es martes (V) y Mañana es miércoles (V) ----- V o F?
p ∧ q: Hoy es martes (V) y La luna es cuadrada (F) ----- F
s ∧ q: La tierra es plana (F) y La luna es cuadrada (F) ----- F 
s ∧ p: La tierra es plana (F) y Hoy es martes (V) ----- F
Se están afirmando dos cosas falsas! … Falso
¿Que valor de verdad tendrán las siguientes proposiciones
compuestas, unidas con el conector “Y” (conjunción) ?
En la conjunción, la lógica del conector “y” significa que el
resultado de la proposición compuesta será Verdadera solo si
ambas proposiciones simples son verdaderas. Y tendrá un valor
Falso si ocurre cualquier otro caso. Esto es que:
𝐶𝑜𝑛 2 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠, 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠
4 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑏𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠

9. Disyunción
Exclusiva (o… o…)
Disyunción
Inclusiva (..o..)
Condicional
o implicancia (si…entonces)
Bicondicional
o Doble implicancia (…si y solo si…)
Negación (No)

11. (Con 1 proposición simple)

12. (Con 2 proposiciones simples)

13. (Con 3 proposiciones simples)
𝟖 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
Con 3 proposiciones simples?

18. https://www.youtube.com/watch?v=RufkyH8V7zE&ab_channel
=Josu%C3%A9DavidPe%C3%B1aVivas

19. 𝑳𝒆𝒚𝒆𝒔 𝒐 𝑷𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒔𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔
𝐸𝑄𝑈𝐼𝑉𝐴𝐿𝐸𝑁𝑇𝐸

20. (Identidad)
𝐸𝑄𝑈𝐼𝑉𝐴𝐿𝐸𝑁𝑇𝐸

21. (Identidad)

23. https://youtu.be/cxEcLDVSWB4

25. 1. − 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑏𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
a) ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 → (∼ 𝑞 →∼ 𝑝)
b) 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ⟷∼ (∼ 𝑝 ∨ 𝑞)
c) (∼ 𝑝 ∨ 𝑞) ⟷ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞
d) ∼ 𝑝 →∼ 𝑞 ∧ 𝑟 ∨ [(𝑟 →∼ 𝑞) ∨ 𝑝]
2. − 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑜 𝑙𝑒𝑦𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑏𝑟𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙
a) 𝑝 ⟷ 𝑞 ∨ (𝑝 ∨ 𝑞)
b) [ ∼ 𝑝 ∨ 𝑞 ∧ (∼ 𝑞 → 𝑝)] ∨ (𝑝 ∧∼ 𝑞)
c) 𝑝 → 𝑞 ∧ 𝑟 ∧ [∼ 𝑝 → (𝑝 ∧ 𝑟)]
d) (𝑞 → 𝑝) ∧ ∼ 𝑝 → 𝑞 →∼ (𝑝 ∨∼ 𝑞)
𝑇𝑟𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑢𝑝𝑜𝑠

30. a)
𝑏)
c)

31. 𝑑)