gfdgfg

1. EXAMEN PROFESIONAL
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN Y APLICACIONES DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
Presentado por:
Mamani Vera, Noymi Rhut
Para optar el Grado Académico :
Licenciado en Educación con mención en Matemática, Computación e Informática
UNIVERSIDAD NACIONAL JORGE BASADRE GROHMAN
FACULTAD DE EDUCACIÓN, COMUNICACIÓN Y HUMANIDADES

2. CONTENIDO
Definición de Anti derivada
Introducción
Métodos de Integración
Aplicaciones de la integral definida

3. Con el tomate y con
lechuga, que rica
ensalada puedo ser,
algo picante y a
muchos hago llorar.
¿Quién soy?

5. INTRODUCCIÓN
5

6. 6
ANTIDERIVADA
Llamamos a 𝐹 una antiderivada, primitiva o integral definida de 𝑓 en el
intervalo 𝐼 , si
𝐷𝑥𝑓 𝑥 = 𝐹(𝑥) es decir 𝑓′
𝑥 = 𝐹(𝑥)
La notación que emplearemos para referirnos a una antiderivada es la
siguiente:
𝐹 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑐

7. 7
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Existen varios métodos de
integración que se deben aplicar
cuando las integrales no son
sencillas o no tienen el mismo
formato de las fórmulas conocidas

8. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
También se puede indicar que cuando se presentan funciones compuestas, en las que ya no es
posible una integración directa, puede ser que con un cambio de variable se transformen en
integrales inmediatas.
8
SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA
Si u = g (x ) es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I y f es continua en I, entonces

9. 9
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 3𝑥 + 2 𝑑𝑥
1.- Determinamos la nueva variable
𝑢 = 3𝑥 + 2
𝑑𝑢 = 3𝑑𝑥 𝑑𝑥 =
1
3
𝑑𝑢
2.- Cambiamos de variable
𝑢
1
3
𝑑𝑢 = 𝑢1/2 1
3
𝑑𝑢 =
1
3
𝑢1/2 𝑑𝑢 =
1
3
𝑢3/2
3/2
+ 𝐶 =
2
9
𝑢3/2 + 𝐶
3.- Retornamos a la variable original
=
𝟐
𝟗
𝟑𝒙 + 𝟐 𝟑/𝟐 + C
ESTRATEGIA:
Como no hay una fórmula para una
integral con raíz cuadrada de una
función compuesta, escogemos
cambiar de variable toda la
expresión que está dentro de la raíz
para obtener una monomio y aplicar
la fórmula de potencia

10. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
10
INTEGRACIÓN POR PARTES
Para el producto de funciones, tenemos:

11. 11
ESTRATEGIA:
Una forma práctica para seleccionar
la parte u consiste en basar el
criterio de selección de acuerdo con
el siguiente orden: ILATE

12. 12
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟 𝑥𝑒𝑥𝑑𝑥
u = x y dv = 𝑒𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑦 𝑣 = 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑒𝑥
𝑥𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥
− 𝑒𝑥
+ 𝐶
ESTRATEGIA:
Según ILATE tenemos una parte
exponencial, que es mas fácil
integrar

13. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
13
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
Se trata ahora de convertir las integrales dadas en directas mediante una sustitución
trigonométrica. Usualmente presenta la forma de radicales con suma o diferencia de cuadrados,
en tal caso se recomienda::

14. 14
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑟
4 − 𝑥2
𝑥2
𝑑𝑥
Hacemos 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛𝑡 → 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑑𝑡
Reemplazando y resolviendo, resulta

15. 15
𝑐𝑠𝑐2
𝑡𝑑𝑡 − 𝑑𝑡 = −𝑐𝑡𝑔 𝑡 − 𝑡 + 𝐶
Ahora hay regresar a un expresión en " x ", para lo cual del cambio de variable
tenemos 𝑠𝑒𝑛 𝑡 =
𝑥
2
.Por trigonometría, hacemos el siguiente triángulo rectángulo

16. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
16
FRACCIONES PARCIALES
Cuando la función racional (p(X))/(q(x)) es una fracción propia, o sea que el grado del numerador
es menor que el grado del denominador, se recomienda usar el método de fracciones parciales.::

17. 17
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
Calcular
5𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥
𝑑𝑥
CASO 1:
Descomposición en
factores lineales
diferentes

18. 18
Si x = 3 , resulta:
5 3 + 3 = 𝐴 3 − 3 3 + 1 + 𝐵 3 3 + 1 + 𝐶 3 3 − 3
18 = 12𝐴
𝐵 = 3/2
Si x = -1 , resulta:
5 −1 + 3 = 𝐴 −1 − 3 −1 + 1 + 𝐵 −1 −1 + 1 + 𝐶 −1 −1 − 3
−2 = 4𝐶
𝐶 = −1/2

19. 19
5𝑥 + 3
𝑥3 − 2𝑥2 − 3𝑥
𝑑𝑥 =
−1
𝑥
+
3/2
𝑥 − 3
+
−1/2
𝑥 + 1
𝑑𝑥
=
1
𝑥
𝑑𝑥 +
3
2
1
𝑥 − 3
𝑑𝑥 −
1
2
1
𝑥 + 1
𝑑𝑥
= 𝑙𝑛 𝑥 +
3
2
𝑙𝑛 𝑥 − 3 −
1
2
𝑥 + 1 + 𝐶

20. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
1
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

21. Para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego
se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una
integral definida.
Ahora podemos hacerlo de una manera abreviada. Considerando sólo una partición
representativa, un rectángulo diferencial que represente a cualquier partición de la
región plana.
ÁREA BAJO UNA CURVA
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

22. 22
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
Calcular el valor del área bajo la curva
𝑦 = 𝑥2
, 𝑥 ∈ 1; 3

23. Para calcular el valor del área bajo una curva, se particiona la región plana y luego
se hace una suma infinita de las áreas de las particiones, lo cual equivale a una
integral definida.
ÁREA ENTRE CURVAS
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

24. 24
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
Calcular el valor del área de la región limitada por
𝑅:
𝑦 = 𝑥 + 4
𝑦 = 𝑥2 − 2

26. VOLÚMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

27. VOLÚMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

28. 28
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐
Hallar el volumen del sólido que se genera al girar la región plana
𝑅:
𝑦 = 𝑥2
𝑦 = 8𝑥
𝑥 𝑥3 − 8 = 0 ; 𝑥 = 0 𝑦 𝑥 = 2

29. 𝑑𝑉 = 𝜋 𝑟2
2 − 𝑟1
2
𝑑𝑥
Y en este caso
𝑟2 = 8𝑥 𝑦 𝑟1 = 𝑥2
Por tanto
𝑉 = 𝜋
0
2
8𝑥 2
− 𝑥2 2
𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋
0
2
8𝑥 − 𝑥 4
𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋
8
2
𝑥2
−
𝑥5
5
2
0
𝑉 = 𝜋 16 −
32
5
𝑉 =
48
5
𝜋𝑢3

30. 30
El área es una integral definida de f que es un número, mientras que la
integral indefinida f(x)dx es una función F(x) (en realidad, una familia de
funciones F(x) + c). El símbolo (una S del siglo XVII) representa la suma de
las áreas f(x)dx de un número infinito de rectángulos de altura f(x) y
anchura infinitesimal dx; o mejor dicho, el límite de la suma de un
número finito de rectángulos cuando sus anchuras tienden hacia 0..
CONCLUSIONES

31. 31
La integral definida es un tema de suma importancia dentro del cálculo
integral y de la matemática general, pues sus aplicaciones tienen
alcances bastante amplios, útiles y sumamente importante, en ramas y
áreas como el aspecto industrial, la resolución de problemas
planteados, tanto de las matemáticas propias como de la física y
algunos conceptos de la misma, sean trabajo, presión, fuerza
hidrostática, momentos y centros de masa, entre otras; cosas que sin la
ayuda y aplicación de la integral definida serían demasiado complejas y
aún, imposibles de resolver. Por ende, su estudio resulta bastante
importante en su estudio y análisis, para llegar a entender desde una
perspectiva matemáticamente analítica cómo se aplica y cómo
funciona dentro del cálculo. Una herramienta indispensable.
CONCLUSIONES

32. 32
Gracias!
Por su atención