TRABAJO DE MATEMÁTICAS II

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
SANTIAGO MARIÑO
SEDE BARCELONA - ESTADO ANZOÁTEGUI
Garrido Miguel
C.I.28.704.718
BARCELONA, MARZO 2019

2. Introducción
La matemática II nos enseña diferentes tipos de métodos para realizar
los ejercicios de los cuales podremos observar en esta actividad, algunos
de ellos son, sustitución o cambio de variable, integrales por partes, las
trigonométricas que es una integral que se utiliza mucho.
La importancia de estudiar la matemática no radica únicamente en que
está presente en la vida cotidiana, sino que además es una ciencia que
tiene una serie de beneficios tales como favorecer el desarrollo del
razonamiento y el pensamiento analítico.

3. Integral indefinida
Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx. Se lee : integral de f de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.

4. ∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una
constante por una función es igual a
la constante por la integral de la función.
∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx
Integrales indefinidas
∫ cos x dx = sen x +C
∫ 5cos x dx = 5⋅∫cosxdx = 5senx + c
∫dx = x +C
∫e 𝒙
dx = e 𝒙
+C

5. Integrales inmediatas
Son las que salen directamente por la propia definición de integral, es decir, la que
se puede resolver de forma más o menos intuitiva pensando en una función que
cuando se derive me dé la que está en la integral.
Integrales inmediatas son aquellas cuyo resultado puede obtenerse mentalmente,
sin más que considerar (a la inversa) las reglas de derivación.
A continuación mostraremos las integrales inmediatas de uso más frecuente:
1.∫sen x dx= −cos x+C
2.∫(1+tg2x)dx=tg x+C
3.∫e 𝒙
dx = e 𝒙
+C
4.∫𝒙 𝟓
𝒅𝒙 =
𝒙 𝟔
𝟔
5.∫sen(x+5)dx ∫sentdt=-cost +c= -cos(x+5)+c

6. Métodos de integración
Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas
elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una
función.
Método de integración por cambio de variables
Un método útil en ocasiones es el de cambio de variable o sustitución. Este
consiste, en líneas generales, en tomar una nueva variable, t, tal que x= g(t) sea
una función continua y que admita función inversa:
t = g-1(x)
Como de x = g(t) ⇒ dx = g'(t) · dt, sustituyendo en I = ƒ(x) dx
I = ∫ƒ(g(t)) ⋅g'(t)dt
De esta forma se ha transformado la integral indefinida en otra, función de la
nueva variable t.
Si la elección de la variable t ha sido acertada, la integral resultante es más sencilla
de integrar. El éxito de la integración depende, en grado considerable, de la
habilidad para elegir la sustitución adecuada de la variable.

7. Una vez obtenida la función primitiva, F(t) + C, se deshace el cambio de la variable
substituyendo t = g (x).
Así se tiene la integral indefinida en función de la variable inicial x.
1) ∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)2
Cambio: x - 1 = t → dx = dt
∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)2 = ∫
𝑑𝑡
𝑡2 = ∫ 𝑡−2
𝑑𝑡 =
𝑡−1
−1
= −
1
𝑡
+ 𝑐
∫
𝑑𝑥
(𝑥−1)2 = −
1
𝑡
+ 𝑐
2) ∫
𝑥
5
𝑥2+2
Cambio: t= x2+2
Dt=2xdx
Xdx=
𝑑𝑡
2
∫
𝑥
5
𝑥2+2
𝑑𝑥 =
1
2
∫
1
5
𝑡
dt =
1
2
𝑡
4
5
4
5
+ 𝑐 =
5
8
5
𝑡4 + 𝑐 =
5
8
5
(𝑥2 + 2)4+𝑐
∫
𝑥
5
𝑥2+2
=
5
8
5
(𝑥2 + 2)4+𝑐

8. Método de integración por partes
En el cálculo y en general en el análisis matemático, integración por partes es el
proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la
integral de sus derivadas y anti derivadas.
Frecuentemente usado para transformar la anti derivada de un producto de
funciones en una anti derivada, por lo cual, una solución puede ser hallada más
fácilmente.
Sean u = u(x), v = v(x) dos funciones variables en un intervalo [a,b] (o en todo R).
Como d(u · v) = u · dv + v · du
de donde u · dv = d(u · v) - v · du
Integrando los dos miembros de la igualdad
∫u ⋅dv = ∫d(u ⋅v) − ∫v ⋅du⇒∫u ⋅dv = u ⋅v − ∫v⋅du
La expresión obtenida, denominada fórmula de integración por partes, se utiliza
para transformar una integral en otra. Transformación que será útil como método de
integración cuando la integral del segundo miembro sea inmediata o, al menos, más
sencilla que la del primer miembro.

9. Al igual que en el método anterior, no existe normativa alguna que sirva para
determinar qué integrales es conveniente resolver por partes, como tampoco para
una vez adoptado este método fijar qué factor debe hacerse igual a u.
Desde un punto de vista didáctico se recomienda escoger la función u de acuerdo con
el orden, ayudándose de la regla nemotécnica "ILATE":
1.Inversa trigonométrica: etc
2.Logarítmica: etc
3.Algebraica o polinómica: etc
4.Trigonométrica: etc
5.Exponencial: etc
Otra recomendación sería cambiar el orden de trigonométrica y exponencial. Si
seguimos esta otra recomendación podemos usar la regla mnemotecnia ALPES,
asignándole el puesto de u de acuerdo con el orden de aparición:
1.Arcoseno (y cualquier trigonométrica inversa)
2.Logarítmica
3.Polinómica
4.Exponencial
5.Seno/coseno(y cualquier trigonométrica) fórmulas más generales de integración por
partes existen en Integral de Riemann- Stieltjes y Integración de Lebesgue–Stieltjes.

10. Integrales por partes
1) ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
Solución. ILATE
X cosx
U=x du=dx dv=cosx v=senx
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐
2) ∫ xsen x dx
Solución. ILATE
X cosx
U=x du=dx dv=senx v=-cosx
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = 𝑥(−𝑐𝑜𝑠𝑥) − −𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐

11. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES
Objeto de estudio es la integración de funciones racionales, funciones del tipo
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
donde ƒ(x) y g(x) son funciones polinómicas.
FRACCIONES RACIONALES PROPIAS. DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
es fracción racional propia si el grado de ƒ(x) es menor que el de g(x).
En este caso el método a seguir es su descomposición en fracciones simples, dado
que se demuestra que toda fracción racional propia se puede descomponer en
fracciones racionales simples.
El primer paso a realizar es descomponer factorialmente el denominador, g(x).
Puede ocurrir que existan raíces reales simples, raíces reales múltiples, raíces
complejas simples o raíces complejas múltiples.
Según los distintos casos se tienen las siguientes descomposiciones:

12. RAÍCES REALES SIMPLES:
𝑓(𝑥)
(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)
=
𝑎1
𝑥−𝑎
+
𝑎2
𝑥−𝑏
∫
𝑓(𝑥)
(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)
𝑑𝑥 = ∫
𝑎1
𝑥−𝑎
𝑑𝑥 + ∫
𝑎2
𝑥−𝑏
𝑑𝑥
RAÍCES REALES MÚLTIPLES:
RAÍCES IMAGINARIAS SIMPLES:
𝑓(𝑥)
(𝑥 − 𝑎) 𝑛(𝑥 − 𝑏) 𝑚
=
𝑎1
𝑥 − 𝑎
+
𝑎2
(𝑥 − 𝑎)2…
+
𝑎 𝑛
(𝑥 − 𝑎) 𝑛
+
𝑏1
𝑥 − 𝑏
+
𝑏2
(𝑥 − 𝑏)2…
+
𝑏 𝑛
(𝑥 − 𝑏) 𝑛
∫
𝑓(𝑥)
(𝑥−𝑎) 𝑛(𝑥−𝑏) 𝑚 𝑑𝑥 = ∫
𝑎1
𝑥−𝑎
𝑑𝑥 + ∫
𝑎2
(𝑥−𝑎)2… 𝑑𝑥 + ∫
𝑎 𝑛
(𝑥−𝑎) 𝑛 𝑑𝑥 + ∫
𝑏1
𝑥−𝑏
𝑑𝑥 + ∫
𝑏2
(𝑥−𝑏)2… 𝑑𝑥 +
∫
𝑏 𝑛
(𝑥−𝑏) 𝑛 𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
(𝑥2+𝑐𝑥 + 𝑑)(𝑥2+𝑒𝑥 + 𝑓)
=
𝑚𝑥 + 𝑛
𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
+
𝑝𝑥 + 𝑞
𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓
∫
𝑓(𝑥)
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑)(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓)
𝑑𝑥 = ∫
𝑚𝑥+𝑛
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
𝑑𝑥 + ∫
𝑝𝑥+𝑞
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
dx

13. RAÍCES IMAGINARIAS SIMPLES:
𝑓(𝑥)
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑)(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓)
=
𝑚1 𝑥+𝑛1
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
+
𝑚2 𝑥+𝑛2
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
+…+
𝑚 𝑟 𝑥+𝑛 𝑟
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
+
𝑝1 𝑥+𝑞1
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
+
𝑝2 𝑥+𝑛2
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
+
𝑝 𝑟 𝑥+𝑛 𝑟
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
∫
𝑓(𝑥)
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑)(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓)
𝑑𝑥 = ∫
𝑚1 𝑥+𝑛1
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
𝑑𝑥 +
∫
𝑚2 𝑥+𝑛2
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
dx+…+∫
𝑚 𝑟 𝑥+𝑛 𝑟
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
dx+∫
𝑝1 𝑥+𝑞1
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
dx+∫
𝑝2 𝑥+𝑛2
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
dx+∫
𝑝 𝑟 𝑥+𝑛 𝑟
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
dx
RAÍCES IMAGINARIAS COMPUESTAS:
𝑓(𝑥)
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑) 𝑟(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓) 𝑎=
𝑚1 𝑥+𝑛1
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
+
𝑚2 𝑥+𝑛2
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑)2 + ⋯ +
𝑚 𝑟 𝑥+𝑛 𝑟
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑) 𝑟 +
𝑝1 𝑥+𝑞1
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
+
𝑝1 𝑥+𝑞1
(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓)2
+ ⋯ +
𝑝1 𝑥 + 𝑞1
(𝑥2 + 𝑒𝑥 + 𝑓) 𝑎
∫
𝑓(𝑥)
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑) 𝑟(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓) 𝑎=∫
𝑚1 𝑥+𝑛1
𝑥2+𝑐𝑥+𝑑
+ ∫
𝑚2 𝑥+𝑛2
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑)2 + ⋯ + ∫
𝑚 𝑟 𝑥+𝑛 𝑟
(𝑥2+𝑐𝑥+𝑑) 𝑟 + ∫
𝑝1 𝑥+𝑞1
𝑥2+𝑒𝑥+𝑓
+
∫
𝑝1 𝑥+𝑞1
(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓)2 + ⋯ + ∫
𝑝1 𝑥+𝑞1
(𝑥2+𝑒𝑥+𝑓) 𝑎

14. 1.∫
𝑑𝑥
(𝑥2−1)
(𝑥2
−1)= (x −1)⋅(x +1→)
𝐴
(𝑥−1)
𝐵
(𝑥+1)
1 = A (x +1) + B (x - 1); 0x + 1 = (A + B) x + (A - B);
identificando coeficientes de donde A= ½ y B=-½; sustituyendo
0=A+B
1=A-B
1
2
𝑋 − 1
𝑑𝑥 −
1
2
𝑋 + 1
𝑑𝑥 =
1
2
ln 𝑥 − 1 −
1
2
ln 𝑥 + 1 + 𝑐 = ln
𝑥 − 1
𝑥 + 1
+ 𝑐

15. 2.∫
𝑑𝑥
(𝑥2−9)
(𝑥2
−9)= (x −3)⋅(x +3→)
𝐴
(𝑥−3)
𝐵
(𝑥+3)
1 = A (x +3) + B (x - 3)
1 = (A + B) x + (-3A +3B);
identificando coeficientes de donde 6b=1 B=1/6; ademas
A+B=0
A=-B
A=-1/6
0=3A+3B
1=-3A+3B
𝑑𝑥
𝑋 − 9
𝑑𝑥 = −
1
6
𝑑𝑥
𝑥 + 3
+
1
6
𝑑𝑥
𝑥 − 3
= −
1
6
ln 𝑥 + 3 +
1
6
ln 𝑥 − 3 + 𝑐

16. Integrales de funciones trigonométricas
En el caso de funciones trigonométricas son precisas, en ocasiones, transformaciones
trigonométricas, que las pasan a funciones cuya integración es ya conocida o son más
simples.
Son útiles las sustituciones:
sen x = t
cos x = t
tg x = t
tg x/2 = t
*Para senx=t
x=arcsent
Dx=
𝑑𝑡
1−𝑡2
𝑡𝑔 =
𝑡
1 − 𝑡2
Cosx= 1 − 𝑡2

17. *Para tg 𝑥
2 x=t
x=2arctgt
Dx=
2𝑡𝑑𝑡
1+𝑡2
𝑠𝑒𝑛𝑥 =
2𝑡
1 + 𝑡2
Cosx =
1−𝑡2
1+𝑡2
Encontrar ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐42𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥22𝑥𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐22𝑥𝑑𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔22𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐22𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
2𝑥𝑑𝑥+∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔2
2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
2𝑥
Sea U=𝑐𝑜𝑡𝑔2
2𝑥
DU=−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2
2𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐22𝑥𝑑𝑥 -
1
2
𝑈2du=-
1
2
cotg2x-
𝑢3
3
+c= -
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥
2
-
𝑐𝑜𝑡𝑔32𝑥
6
+c
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐42𝑥𝑑𝑥 =-
𝑐𝑜𝑡𝑔2𝑥
2
-
𝑐𝑜𝑡𝑔32𝑥
6
+c

18. Integrales trigonométricas
Encontrar ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥 =
1 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥 = ∫
1+𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
𝑑𝑥 =
1
2
∫ 𝑑𝑥 +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥=
𝑥
2
+
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐
∫ 𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑑𝑥=
𝑥
2
+
1
2
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐
Encontrar ∫ 𝑐𝑜𝑠3 𝑥𝑑𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠3 𝑥𝑑𝑥=∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥 como 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑐𝑜𝑠2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥)𝑑𝑥 =∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 -∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥
U=𝑠𝑒𝑛2 𝑥
Du=cosx
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛2 𝑥𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛x-
𝑢3
3
+ 𝑐=𝑠𝑒𝑛x-
𝑠𝑒𝑛3 𝑥
3
+c
∫ 𝑐𝑜𝑠3 𝑥𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛x-
𝑠𝑒𝑛3 𝑥
3
+c

19. INTEGRALES IRRACIONALES
En el caso de que el integrando contiene potencias fraccionarias de la variable de
integración, estas se simplifican usando una sustitucion del tipo
x 𝑡4, 𝑛
𝑥 = 𝑡, siendo “n” el m.c.m de los denominadores de los exponentes
1.∫
𝑥𝑑𝑥
1+𝑥
La única expresión “irracional” es 𝑥, por lo tanto
𝑥 = 𝑡
𝑥 = 𝑡2
𝑑𝑥 = 2𝑡𝑑𝑡 luego
∫
𝑥𝑑𝑥
1+𝑥
=∫
𝑡(2𝑡𝑑𝑡)
1+𝑡2 =2 ∫
𝑡2
1+𝑡2 = 2 ∫ 1 −
1
1+𝑡2 dt=2 ∫ 𝑑𝑡 − 2 ∫
𝑑𝑡
𝑡2+1
= 2𝑡 − 2𝑎𝑟𝑡𝑔𝑡 + 𝑐
Dado que
𝑡 = 𝑥, se tiene 2 𝑥- 2arctg 𝑥+c

20. ∫
𝑥𝑑𝑥
1+𝑥
=2 𝑥- 2arctg 𝑥+c
2.∫
𝑥𝑑𝑥
1+ 𝑥
Irracional simple
Cambio x=𝑡2
T= 𝑥
Dx=2tdt
𝑥𝑑𝑥
1 + 𝑥
=
2 ∫
𝑡3 𝑑𝑡
1+𝑡
2 ∫ 𝑡2 − 𝑡 + 1 −
1
1+𝑡
𝑑𝑡

21. 2
𝑥3
3
−
𝑥
2
+ 𝑥 − 1 + 𝑥 + 𝑐
3.∫
𝑑𝑥
4
𝑥3+ 𝑥
Irracional simple
Cambio x=𝑡4
T=4
𝑥
Dx=4𝑡3dt
𝑑𝑥
4
𝑥3 + 𝑥
4∫
𝑡3 𝑑𝑡
𝑡3−𝑡2
4∫
𝑡𝑑𝑡
𝑡−1

22. 4 ∫ 1 +
1
𝑡−1
dt
4 4
𝑥 + 4
𝑥 − 1 + 𝑐
Integrales binómicas
•Se llaman integrales de diferenciales binómicas a las integrales del tipo:
∫ 𝑥 𝑚
(𝑎 + 𝑏𝑥 𝑛
)
𝑝
𝑑𝑥 (∗) donde m, n, y p son números racionales y los
coeficientes a y b, números reales.
Estas integrales se pueden expresar en términos de funciones elementales en los
siguientes casos:
•1. p∈Z. Entonces, la sustitución x=𝑡 𝑠
, con s el mínimo común múltiplo de los
denominadores de m y n, convierte (∗) en una integral racional.
•2.
𝑚+1
𝑛
∈Z. Entonces, la sustitución a+𝑏𝑥 𝑛
= 𝑡 𝑠
, siendo s el denominador de la
fracción p, convierte (∗) en una integral racional.

23. •3. p
𝒎+𝟏
𝒏
∈Z. Entonces, la sustitución a+𝒃𝒙−𝒏
= 𝒕 𝒔
, siendo s el denominador de la
fracción p, convierte (∗) en una integral racional.
1. ∫
𝑑𝑥
𝑥+(4
𝑥+1)
10
Podemos expresar ∫ 𝑥
1
2(1 + 𝑥
1
4)
−10
𝑑𝑥. Se trata de pues de una diferencial
binómica con p=−10, m=−1/2 y n=1/4. Dado que p es entero, estamos en el
primer caso de integrabilidad. El mínimo común múltiplo de los denominadores
de m y n es 4. Efectuando el cambio 𝑥 = 𝑡4
dx=4𝑡3
𝑑𝑡. Entonces
𝑡−2(1 + 𝑡)
−10
4𝑡3 𝑑𝑡 =
4∫
𝑡𝑑𝑡
(𝑡+1)10
4∫
𝑡+1 −1
(𝑡+1)10 dt

24. 4∫(𝑡 + 1)9 𝑑𝑡 − ∫(𝑡 + 1)−10 = 4 −
1
8(𝑡+1)8 +
1
9(𝑡+1)9 + 𝑐
4
(𝑡 + 1)8 −
1
9(𝑡 + 1)9 −
1
8
+ 𝑐
4
(𝑡 + 1)8
8 − 9(𝑡 + 1)
72(𝑡 + 1)
+ 𝑐
1
8
−9𝑡 − 1
(𝑡 + 1)9
+ 𝑐
−
94
𝑥 + 1
184
𝑥(𝑡 + 1)9
+ 𝑐

25. 2.∫
𝑥3 𝑑𝑥
(𝑎2−𝑥2) 𝑎2+𝑥2
Podemos expresar ∫ 𝑥3
(𝑎2
− 𝑥2
)
−3/2
𝑑𝑥.
Se trata pues de una diferencial binomica con p=−3/2, m=3 y n=2.
Dado que (m+1)/n=2 es entero, estamos en el segundo caso de integrabilidad y
el denominador de p es 2.
Efectuando el cambio 𝑎2
− 𝑥2
=𝑡2
, −2xdx=2tdt.
Entonces,
∫ 𝑥2
(𝑎2
− 𝑥2
)
−3/2
𝑑𝑥.
𝑎2
− 𝑡2
𝑡−3
(−𝑡𝑑𝑡)
1 − 𝑎2 𝑡−2 𝑑𝑡 = 𝑡 +
𝑎2
𝑡
+ 𝑐

26. 𝑡2 + 𝑎2
𝑡
+ 𝑐
2𝑎2
− 𝑥2
𝑎2 − 𝑥2
+ 𝑐
3.∫
𝑑𝑥
𝑥4 1+𝑥2
Podemos expresar ∫ 𝑥−4(1 + 𝑥2)
−1/2
𝑑𝑥.
Se trata pues de una diferencial binomica con p=−1/2, m=−4 y n=2.
Dado que p+(m+1)/n=−2 es entero, estamos en el tercer caso de
integrabilidad y el denominador de p es 2.
Efectuando el cambio 𝑥−2 + 1 = 𝑡2
−𝑥−3 𝑑𝑥 = 𝑡𝑑𝑡

27. 𝑡 = 1 + 𝑥−2 = 1 +
1
𝑥2
𝑥2 + 1
𝑥
Entonces
𝑥−4
(𝑥2
(𝑥−2
+ 1)
−1/2
𝑑𝑥
𝑥−5 (𝑥−2 + 1)
−1/2
𝑥−2
𝑥−2
+ 1
−
1
2
(𝑥−3
𝑑𝑥)

28. ∫(𝑡2
−1)𝑡−1
(−𝑡𝑑𝑡 )
(1 − 𝑡2 𝑑𝑡 =
𝑡 −
𝑡3
3
+ 𝑐
𝑡(1 −
𝑡2
3
) + 𝑐
𝑥2 + 1
𝑥
(1 −
𝑥2
+ 1
3𝑥2
+ 𝑐
(2𝑥2−1 𝑥2+1
3𝑥3 +c

29. Conclusión
La matemática en general es muy útil en lo que se refiere a la vida que
llevamos día a día, ya que sus aplicaciones nos facilitan la existencia, como
por ejemplo: para calcular la circulación sanguínea en biología, la capacidad
cardiaca en biología, para el cálculo de los valores promedio, en probabilidad,
entre otros.
Como se mencionó anteriormente, la matemática es una ciencia que tiene
una serie de beneficios tales como favorecer el desarrollo del razonamiento
y el pensamiento analítico.
A través del pensamiento analítico se desarrolla la habilidad de investigar, lo
que nos permite conocer mejor el mundo que nos rodea, ya que se busca la
verdad basada en evidencias y no en emociones. Esto se da debido a que las
matemáticas permiten razonar mediante una fórmula lógica tomando los
datos reales que puedan ser verificados.

30. Bibliografía
Gorostizaga, J NOCIONES PRELIMINARES DE MATEMÁTICAS
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/int_inmediatas.htm
Integrales inmediatas
https://www.vitutor.com/integrales/indefinidas/integrales_inmediatas.html
Olivar, Jesus(2016) 800 Integrales indefinidas
http://blogs.unellez.edu.ve/jesusolivar/files/2016/04/M%C3%A9todo-de-
integraci%C3%B3n-por-sustituci%C3%B3n.pdf
Integrales indefinidas
http://kambry.es/Apuntes%20Web/Integral%20Indefinida.pdf