Seccion 3.4 Inversión de la transformada Z

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NAYARIT
INGENIERÍA EN ELECTRÓNICA
Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
UNIDAD 3
Transformada 𝑍 y sus aplicaciones
A veces un poco de intuición e ingenio conduce a una reducción
considerable en la complejidad, y a veces también a mejoras en su
velocidad.
– Roger Penrose, La mente nueva del emperador, 1996, México.

Procesamiento Digital de Señales
M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca
3.4 Inversión de la transformada 𝑍

La inversión de la transformada 𝑍 queda determinada por la integral de
contorno sobre el camino cerrado 𝐶. El contorno 𝐶 es una circunferencia
dentro de la 𝑅𝑂𝐶 de 𝑋 𝑧 en el plano 𝑍.
𝑥 𝑛 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑋 𝑧 𝑧 𝑛−1
𝑑𝑧 3.4.1
Se pueden emplear cuatro métodos para la inversión de la transformada 𝑍:
1. Cálculo directo mediante integración de contorno.
2. Método de inspección.
3. Expansión en serie de potencias 𝑧 y 𝑧−1.
4. Expansión en fracciones simples y búsqueda en tabla.
Rev. Junio/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 3
Introducción

La definición de inversión formal que produce 𝑥(𝑛) a partir de 𝑋(𝑧) involucra
una integración compleja y esta definida por:
𝑥 𝑛 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑑𝑧
En ésta expresión, 𝐶 describe un contorno de integración que se recorre en
dirección de las manecillas del reloj (tal como el círculo unitario) y que
encierra al origen.
Para encontrar la solución directa, haremos uso del Teorema de la Integral
de Cauchy para determinar la transformada 𝑍 a partir de la integral de
contorno.
Cálculo directo mediante integración de contorno

Teorema de la Integral de Cauchy: sea 𝑓 𝑧 una función de la variable
compleja 𝑧 y sea 𝐶 un camino cerrado en el plano 𝑧. Si existe la derivada
𝑑𝑓 𝑧 /𝑑𝑧 dentro y sobre el contorno 𝐶 y si 𝑓 𝑧 no tiene polos en 𝑧 = 𝑧0,
entonces
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑓 𝑧
𝑧 − 𝑧0
𝑑𝑧 =
𝑓 𝑧0 , si z0 está contenido en 𝐶
0, si 𝑧0 no está contenido en 𝐶
3.4.2
Dominio 𝑍
𝐶
𝑧0

De forma mas general, si existe la derivada de orden 𝑘 + 1 de 𝑓 𝑧 y 𝑓 𝑧
no tiene polos en 𝑧 = 𝑧0, entonces
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑓 𝑧
𝑧 − 𝑧0
𝑘
𝑑𝑧 =
1
𝑘 − 1 !
𝑑 𝑘−1
𝑓 𝑧
𝑑𝑧 𝑘−1
𝑧=𝑧0
, si 𝑧0 está contenido en 𝐶
0, si 𝑧0 no esta contenido en 𝐶
3.4.3
Los valores del lado derecho de (3.3.2) y (3.3.3) son los residuos del polo en
𝑧 = 𝑧0 . Estos resultados son dos formas del Teorema de la Integral de
Cauchy.

El caso de la transformada inversa 𝑧, tenemos
𝑥 𝑛 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑑𝑧
=
todos los polos 𝑧 𝑖 contenidos en 𝐶
residuo de 𝑋 𝑧 𝑧 𝑛−1
en 𝑧 = 𝑧𝑖
=
𝑖
𝑧 − 𝑧𝑖 𝑋 𝑧 𝑧 𝑛−1
𝑧=𝑧 𝑖
3.4.4
Siempre que los polos 𝑧𝑖 sean simples. Si 𝑋 𝑧 𝑧 𝑛−1
no tiene polos dentro del
contorno 𝐶 para uno o mas valores de 𝑛, entonces 𝑥 𝑛 = 0 para dichos valores.

Ejemplo 3.18: Aplicar la fórmula del Teorema de la integral de Cauchy a
𝑓 𝑧 = 𝑒 𝑧
Solución: aplicando (3.3.2) a 𝑓 𝑧
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑒 𝑧
𝑧 − 2
𝑑𝑧 = 𝑒 𝑧
𝑧=2
= 𝑒2
Para cualquier contorno que contiene a 𝑧0 = 2 (ya que 𝑒 𝑧
es entrera) y es
igual a cero para cualquier contorno tal que 𝑧0 = 2 este fuera (debido al
Teorema de la Integral de Cauchy).

Ejemplo 3.19: Integración alrededor de contornos diferentes. Integrar
𝑔 𝑧 =
𝑧 + 1
𝑧2 − 1
en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de una
circunferencia de radio 1 y con centro en el punto
a) 𝑧 = 1
b) 𝑧 =
1
2
c) 𝑧 = −1 +
1
2
𝑗
d) 𝑧 = 𝑗
Solución: a fin de ver que sucede se localizan los puntos en que 𝑔 𝑧 no es
analítica y se trazan junto con los contornos. Estos puntos son -1 y 1.

Ejemplo 3.19:
Debido al principio de deformación de la trayectoria, se observa que con (b)
se obtiene el mismo resultado que con (a). También debido al Teorema de
la Integral de Cauchy, con (d) se obtiene cero. Primero se considerará (a) y
luego (c).
(a)
(b)
(c)
(d)
-1 1 𝑥
𝑦

Ejemplo 3.19:
(a) Aquí 𝑧0 = 1, de modo que 𝑧 − 𝑧0 = 𝑧 − 1 en (3.3.2). Así es necesario
escribir
𝑔 𝑧 =
𝑧2 + 1
𝑧2 − 1
=
𝑧2 + 1
𝑧 + 1
1
𝑧 − 1
; por tanto, 𝑓 𝑧 =
𝑧2 + 1
𝑧 + 1
y con (3.3.2) se obtiene
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑧2
+ 1
𝑧2 − 1
𝑑𝑧 = 𝑓 1 =
𝑧2
+ 1
𝑧 + 1 𝑧=1
= 1

Ejemplo 3.19:
c) 𝑔 𝑧 es igual que antes, pero 𝑓 𝑧 cambia, porque ahora debe tomarse
𝑧0 = −1 (en vez de 1). Con lo anterior, en (3.4.2) se tiene un factor 𝑧 −
𝑧0 = 𝑧 + 1. Por tanto ahora es necesario escribir
𝑔 𝑧 =
𝑧2 + 1
𝑧 − 1
1
𝑧 + 1
; 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑓 𝑧 =
𝑧2 + 1
𝑧 − 1
Lo anterior se compara con la expresión previa y se prosigue:
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑧2 + 1
𝑧2 − 1
𝑑𝑧 = 𝑓 −1 =
𝑧2 + 1
𝑧 − 1
𝑧=−1
= −1

Ejemplo 3.20: Uso de fracciones parciales. Integrar 𝑔 𝑧 = 𝑧2 − 1 −1 tan 𝑧
alrededor del círculo 𝐶: 𝑧 = 3/2 (en sentido contrario al movimiento de las
manecillas del reloj).
Solución: tan 𝑧 no es analítica en ±𝜋/2, ±3𝜋/2, … donde se hace infinito,
sino que todos estos puntos están fuera del contorno. 𝑧2 − 1 −1 =
1/ 𝑧 − 1 𝑧 + 1 no es analítica en 1 y −1 , estos polos hacen
indeterminada la función. A fin de obtener integrales de la forma (3.3.2) con
solo un punto dentro de 𝐶 en que el integrando no sea analítico, se usan
fracciones parciales de la forma
1
𝑧2 − 1
=
1
2
1
𝑧 − 1
−
1
𝑧 + 1
(Nota: mas adelante en esta sección veremos con mas detalle las fracciones parciales.)

Ejemplo 3.20: Uso de fracciones parciales.
Con base en lo anterior y en (3.4.2), se obtiene
1
2𝜋𝑗 𝐶
tan 𝑧
𝑧2 − 1
𝑑𝑧 =
1
2𝜋𝑗
1
2 𝐶
tan 𝑧
𝑧 − 1
𝑑𝑧 −
𝐶
tan 𝑧
𝑧 + 1
𝑑𝑧
1
2
tan 1 − tan −1 = tan 1 = 1.557

Ejemplo 3.21: Evalúe la transformada 𝑧 de
𝑋 𝑧 =
1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑧 < 𝑎
Utilizando la integral de inversión compleja.
Solución: Tenemos
𝑥 𝑛 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑧 𝑛−1
1 − 𝑎𝑧−1
𝑑𝑧 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
𝑧 𝑛
𝑑𝑧
𝑧 − 𝑎
donde 𝐶 es una circunferencia de radio mayor que 𝑎 . Evaluemos esta
integral utilizando (3.3.2) con 𝑓 𝑧 = 𝑧 𝑛. Vamos a diferenciar dos casos
1. Si 𝑛 ≥ 0, 𝑓 𝑧 solo tiene ceros y, por tanto, ningún polo dentro del
contorno 𝐶. El único polo dentro de 𝐶 es 𝑧 = 𝑎. Luego
𝑥 𝑛 = 𝑓 𝑧0 = 𝑎 𝑛, 𝑛 ≥ 0

Ejemplo 3.21:
2. Si 𝑛 < 0, 𝑓 𝑧 = 𝑧 𝑛 tiene un polo de orden 𝑛 en 𝑧 = 0, que está dentro
de 𝐶. Por tanto existen contribuciones de ambos polos. Para 𝑛 = −1,
tenemos que
𝑥 −1 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
1
𝑧 𝑧 − 𝑎
𝑑𝑧 =
1
𝑧 − 𝑎 𝑧=0
+
1
𝑧 𝑧=𝑎
= 0
Si 𝑛 = −2, tenemos
𝑥 −2 =
1
2𝜋𝑗 𝐶
1
𝑧2 𝑧 − 𝑎
𝑑𝑧 =
𝑑
𝑑𝑧
1
𝑧 − 𝑎
𝑧=0
+
1
𝑧2
𝑧=𝑎
= 0
Continuando con este procedimiento podemos demostrar que 𝑥 𝑛 = 0
para 𝑛 < 0. Por tanto,
𝑥 𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑢 𝑛

Aunque la integral de contorno nos proporciona la fórmula de inversión
deseada para determinar la secuencia 𝑥(𝑛) a partir de su transformada 𝑧, no
la usaremos directamente en nuestros cálculos. En nuestras aplicaciones
tratamos con señales y sistemas racionales, es decir, transformadas 𝑧 que
son el cociente de dos polinomios.

El método de inspección consiste simplemente en estar familiarizado con, o
reconocer “por simple inspección” ciertas parejas de transformadas. Por
ejemplo, las transformadas 𝑍 de secuencias de la forma 𝑥(𝑛) = 𝑎 𝑛 𝑢(𝑛),
siendo a un número real o complejo surgen muy frecuentemente, y por tanto
resulta particularmente útil hacer uso directo de la pareja de transformadas.
𝑎 𝑛 𝑢 𝑛
𝑧 1
1 − 𝑎𝑧−1
, 𝑧 > 𝑎 3.4.5
Por ejemplo, si necesitamos obtener la transformada Z inversa de:
𝑋 𝑧 =
1
1 −
1
2
𝑧−1
, 𝑧 >
1
2
Método por inspección

Y observamos la pareja de transformadas 𝑍 de la tabla, reconoceremos “por
inspección” que la secuencia asociada es:
𝑥 𝑛 =
1
2
𝑛
𝑢 𝑛
Si la región de convergencia asociada a 𝑋(𝑧) hubiera sido: 𝒛 <
𝟏
𝟐
hubieramos
utilizado el par transformada que nos entrega:
𝑥 𝑛 = −
1
2
𝑛
𝑢 −𝑛 − 1
Método por inspección

La idea fundamental de este método es la siguiente: dada una transformada
𝑧, 𝑋(𝑧) con su correspondiente 𝑅𝑂𝐶, podemos expandir 𝑋(𝑧) en una serie de
potencias que converge en la 𝑅𝑂𝐶 dada:
𝑋 𝑧 =
𝑛=−∞
∞
𝑐 𝑛 𝑧−𝑛
3.4.6
Cuando X(z) es racional, la expansión se puede realizar efectuando la
división.
Expansión en serie de potencias 𝑧 y 𝑧−1

Rev. Mayo/2020 M.C. Juan Salvador Palacios Fonseca 21
Ejemplo 3.22: Determine la transformada z inversa de
𝑋 𝑧 =
1
1 − 1.5𝑧−1 + 0.5𝑧−2
para
a) 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
b) 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 0.5
Solución:
a) Ya que la 𝑅𝑂𝐶 es el exterior de un círculo, podemos esperar que 𝑥 𝑛
sea una señal causal. Luego buscamos una expansión en serie de
potencias negativas de 𝑧. Dividiendo el numerador de 𝑋 𝑧 entre su
denominador, obtenemos la serie de potencias

Ejemplo 3.22:
𝑋 𝑧 =
1
1 −
3
2
𝑧−1 +
1
2
𝑧−2
= 1 +
3
2
𝑧−1
+
7
4
𝑧−2
+
15
8
𝑧−3
+
31
16
𝑧−4
+ ⋯
Comparando con (3.1.1) podemos determina la secuencia en tiempo
discreto
𝑥 𝑛 = 1,
3
2
,
7
4
,
15
8
,
31
16
, …
Observe que en cada paso de la división, eliminamos el término con la
menor potencia de 𝑧−1
.

Ejemplo 3.22:
b) En este caso, la 𝑅𝑂𝐶 es el interior de un circulo. En consecuencia la
señal 𝑥 𝑛 es anticausal. Para obtener una expansión en serie de
potencias positivas de 𝑧, realizamos las sucesivas divisiones con la
posición invertida de los términos del denominador de
1
1
2
𝑧−2 −
3
2
𝑧−1 + 1
= 2𝑧2 + 6z3 + 14z4 + 30z5 + 62z6 + ⋯
En este caso, 𝑥 𝑛 = 0, 𝑛 ≥ 0. Comparando este resultado con 3.3.1,
podemos concluir
𝑥 𝑛 = … , 62,30,14,6,2,0, 0

Ejemplo 3.22:
Observe que en cada paso del proceso de divisiones sucesivas, se
elimina el término de la potencia mas baja de 𝑧. Además, en señales
anticausales, las divisiones se realizan simplemente escribiendo los
dos polinomios en orden inverso, es decir, comenzando con el término
mas negativo de la izquierda.

Ejemplo 3.23: Determine la transformada 𝑧 inversa de
𝑋 𝑧 = log 1 + 𝑎𝑧−1 , 𝑧 > 𝑎
Solución: Aplicando la expansión en serie de potencias para log 1 + 𝑥 ,
siendo 𝑥 < 1, obtenemos
𝑋 𝑧 =
𝑛=1
∞
−1 𝑛+1 𝑎 𝑛 𝑧−𝑛
𝑛
Por tanto
𝑥 𝑛 = −1 𝑛+1
𝑎 𝑛
𝑛
, 𝑛 ≥ 1
0, 𝑛 ≤ 0
La expansión de funciones irracionales en serie de potencias puede
obtenerse a partir de tablas.

𝑋 𝑧 = 𝑧2
1 −
1
2
𝑧−1
1 + 𝑧−1
1 − 𝑧−1
Solución: 𝑋 𝑧 es una función racional y sus polos están en 𝑧, por lo que no
es apropiado realizar una descomposición en fracciones simples, (tema
que se vera mas adelante). Sin embargo, si multiplicamos los factores de la
función, podemos expresarla de otra manera
𝑋 𝑧 = 𝑧2 −
1
2
𝑧 − 1 +
1
2
𝑧−1
Por simple inspección se observa que 𝑥 𝑛 es

Ejemplo 3.24:
𝑥 𝑛 =
1, 𝑛 = −2
−
1
2
, 𝑛 = −1
−1, 𝑛 = 0
1
2
, 𝑛 = 1
0, en el resto
O de forma equivalente
𝑥 𝑛 = … , 0,1, −
1
2
, −1,
1
2
, 0, …

Con éste método intentamos expresar la función como una combinación
lineal de la forma:
𝑋 𝑧 = 𝛼1 𝑋1 𝑧 + 𝛼2 𝑋2 𝑧 + ⋯ + 𝛼 𝐾 𝑋 𝐾 𝑧 3.4.7
La transformada inversa de la expresión anterior seria:
𝑥 𝑛 = 𝛼1 𝑥1 𝑛 + 𝛼2 𝑥2 𝑛 + ⋯ + 𝛼 𝐾 𝑥 𝐾 𝑛 (3.4.8)
Este método es especialmente útil cuando 𝑋(𝑧) es una función racional.
Supondremos ahora que 𝑎0 = 1, podemos representar 𝑋(𝑧) como:
𝑋 𝑧 =
B 𝑧
A 𝑧
=
𝑏0 + 𝑏1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑧−𝑀
1 + 𝑎1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑎 𝑁 𝑧−𝑁
3.4.9
Se denomina función propia cuando el número de ceros finitos es menor que
el número de polos finitos, 𝑀 < 𝑁 y 𝑎0 ≠ 0.
Método de expansión en fracciones parciales

Una función racional impropia (𝑀 ≥ 𝑁) siempre se puede escribir como la
suma de un polinomio y una función propia.
𝑋 𝑧 =
B 𝑧
A 𝑧
= 𝑐0 + 𝑐1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑐 𝑀−𝑁 𝑧− 𝑀−𝑁 +
B1 𝑧
A 𝑧
3.4.10

Ejemplo 3.25: Exprese la siguiente transformada impropia en términos de
un polinomio y una función propia.
𝑋(𝑧) =
1 + 3𝑧−1 +
11
6
𝑧−2 +
1
3
𝑧−3
1 +
5
6
𝑧−1 +
1
6
𝑧−2
Solución: Para convertirla en una función propia debemos eliminar los
términos de 𝑧−2 y 𝑧−3 por lo que debemos realizar la división de estos dos
polinomios escritos en orden inverso. Dejaremos de dividir cuando el orden
del resto sea 𝑧−1
. Así obtenemos:
𝑋(𝑧) = 1 + 2𝑧−1 +
1
6
𝑧−1
1 +
5
6
𝑧−1 +
1
6
𝑧−2

La transformada z inversa de un polinomio es sencilla por lo que nos
centraremos en la expansión en fracciones parciales de una función propia.
Sea una función racional propia
𝑋 𝑧 =
B 𝑧
A 𝑧
=
𝑏0 + 𝑏1 𝑧−1
+ ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑧−𝑀
1 + 𝑎1 𝑧−1 + ⋯ + 𝑎 𝑁 𝑧−𝑁
3.4.11
Expresamos la función con potencias positivas. Dado que N>M, la función sigue
siendo propia.
𝑋(𝑧)
𝑧
=
𝑏0 𝑧 𝑁−1
+ 𝑏1 𝑧 𝑁−2
+ ⋯ + 𝑏 𝑀 𝑧 𝑁−𝑀−1
𝑧 𝑛 + 𝑎1 𝑧 𝑁−1 + ⋯ + 𝑎 𝑁
3.4.12
Nuestro objetivo es expresar la función anterior como una suma de fracciones
simples. Para lograrlo factorizamos el denominador y obtenemos sus polos,
𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝 𝑁.

Existen dos casos posibles, polos diferentes y polos de orden múltiple.
Polos de diferentes:
𝑋(𝑧)
𝑧
=
𝐴1
𝑧 − 𝑝1
+
𝐴2
𝑧 − 𝑝2
+ ⋯ +
𝐴 𝑁
𝑧 − 𝑝 𝑁
3.4.13
El problema es determina los coeficientes 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑁.

Ejemplo 3.26: Determine la expansión en fracciones parciales de la función
propia
𝑋 𝑧 =
1
1 − 1.5𝑧−1 + 0.5𝑧−2
3.4.14
Solución: Primero eliminamos las potencias negativas
𝑋 𝑧 =
𝑧2
𝑧2 − 1.5𝑧 + 0.5
Los polos de 𝑋(𝑧) son 𝑝1 = 1 y 𝑝2 = 0.5, entonces se expande a
𝑋 𝑧
𝑧
=
𝑧
𝑧 − 1 𝑧 − 0.5
=
𝐴1
𝑧 − 1
+
𝐴2
𝑧 − 0.5

Ejemplo 3.26:
Para determinar 𝐴1 y 𝐴2 multiplicamos por el término del denominador (𝑧 −
1)(𝑧 − 0.5) y obtenemos
𝑧 = 𝑧 − 0.5 𝐴1 + 𝑧 − 1 𝐴2
Si hacemos ahora 𝑧 = 𝑝1 = 1 eliminamos el término que incluye 𝐴2. Por lo
tanto
1 = 1 − 0.5 𝐴1
Obtenemos el resultado de 𝐴1 = 2. Para obtener 𝐴2 hacemos 𝑧 = 𝑝2 = 0.5
0.5 = 0.5 − 1 𝐴2
Por tanto, 𝐴2 = −1. Entonces sustituyendo
𝑋(𝑧) =
2𝑧
𝑧 − 1
−
𝑧
𝑧 − 0.5

El ejemplo anterior indica que podemos obtener los coeficientes 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴 𝑁,
multiplicando ambas partes por cada uno de los términos (𝑧 − 𝑝𝑘, 𝑘 =
1,2, … , 𝑁, y calculando las expresiones resultantes en las posiciones de los
polos, 𝑝1, 𝑝2, … , 𝑝 𝑁. Así en general, tenemos
(𝑧 − 𝑝 𝑘)𝑋(𝑧)
𝑧
=
(𝑧 − 𝑝 𝑘)𝐴1
𝑧 − 𝑝1
+ ⋯ + 𝐴 𝑘 + ⋯ +
(𝑧 − 𝑝 𝑘)𝐴 𝑁
𝑧 − 𝑝 𝑁
Como consecuencia, haciendo 𝑧 = 𝑝 𝑘 , obtenemos los 𝑘 − é𝑠𝑖𝑚𝑜𝑠
coeficientes.
𝐴 𝑘 =
(𝑧 − 𝑝 𝑘)𝑋(𝑧)
𝑧 𝑧=𝑝 𝑘
𝑘 = 1,2, . . . , 𝑁

Ejemplo 3.27: Determine la expansión en fracciones parciales de
𝑋 𝑧 =
1 + z−1
1 − 𝑧−1 + 0.5𝑧−2
3.4.15
Solución: Para eliminar la potencias negativas de (3.4.15). Multiplicamos
tanto el numerador como el denominador por 𝑧2. Entonces
X z
z
=
z + 1
z2 − z + 0.5
Sacando los factores del denominador, determinamos que los polos de
𝑋(𝑧) son complejos conjugados
𝑝1 =
1
2
+ 𝑗
1
2
𝑝2 =
1
2
− 𝑗
1
2

Ejemplo 3.27:
Ya que 𝑝1 y 𝑝2 son diferentes, se expande de la forma siguiente
𝑋 𝑧
𝑧
=
𝑧 + 1
𝑧 − 𝑝1 𝑧 − 𝑝2
=
𝐴1
𝑧 − 𝑝1
+
𝐴2
𝑧 − 𝑝2
Para encontrar 𝐴1 y 𝐴2 utilizamos la formula
𝐴1 =
𝑧 − 𝑝1 𝑋 𝑧
𝑧 𝑧=𝑝1
=
𝑧 + 1
𝑧 − 𝑝2 𝑧=𝑝1
=
1
2
+ 𝑗
1
2
+ 1
1
2
+ 𝑗
1
2
−
1
2
+ 𝑗
1
2
=
1
2
− 𝑗
3
2
De forma similar se obtiene para 𝐴2.
𝐴2 =
𝑧 − 𝑝2 𝑋 𝑧
𝑧 𝑧=𝑝2
=
𝑧 + 1
𝑧 − 𝑝1 𝑧=𝑝2
=
1
2 − 𝑗
1
2 + 1
1
2
− 𝑗
1
2
−
1
2
− 𝑗
1
2
=
1
2
+ 𝑗
3
2

Del ejemplo anterior se deriva que los polos complejos conjugados producen
coeficientes de la expansión en fracciones simples que son complejos
conjugados.
Ahora revisemos el caso de los Polos de orden múltiple. Si 𝑋(𝑧) tiene un polo
de multiplicidad 𝑙, esto es, si su denominador aparece un factor de la forma
𝑧 − 𝑝 𝑘
𝑙, se dice que es una función de orden múltiple.

Ejemplo 3.28: Determine la expansión en fracciones parciales de
𝑋 𝑧 =
1
1 + 𝑧−1 1 − 𝑧−1 2
Solución: Primero expresamos la función en términos de las potencias
positivas de 𝑧
𝑋(𝑧)
𝑧
=
𝑧2
𝑧 + 1 𝑧 − 1 2
𝑋 𝑧 tiene un polo único en 𝑝1 = −1 y un polo doble en 𝑝2 = 𝑝3 = 1.

Ejemplo 3.28:
La expansión en fracciones parciales adecuada es
𝑋 𝑧
𝑧
=
𝑧2
𝑧 + 1 𝑧 − 1 2
=
𝐴1
𝑧 + 1
+
𝐴2
𝑧 − 1
+
𝐴3
𝑧 − 1 2
Debemos entonces encontrar los coeficientes 𝐴1, 𝐴2 y 𝐴3.
Para el coeficiente 𝐴1 se procede con el método de los polos diferentes,
multiplicando ambos lados de la ecuación por 𝑧 + 1 y evaluando en 𝑧 =
− 1.
𝑧 + 1 𝑋 𝑧
𝑧
= 𝐴1 +
𝑧 + 1
𝑧 − 1
𝐴2 +
𝑧 + 1
𝑧 − 1 2
𝐴3

Ejemplo 3.28:
Evaluando en 𝑧 = −1
𝐴1 =
𝑧 + 1 𝑋 𝑧
𝑧 𝑍=−1
=
1
4
Ahora, multiplicamos
𝑋 𝑧
𝑧
=
𝑧2
𝑧 + 1 𝑧 − 1 2
=
𝐴1
𝑧 + 1
+
𝐴2
𝑧 − 1
+
𝐴3
𝑧 − 1 2
por 𝑧 − 1 2
𝑧 − 1 2 𝑋(𝑧)
𝑧
=
𝑧 − 1 2
𝑧 + 1
𝐴1 + 𝑧 − 1 𝐴2 + 𝐴3

Ejemplo 3.28:
Evaluando en 𝑧 = 1, obtenemos 𝐴3
𝐴3 =
𝑧 − 1 2 𝑋 𝑧
𝑧
𝑧=1
=
1
2
El coeficiente 𝐴2 se obtiene diferenciando ambos lados de
𝑧 − 1 2 𝑋(𝑧)
𝑧
=
𝑧 − 1 2
𝑧 + 1
𝐴1 + 𝑧 − 1 𝐴2 + 𝐴3
Con respecto a 𝑧 y evaluando el resultado con 𝑧 = 1. No se requiere
derivar la parte derecha, ya que todos los términos se hacen cero, excepto
𝐴2 al hacer 𝑧 = 1.
𝐴2 =
𝑑
𝑑𝑧
𝑧 − 1 2 𝑋 𝑧
𝑧 𝑧=1
=
3
4

La generalización del procedimiento utilizado en el caso de los polos de
orden superior debe tener los términos
𝐴1𝑘
𝑧 − 𝑝 𝑘
+
𝐴2𝑘
𝑧 − 𝑝 𝑘
2
+ ⋯ +
𝐴 𝑚𝑘
𝑧 − 𝑝 𝑘
𝑚
3.4.16
Los coeficientes {𝐴𝑖𝑘} pueden evaluarse diferenciando como se ha hecho en
el ejemplo anterior.

Inversión de X(z). Expresamos 𝑋(𝑧) con exponentes negativos.
𝑋 𝑧 = 𝐴1
1
1 − 𝑝1 𝑧−1
+ 𝐴2
1
1 − 𝑝2 𝑧−1
+ ⋯ + 𝐴 𝑁
1
1 − 𝑝 𝑁 𝑧−1
3.4.17
De la tabla de pares transformadas, encontramos que su transformada 𝑍
inversa es:
𝑍−1
1
1 − 𝑝 𝑘 𝑧−1
=
(𝑝 𝑘) 𝑛
𝑢(𝑛), si 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑝 𝑘 causal
−(𝑝 𝑘) 𝑛
𝑢(−𝑛 − 1), si 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 𝑝 𝑘 anticausal
3.4.18
Finalmente hacemos la combinación en 𝑛. Si la señal 𝑥(𝑛) es causal, la 𝑅𝑂𝐶
es |𝑧| > 𝑝,𝑚𝑎𝑥, donde p 𝑚𝑎𝑥 = max{|𝑝1|, |𝑝2|, … , |𝑝 𝑁|}

Si existen polos complejos, debemos ser capaces de reducir estos términos
a componentes reales. Como vimos en el ejemplo anterior, si existen polos
complejos conjugados, su contribución en 𝑥(𝑛) es de la forma:
𝑥 𝑘(𝑛) = [𝐴 𝑘(𝑝 𝑘) 𝑛
+ 𝐴 𝑘
∗
𝑝 𝑘
∗
) 𝑛
𝑢 𝑛 (3.4.19)
Estos dos términos pueden combinarse para formar una señal real. Primero
expresamos 𝐴𝑗 y 𝑝𝑗 en forma polar, amplitud y fase
𝐴 𝑘 = 𝐴 𝑘 𝑒 𝑗𝛼𝑘
3.4.20
𝑝 𝑘 = 𝑟𝑘 𝑒 𝑗𝛽𝑘 3.4.21
Entonces tenemos que
𝑥 𝑘 𝑛 = 𝐴 𝑘 𝑟𝑘
𝑛
𝑒 𝑗 𝛽 𝑘 𝑛+𝛼 𝑘 + 𝑒−𝑗 𝛽 𝑘 𝑛+𝛼 𝑘 𝑢 𝑛 3.4.22
𝑥 𝑘(𝑛) = 2 𝐴 𝑘 𝑟𝑘
𝑛
cos( 𝛽 𝑘 𝑛 + 𝛼 𝑘)𝑢(𝑛) (3.4.23)

Entonces, podemos concluir que
𝑍−1
𝐴 𝑘
1 − 𝑝 𝑘 𝑧−1
+
𝐴 𝑘
∗
1 − 𝑝 𝑘
∗
𝑧−1
= 2 𝐴 𝑘 𝑟𝑘
𝑛
cos( 𝛽 𝑘 𝑛 + 𝛼 𝑘)𝑢(𝑛) (3.4.24)
Si la 𝑅𝑂𝐶 es 𝑧 > 𝑝 𝑘 = 𝑟𝑘.
Vemos que cada par de polos complejos conjugados en el dominio de z produce
una señal sinusoidal causal con envolvente exponencial.
• La distancia 𝒓 𝒌 del polo al origen determina la variación de la exponencial
(creciente si 𝒓 𝒌 > 1, decreciente si 𝑟𝑘 < 1, y constante si 𝒓 𝒌 = 1).
• El ángulo de los polos respecto del eje real positivo determina la frecuencia
de la sinusoide.
• Los ceros o, equivalentemente, el numerador de la transformada racional,
afectan indirectamente a la amplitud y a la fase de 𝒙 𝒌(𝒏) a través de 𝑨 𝒌.

Para el caso de polos doble, reales o complejos, se necesita una
transformada de la forma
𝐴
𝑧 − 𝑝k
n
3.4.25
Para el caso polo doble
𝑍
𝑝𝑧−1
1 − 𝑝𝑧−1 2
= 𝑛𝑝 𝑛
𝜇 𝑛 3.4.26
Siempre que la 𝑅𝑂𝐶 sea 𝑧 > 𝑝 . La generalización al caso de polos con
multiplicidades mayores se obtiene mediante diferenciación múltiple.

𝑋 𝑧 =
1
1 − 1.5𝑧−1 + 0.5𝑧−2
Si
a) 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 1
b) 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 0.5
c) 𝑅𝑂𝐶: 0.5 < 𝑧 < 1
Solución: Se trata del ejemplo 3.22 resuelto mediante la expansión en serie
de potencias. Para obtener un resultado analítico exacto, en el ejemplo
3.26 se obtuvo la expresión en fracciones parciales de 𝑋 𝑧 , que es
𝑋 𝑧 =
2
1 − 𝑧−1
−
1
1 − 0.5𝑧−1
3.4.27

Ejemplo 3.29:
Utilizando la formula de inversión:
𝑍−1
1
1 − 𝑝 𝑘 𝑧−1
=
(𝑝 𝑘) 𝑛
𝑢(𝑛), 𝑠𝑖 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 > 𝑝 𝑘 causal
−(𝑝 𝑘) 𝑛 𝑢(−𝑛 − 1), 𝑠𝑖 𝑅𝑂𝐶: 𝑧 < 𝑝 𝑘 anticausal
Obtenemos para
a) 𝑧 > 1, 𝑥 𝑛 es causal y ambos términos de (3.3.27) son términos
causales. Entonces de (3.3.18)
𝑥 𝑛 = 2 1 𝑛
𝜇 𝑛 − 0.5 𝑛
𝜇 𝑛 = 2 − 0.5 𝑛
𝜇 𝑛
Lo que esta de acuerdo con la respuesta de (3.22 (a)).

Ejemplo 3.29:
b) 𝑧 < 0.5, 𝑥 𝑛 es anticausal
𝑥 𝑛 = −2 + 0.5 𝑛 𝜇 −𝑛 − 1
c) 0.5 < 𝑧 < 1, es un anillo, con el polo 𝑝2 = 0.5 proporciona la parte
causal y el 𝑝1 = 1 la parte anticausal
𝑥 𝑛 = −2 1 𝑛 𝜇 −𝑛 − 1 − 0.5 𝑛 𝜇 𝑛

Ejemplo 3.30: Determine la señal causal 𝑥 𝑛 cuya transformada 𝑍 está dada
por
𝑋 𝑧 =
1 + 𝑧−1
1 − 𝑧−1 + 0.5𝑧−2
Solución: En el ejemplo 3.27 se ha obtenido la expansión en fracciones
parciales como
𝑋 𝑧 =
𝐴1
1 − 𝑝1 𝑧−1
+
𝐴2
1 − 𝑝2 𝑧−1
Donde
𝐴1 = 𝐴2
∗
=
1
2
− 𝑗
3
2
Y
𝑝1 = 𝑝2
∗
=
1
2
+ 𝑗
1
2

Ejemplo 3.30:
Puesto que tenemos una pareja de polos complejos conjugados, tenemos
que utilizar (3.4.23). La forma polar de 𝐴1 y 𝑝1 son
𝐴1 =
10
2
e−𝑗71.565°
𝑝1 =
1
2
𝑒 𝑗𝜋/4
Por tanto
𝑥 𝑛 = 10
1
2
𝑛
cos
𝜋𝑛
4
− 71.565° 𝑢 𝑛

Ejemplo 3.31: Determine la señal causal 𝑥 𝑛 cuya transformada 𝑍 es
𝑋 𝑧 =
1
1 + 𝑧−1 1 − 𝑧−1 2
Solución: En el ejemplo 3.28 tenemos
𝑋 𝑧 =
1
4
1
1 + 𝑧−1
+
3
4
1
1 − 𝑧−1
+
1
2
𝑧−1
1 − 𝑧−1 2
Aplicando las relaciones de la transformada inversa dadas por (3.4.18) y
(3.4.23), obtenemos
𝑥 𝑛 =
1
4
−1 𝑛
𝑢 𝑛 +
3
4
𝑢 𝑛 +
1
2
𝑛𝑢 𝑛 =
1
4
−1 𝑛
+
3
4
+
𝑛
2
𝑢 𝑛

Supongamos que tenemos una transformada 𝑍 racional 𝑋 𝑧 expresada
como
𝑋 𝑧 =
𝑘=0
𝑀
𝑏 𝑘 𝑧−𝑘
1 + 𝑘=1
𝑁
𝑎 𝑘 𝑧−𝑘
= 𝑏0
𝑘=1
𝑀
1 − 𝑧 𝑘 𝑧−1
𝑘=1
𝑁
1 − 𝑝 𝑘 𝑧−1
3.4.27
Donde por simplicidad, hemos supuesto que 𝑎0 ≡ 1. Si 𝑀 > 𝑁 [es decir, 𝑋 𝑛
es impropia], convertimos 𝑋 𝑧 en una suma de un polinomio y una función
propia.
𝑋 𝑧 =
𝑘=0
𝑀−𝑁
𝑐 𝑘 𝑧−𝑘 + 𝑋 𝑝𝑟 𝑧 3.4.28
Descomposición de las transformadas 𝑧 racionales

Si los polos de 𝑋 𝑝𝑟 𝑧 son distintos, podemos obtener la expansión en fracciones
parciales como
𝑋 𝑝𝑟 𝑧 = 𝐴1
1
1 − 𝑝1 𝑧−1
+ 𝐴2
1
1 − 𝑝2 𝑧−1
+ ⋯ + 𝐴 𝑁
1
1 − 𝑝 𝑁 𝑧−1
3.4.29
Si los polos son complejos conjugados en (3.3.29) debemos evitar los
coeficientes complejos en la descomposición, dado que estamos trabajando con
señales reales. Para lograrlo, se pueden agrupar y combinar los términos
complejos de la siguiente manera
𝐴
1 − 𝑝𝑧−1
+
𝐴∗
1 − 𝑝∗ 𝑧−1
=
𝐴 − 𝐴𝑝∗
𝑧−1
+ 𝐴∗
− 𝐴∗
𝑝𝑧−1
1 − 𝑝𝑧−1 − 𝑝∗ 𝑧−1 + 𝑝𝑝∗ 𝑧−2
=
𝑏0 + 𝑏1 𝑧−1
1 + 𝑎1 𝑧−1 + 𝑎2 𝑧−2
3.4.30

Donde
𝑏0 = 2Re 𝐴 , 𝑎1 = −2Re 𝑝 3.4.31
𝑏1 = 2Re 𝐴𝑝∗
, 𝑎2 = 𝑝 2
Son los coeficientes deseados.
Combinando (3.3.28) con (3.3.29) y (3.3.31), obtenemos una expansión en
fracciones parciales para la transformada 𝑍 con polos diferentes que
contienen coeficientes reales.
𝑋 𝑧 =
𝑘=0
𝑀−𝑁
𝑐 𝑘 𝑧−𝑘 +
𝑘=1
𝐾1
𝑏 𝑘
1 + 𝑎 𝑘 𝑧−1
+
𝑘=1
𝐾2
𝑏0𝑘 + 𝑏1𝑘 𝑧−1
1 + 𝑎1𝑘 𝑧−1 + 𝑎2𝑘 𝑧−2
3.4.32
Donde 𝐾1 + 2𝐾2 = 𝑁. Si 𝑀 = 𝑁, el primer término es una constante. Si 𝑀 <
𝑁, el término se elimina.

3.4.1 (Proakis, 3.11) Utilizando las divisiones sucesivas, determine la
transformada 𝑍 inversa de
𝑋 𝑧 =
1 + 2𝑧−1
1 − 2𝑧−1 + 𝑧−2
Si
a) 𝑥 𝑛 es causal
b) 𝑥 𝑛 es anticausal
Ejercicios de la sección 3.4

3.4.1 (Proakis 3.14) Determine la
señal causal 𝑥 𝑛 si su transformada
𝑧𝑋 𝑧 está dada por:
a) 𝑋 𝑧 =
1+3𝑧−1
1+3𝑧−1+2𝑧−2
b) 𝑋 𝑧 =
1
1−𝑧−1+
1
2
𝑧−2
c) 𝑋 𝑧 =
𝑧−6+𝑧−7
1−𝑧−1
d) 𝑋 𝑧 =
1+2𝑧−2
1+𝑧−2
e) 𝑋 𝑧 =
1
4
1+6𝑧−1+𝑧−2
1−2𝑧−1+2𝑧−2 1−0.5𝑧−1
f) 𝑋 𝑧 =
2−1.5𝑧−1
1−1.5𝑧−1+0.5𝑧−2
g) 𝑋 𝑧 =
1+2𝑧−1+𝑧−2
1+4𝑧−1+4𝑧−2
h) 𝑋 𝑧 está especificada por el
patrón de polos y ceros de la
figura

3.4.1 (Proakis 3.14) Determine la
señal causal 𝑥 𝑛 si su transformada
𝑧𝑋 𝑧 está dada por:
a) 𝑋 𝑧 =
1−
1
2
𝑧−1
1+
1
2
𝑧−1
b) 𝑋 𝑧 =
1−𝑎𝑧−1
𝑧−1−𝑎

Seccion 3.4 Inversión de la transformada Z

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Seccion 3.4 Inversión de la transformada Z

Similar a Seccion 3.4 Inversión de la transformada Z (20)

Más de Juan Palacios

Más de Juan Palacios (7)

Último

Último (20)

Seccion 3.4 Inversión de la transformada Z

Notas del editor