modelo de examen IUP "Santiago Mariño"

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para Educación Universitaria, Ciencia y Tecnología
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Cátedra: Matemáticas. Examen (Corte I)
Evaluación: 30% del Semestre
Valor de examen: 20 ptos
Periodo 2015-2
Matemática II
Resultados del Examen
Pregunta 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Total
Nota
Fecha de Aplicación: _______________________________________
Nombre y Apellido: _________________________________________
Cédula de Identidad del Participante: ___________________________
Código de la Carrera en la que Participa: ________________________
SEMESTRE II
INGENIERÍA

2. INSTRUCCIONES GENERALES.
Con la aplicación del siguiente examen correspondiente al corte I, se estarán
evaluando las unidades 1 y 2 del programa de la asignatura matemática II del Instituto
Universitario Politécnico “Santiago Mariño”.
El examen está estructurado en cuatro (4) partes: Verdadero y falso, completación,
selección múltiple y desarrollo. El total de preguntas es de catorce (14)
Al iniciar cada parte del examen; usted debe leer detenidamente las instrucciones y
responder de acuerdo a ellas. Traté de Responder primeramente los ejercicios de menor
grado de dificultad para usted.
Para responder el examen, usted dispone de 3 horas, culminado este tiempo, usted
deberá regresar al profesor el examen respondido y con todos los datos llenos solicitados
en la carátula.
Solo estará permitido el uso de calculadoras científicas no programables, las tablas
que sirven de apoyo a la materia las cuales serán revisadas antes de dar inicio al examen,
lápices de grafito, saca puntas, borrador, juego de escuadras y compás
Antes de dar inicio a la aplicación del examen, usted deberá apagar su teléfono
celular eso evitará la distracción suya y la de sus compañeros.
Para el logro de la pregunta usted deberá responder correctamente todo lo
solicitado en cada una de ellas.
“Éxito”

3. I PARTE (VERDADERO O FALSO)
Instrucciones: A continuación se presentan varias afirmaciones. Analiza si cada una de
ellas es verdadera o falsa. Explique su respuesta. Cada respuesta correcta tiene el valor de un
punto (1 Pto.)
1) Las integrales definidas surgen del concepto de antiderivación....................... ( )
2) Dada la formula ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = cos 𝑢 + 𝑐 entonces es............................................ ( )
3) La identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2
− 1 es…………………....................... ( )
4) La integral de ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝑐 se dice que es…………...................................... ( )
II PARTE: COMPLETACIÓN
Instrucciones: en cada una de las siguientes preguntas escribe el término que le dé
lógicamente un significado verdadero a la proposición. Cada respuesta correcta tiene el valor un
punto (1 Pto.)
5) Dada ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = _________________________________________________________
6) La integración de expresiones de la forma ∫
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
𝒅𝒙 donde el polinomio Q(x) ha de
ser: ____________________________________________________________________
7) La integral por partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = _______________________________________________
III Parte: SELECCIÓN MULTIPLE
Instrucciones: En cada uno de los siguientes ítems selecciona la alternativa que consideres
correcta. Cada respuesta bien respondida tiene el valor de un punto (1 Pto.).
8) La integral = ∫
𝒅𝒙
𝑿 𝟒
=
a)
𝑥3
3
+ 𝐶 b) 𝟓𝒙 + 𝑪
c)
𝒙−𝟑
𝟓
+ 𝑪 d)−
𝒙−𝟑
𝟑
+ 𝑪
9) La integral ∫( 𝒙 𝟐 + 𝟓)
𝟑
𝒙𝒅𝒙 =
a)
1
4
( 𝑥3 + 5)4 + 𝐶 b)
1
4
( 𝑥3 + 5)3 + 𝐶
c)
1
8
( 𝑥2 + 5)4 + 𝐶 d)
1
8
( 𝑥3 + 25)3 + 𝐶

4. 10) La integral ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝒙) 𝒅𝒙 =
a) 𝑥3
𝑡𝑎𝑛( 𝑥) − 𝐿𝑛| 𝑠𝑒𝑐( 𝑥)| + 𝐶 b) 𝑡𝑎𝑛( 𝑥) + 𝐿𝑛| 𝑠𝑒𝑐( 𝑥)| + 𝐶
c) 𝑡𝑎𝑛( 𝑥) − 𝐿𝑛| 𝑠𝑒𝑐 ( 𝑥)| + 𝐶 d) 𝑥𝑡𝑎𝑛( 𝑥) − 𝐿𝑛| 𝑠𝑒𝑐( 𝑥)| + 𝐶
11) La integral ∫
𝒅𝒙
√ 𝒙 𝟐−𝟔𝟒
=
a) 𝑠𝑒𝑐 ( 𝑥) + 𝑡𝑎𝑛( 𝑥) + 𝐶 b) 𝐿𝑛| 𝑥3
+ √𝑥 − 64| + 𝐶
c) 𝐿𝑛| 𝑠𝑒𝑐2( 𝑥) + 𝑡𝑎𝑛2( 𝑥)| + 𝐶 d) 𝐿𝑛| 𝑥 + √𝑥2 − 64| + 𝐶
IV Parte: DESARROLLO
Instrucciones: Resuelva los siguientes problemas en forma ordenada y detallada. Cada
respuesta correcta tiene un valor de tres puntos (3 Pts.).
12) ∫
( 𝒙−𝟏)
( 𝒙 𝟑−𝒙 𝟐−𝟐𝒙)
𝒅𝒙
13) ∫( 𝟓𝒙 𝟑 + 𝟔𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙
14) ∫( 𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟓) 𝒄𝒐𝒔( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙
Ver patrón de corrección

5. PATRÓN DE CORRECCIÓN
I PARTE: VERDADERO O FALSO
1) Las integrales definidas surgen del concepto de antiderivación..................................... (V)
Respuesta: verdadero, porque la integración es lo inverso de la derivación.
2) Dada la formula ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = cos 𝑢 + 𝑐 entonces es...................................................... (F)
Respuesta: falso, porque la integral anterior es una integral directa definida en las
tablas de integrales así: ∫ cos u du = sen u + C
3) La identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2
− 1 es.......................................................... (F)
Respuesta: falso, porque la identidad trigonométrica correcta es: 𝑠𝑒𝑛2( 𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2( 𝑥) = 1
4) La integral de ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝑐 es................................................................................. (F)
Respuesta: falso, porque es una Integral directa que según las tablas de integrales la
definen como ∫ 𝑢 𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ −1 , luego la solución es ∫ 𝑥5
𝑑𝑥 =
𝒙 𝟔
𝟔
+ 𝑪
II PARTE: COMPLETACIÓN
5) Dada ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = −𝒄𝒐𝒔( 𝒖) + 𝑪_ Integral directa que se define en las tablas de integrales_
6) La integración de expresiones de la forma ∫
𝑷(𝒙)
𝑸(𝒙)
𝒅𝒙 donde el polinomio Q(x) ha de
ser: _𝑸( 𝒙) ≠ 𝟎__De no ser así, no estaría definida en el campo de los números
reales__________________________________________________________________
7) La integral por partes ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗𝒅𝒖__Fórmula que se aplica para determinar las
integrales por partes_______________________________________________________
III Parte: SELECCIÓN MULTIPLE
8) La integral = ∫
𝒅𝒙
𝑿 𝟒
= , Al subir el denominador el exponente cambia de signo de esta
forma ∫
𝑑𝑥
𝑥4
= ∫ 𝑥−4
𝑑𝑥 ; se integra usando la fórmula ∫ 𝑢 𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ −1
luego la integral resultante es ∫ 𝑥−4
𝑑𝑥 =
𝑥(−4+1)
(−4+1)
= −
𝑥−3
3
+ 𝐶 , por lo tanto la opción
correcta, es la opción (d)

6. 9) La integral ∫( 𝒙 𝟐
+ 𝟓) 𝟑
𝒙𝒅𝒙 = , Aquí aplica un cambio de variable de la siguiente forma:
𝒖 = 𝒙 𝟐
+ 𝟓 , 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 y
𝒅𝒖
𝟐
= 𝒙𝒅𝒙 ; luego, aplicando este cambio de variable en la
integral original quedaría de esta forma: ∫( 𝑥2
+ 5)3
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢3 𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ 𝑢3
𝑑𝑢
Al proceder a resolver la integral, utilizando la fórmula ∫ 𝑢 𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ −1
resulta
1
2
∫ 𝑢3
𝑑𝑢 = (
1
2
) (
𝑢4
4
) + 𝐶 =
𝑢4
8
+ 𝐶 , posteriormente se procede a devolver el
cambio de esta forma
𝑢4
8
+ 𝐶 =
( 𝑥2 +5)
4
8
+ 𝐶 =
1
8
( 𝑥2
+ 5)4
+ 𝐶 , por lo tanto la opción
correcta, es la opción (c)
10) La integral ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝒙) 𝒅𝒙 = , para resolver esta integral se aplica el método de
integración por parte cuya formula ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ; se procede a realizar los
siguientes cambios 𝒖 = 𝒙 , 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 y 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝒙) 𝒅𝒙, integrando esta última en
ambos términos ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝒙) 𝒅𝒙, arroja como resultado lo siguiente: 𝒗 = 𝒕𝒂𝒏( 𝒙),
luego aplicando el cambio de variables a la fórmula de integrales por parte resulta lo
siguiente ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙𝒕𝒂𝒏( 𝒙) − ∫ 𝒕𝒂𝒏( 𝒙) 𝒅𝒙.
Resolviendo la integral ∫ 𝒕𝒂𝒏( 𝒙) 𝒅𝒙 por medio de la fórmula directa de integración
∫ 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑳𝒏| 𝒔𝒆𝒄( 𝒙)| + 𝑪
Queda finalmente como resultado que: ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒄 𝟐( 𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙𝒕𝒂𝒏( 𝒙) − 𝑳𝒏| 𝒔𝒆𝒄( 𝒙)| + 𝑪, por lo
tanto la opción correcta, es la opción (d)
11) La integral ∫
𝒅𝒙
√ 𝒙 𝟐−𝟔𝟒
= , para resolver esta integral se aplica el método de sustitución
trigonométrica así:
Sea 𝒙 = 𝟖 𝐬𝐞𝐜(𝒖); donde
𝟎 < 𝒖 <
𝝅
𝟐
, Si 𝒙 > 𝟖 y 𝝅 < 𝒖 < (
𝟑𝝅
𝟐
), si 𝒙 < −𝟖. Entonces 𝒅𝒙 = 𝟖 𝐬𝐞𝐜 𝒖 𝐭𝐚𝐧 𝒖 𝒅𝒖,
luego aplicando los cambios en la integral original resulta algo como lo que se muestra a
continuación: ∫
𝐝𝐱
√ 𝐱 𝟐−𝟔𝟒
= ∫
𝟖 𝐬𝐞𝐜(𝐮) 𝐭𝐚𝐧(𝐮)𝐝𝐮
√𝟖 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝟐( 𝐮)−𝟖 𝟐
; ahora bien ∫
𝟖 𝐬𝐞𝐜(𝐮) 𝐭𝐚𝐧(𝐮)𝐝𝐮
√𝟖 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝟐( 𝐮)−𝟖 𝟐
se puede
simplificar así: ∫
𝟖 𝐬𝐞𝐜(𝐮)𝐭𝐚𝐧(𝐮)𝐝𝐮
√𝟖 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝟐( 𝐮)−𝟖 𝟐
=
𝟖
𝟖
∫
𝒔𝒆𝒄( 𝒖) 𝒕𝒂𝒏( 𝒖) 𝒅𝒖
√ 𝒔𝒆𝒄 𝟐−𝟏
= ∫
𝒔𝒆𝒄( 𝒖) 𝒕𝒂𝒏( 𝒖) 𝒅𝒖
√𝒕𝒂𝒏 𝟐( 𝒖)
= ∫
𝒔𝒆𝒄( 𝒖) 𝒕𝒂𝒏( 𝒖) 𝒅𝒖
𝒕𝒂𝒏( 𝒖)
,
finalmente ∫
𝒅𝒙
√ 𝒙 𝟐−𝟔𝟒
= ∫ 𝒔𝒆𝒄( 𝒖 ) 𝒅𝒖 = 𝑳𝒏| 𝒔𝒆𝒄( 𝒖) + 𝒕𝒂𝒏( 𝒖)| + 𝑪, seguidamente se
devuelve el cambio a la variable X. para ello hay que apoyarse en las siguientes figuras.

7. En ambas figuras, se puede apreciar que 𝒔𝒆𝒄( 𝒖) =
𝒙
𝟖
y 𝒕𝒂𝒏( 𝒖) =
√ 𝒙 𝟐−𝟔𝟒
𝟖
, aplicando a:
∫
𝒅𝒙
√ 𝒙 𝟐 −𝟔𝟒
= ∫ 𝒔𝒆𝒄( 𝒖 ) 𝒅𝒖 = 𝑳𝒏| 𝒔𝒆𝒄( 𝒖) + 𝒕𝒂𝒏( 𝒖)| + 𝑪, Resulta:
∫
𝒅𝒙
√ 𝒙 𝟐 −𝟔𝟒
= 𝑳𝒏 |
𝒙
𝟖
+
√ 𝒙 𝟐 −𝟔𝟒
𝟖
| Luego;
∫
𝒅𝒙
√ 𝒙 𝟐−𝟔𝟒
= 𝑳𝒏| 𝒙 + √𝒙 𝟐 − 𝟔𝟒| − 𝑳𝒏( 𝟖) + 𝑪.
Nota: el Ln (8) es una constante, por lo tanto se le suma a la constante C, finalmente el
resultado queda así: ∫
𝒅𝒙
√ 𝒙 𝟐 −𝟔𝟒
= 𝑳𝒏| 𝒙 + √𝒙 𝟐 − 𝟔𝟒| + 𝑪, esto implica que la opción correcta,
es la opción (d)
IV Parte: DESARROLLO
12) ∫
( 𝒙−𝟏)
( 𝒙 𝟑−𝒙 𝟐−𝟐𝒙)
𝒅𝒙 , para resolver esta integral, hay que apoyarse en el método de las
fracciones parciales a saber:
∫
( 𝒙−𝟏)
( 𝒙 𝟑−𝒙 𝟐−𝟐𝒙)
𝒅𝒙 = ∫
( 𝒙−𝟏)
𝒙( 𝒙 𝟐−𝒙−𝟐)
𝒅𝒙 = ∫[
𝑨
𝒙
+
𝑩
( 𝒙−𝟐)
+
𝑪
( 𝒙+𝟏)
] 𝒅𝒙
Factorización:
Ecuación N° 1 [
( 𝒙−𝟏)
( 𝒙 𝟑−𝒙 𝟐 −𝟐𝒙)
] = [
( 𝒙−𝟏)
𝒙( 𝒙−𝟐)( 𝒙+𝟏)
]
Regla del método:
Ecuación N° 2 [
( 𝒙−𝟏)
𝒙( 𝒙−𝟐)( 𝒙+𝟏)
] = [
𝑨
𝒙
+
𝑩
( 𝒙−𝟐)
+
𝒄
( 𝒙+𝟏)
] Nota: 𝒙 ≠ 𝟎, 𝟐, −𝟏
{Hasta aquí considere un punto}
y
x
√ 𝒙 𝟐
− 𝟔𝟒
8
x
Figura 1 (X>8)
y
x
−√ 𝒙 𝟐 − 𝟔𝟒
-8
-x
Figura 2 (X<-8)

8. Resolviendo:
De la ecuación II se obtiene:
Ecuación N° 3 ( 𝑥 − 1) = [( 𝐴 + 𝐵 + 𝐶) 𝑋2
+ (−𝐴 + 𝐵 − 2𝐶) 𝑋 − 2𝐴], esta ecuación es una
identidad, la cual es cierta para todos los valores de x incluyendo 0,2 y –1. Deseamos
encontrar las constantes, A, B, y C. De aquí se desprende lo siguiente:
A+B+C = 0 A =
1
2
-A+B-2C = 1 B =
1
6
-2A= -1 C = −
2
3
{Hasta aquí considere dos puntos}
Ahora se sustituyen los valores de las variables A , B , y C en la integral y queda de esta
forma: ∫
( 𝒙−𝟏)
( 𝒙 𝟑−𝒙 𝟐−𝟐𝒙)
𝒅𝒙 = ∫[
𝑨
𝑿
+
𝑩
( 𝑿−𝟐)
+
𝑪
( 𝑿+𝟏)
]𝒅𝒙 = ∫ [(
𝟏
𝟐
𝒙
)+ (
𝟏
𝟔
( 𝒙−𝟐)
) + (
−
𝟐
𝟑
( 𝒙+𝟏)
)] 𝒅𝒙
Se aplica propiedades de las integrales y resultan:
∫
( 𝒙 − 𝟏)
( 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙)
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
∫
𝒅𝒙
𝒙
+
𝟏
𝟔
∫
𝒅𝒙
( 𝒙 − 𝟐)
−
𝟐
𝟑
∫
𝒅𝒙
( 𝒙 + 𝟏)
Nos apoyamos en la integral inmediata ∫
𝑑𝑢
𝑢
= 𝐿𝑛| 𝑢| + 𝐶, y se hacen los cambios de
variables necesarios para obtener los resultados de cada una de las integrales
resultantes, así:
a)
1
2
∫
𝑑𝑥
𝑥
=
1
2
𝐿𝑛| 𝑥| + 𝐶
b)
1
6
∫
𝑑𝑥
( 𝑥−2)
=
1
6
∫
𝑑𝑢
𝑢
=
1
6
𝐿𝑛| 𝑢| + 𝐶 =
1
6
𝐿𝑛 | 𝑥 − 2| + 𝐶, haciendo u= (x-2) y du=dx
c) −
2
3
∫
𝑑𝑥
( 𝑥+1)
= −
2
3
∫
𝑑𝑢
𝑢
= −
2
3
𝐿𝑛| 𝑢| + 𝐶 = −
2
3
𝐿𝑛| 𝑥 + 1| + 𝐶, haciendo u= (x+1) y du=dx.
Por lo tanto:
∫
( 𝒙 − 𝟏)
( 𝒙 𝟑 − 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙)
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
𝑳𝒏| 𝒙| +
𝟏
𝟔
𝑳𝒏| 𝒙 − 𝟐| −
𝟐
𝟑
𝑳𝒏| 𝒙 + 𝟏| + 𝑪
{Hasta aquí considere tres puntos}
13) ∫( 𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙, para resolver esta integral nos apoyaremos en el álgebra de
integrales mediante la siguiente fórmula ∫[ 𝑓( 𝑢) + 𝑔( 𝑢)] 𝑑𝑢 = ∫ 𝑓( 𝑢) 𝑑𝑢 + ∫ 𝑔( 𝑢) 𝑑𝑢,
{Hasta aquí considere un punto}

9. Ahora aplicando la fórmula respectiva y haciendo los arreglos pertinentes se tiene:
∫( 𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 = 𝟓 ∫ 𝒙 𝟑
𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓 ∫ 𝒅𝒙
Para resolver se utiliza ∫ 𝑢 𝑛
𝑑𝑢 =
𝑢 𝑛+1
𝑛+1
+ 𝐶, 𝑐𝑜𝑛 𝑛 ≠ −1
{Hasta aquí considere dos puntos}
Finalmente:
∫(𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟓)𝒅𝒙 = 𝟓 ∫ 𝒙 𝟑
𝒅𝒙 + 𝟔 ∫ 𝒙 𝟐
𝒅𝒙 + 𝟑 ∫ 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟓 ∫ 𝒅𝒙 =
𝟓
𝟒
𝒙 𝟒
+ 𝟐𝒙 𝟑
+
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝑪
∫( 𝟓𝒙 𝟑
+ 𝟔𝒙 𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟓) 𝒅𝒙 =
𝟓
𝟒
𝒙 𝟒
+ 𝟐𝒙 𝟑
+
𝟑
𝟐
𝒙 𝟐
+ 𝟓𝒙 + 𝑪
{Hasta aquí considere tres puntos}
14) ∫( 𝒙 𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟓) 𝒄𝒐𝒔( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙, para resolver esta integral se aplica el método de
integración por parte cuya formula ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢 ; se procede a realizar los
siguientes cambios 𝒖 = ( 𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟓) , 𝒅𝒖 = ( 𝟐𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙 y 𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙,
integrando esta última en ambos términos ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙, arroja como resultado lo
siguiente: 𝒗 =
𝐬𝐞𝐧( 𝟐𝒙)
𝟐
, luego aplicando el cambio de variables a la fórmula de integrales
resulta ∫(𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟓) 𝐜𝐨𝐬( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟐
[(𝒙 𝟐
+ 𝟕𝒙 − 𝟓)(𝒔𝒆𝒏( 𝟐𝒙))]−
𝟏
𝟐
∫(𝒔𝒆𝒏( 𝟐𝒙))( 𝟐𝒙 + 𝟕) 𝒅𝒙.
{Hasta aquí considere un punto}
Aplicamos el método de integración por partes a la última integral, teniendo en cuenta
que:
𝒖 =
( 𝟐𝒙+𝟕)
𝟐
, 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙, 𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐧( 𝟐𝒙) 𝒅𝒙, y 𝒗 = −
𝒄𝒐𝒔( 𝟐𝒙)
𝟐
, luego
∫ [
(2𝑥 + 7)
2
] [ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)] 𝑑𝑥 = −
1
4
(2𝑥 + 7)[ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)] +
1
2
∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥
∫ [
(2𝑥 + 7)
2
] [ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)] 𝑑𝑥 = −
1
4
(2𝑥 + 7)[ 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)] +
1
4
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) + 𝐶
{Hasta aquí considere dos puntos}
Finalmente:
∫( 𝑥2
+ 7𝑥 − 5) 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) 𝑑𝑥 =
1
2
[( 𝑥2
+ 7𝑥 − 5)(𝑠𝑒𝑛(2𝑥))] +
1
4
[(2𝑥 + 7)(𝑐𝑜𝑠(2𝑥))] −
1
4
[ 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)] + 𝐶
{Hasta aquí considere tres puntos}